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David Viennot

26 mai2008

0.1 Introdution. . . 4

1 Cosmologieobservationnelle 5 1.1 Prinipesetquestions osmologiques . . . 5

1.1.1 Lesprinipesphysiquesdelaosmologie . . . 5

1.1.2 Leparadoxed'Olbers . . . 6

1.1.3 Lamatièrenoire . . . 7

1.2 L'Universenexpansion. . . 7

1.2.1 L'eet Doppler . . . 7

1.2.2 LaloideHubble . . . 9

1.2.3 Lerayonnementfossile(leCMB) . . . 10

Exeries:LeCMB . . . 11

2 Élémentsde géométrieRiemannienne 13 2.1 Rappelssurlathéoriedestenseurs . . . 13

2.2 Lanotiondevariété . . . 15

2.3 ÉlémentsdegéométriedessurfaesI :letenseurmétrique . . . 17

2.4 ÉlémentsdegéométriedessurfaesII: Lesgéodésiques . . . 19

2.5 ÉlémentsdegéométriedessurfaesIII:laourbure . . . 19

2.6 Verslagéométriedesvariétésdedimensionquelonque. . . 23

Exeries:Champsdetenseurssurune variété . . . 26

Exeries:Métriques,indutiondemétriquesetourbure . . . 27

3 Élémentsde relativitégénérale 29 3.1 Rappelsderelativitérestreinte . . . 29

3.2 Lavariétéespae-tempsenrelativitégénérale . . . 29

3.3 Prinipesphysiquesdelarelativitégénérale . . . 30

3.4 Un exempledemétriquedel'espae-temps:lasolutiondeShwarzshild. . . 31

Exeries:Métriquesdel'espae-temps . . . 32

4 Le modèlestandard de la osmologie: modèle de Friedmann-Lemaître 35 4.1 Mesurerlaourburedel'Univers . . . 35

4.2 LesmétriquesdeRobertson-Walker. . . 36

4.2.1 Lerleduparamètredeourbure. . . 36

4.2.2 Lerledufateurd'éhelle . . . 37

4.3 Matière,énergieetdynamiquedel'Univers . . . 38

4.4 Lesobservationsetlemodèle

Λ

^{CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40}

4.4.1 Diagrammedesparamètresdedensité . . . 40

4.4.2 Résultatsobservationnels . . . 41

4.4.3 Lemodèle

Λ

^{CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42}

Exeries:ÉquationsdeFriedmannetdeRayhandhuri . . . 45

5 Cristallographie osmique 51

5.1 Qu'est-equelatopologie? . . . 51

5.2 Élémentsdetopologiegéométrique . . . 52

5.2.1 Compaité. . . 52

5.2.2 Connexitéet homotopie . . . 52

5.2.3 Orientabilité . . . 53

5.3 Exemples :lesvariétésplatesdedimension2 . . . 54

5.4 TopologiedelavariétéUniverset onséquenesosmologiques. . . 55

6 Astrophysique des partiuleset histoirede l'Univers 59 6.1 Lesforesfondamentaleset lamatière . . . 59

6.2 Histoire del'Univers . . . 60

6.2.1 Chronologieosmique . . . 60

6.2.2 de

10 ^{− 43} s

^à

10 ^{− 35} s

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61}

6.2.3 de

0

^à

10 ^{− 43} s

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62}

6.3 Élémentsd'astrophysiquedespartiules . . . 63

6.3.1 Questionssansréponsessurlesastropartiules . . . 63

6.3.2 Physiquedesneutrinos. . . 63

6.3.3 Lerayonnementosmiquedehautes énergies . . . 64

7 Les trousnoirs 65 7.1 TrounoirNewtonien . . . 65

7.2 Collapsegravitationnel . . . 65

7.3 TrounoirdeKerr. . . 67

7.4 Thermodynamique d'untrounoir. . . 68

7.4.1 Paramètresdedesriptiond'un trounoir . . . 68

7.4.2 Thermodynamique dutrounoir. . . 69

0.1 Introdution

Cesnotessontuneversionomplétéed'unoursdeosmologiedonnéentre2004et2006àl'Universitéde

