Préambule sur les suites : suites numériques

Préambule sur les suites : suites numériques

Exercice 1

Dans chacune des situations suivantes, une grandeur est fonction d’une autre. Comment modéliser la situation : par une suite ou par une fonction d’un intervalle de ℝ dans ℝ ?

1. On s’intéresse au prix à payer dans un café en fonction du nombre de cafés commandés.

Il est ici plus pratique de modéliser à l'aide d'une suite car le nombre de café est un nombre entier naturel.

2. On s’intéresse à l’aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté.

La longueur étant un réel positif quelconque, il est plus judicieux d'utiliser la modélisation par une fonction.

3. On s’intéresse à l’évolution de la température en fonction du temps.

Tout dépend de la modélisation que l'on souhaite. Si l'on s'intéresse aux températures à chaque heure, il est possible d'utiliser les suites. Si en revanche on souhaite des températures sur des plages horaires (donc des intervalles), il est préférable d'utiliser une fonction.

Exercice 2

Est-il plus pertinent de modéliser chacune des situations suivantes par une fonction définie sur un intervalle de ℝ ou par une suite ?

1. On s’intéresse à la recette d’un concert en fonction du nombre de spectateurs, le prix de la place étant de 35€.

La modélisation par une suite est plus pertinente car le nombre de spectateurs est un nombre entier naturel et u_n correspondra à la recette.

2. On considère le volume d’un cube en fonction de la longueur de son côté.

La modélisation par une fonction est plus pertinente car une longueur est un réel positif.

3. On étudie l’évolution du taux de monoxyde de carbone dans l’air au cours de l’année.

Le taux de monoxyde n'étant pas nécessairement un nombre entier, il est préférable de modéliser à l'aide d'une fonction.

4. On regarde l’évolution du loyer annuel de Xavier.

Le loyer étant payé chaque mois, il est pertinent d'utiliser une suite où n correspondra au nombre de mois et u_n le loyer associé.

Exercice 3

On considère la suite (^un) définie sur ℕ par u: n→

√

n. 1. Écrire u(0), u(1), u(2), u(3), u(4).

On a u(0)=

√

^{0=0 , u(1)=}

√

^{1=1 , u(2)=}

√

^{2 , u(3)=}

√

^{3 et u(4)=}

√

^{4=2 .}

2. Écrire les cinq termes de la question 1 en utilisant la notation des termes d’une suite avec les indices.

On a u(0)=u₀=0 , u(1)=u₁=1 , u(2)=u₂=

√

^{2 , u(3)=u}3=

√

^{3 et u(4)=u}4=2 . 3. Représenter graphiquement les six premiers termes de cette suite dans un repère.

Il y aura les six points de coordonnées (0 ; 0), (1 ;1), (2 ;

√

^{2), (3;}

√

^{3), (4 ;2) et (5 ;}

√

^5).

4. Sur la courbe représentative de quelle fonction connue se trouvent les points ainsi placés ? Les points placés appartiennent à la courbe représentative de la fonction racine carrée.

Attention !

La représentation graphique d'une fonction est une courbe alors que celle d'une suite est un nuage de points. Il n'y aura donc que des points isolés pour la suite (^un)^.

Exercice 4

On considère la suite (^un) définie sur ℕ par u: n→ n n+1 . 1. Écrire u(0), u(1), u(2), u(3), u(4).

On a u(0)= 0

0+1=0 , u(1)= 1 1+1=1

2 , u(2)= 2 2+1=2

3 , u(3)= 3 3+1=3

4 et u(4)= 4 4+1=4

5 . 2. Écrire les cinq termes de la question 1 en utilisant la notation des termes d’une suite avec les indices.

On a u(0)=u₀=0 , u(1)=u₁=1

2 , u(2)=u₂=2

3 , u(3)=u₃=3

4 et u(4)=u₄=4 5 . 3. Représenter graphiquement les six premiers termes de cette suite dans un repère.

Il y aura les six points de coordonnées (0 ; 0),

(

^{1; 1}2

)

^,

(

^{2 ; 2}3

)

^,

(

^{3; 3}4

)

^,

(

^{4 ; 4}5

)

^et

(

^{5; 5}6

)

^.

4. Sur la courbe représentative de quelle fonction connue se trouvent les points ainsi placés ? Les points placés appartiennent à la courbe représentative de la fonction f définie par

f (x)= x x+1 . Attention !

La représentation graphique d'une fonction est une courbe alors que celle d'une suite est un nuage de points. Il n'y aura donc que des points isolés pour la suite (^un)^.

Exercice 5

On considère la suite (^un) définie par u : n→3n−4 .

1. Écrire u(n+1), u(n−1), u(n)+1 et u(n)−1 en fonction de n. u(n+1)=3(n+1)−4=3n+3−4=3n−1 .

u(n−1)=3(n−1)−4=3n−3−4=3n−7 . u(n)+1=3n−4+1=3n−3 .

u(n)−1=3n−4−1=3n−5 .

2. Écrire les quatre termes de la question 1 en utilisant la notation des termes d’une suite avec les indices.

