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Utilit´e Cobb-Douglas

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Academic year: 2022

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(1)

Utilit´ e Cobb-Douglas

M ax u = q

1

q

2

S.C. p

1

q

1

+ p

2

q

2

= R L = q

1

q

2

+ λ(R − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

 

 

∂L

∂q1

= q

2

− λp

1

= 0 (1)

∂L

∂q2

= q

1

− λp

2

= 0 (2)

∂L

∂λ

= R − p

1

q

1

− p

2

q

2

= 0 (3) (1) λ =

pq2

1

→ (2) q

1

−

pq21

p

2

= 0 → q

1

=

q2pp2

1

(3) R − p

1 q2pp2

1

− p

2

q

2

= 0 → q

2

=

2pR

2

q

1

=

2pR

1

; q

2

=

2pR

2

; λ =

2pR

1p2

η

1

=

∂q∂R1 qR

1

=

2p1

1

R2p1

R

= 1 η

2

=

∂q∂R2 qR

2

=

2p1

2

R2p2

R

= 1 ǫ

11

=

∂p∂q1

1

p1

q1

=

−2pR2 1

p12p1

R

= − 1 ǫ

22

=

∂p∂q2

2

p2

q2

=

−2pR2

2

p22p2

R

= − 1 ǫ

12

=

∂p∂q1

2

p2

q1

= 0 ǫ

21

=

∂p∂q2

1

p1

q2

= 0

1

(2)

Utilit´ e Cobb-Douglas g´ en´ eralis´ ee M ax u = cq

1a

q

2b

S.C. p

1

q

1

+ p

2

q

2

= R L = cq

1a

q

2b

+ λ(R − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

 

 

∂L

∂q1

= acq

1a−1

q

2b

− λp

1

= 0 (1)

∂L

∂q2

= bcq

1a

q

2b−1

− λp

2

= 0 (2)

∂L

∂λ

= R − p

1

q

1

− p

2

q

2

= 0 (3) (1) λ =

acq

a−1 1 q2b

p1

→

(2) bcq

1a

q

2b−1

−

acq

a−1 1 q2b

p1

p

2

= 0 → q

1

=

aqbp2p2

1

(3) R − p

1 aqbp2p2

1

− p

2

q

2

= 0 → q

2

=

(a+b)pbR

2

q

1

=

(a+b)paR

1

; q

2

=

(a+b)pbR

2

η

1

=

∂q∂R1 qR

1

=

(a+b)pa

1

R(a+b)p1

aR

= 1 η

2

=

∂q∂R2 qR

2

=

(a+b)pb

2

R(a+b)p2

bR

= 1 ǫ

11

=

∂p∂q1

1

p1

q1

=

(a+b)p−aR 2 1

p1(a+b)p1

aR

= − 1 ǫ

22

=

∂p∂q2

2

p2

q2

=

(a+b)p−bR 2

2

p2(a+b)p2

bR

= − 1 ǫ

12

=

∂p∂q1

2

p2

q1

= 0 ǫ

21

=

∂p∂q2

1

p1

q2

= 0

2

(3)

Utilit´ e CES

M ax u = √ q

1

+ √ q

2

S.C. p

1

q

1

+ p

2

q

2

= R L = √ q

1

+ √ q

2

+ λ(R − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

 

 

∂L

∂q1

=

2√1q

1

− λp

1

= 0 (1)

∂L

∂q2

=

2√1q

2

− λp

2

= 0 (2)

∂L

∂λ

= R − p

1

q

1

− p

2

q

2

= 0 (3) (1) λ =

2p 1

1√q1

→ (2)

2√1q

2

−

2p11√q1

p

2

= 0 → q

1

=

pp22q22

1

(3) R − p

1 p22p2q2

1

− p

2

q

2

= 0 → q

2

=

p p1R

2(p1+p2)

q

1

=

p p2R

1(p1+p2)

; q

2

=

p p1R

2(p1+p2)

η

1

=

∂q∂R1 qR

1

=

p p2

1(p1+p2)

Rp1(p1+p2)

p2R

= 1 η

2

=

∂q∂R2 qR

2

=

p p1

2(p1+p2)

Rp2(p1+p2)

p1R

= 1 ǫ

11

=

∂p∂q1

1

p1

q1

=

−(pp2R(p2+2p1)

1p2+p21)2

p21(p1+p2)

p2R

=

−

2pp11+p+p22

; | ǫ

11

| > 1 ǫ

22

=

∂p∂q2

2

p2

q2

=

−(pp1R(p1+2p2)