Franhe-Comtéen3èmeannéedelienedephysique.Laosmologien'estpasfaileàintroduireauniveau

liene, elledemande eneet pour êtreompriseune bonneonnaissanede larelativitégénérale et de la

géométriedesobjetsnon-plongeables dansl'espaeplatà3dimensions

R ³

,seul espaequenotreerveau puissevisualiser.D'autrepart,lemoindrerésultatunpeuavanéenosmologienéessitedespagesdealuls

faisantintervenirdesmathématiques toutàfaithorsdeportéed'étudiantsen3èmeannéeuniversitaire.Ce

oursn'adonpaslaprétentiond'apprendreréellementlaosmologie,maisseulementdefaireentrevoirles

aspetsgénérauxd'une sienequi aonnue l'undesplus grandsbouleversementssientiquesduXXème

sièle.Lapremièrepartieduoursseraonsaréeauxfaitsobservationnelsonernantl'Univers.Laseonde

estune présentationdequelquesnotionsde relativitégénérale etdegéométrie quineseveutni exhaustive

ni touteà faitrigoureuse.En partiulieron préféreratraiterde lagéométrie dessurfaes,plusonrète et

intuitive (elle sevoit) pluttque dela géométrie desvariétésde dimension3 et 4,qui est elle qui nous

intéresse en osmologie mais qui est plus diile et est très peu intuitive. On traitera les as réels (dim.

3ou 4) paranalogie ave e qui se passe sur lessurfaes (dim. 2). La troisième partie présente lemodèle

osmologique,'estàdirelaformalisationmathématiquedenotreUniverset desonévolution.Làenoreil

n'estpasquestiondeprésenterelaavetoutledétailet larigueurquenéessiteraituntelsujet.

Les pré-requisnéessairesàla ompréhensiondees notes sontles notionsd'algèbrelinéaire,d'algèbre

tensorieletderelativitérestreintegénéralementenseignéesentreladeuxièmeetlatroisièmeannéedeliene

dephysique.

Cosmologie observationnelle

1.1 Prinipes et questions osmologiques

1.1.1 Les prinipes physiques de la osmologie

Avanttoute hose,il fautonnaîtresur quelsprinipesphysiquesreposentlesthéoriesque l'onénone.

C'estaussileaspourlaosmologie.Etlapremièredeshosesàfaireestdedénirorretementequel'on

herheàétudier.

Dénition1. Laosmologie estla sienequi étudiel'Univers auxéhelleslesplusgrandes.

Lapremièrequestionquiseposeest :

Question1. Qu'est-equel'Univers?

Cettequestionn'estabsolumentpas trivialeet ladénition naïve,àsavoir'estletout,n'est absolu-

mentpassatisfaisante(en'estqu'unesubstitutionsémantiqueentrelemotUniversetlemottout).On

pourrait essayerde ledénirmathématiquement,en général'est equi marheen physique.Si l'onpense

à l'idée que les objets physiques sont dérit par des ensembles, il est tentant de dénirl'Univers omme

l'ensembleontenanttouslesensembles. Malheureusement,onpeutprouverqueet objetn'existepas.On

adopteradonunedénition pluspragmatiqueendisantquel'Universestl'ensembledesobjetset desévé-

nementsquel'onpeutoupourraobserver.OndonnegénéralementàetUniverslespropriétésd'êtreunique

etisolé.

Remarque:lefaitdenepaspouvoirdénirmathématiquementl'Universnesigniepasquel'onnepeut

pasledériremathématiquement.Onverraqu'onpeutledérireparune variété(unobjetgéométrique)de

dimension4,maisilfaut distinguerl'Universqui estunique,delavariétédontonsesertpourlemodéliser

quinel'estpas.

La osmologie,i.e. l'étudede l'Univers, sedistinguesingulièrementdes autressienes physiques.Tout

d'abordl'Universestleseulsystèmephysiquequiestparfaitementisoléthermodynamiquement.D'unertain

pointdevue,touslesrésultatsvusenthermodynamiquesurlessystèmesisolésnes'appliquentenfaitrigou-

reusementqu'àl'Univers.Maisen'estpasettepartiularitéquidistinguelaosmologiedesautressienes

physiques, il y a beauoup de systèmes qui dans une très bonne approximation, peuvent être onsidérés

ommeisolésthermodynamiquement.Cequidistinguelaosmologieestquesonsujetd'étude,l'Univers,est

unobjetunique.Danslesautressienesphysiques,onétudiedesobjetsquiexistentennombreillimitéou

dumoinstrès importantdanslanature.C'est laomparaisonentre dessystèmes équivalentsmisdans des

situationsdiérentesquipermetdedéduiredesloisphysiques.Dansleasdel'Univers,iln'estpaspossible

detrouverunautreUniversàobserverquiseraitdansunesituationdiérenteandeleomparerauntre.