On a u(n+1)=u_n+1, u(n−1)=u_n−1, u(n)+1=u_n+1 et u(n)−1=u_n−1 . Exercice 6

Préciser si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

1. La suite de terme général u_n= 1

2n−1 est définie pour tout entier n. La suite (^un) est définie à condition que son dénominateur ne s'annule pas.

Or 2n−1=0⇔2n=1⇔n=1

2 . La seule valeur impossible est 1

2 . Or n est un entier naturel, il ne peut donc pas être égal à 1

2 . La suite est donc définie pour tout entier n. Vrai.

2. À partir de l'expression

√

⁽1−n)(_n−5), on peut définir une suite à partir du rang 1.

Posons v_n=

√

^{(1−n)(n−5)}. Cette suite n'est définie que si ce qu'il y a sous la racine carrée est positif. Il faut donc étudier le signe du polynôme associé, c'est-à-dire (1−x) (x−5).

On obtient le tableau de signes suivant :

x

−∞

^{1 5}

^+∞

1−x + 0 − −

x−5 − − 0 +

(1−x)(x−5) − 0 + 0 −

Le polynôme associé est positif si x∈[1 ;5]. Or une suite n'est définie que sur les entiers naturels.

On peut alors seulement définir la suite (^vn) pour les entiers n allant de 1 à 5. Vrai.

Exercice 7

1. Soit la suite (^un) définie sur ℕ par u_n=2n+1 .

Déterminer les termes u_n+1, u_n−1 , u_2n et u_2n−1 en fonction de n. u_n+1=2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3 ; u_n−1=2(n−1)+1=2n−1 ; u_2n=2(2n)+1=4n+1 ; u_2n−1=2(2n−1)+1=4n−1 .

2. Soit la suite (^vn) définie sur ℕ par v_n=n²−3n+4 .

Déterminer les termes v_n+1, v_n−1, v_2n et v_2n−1 en fonction de n. v_n+1=(n+1)²−3(n+1)+4=n²+2n+1−3n−3+4=n²−n+2 . v_n−1=(n−1)²−3(n−1)+4=n²−2n+1−3n+3+4=n²−5n+8 . v_2n=(2n)²−3(2n)+4=4n²−6n+4 .

v_2n−1=(2n−1)²−3(2n−1)+4=4n²−4n+1−6n+3+4=4n²−10n+8 . Exercice 8

Pour chacune des suites (^un) définies sur ℕ, calculer u₀, u₁, u₂, u₃, u₄ et u₁₀. 1. u_n=4n+5 .

u₀=4×0+5=5 ; u₁=4×1+5=9 ; u₂=4×2+5=13 ; u₃=4×3+5=17 ; u₄=4×4+5=22 ; u₁₀=4×10+5=45 .

2. u_n=n².

u₀=0²=0 ; u₁=1²=1 ; u₂=2²=4 ; u₃=3²=9 ; u₄=4²=16 ; u₁₀=10²=100 . 3. u_n=(−2)ⁿ.

u₀=(−2)⁰=1 ; u₁=(−2)¹=−2 ; u₂=(−2)²=4 ; u₃=(−2)³=−8 ; u₄=(−2)⁴=16 ; u₁₀=(−2)¹⁰=1024 .

4. u_n= n−1 n+2 . u₀=0−1

0+2=−1

2 ; u₁=1−1

1+2=0 ; u₂=2−1 2+2= 1

4 ; u₃=3−1 3+2=2

5 ; u₄= 4−1 4+2=3

6=1 2 ; u₁₀=10−1

10+2= 9 12=3

4 . 5. u_n=(n−1)².

u₀=(0−1)²=1 ; u₁=(1−1)²=0 ; u₂=(2−1)²=1 ; u₃=(3−1)²=4 ; u₄=(4−1)²=9 ; u₁₀=(10−1)²=81 .

6. u_n=

√

n+4 .

u₀=

√

^{0+4=2 ; u}1=

√

¹⁺⁴⁼

√

^{5 ; u}2=

√

²⁺⁴⁼

√

^{6 ; u}3=

√

³⁺⁴⁼

√

^{7 ; u}4=

√

⁴⁺⁴⁼

√

⁸⁼²

√

^{2 ;}

u₁₀=

√

10+4=

√

14 .

Exercice 11

1. Soit la suite (^un) définie sur ℕ par u_n=n²−n. a. Calculer u₀, u₁₀ et u₅₀.

u₀=0²−0=0 ; u₁₀=10²−10=90 ; u₅₀=50²−50=2450 . b. Exprimer u_n−1, u_n+1 et u_2n en fonction de n.

u_n−1=(n−1)²−(n−1)=n²−2n+1−n+1=n²−3n+2 . u_n+1=(n+1)²−(n+1)=n²+2n+1−n−1=n²+n. u_2n=(2n)²−2n=4n²−2n.

c. Démontrer que pour tout entier n, u_n+1=u_n+2n. u_n+1=n²+n=n²−n+n+n=n²−n+2n=u_n+2n. Autre méthode :

u_n+2n=n²−n+2n=n²+n=u_n+1.

