Lycée Al Kadi Ayad Salé 2éme BAC PC
Matiére : Mathématiques 2020/2021
Professeur : Yahya MATIOUI www.etude-generale.com
Calculs d’intégrales
Intégrale d’une fonction continue sur un segment [a; b]
Dé…nition et exemples
Dé…nition 1 f est une fonction continue sur un segment [a; b] et F est une primitive de la fonctionf sur[a; b]. L’intégrale de la fonction f entrea et b est le nombre réel: F(b) F(a) tel que :
Z b a
f(x)dx= [F(x)]ba =F(b) F(a)
Exemple 2 Calculer les intégrales suivantes : 1. R2
1(x2 4x+ 3)dx: Z 2
1
(x2 4x+3)dx= x3
3 2x2+ 3x
2
1
= (23
3 2 22+3 2) (( 1)3
3 2 ( 1)2+3 ( 1)) = 6
2. R2 1
lnx x dx:
Z 2 1
lnx
x dx= ln2x 2
2
1
= ln22 2
ln21 2 = 1
2ln22 3. R
0 sinxdx:
Z
0
sinxdx= [ cosx]0 = cos + cos 0 = 2
Propriétés algébriques
Propriété 3 Soit f une fonction continue sur un intervalle I alors : 1. (8a2I); Ra
a f(x)dx= 0:
2. Pour tousa; b et c de I tels que : a b c, on a : Z c
a
f(x)dx = Z b
a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx
cette egalite s0appelle la relation de chasles
Exemple 4 Calculer l’intégrale suivante en utilisant la relation de chasles : R2
1jx 1jdx:
Z 2 1
jx 1jdx = Z 1
1
jx 1jdx+ Z 2
1
jx 1jdx
= Z 1
1
(x 1)dx+ Z 2
1
x 1dx
= x2
2 x
1
1
+ x2
2 x
2
1
= 5 2
Propriété 5 Soit f une fonction continue sur [a; b], alors : Z b
a
f(x)dx= Z a
b
f(x)dx
Propriété 6 (Linearite de l0int egrale)
Soit f etg deux fonctions continues sur un intervalle I contenanta et b, alors pour tous les réels et ; on a :
Z b a
( f+ g)(x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
Exemple 7 Soit f une fonction continue sur [0;1] dé…nie par : f(x) = 5x2 3x: Calculer en utilisant la linéarité l’intégrale suivante : R1
0 f(x)dx:
Z 1 0
f(x)dx = Z 1
0
5x2 3xdx
= 5 Z 1
0
x2dx 3 Z 1
0
xdx
= 5 x3 3
1
0
3 x2 2
1
0
= 5 1
3 3 1
2
= 1 6
Inégalité et valeur moyenne
Propriété 8 Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b].
Positivité
Si f 0 sur [a; b] alors : Rb
af(x)dx 0:
Intégration d’une inégalité Si f g sur [a; b] alors : Rb
a f(x)dx Rb
a g(x)dx:
Inégalité de la moyenne (9(m; M)2R2)(8x2[a; b]) :
m(b a) Z b
a
f(x)dx M(b a)
Démonstration 9 Démontrons chaque propriété.