Ce pointrendl'élaborationdethéoriesosmologiquestrès diiles,et onest souventonduitàdesspéu-

lationsfondéessurlesensphysique,ousuruneertaineéléganemathématique.Uneautrepartiularitéde

laosmologieest que leosmologisteobservel'Universdel'intérieur.Voilà enoreune situation uniqueen

physique, habituellement l'expérimentateur ou l'observateur se trouvehors du système et loin de elui-i.

Commeonleverradansladeuxièmepartieduours,lefaitd'avoirlenezollésurl'Universet denepas

pouvoirprendredureulparrapportàlui,ompliqueonsidérablementlatâhedesosmologistes.D'autre

partlefaitquel'observateurfassepartieintégrantedusystèmeétudié,rendtrèsdiile l'interprétationde

laméanique quantique appliquée àl'Univers dansson ensemble. Cettequestion peut semblerétrange au

premierabordpuisquelaméaniquequantiques'appliquenormalementauxobjetsdetrèspetitetaille,mais

onverraqueparlepassél'Universaététrès petit.

Ilesttempsd'introduirelesprinipessurlesquelsreposelaosmologie.

Postulat 1 (Universalitédesloisdelaphysique). Leslois de la physiques'appliquant danslevoisinage de

laTerre, s'appliquentégalementpartoutdansl'Univers.

Ce postulat est le seul raisonnable, arsi e n'était pasle as : - d'uneparton n'auraitauun moyen

dele savoirpuisquetoutes lesexpérienes qui sontà notre disposition ont lieu auvoisinagede laTerre, -

d'autrepartetpourlamêmeraison,onnepourraitpasonnaîtrelesloishorsduvoisinageterrestre. Don

sil'onn'admet pasepostulat,on nepeutrien dérireendehorsdee quisepasse auvoisinageterrestre,

dononnepeutpasfairedeosmologieetons'arrêtelà.

Postulat 2(Leprinipeosmologique). Auxplusgrandeséhellesl'Univers esthomogène etisotrope.

Cepostulattientàlafoisdel'hypothèsesimpliatriesanslaquelleonnepourraitfairequoiqueesoit;

d'unertainbonsensphysiquequivoudraitqu'iln'y aitàprioriauuneraisonpourlaquelleune régionou

unediretionseraitprivilégiée;etdelaonstatationobservationnelle.Cequiestsûr,'estqueen'estpasle

asauxpetiteséhelles,lamatièren'estpasrépartieuniformément,ilyadeszonesplaines(lesplanètespar

exemple)et degrandeszonesvides. Parhomogèneauxgrandeséhelles,ilfautomprendrequ'ilexisteune

longueur

L ∈ R ⁺ ∗

telle quepourtoute observable

A(x, y, z)

^{(uneobservableest une propriétédel'Univers}

quel'onpeutmesureraupoint

(x, y, z)

^{),lamoyennede}

A

^{dansune boulederayon}

L

^{et deentre}

(x, y, z)

^,

nedépend pasdupoint

(x, y, z)

^hoisi.

1.1.2 Le paradoxe d'Olbers

Question2. Pourquoi la nuitest-ellenoire?

Enore une question qui semble triviale au premier abord mais qui ne l'est pas du tout. Considérons

quel'Universest inni(onreviendra sure pointplustard), et quede partsonhomogénéité,il est rempli

d'étoilesen densité

N

^{étoiles parunité devolume.Poursimplier onsupposeraquetoutes lesétoilessont}

deluminosité

L

^{(énergieparunitédetemps),ettehypothèsen'ayantauuneonséquenesurladisussion}

qui vasuivre. Le nombred'étoiles se trouvantàla distane

r ∈ R ⁺ ∗

dela Terre est de

N 4πr ² dr

^{, don la}

luminositétotaleprovenantdelasphèrederayon

r

^estde

LN 4πr ² dr

^.Orlaontributionprovenantdeette sphèreàlaluminosité apparente (leux lumineux) d'unpointduiel, est égaleàlaluminosité totale par

unitédesurfae,'estàdire

Φ(r)dr = LN 4πr ² dr

4πr ² = LN dr

On en déduit que le ux total de lumière en provenane d'un point du ielest, en onsidérant toutes les

sphèresonentriques,

Φ tot = Z _∞

0

Φ(r)dr = Z _∞

0

LN dr = + ∞

Ainsienprovenaneden'importequelpointdelavoûteéleste,nousarriveunuxinnidelumière,lanuit

devraitdonêtreblanheetmêmeaveuglante.