2. Soit la suite (^vn) définie sur ℕ par v_n=2ⁿ(n²−1).

Démontrer que pour tout entier n, v_n+1−v_n=2ⁿ(n²+4n+1). v_n+1−v_n=2ⁿ⁺¹

(

(n+1)²−1

)

−2ⁿ(n²−1)

=2ⁿ×2(n²+2n+1−1)−2ⁿ(n²−1) =2ⁿ×2(n²+2n)−2ⁿ(n²−1) =2ⁿ(2(n²+2n)−(n²−1))

=2ⁿ(2n²+4n−n²+1) =2ⁿ(n²+4n+1)

Ainsi, pour tout n∈ℕ, v_n+1−v_n=2ⁿ(n²+4n+1). Exercice 12

Soit la suite (^un) définie sur ℕ par un=n²+n−1 . 1. Calculer u₀, u₁ et u₂.

On a u0=0²+0−1=−1 , u1=1²+1−1=1 et u2=2²+2−1=4+2−1=5 .

2. Exprimer, en fonction de n, les termes u_n+1, u_n−1, u_2n, u_3n−1 et la différence u_n+1−u_n. u_n+1=(n+1)²+n+1−1=n²+2n+1+n=n²+3n+1 .

u_n−1=(n−1)²+n−1−1=n²−2n+1+n−2=n²−n−1 . u_2n=(2n)²+2n−1=4n²+2n−1 .

u_3n−1=(3n−1)²+3n−1−1=9n²−6n+1+3n−2=9n²−3n−1 . Exercice 13

Soit la suite (^vn) définie sur ℕ par v_n= 2ⁿ 3n+2 . 1. Calculer v₀, v₁ et v₂.

On a v₀= 2⁰

3×0+2=1

2 , v₁= 2¹

3×1+2=2

5 et v₂= 2²

3×2+2=4 8=1

2 . 2. Exprimer en fonction de n, les termes v_n+1 et v_n+2.

On a v_n+1= 2ⁿ⁺¹

3(n+1)+2= 2ⁿ⁺¹

3n+5 et v_n+2= 2ⁿ⁺²

3(n+2)+2= 2ⁿ⁺² 3n+8 .

3. Démontrer que pour tout entier n, 1 vn+2

= 1 vn+1

− 1 4vn

. On a 1

v_n+2= 1 2ⁿ⁺² 3n+8

=3n+8 2ⁿ⁺² . Et 1

v_n+1− 1

4v_n = 1 2ⁿ⁺¹ 3n+5

− 1

4× 2ⁿ 3n+2

=3n+5

2ⁿ⁺¹ −3n+2 4×2ⁿ

=2(3n+5)

2×2ⁿ⁺¹ −3n+2 2²×2ⁿ

=6n+10−3n−2 2ⁿ⁺²

=3n+8 2ⁿ⁺²

Ainsi, pour tout entier n, 1

v_n+2= 1 v_n+1− 1

4v_n . Exercice 14

Dans chacun des cas, préciser l'ensemble de définition de la suite (^un) et calculer les quatre premiers termes.

1. u_n= n n²+1 .

Le dénominateur est toujours strictement positif car n²⩾0 et donc n²+1⩾1 . La suite (^un) est donc définie sur ℕ.

u₀= 0

0²+1=0 ; u₁= 1 1²+1=1

2 ; u₂= 2 2²+1=2

5 ; u₃= 3

3²+1= 3 10 . 2. u_n=n²−n+41 .

On a u_n=f (n) avec pour tout x∈ℝ, f (x)=x²−x+41 . La fonction f étant un polynôme du second degré, elle est définie sur ℝ et donc la suite (^un) est définie sur ℕ.

u0=0²−0+41=41 ; u1=1²−1+41=41 ; u2=2²−2+41=43 ; u3=3²−3+41=47 . 3. u_n= 2n−3

n+2 .

Le dénominateur est toujours strictement positif pour tout entier naturel n. Donc la suite (^un)est définie sur ℕ.

u₀=2×0−3 0+2 =−3

2 ; u₁=2×1−3 1+2 =−1

3 ; u₂= 2×2−3 2+2 =1

4 ; u₃= 2×3−3

3+2 =3

5 . 4. u_n=(−1)ⁿ

n+1 .

Cette suite est définie si et seulement si n+1≠0 ie n≠−1 . Ainsi la suite (^un) est définie sur ℕ. u₀=(−1)⁰

0+1 =1 ; u₁=(−1)¹ 1+1 =−1

2 ; u₂=(−1)² 2+1=1

3 ; u₃=(−1)³ 3+1 =−1

4 .

5. u_n=cos

(

ⁿ2^π

)

^.

On a u_n=f (n) avec pour tout x∈ℝ, f (x)=cos

(

^x₂^π

)

. La fonction cosinus est définie pour tout réel x , donc la suite (^un) est définie sur ℕ.

u₀=cos

(

^0×π2

)

^{=cos(0)=1 ; u1=cos}

(

^π2

)

^{=0 ; u2=cos(π)=−1 ; u3=cos}

(

³2^π

)

^{=0 .}

6. u_n= 2ⁿ−1 2ⁿ+1 .

