Théorème de Grothendieck

Théorème de Grothendieck

Leçons : 201, 208,213, 234 Théorème 1

Soit (X,µ) un espace de probabilités, et S un sous-espace vectoriel fermé de L^p(µ) tel queS⊂L^∞(µ). AlorsS est de dimension finie.

Démonstration. Étape 1 : il existe K>0tel que∀f ∈S,kfk_∞¶Kkfkp.

Soit i l’injection canonique de (S,k · k_∞)dans (S,k · kp). C’est une application linéaire bijective, qui est continue cark· kp¶k· k_∞puisqueµ(X) =1. De plus ses espaces de départ et d’arrivée sont des Banach :

• D’une part car S est fermé dans L^p(µ) qui est complet selon le théorème de Riesz- Fischer ;

• D’autre part, si(f_n)n∈S^N tend vers f dans L^∞(µ), alors (i(f_n))n tend vers i(f)dans L^p(µ) donc comme S est fermé dans L^p, i(f) = f ∈S, de sorte que S est aussi un sous-espace fermé de L^∞(µ), donc est complet.

Par conséquent, selon le théorème d’isomorphisme de Banach, i est un isomorphisme bicontinu ; en particulier, il existeK >0 tel que∀f ∈S,kfk_∞¶Kkfkp.

Étape 2 : il existeM >0tel que∀f ∈S,kfkp¶Kkfk_∞. Soit f ∈S, on distingue deux cas :

• Premier cas: p<2. Selon l’inégalité de Hölder,

kfk^p_p¶µ(X)^1−p2 Z

X

(|f(x)|^pdµ(x))^{2p p}₂

¶kfk^p₂ si bien quekfkp¶kfk2.

• Deuxième cas: p¾2.

kfk^p_p= Z

X

|f(x)|^p−2|f(x)|²dµ(x)¶kfk_∞^p−2kfk²₂^{etape 1}= K^p−2kfk^p−_p ²kfk²₂

donc en simplifiant de part et d’autre de l’inégalité, kfk²_p ¶ K^p−2kfk²₂ et le résultat s’ensuit.

Étape 3 : utilisation de ces relations de domination.

Soit(f₁, . . . ,f_n)une famille orthonormée deS. Si c = (c₁, . . . ,c_n)∈Qⁿ, il existe X_c ⊂X de mesure pleine tel que

∀x ∈X_c,

Xn

i=1

c_if_i(x)

¶

Xn

i=1

c_if_i ∞

¶M₁

Xn

i=1

c_if_i 2

=M₁ v u t

Xn

i=1

c_i² avec M₁>0 une constante (cf étapes 1 et 2).

Donc siX⁰= S

c∈Qⁿ

X_c,X⁰ est de mesure pleine et on a

∀c∈Qⁿ,∀x∈X⁰,

n

X

i=1

c_if_i(x)

¶M₁ v u t

n

X

i=1

c_i². CommeQⁿest dense dansRⁿ, le résultat vaut également pourc∈Rⁿ.

Gabriel L^EPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1

En particulier, si x ∈X⁰,c_i= f_i(x), on obtient

Pn

i=1

f_i(x)² ¶M₁

v tPⁿ

i=1

f_i(x)² soit

‚ _n X

i=1

f_i(x)²

Œ

¶M₁².

Donc en intégrant,

n

P

i=1kf_ik²₂¶M₁² soit, comme(f₁, . . . ,f_n)est orthonormée, n¶M₁².

Supposons que S soit de dimension infinie. On pourrait alors trouver une famille libre de tailleE(M₁²)+1, ce qui fournirait par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, une famille orthonormée deSde cette taille : cela contredit le résultat ci-dessus. DoncS est de dimension finie.

Remarque.Le théorème de l’isomorphisme de Banach est une conséquence du théorème de Baire, qu’il faut donc connaître.

Références : Maxime ZAVIDOVIQUE (2013). Un max de maths. Calvage et Mounet (at- tention il y a une erreur).

Gabriel L^EPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1