1p2+p22)2

p22(p1+p2)

p1R

=

−

2pp12+p+p21

; | ǫ

22

| > 1 ǫ

12

=

∂p∂q1

2

p2

q1

=

p p1

1+p2

> 0 ; ǫ

21

=

p p2

1+p2

> 0

3

(4)

Utilit´ e Stone-Geary

M ax u = b ln(q

1

− c

1

) + (1 − b) ln(q

2

− c

2

) S.C. p

1

q

1

+ p

2

q

2

= R

L = b ln(q

1

− c

1

) + (1 − b) ln(q

2

− c

2

) + λ(R − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

 

 

∂L

∂q1

=

q b

1−c1

− λp

1

= 0 (1)

∂L

∂q2

=

q1−b

2−c2

− λp

2

= 0 (2)

∂L

∂λ

= R − p

1

q

1

− p

2

q

2

= 0 (3) (1) λ =

p b

1(q1−c1)

→ q

1

= c

1

+

pb

1

(R − P

p

j

c

j

) q

2

= c

2

+

1p−b

2

(R − P

p

j

c

j

) η

1

=

∂q∂R1 qR

1

=

ωb

1

(ω

i

=

piRqi

) η

2

=

∂q∂R2 qR

2

=

1ω−b

2

ǫ

11

=

∂p∂q1

1

p1

q1

= − 1 +

c1(1q−b)

1

; | ǫ

11

| <

1 si c

1

> 0 ǫ

22

=

∂p∂q2

2

p2

q2

= − 1 +

cq2b

2

; | ǫ

22

| < 1 si c

2

> 0 ǫ

12

=

∂q∂p1

2

p2

q1

= −

bcp12qp12

< 0 ; ǫ

21

= −

bcp21qp21

<

0

(biens compl´ementaires)

4

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c) En s’appuyant sur ce qui précède, indiquer une construction géométrique du point w, a et θ étant connus.. Baccalauréat 1990 Page 2 sur 2 Adama Traoré

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Faire une figure en prenant BC= 3cm, BP = 1cm et en plaçant (BC) horizontalement sur la feuille. c) Quelle est la nature des triangles RAQ et PAS ?.. b) Quel est le lieu

S S S S S S E S S S S S S E E E E E E E E R E E E R R R R R R R R IIII R R R IIII IIIIE E E E E E E S E E E E E S S S S S S :::: S S S S S :::: :::: SET SET SET- SET -- -MTI MTI MTI- MTI -- -MTGC MTGC MTGC/TSE MTGC /TSE /TSE /TSE

On note ( C ) la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 3cm.. EXERCICE II

S S S S S S S S E S S S S E E E E E E R E E E E E R R R R R R R R IIII R R R IIII IIIIE E E E E E E E E S E E E S S S S S S S S :::: S S S :::: :::: S S S SET ET ET ET- -- -MTI MTI MTI MTI- -- -MTGC MTGC MTGC MTGC/TSE /TSE /TSE /TSE

Soit n, un entier naturel et x un réel quelconque.. Soit x un

S S S S S S S S E S S S S E E E E E E E E R E E E R R R R R R IIII R R R R R IIII IIIIE E E E E E E E E S E E E S S S S S S S S :::: S S S :::: :::: S S SET S ET ET ET- -- -MTI MTI MTI- MTI -- -MTGC MTGC MTGC MTGC- -- -TSE TSE TSE TSE

( C ) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm. I- 1°) Prouver que la courbe ( C ) admet deux asymptotes dont on donnera

S S S S S S S S S E S S S E E E E E E E E R E E E R R R R R R R R IIII R R R IIII IIIIE E E E E E E S

Prouver que toutes courbes (C n ) passent par un même point fixe A dont on déterminera les coordonnées. a) Étudier le sens de variation de φ en précisant ses limites aux bornes

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j r r r r r r u r r r ⎛ ⎞ j u u ∧ ∧ E c E c B t B t B t E t 0 div B B B B B B E E E E E E = = = = = B B − E f f = gradV ( ( cos( z 0 y e )cos( )cos( k z ) t e t − − kz kz ) ) u u u r r k ∧

Par contre si le milieu est de dimension finie selon z, on peut très bien avoir des solutions en exp(z/ δ) qui croissent au fur et à mesure de la progression de l’onde (combinées à