Pour tout n∈ℕ, 2ⁿ>0 et donc 2ⁿ+1>1 . Ainsi la suite (^un) est définie sur ℕ. u₀=2⁰−1

2⁰+1=1−1

1+1=0 ; u₁=2¹−1

2¹+1= 2−1 2+1=1

3 ; u₂=2²−1

2²+1=4−1 4+1=3

5 ; u₃=2³−1

2³+1=8−1 8+1=7

9 . 7. u_n=

√

^{n2+2n+5 .}

(^un) est définie si n²+2n+5 est positif ou nul. Or, n étant un entier naturel, n²⩾0 et 2n⩾0 . De ce fait, n²+2n+5⩾0 (car on ajoute trois termes positifs). Donc (^un) est définie sur ℕ.

u₀=

√

^02+2×0+5=

√

5 ; u₁=

√

^12+2×1+5=

√

8=2

√

2 ; u₂=

√

^22+2×2+5=

√

13 ; u₃=

√

^32+2×3+5=

^√

^{20 .}

12. u_n=nⁿ.

La suite (^un)est définie sur ℕ. u₀=0⁰=1 ; u₁=1¹=1 ; u₂=2²=4 ; u₃=3³=27 . Je vous laisse le soin de faire ceux qui restent !

Exercice 15

Soit la suite (^un) définie sur ℕ par u_n=(−2)ⁿ+3 .

Soit la suite (^vn) définie par v₀=4 et pour tout entier n, v_n+1=−2v_n+9 .

1. Pour chacune des suites (^un) ^et (^vn), déterminer les valeurs des trois premiers termes.

u₀=(−2)⁰+3=4 ; u₁=(−2)¹+3=1 ; u₂=(−2)²+3=7 .

v₀=4 ; v₁=−2v₀+9=−2×4+9=1 ; v₂=−2v₁+9=−2×1+9=7 .

2. Quelle conjecture peut-on émettre sur les suites (^un) ^et (^vn) ? Démontrer cette conjecture.

On peut conjecturer que pour tout n∈ℕ, u_n=v_n.

C'est une conjecture qui se démontre facilement à l'aide d'un raisonnement par récurrence vu en terminale.

Exercice 16

Dans chacun des cas, déterminer les cinq termes suivants.

1. u₀=2 et pour tout n⩾0 , u_n+1=4u_n−2 .

u₁=4u₀−2=4×2−2=6 ; u₂=4u₁−2=4×6−2=22 ; u₃=4u₂−2=4×22−2=86 ; u₄=4u₃−2=4×86−2=342 ; u₅=4u₄−2=4×342−2=1366 .

2. u₀=3 et pour tout n⩾0 , u_n+1=−u_n+4 .

u₁=−u₀+4=−3+4=1 ; u₂=−u₁+4=−1+4=3 ; u₃=−u₂+4=−3+4=1 ; u₄=−u₃+4=−1+4=3 ; u₅=−u₄+4=−3+4=1 .

3. u₀=0 et pour tout n⩾0 , u_n+1=u_n²+ 3 n+1 . u₁=u₀²+ 3

0+1=0²+3=3 ; u₂=u₁²+ 3

1+1=3²+3 2=21

2 ; u₃=u₂²+ 3

2+1=

(

²¹2

)

^2+1=4414 +1=445

4 ; u₄=u₃²+ 3

3+1=

(

⁴⁴⁵4

)

²⁺³4=198037 16 ; u₅=u₄²+ 3

4+1=

(

¹⁹⁸⁰³⁷₁₆

)

²⁺³₅^=990233₈₀ ^.

4. u₀=−1 et pour tout n⩾0 , u_n+1=4u_n+2(n−1).

u₁=4u₀+2(0−1)=4×(−1)−2=−6 ; u₂=4u₁+2(1−1)=4×(−6)+0=−24 ; u₃=4u₂+2(2−1)=4×(−24)+2=−94 ; u₄=4u₃+2(3−1)=4×(−94)+4=−372 ; u₅=4u₄+2(4−1)=4×(−372)+6=−1482 .

5. u₂=3 et pour tout n⩾3 , u_n=2u_n−1.

u₃=2u₂=2×3=6 ; u₄=2u₃=2×6=12 ; u₅=2u₄=2×12=24 ; u₆=2u₅=2×24=48 ; u₇=2u₆=2×48=96 .

6. u₀=3 et pour tout n⩾1 , u_n=2u_n−1−3 .

u₁=2u₀−3=2×3−3=3 ; u₂=2u₁−3=2×3−3=3 ; u₃=2u₂−3=2×6−3=3 ; u₄=2u₃−3=2×3−3=3 ; u₅=2u₄−3=2×3−3=3 . C'est une suite constante.

Exercice 17

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite (^un) définie par u₀=4 et pour tout entier n, u_n+1=2u_n−3 .

On a u₀=4 , u₁=2u₀−3=2×4−3=5 , u₂=2u₁−3=2×5−3=7 et u₃=2u₂−3=2×7−3=11 . 2. Écrire la relation liant u₄ à u₃, et celle liant u_n à u_n−1 .

On a u₄=2u₃−3 et u_n=2u_n−1−3 . Exercice 18

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite (^un) définie par u₁=2 et pour tout entier n⩾1 , un+1=un2

−1 .

On a u₁=2 , u₂=u₁²−1=2²−1=3 , u₃=u₂²−1=3²−1=8 et u₄=u₃²−1=8²−1=63 . 2. Écrire la relation liant u₅ à u₄, et celle liant u_n à u_n−1 .

