Utilisation d’échelles logarithmiques, de diagrammes semi-log et log-log
1. échelle logarithmique
Très souvent utilisée pour l’utilisation et le tracé d’abaques.
Par exemple, il est quasiment impossible de tracer précisément une échelle s’étalant de 1 m à 500 m.
Construction d’une échelle logarithmique permettant de faire varier une donnée entre 1 et 500 à partir du tableau de valeurs suivant :
x 1 2 5 10 20 50 100 200 500
log x log x
0
1
x
Calculez (log 2 – log 1) ; (log 20 – log 10) et (log 200 - log 100):
……….………..
Déduisez-en la propriété de l’échelle logarithmique : ……..………..
………...
Exemple d’utilisation d’abaque possédant au moins une échelle logarithmique :
Cet abaque permet de mesurer le débit volumique Qv, la longueur de flamme L0, la poussée à l’injection G en fonction de la pression de la pression d’admission et du diamètre de
l’injecteur.
D’après la propriété trouvée ci-dessus, déterminez si l’échelle de la poussée et celle du débit volumique sont logarithmiques. Justifiez.
………...
………
…...
Exercice d’application :
Parmi ces deux abaques , indiquer les échelles décimales (« normales »), les échelles logarithmiques et celles dont vous ne pouvez conclure.
Abaque 1 : pression – force - section Abaque 2 : teneur CO2 - O2 – CO - H2
Volume fumées sèches (Vf) – humides(Vh) Taux d’air inutilisé (Ta) et taux d’imbrûlés (Ti)
Echelle décimale Echelle logarithmique Echelle inconnue Abaque 1
Abaque 2
2. Diagramme semi-logarithmique
C’est un diagramme qui se compose de deux axes :
- l’un est gradué ………..
- l’autre possède ………..
Exemple d’utilisation du papier semilog .
Le niveau d’intensité sonore est donné par la formule : L = 10 log , avec L exprimée en dB.
Avec I l’intensité sonore exprimée en W/m² et I0 l’intensité du seuil d’audibilité pour l’oreille humaine. Tracer la courbe représentant la fonction L = f ()
Pour cela, vous compléterez le tableau de valeur suivant :
1 2 5 10 20 50 100 500 1000
L
Pour quelle valeur de L est-elle égale à 24 ? ………
Si on rajoute à une enceinte délivrant un son dont le niveau acoustique est de 24 dB, une deuxième enceinte délivrant une même intensité acoustique, quelle sera la valeur L produite par les deux enceintes ? …….………...
………...
Exercice d’application :
On se propose de déterminer la bande passante d’un amplificateur qui amplifie une tension de valeur efficace Ve (tension d’entrée) et de fréquence f.
On note Vs la valeur efficace de la tension amplifiée (tension de sortie).
Le rapport est appelé gain de tension de l’amplificateur.
On définit le gain en décibels par la relation G = 20 log .
La courbe ci-dessous représente la variation du gain G en fonction de la fréquence f (Hz).
1) A l’aide du graphique, déterminez le gain correspondant à une fréquence de 50 Hz.
Déduisez par le calcul la tension de sortie Vs.
AMPLIFICATEUR
Ve Vs
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1
………...
………...
………...
2) Déterminez les fréquences pour lesquelles le gain est de 35 dB.
………...
………...
3) La bande passante est la largeur de la plage des fréquences pour lesquelles le gain G est tel que G1 = Gmax – 3 dB.
Déterminez Gmax puis calculer G1.
………...
………...
Déterminez f1 et f2 pour lesquelles le gain correspond à G1.
………...
………...
Déduisez-en la bande passante (f2 – f 1) : ……….…
3. Diagramme logarithmique
Le diagramme logarithmique est utilisé pour résoudre des équations du type : y = b.xa , avec a > 0 et b > 0.
Il est composé de deux axes possédant ……….
Exemple : Soit une fonction f définie sur [ 1 ; 10 ] telle que
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (x) 10 5 3,33 2,5 2 1,66 1,43 1,25 1,11 1
Que remarquez-vous ? ………...
Déterminer graphiquement l’équation de la droite et en déduire l’équation de f(x).
……….
……….
2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9
1 1
1 1