1. La fonction f est continue sur [a; b], donc elle admet une primitive F sur [a; b] et on
a : Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba =F(b) F(a)
et on sait que pour tout x2[a; b] on a : F0(x) = f(x) et comme f(x) 0, alors F est croissante sur [a; b]: Donc :
a b =) F(a) F(b)
=) F(b) F(a) 0
=) Z b
a
f(x)dx 0
2. On pose : h=g f:
Pour tout x2[a; b] on a : h(x) 0: Donc Z b
a
h(x)dx 0 =) Z b
a
g(x) f(x)dx 0 =) Z b
a
g(x)dx Z b
a
f(x)dx:
3. La fonction f est continue sur [a; b]. Donc : (9(m; M)2R2)(8x2[a; b]) :
m f(x) M
=) Z b
a
mdx Z b
a
f(x)dx Z b
a
M dx
=) [mx]ba Z b
a
f(x)dx [M x]ba
=) m(b a) Z b
a
f(x)dx M(b a)
Exemple 10 Encadrement de l’intégrale suivante : R9 0
1 1+p
xdx: On encadre la fonction x7 ! 1+1px sur [0;9]:
0 x 9
=) 0 p
x 3
=) 1 1 +p x 4
=) 1 4
1 1 +p
x 1
On applique ensuite l’inégalité de la moyenne : 9
4 Z 9
0
f(x)dx 9
La valeur moyenne d’une fonction
Propriété 11 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a; b] est le réel m tel que :
m= 1 b a
Z b a
f(x)dx
Exemple 12 Calculer la valeur moyenne de la fonctionf(x) =x3 sur l’intervalle [ 1;3]:
m= 1 b a
Z b a
f(x)dx= 1 3 + 1
Z 3 1
x3dx= 5
Intégration par partie
Théorème 13 Soituet v deux fonctions dérivables surI telles queu0 etv0 soient continues sur I. Alors : Z b
a
u(x):v0(x)dx= [u(x):v(x)]ba Z b
a
u0(x):v(x)dx
Exemple 14 En utilisant une intégration par partie. Calculer les intégrales suivantes : Re
1 xlnxdx , R
0 xsinxdx et R2
1 xexdx:
Calculons l’intégrale: Re
1 xlnxdx: On pose :
u(x) = lnx
v0(x) =x =) u0(x) = 1x v(x) = x22 Donc
Z e 1
xlnxdx = lnx:x2 2
e
1
Z e 1
x 2dx
= e2 2
1 2
Z e 1
xdx
= e2 2
1 2
x2 2
e
1
= e2 2
e2 4 + 1
4
= e2+ 1 4 Calculons ensuite l’intégrale: R
0 xsinxdx
On pose :
u(x) =x
v0(x) = sinx =) u0(x) = 1 v(x) = cosx Donc
Z
0
xsinxdx = [ xcosx]0 + Z
0
cosxdx
= + [sinx]0
= Calculons l’intégrale:R1
0 xexdx On pose :
u(x) = x
v0(x) =ex =) u0(x) = 1 v(x) = ex Donc
Z 1 0
xexdx = [xex]10 Z 1
0
exdx
= e [ex]10
= 1
Intégrale et surface
Propriété 15 Soitf une fonction continue sur un intervalle[a; b] l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (Cf) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b est :
A= ( Z b
a
jf(x)jdx):ua
avec ua: unité d’aire et ua= !i !j :
Conclusion 16 Soitf une fonction continue sur[a; b]etA l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (Cf) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b .
1. Si f est une fonction positive sur [a; b]:
Donc
A = ( Z b
a
f(x)dx):ua
2. Si f est une fonction négative sur [a; b]:
Donc
A= ( Z b
a
f(x)dx):ua
3. Si la fonctionf est positive et négative sur [a; b]et il existecsur[a; b]tel que:f(c) = 0:
Donc
A= ( Z c
a
f(x)dx Z b
c
f(x)dx):ua
Calculs des volumes
L’espace est muni d’un repére orthogonal(O;!i ;!j ;!k).
(Cf) la courbe d’une fonction continue sur [a; b] avec(a b):
On suppose que (Cf) tourne au tour de l’axe des abscisses de 360 la forme obtenue s’appelle le solide de révoluion.
Le solide de révoluion obtenu à pour volume:
Propriété 17 L’espace est muni d’un repére orthogonal (O;!i ;!j ;!k).
(Cf) la courbe d’une fonction continue sur [a; b] avec (a b): Le solide de révoluion obtenu par la rotation de la courbe (Cf) de la fonction f sur [a; b] au tour de l’axe des abscisses de 360 son volumeV est :
V = ( Z b
a
(f(x))2dx):uv
avec ua: unité de volume. uv = !i !j !k
Exemple 18 L’espace est muni d’un repére orthonormé (O;!i ;!j ;!k); tel que : !i =
!j = !
k = 1cm
On considére la fonction f(x) =x 5 sur [ 1;2] et (Cf) sa courbe représentative dans le repére (O;!i ;!j ):
Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe(Cf)de la fonctionf sur[ 1;2]
au tour de l’axe des abscisses de 360 :
On calcule V le volume du solide de révolution obtenu :
V =
Z 2 1
(x 5)2dx: !i !j !k
=
Z 2 1
(x 5)2dx:cm3
Calculons l’intégrale : R2
1(x 5)2dx: Z 2
1
(x 5)2dx= (x 5)3 3
2
1
= 63
donc, on obtient : V = 63 cm3:
Le volume du solide de révolution est : V = 63 cm3: FIN