On a u₅=u₄²−1 et u_n=u_n−1²−1 . Exercice 19

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite (^un) définie par u₀=3 et pour tout entier n, u_n+1= 1

un

+2n. u₀=3 ; u₁= 1

u₀+2×0=1

3 ; u₂= 1

u₁+2×1= 1 1 3

+2=3+2=5 ; u₃= 1

u₂+2×2=1

5+4=21 5 . 2. Écrire la relation liant u₇ à u₆, et celle liant u_n à u_n−1.

On a u₇= 1

u₆+2×6= 1

u₆+12 et pour tout n∈ℕ, u_n= 1

u_n−1+2(n−1).

Exercice 20

Dans chacun des cas, la suite (^un) vérifie sur ℕ la relation de récurrence : u_n+1=f (^un)^. Donner l’expression de la fonction f et calculer les quatre premiers termes de la suite (^un)^. 1. u₀=−2 et pour tout entier n, u_n+1=1

4 u_n+3 .

La suite (^un)est définie par récurrence à l'aide de la fonction f définie sur ℝ par f (x)=1 4 x+3 . u₀=−2 ; u₁=1

4u₀+3=1

4×(−2)+3=−1 2+6

2=5

2 ; u₂=1

4u₁+3=1 4×5

2+3=5 8+24

8 =29 8 ; u₃=1

4 u₂+3= 1 4×29

8 +3=29 32+96

32=125 32 . 2. u₀=1 et pour tout entier n, u_n+1=

√

^un

2+1 .

La suite (^un)est définie par récurrence à l'aide de la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)=

√

^{x2+1 .}

u₀=1 ; u₁=

√

^u0

2+1=

√

¹²⁺¹⁼

√

^{2 ; u}2=

√

^u12+1=

√

⁽

^√

²⁾²⁺¹⁼

^√

^{3 ;}

u₃=

√

^u22+1=

√

⁽

^√

³⁾²⁺¹⁼

^√

^{4=2 .}

3. u₀=3 et pour tout entier n, u_n+1=u_n²−u_n+1 .

La suite (^un)est définie par récurrence à l'aide de la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x²−x+1 .

u_0= ; u₁=u₀²−u₀+1=3²−3+1=7 ; u₂=u₁²−u₁+1=7²−7+1=43 ; u₃=u₂²−u₂+1=43²−43+1=1807 .

4. u₀=2 et pour tout entier n⩾1 , u_n= 2u_n−1 u_n−1+1 .

La suite (^un) est définie par récurrence à l'aide de la fonction f définie sur ℝ ∖{−1} par f (x)= 2x

x+1 . u₀=2 ; u₁= 2u₀

u₀+1=2×2 2+1= 4

3 ; u₂= 2u₁ u₁+1=

2×4 3 4 3+1

= 8 3 7 3

=8 3×3

7=8 7 ;

u₃= 2u₂ u₂+1=

2×8 7 8 7+1

= 16

7 15

7

= 16 7 × 7

15=16 15 .

5. u₀=2 et pour tout entier n⩾1 , u_n=−u_n−1+(−1)ⁿ n .

La fonction est trop compliquée, je la laisse de côté (vous n'êtes pas en mesure de la faire pour l'instant)

u₀=2 ; u₁=−u₀+(−1)¹

1 =−2−1=−3 ; u₂=−u₁+(−1)²

2 =−(−3)+1 2=7

2 ; u₃=−u₂+(−1)³

3 =−7 2−1

3=−23 6 .

Exercice 21

Soit la suite (^un) de terme général u_n=2n²−n−2 définie pour tout entier n.

1. Exprimer, en fonction de n, les termes suivants u_n+1, u_n−1, u_n+1 , u_2n et u_3n−1. u_n+1=2(n+1)²−(n+1)−2=2n²+4n+2−n−1−2=2n²+3n−1 .

u_n−1=2(n−1)²−(n−1)−2=2n²−4n+2−n+1−2=2n²−5n+1 . u_n+1=2n²−n−2+1=2n²−n−1 .

u_2n=(2(2n))²−(2n)−2=8n²−2n−2 .

u_3n−1=(2(3n−1))²−(3n−1)−2=18n²−12n+2−3n+1−2=18n²−15n. 2. Exprimer la différence u_n+1−u_n en fonction de n.

Pour tout n∈ℕ, un+1−un=2n²+3n−1−(2n²−n−2)=2n²+3n−1−2n²+n+2=4n+1 . 3. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

A : « Pour tout entier n, u_n+1≠u_n+1 ».

Cette affirmation est fausse car u₁=2×1²−1−2=−1 et u₀+1=2×0²−0−1=−1 .

Cette affirmation étant vérifiée pour n=0 , la proposition A n'est pas vraie pour tout entier n. B : « Il existe un entier n tel que u_n+1≠u_n+1 ».

Cette affirmation est vraie car u₂=2×2²−2−2=4 et u₁+1=2×1²−1−1=0 . Cette affirmation étant vérifiée pour n=1 , la proposition B est vraie.

Exercice 22

Soit la suite (^vn) définie pour tout entier n⩾1 par v_n=1+(−1)ⁿ 5 2ⁿ⁻¹ . 1. Calculer v₁, v₂ et v₃.

v₁=1+(−1)¹ 5

2¹⁻¹=1− 5

2⁰=−4 ; v₂=1+(−1)² 5

2²⁻¹=1+ 5 2¹=7

2 ; v₃=1+(−1)³ 5

2³⁻¹=1− 5 2²=−1

4 .

2. Exprimer les termes v_2n et v_2n+1 en fonction de n. Pour tout n∈ℕ, v_2n=1+(−1)²ⁿ 5

2²ⁿ⁻¹=1+

(

(−1)²

)

^{n 5}

2²ⁿ⁻¹=1+ 5 2²ⁿ⁻¹ . Pour tout n∈ℕ, v_2n+1=1+(−1)²ⁿ⁺¹ 5

2²ⁿ⁺¹⁻¹=1+(−1)×(−1)²ⁿ 5

2²ⁿ=1− 5 4ⁿ . 3. Vérifier que pour tout entier n⩾1 , v_n≠1 et que le rapport v_n+1−1

v_n−1 est indépendant de n. On a v_n+1=1+(−1)ⁿ⁻¹ 5

2ⁿ⁺¹⁻¹=1+(−1)ⁿ⁻¹ 5 2ⁿ . D'où v_n+1−1

v_n−1 =

1+(−1)ⁿ⁻¹ 5 2ⁿ−1 1+(−1)ⁿ 5

2ⁿ⁻¹

=

(−1)ⁿ⁻¹ 5 2ⁿ (−1)ⁿ 5

2ⁿ⁻¹

=(−1)ⁿ⁻¹ (−1)ⁿ × 5

2ⁿ ×2ⁿ⁻¹

5 =−1× 2ⁿ⁻¹

2×2ⁿ⁻¹=−1 2 . Ainsi, pour tout entier n⩾1 , le rapport v_n+1−1

v_n−1 est indépendant de n.

Exercice 23

Dans chacun des cas suivants, exprimer le terme général de la suite (^un) donnée définie sur ℕ. 1. (^un) est la suite des carrés des entiers impairs rangés dans l’ordre croissant : 1 ; 9 ; 25 ; … .

∀n∈ℕ,u_n=(2n+1)² .

2. (^un) est la suite des inverses des entiers pairs non nuls, rangés dans l’ordre croissant : 1 2 ; 1

4 ; 1

6 ; … .

∀n∈ℕ^*,u_n= 1 2n .

3. (^un) est la suite des multiples de 3, rangés dans l’ordre croissant : 3 ; 6 ; 9 ; … .

∀n∈ℕ^*,u_n=3n.

4. (^un) est la suite des puissances de 2, rangées dans l’ordre croissant : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; ... .

∀n∈ℕ,u_n=2ⁿ. Exercice 24

Étudier les variations de la suite (^un) définie par son terme général, en étudiant, pour tout entier n, le signe de la différence u_n+1−u_n.

1. u_n=1+1 n .

La suite (^un) est définie pour tout n∈ℕ^*. On a u_n+1−u_n=1+ 1

n+1−

(

¹⁺¹n

)

⁼¹⁺n+1¹ −1−1 n= 1

n+1−1

n=n−(n+1)

n(n+1) =− 1 n(n+1) . Or n>0 donc n(n+1)>0 . Ainsi u_n+1−u_n est du signe de −1 . Donc la différence est négative.

On a alors u_n+1−u_n<0 ie u_n+1<u_n.

Ainsi, la suite (^un) est (strictement) décroissante pour tout n∈ℕ^*. 2. u_n=n+1

n .

La suite (^un) est définie pour tout n∈ℕ^*. On a u_n+1−u_n=n+1+ 1

n+1−

(

ⁿ⁺¹_n

)

⁼ⁿ⁺¹⁺_n+1^{1 −n−1}_n⁼¹⁺_n+1^{1 −1}_n⁼¹⁻ _n(n+1¹ ) . Or n⩾1 et n+1⩾2 .

D'où n(n+1)⩾2 ⇔0< 1

n(n+1)⩽1

2 ⇔ −1

2⩽ 1

n(n+1)<0⇔ 1

2⩽1− 1

n(n+1)<1 . On en déduit donc que 1− 1

n(n+1)>0 . Donc u_n+1−u_n>0 ie u_n+1>u_n .

Ainsi, la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ^*. Autre méthode :

On a u_n+1−u_n=n(n+1)

n(n+1)− 1

n(n+1)=n²+n−1 n(n+1) .

Or pour tout n∈ℕ^*, n²+n−2>0 et n(n+1)>0 et donc u_n+1−u_n>0 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) décroissante pour tout n∈ℕ^*.

3. u_n=n−1 n .

La suite (^un) est définie pour tout n>0 . On a u_n+1−u_n=(n+1)− 1

n+1−

(

ⁿ⁻¹n

)

⁼ⁿ⁺¹⁻n+1¹ −n+1

n=1+1 n− 1

n+1=1+ 1 n(n+1) . Or n>0 donc n(n+1)>0 et donc 1

n(n+1)>0 . On en déduit donc que 1+ 1

n(n+1)>0 . Donc u_n+1−u_n>0 ie u_n+1>u_n . Ainsi la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ^*.

4. u_n=−3 n .

La suite (^un) est définie pour tout n∈ℕ^*. On a u_n+1−u_n=− 3

n+1−

(

⁻³n

)

⁼⁻n+1³ +3

n=− 3n

n(n+1)+3(n+1)

n(n+1)=−3n+3n+3

n(n+1) = 3 n(n+1) . Or pour tout n>0 , n(n+1)>0 . Donc 3

n(n+1)>0 ie u_n+1−u_n>0 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ^*. 5. u_n=

(

¹5

)

^n.

La suite (^un) est définie pour n∈ℕ.

On a u_n+1−u_n=

(

¹₅

)

ⁿ⁺¹⁻

(

¹₅

)

ⁿ⁼¹₅^×

(

¹₅

)

ⁿ⁻

(

¹₅

)

ⁿ⁼

(

¹₅

)

ⁿ

(

¹₅⁻¹

)

⁼⁻⁴₅^×

(

¹₅

)

^n.

Or pour tout entier n,

(

¹5

)

^{n>0 et −4}₅<0 . Donc u_n+1−u_n<0 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) décroissante pour tout n∈ℕ. 6. u_n=−n²+1 .

La suite (^un) est définie pour tout entier n.

On a u_n+1−u_n=−(n+1)²+1−(−n²+1)=−n²−2n−1+1+n²−1=−2n−1 . Or n⩾0⇔ −2n⩽0⇔ −2n−1⩽−1⇔u_n+1−u_n⩽−1⇔u_n+1−u_n<0 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) décroissante pour tout n∈ℕ. 7. u_n= 2ⁿ

n .

La suite (^un) est définie pour tout n∈ℕ^*. On a u_n+1−u_n=

2ⁿ⁺¹ n+1

2ⁿ n

= 2ⁿ⁺¹ n+1× n

2ⁿ=2ⁿ⁺¹ 2ⁿ × n

n+1= 2n n+1 . Or n⩾1⇔n+n⩾n+1 ⇔2n⩾n+1⇔ 2n

n+1⩾1⇔ u_n+1−u_n⩾1 . Ainsi, la suite (^un) est croissante pour tout n∈ℕ^*.

8. u_n=2ⁿ−n.

La suite (^un) est définie pour tout entier n.

On a u_n+1−u_n=2ⁿ⁺¹−(n+1)−(2ⁿ−n)=2ⁿ⁺¹−n−1−2ⁿ+n=2ⁿ⁺¹−2ⁿ−1=2ⁿ×(2−1)−1=2ⁿ−1 . Or 2ⁿ⩾1 donc 2ⁿ−1⩾0 .

On en déduit que u_n+1−u_n⩾0 ie u_n+1⩾u_n.

Donc la suite (^un) est croissante sur ℕ (en particulier, elle est strictement croissante pour n⩾1 ) 9. un=3n²−n+1 .

La suite (^un) est définie sur ℕ.

On a u_n+1−u_n=3(n+1)²−(n+1)+1−(3n²−n+1)=3n²+6n+3−n−1+1−3n²+n−1=6n+2 . Or n⩾0⇔ 6n⩾0⇔6n⩾2⇔ u_n+1−u_n⩾2 ⇔u_n−1−u_n>0 .

Ainsi, la suite (^un) est (strictement) croissante sur ℕ. Exercice 25

Étudier les variations de la suite (^un) en utilisant le quotient de deux termes consécutifs.

1. u_n= 3ⁿ 2ⁿ⁺¹ .

La suite est définie pour tout entier n. De plus, c'est une suite à termes strictement positifs.

On a u_n+1 u_n =

3ⁿ⁺¹ 2ⁿ⁺² 3ⁿ 2ⁿ⁺¹

=3ⁿ⁺¹

3ⁿ ×2ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺²=3×3ⁿ

3ⁿ × 2ⁿ⁺¹

2×2ⁿ⁺¹=3×1 2=3

2>1 .

Comme u_n+1

u_n >1 , alors la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout entier n. 2. u_n= n

2ⁿ .

La suite (^un) est une suite à termes strictement positifs. Pour tout n>0 , u_n>0 . On a u_n+1=n+1

2ⁿ⁺¹ . D'où u_n+1

u_n = n+1

2ⁿ⁺¹ n 2ⁿ

=n+1 2ⁿ⁺¹ ×2ⁿ

n =n+1 2n .

Or pour tout entier n⩾1 , n+1⩾n+n ⇔n+1⩽2n⇔ n+1

2n ⩽1⇔ u_n+1 u_n ⩽1 .

Ainsi la suite (^un) est décroissante (en particulier, (^un) est strictement décroissante pour n⩾2 ).

Autre méthode : On a u_n+1

u_n −1=

n+1 2ⁿ⁺¹

n 2ⁿ

−1=n+1 2ⁿ⁺¹ ×2ⁿ

n −1=n+1

2n −1=n+1 2n −2n

2n=1−n 2n . Or n>0 , donc 1−n≤0 et 2n>0 .

On en déduit que u_n+1

u_n −1⩽0 et donc que u_n+1 u_n ⩽1 .

Ainsi la suite (^u ) est décroissante (en particulier, (^u ) est strictement décroissante pour n⩾2 ).

3. u_n= 3ⁿ n .

La suite (^un) est définie pour tout n>0 . De plus, c'est une suite à termes strictement positifs.

On a u_n+1 u_n =

3ⁿ⁺¹ n+1

3ⁿ n

= 3ⁿ⁺¹ n+1× n

3ⁿ=3ⁿ⁺¹ 3ⁿ × n

n+1= 3n n+1 . Or pour tout n∈ℕ^*, n⩾1⇔n+n⩾n+1 ⇔2n⩾n+1 .

Or 3n⩾2n. Donc par transitivité, 3n⩾n+1 . On a alors 3n⩾n+1⇔ 3n

n+1⩾1⇔ u_n+1 u_n ⩾1 . Ainsi la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ^*.

Autre méthode : On a u_n+1

u_n −1= 3n

n+1−1=3n−(n+1)

n+1 =2n−1 n+1 .

Or n>0 , donc n+1>0 et 2n−1>0 . On en déduit que le quotient 2n−1

n+1 est strictement positif.

On a alors u_n+1

u_n −1>0 et donc u_n+1 u_n >1 .

Ainsi la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ^*. 4. u_n= 1

5ⁿ .

La suite (^un) est définie pour tout entier n et elle est à termes strictement positifs (u_n>0 ).

On a u_n+1= 1

5ⁿ⁺¹ . D'où u_n+1 u_n =

1 5ⁿ⁺¹

1 5ⁿ

= 5ⁿ 5ⁿ⁺¹=1

5<1 .

Ainsi, la suite (^un) est (strictement) décroissante pour tout n∈ℕ. 5. u_n= 3²ⁿ⁺¹

7ⁿ⁺¹ .

La suite (^un) est définie pour tout entier n et elle est à termes strictement positifs (u_n>0 ).

On a u_n+1=3^2(n+1)+1

7ⁿ⁺¹⁺¹ =3²ⁿ⁺³ 7ⁿ⁺² . D'où u_n+1

u_n = 3²ⁿ⁺³

7ⁿ⁺² 3²ⁿ⁺¹

7ⁿ⁺¹

=3²ⁿ⁺³

7ⁿ⁺² × 7ⁿ⁺¹

3²ⁿ⁺¹=3²ⁿ⁺³

3²ⁿ⁺¹×7ⁿ⁺¹

7ⁿ⁺²=3²×3²ⁿ⁺¹

3²ⁿ⁺¹ × 7ⁿ⁺¹ 7×7ⁿ⁺¹=3²

7 =9 7>1 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) croissante pour tout n∈ℕ.

6. un=5ⁿ.

La suite (^un) est définie pour tout entier n et elle est à termes strictement positifs (u_n>0 ).

On a u_n+1=5ⁿ⁺¹. D'où u_n+1

u_n =5ⁿ⁺¹

5ⁿ =5>1 . Ainsi, la suite (^un) est (strictement) croissante sur ℕ.

Exercice 26

Étudier les variations de la suite (^un) en étudiant les variations de la fonction f définissant son terme général.

1. u_n=2n²+n−1 .

La suite (^un) est définie sur ℕ.

On a u_n=f (n) avec la fonction f définie sur ℝ par f (_x)_=2x²_+x−1. f est une fonction polynomiale du second degré. α=− b

2a=−1 4 .

Or a>0 , donc f est décroissante sur

]

^−∞;−14

]

et croissante sur

[

⁻¹4;+∞

[

^.

En particulier, comme elle est croissante sur

[

⁻¹4;+∞

[

, elle est donc croissante sur [0 ;+∞[. Ainsi, la suite (^un) est croissante sur ℕ.

2. u_n=−2n+1

4 .

La suite (^un) est définie pour tout entier n.

On a u_n=f (n) avec la fonction f définie pour tout réel x par f (x)=−2x+1

4 .

En particulier, on restreindra l'étude sur [0 ;+∞[ (car n ne peut être négatif).

f est une fonction affine. En effet, f (x)=−2x 4 + 1

4=−1 2 x+1

4 . Or le coefficient directeur de f est −1

2<0 . Donc f est (strictement) décroissante sur [0 ;+∞[. Ceci implique que la suite (^un) est décroissante sur ℕ.

3. u_n=

√

n.

La suite (^un) est définie sur ℕ.

On a u_n=f (n) avec la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=

√

x. La fonction x→

√

^x est (strictement) croissante sur [0 ;+∞[.

Comme f est croissante sur [0 ;+∞[, on en conclut que la suite (^un) est croissante sur ℕ. Exercice 27

La suite (^un) est définie pour tout entier n par u_n=n²−3n+1 . Montrer que la suite (^un) ^est croissante à partir d’un certain rang à préciser.

La suite (^un) est définie sur ℕ.

On a u_n=f (n) avec la fonction f définie sur ℝ par f (_x)_=x²_−3x+1. f est une fonction polynomiale du second degré. α=− b

2a=−−3 2 =3

2 . Or a>0 , donc f est décroissante sur

]

^{−∞; 3}2

]

et croissante sur

[

³2;+∞

[

^.

En particulier, comme elle est croissante sur

[

³2 ;+∞

[

, elle est donc croissante sur [2 ;+∞[. Ainsi, la suite (^un) est croissante pour tout entier n⩾2 .