Anderésoudreeparadoxe,ilfauttoutd'abordteniromptedelanitudedelavitessedelalumière,

c = 300000km.s ^{− 1}

^{.Mais siletempsesthomogène,}

∀ t ∈ R

lesloisdelaphysiquesontlesmêmes, quelque soitladistanedelasoure,lalumièrevanousparvenirenuxinni,àl'instant

t

^{,onreevraunux}

LN dr

delasphèrederayon

r

^{émisàl'instant}

t − r/c

^etunux

LN dr

^{delasphèrederayon}

r ^′ > r

^{émisàl'instant}

t − r ^′ /c < t − r/c

^{. Pourrésoudrele paradoxeil faut enplus supposerque letemps n'estpashomogène, à}

savoirqu'ilexisteuninstant

t 0

^{àpartirduquellessouresontommenées às'allumer.Avant}

t 0

^{ilne doit}

pasyavoirdesoureslumineuses.Commeonlevoit surlagure1.1,danse as,onn'intègreplusleux

lumineuxsur

R ⁺

.

Remarque très importante : on n'a jamaisdit que

t 0

^{était ladate de naissane de l'Univers (letemps}

dérit par

[t 0 , + ∞ [

^{à laplae de}

R

). La résolution duparadoxed'Olbers dit que pour

t < t 0

^{il n'y a pas}

derayonnementlumineux,equi n'impliquepasqu'iln'y aitpasautrehose.Onverrad'ailleursque

t 0

^ne

oïnidepasavelanaissanedel'Univers(lebig-bang).Onestdonamenéàlaquestionsuivante

0 t Terre Présent

t

x sources

visibles

sources non−visibles cone de lumière

x 0

Fig.1.1Graphique dessoureslumineusesvisiblesdepuisla Terre,on intègreleux lumineuxde

0

^à

x 0

Question3. Pourquoi n'yat-ilpasd'émission lumineusejusqu'àune ertainedate

t 0

^?

Onreviendrasurettequestionunpeuplustard.

1.1.3 La matière noire

L'étudedynamique desgalaxiesmontrequeladynamiquedesétoilesdanslagalaxieestorréléeavela

densitédemassedeelle-i.Lesobservationsdeladynamiquegalatiqueetdelamassevisible(lumineuse)

ne sont pasen aord et montre qu'une grande partie de la massen'est pasprise en ompte lorsqu'on se

ontente delamatièrelumineuse.Cettemassemanquanteappeléematièrenoireonstitueraitplusde80%

delamatièretotale del'Univers.

Question4. De quoiestonstituéela matièrenoire?

Onreviendrasurettequestionàlanduours.

1.2 L'Univers en expansion

1.2.1 L'eet Doppler

EetDoppler Galiléen

Considérons une soure lumineuse émettant un rayonnement de longueur d'onde

λ 0

^{et de fréquene}

ω 0 = 2πc/λ 0

^{. On onsidère le} rayonnement omme une onde plane

e ^{ı(ω 0 t − ~ k 0 · ~ x)} = e ^{ıω 0 (t − ~ n 0·~ c x )}

^où

~n 0

^est

ladiretion de propagation de l'onde plane.Soit

K

^leréférentiel Galiléen de lasoure et

K ^′

^leréférentiel Galiléend'unobservateurenmouvementretiligneuniformedevitesse

~v

^parrapportà

K

^.

ω 0

^,

~k 0

^,et

λ 0

^sont

respetivement lafréquene,leveteurd'onde, et la longueurd'ondede l'onde planedans leréférentiel

K

desa soure.Onnote

ω

^,

~k

^et

λ

^{lafréquene,leveteurd'ondeetlalongueurd'ondedel'ondeplanedansle}

référentiel

K ^′

^del'observateur.Soit

~x

^{lesoordonnéesd'unpointdansle}référentiel

K

^et

~x ^′

^{lesoordonnées}

dumême pointdansleréférentiel

K ^′

^{.Lesformulesdehangementde}référentielsGaliléensnousdonnent

~x = ~x ^′ + t~v

Laphasedel'ondeplanedevantêtrelamême danslesdeuxréférentiels,ondoitdonavoir

φ = ω 0 (t − ~n 0 · ~x/c) = ω(t − ~n · ~x ^′ /c)

Enappliquantlaformuledehangementderéférentiel,ontrouve

ω 0 (t(1 − ~n 0 · ~v/c) − ~n 0 · ~x ^′ /c) = ω(t − ~n · ~x ^′ /c)

⇐⇒ ω 0 t(1 − ~n 0 · ~v/c) − ~k 0 · ~x ^′ /c = ωt − ~k · ~x ^′ /c

Cetteégalité étantvraiequelquesoit

t

^{etquelquesoit}

~x ^′

^,pour

t = 0

^ontrouveque

~k 0 · ~x ^′ = ~k · ~x ^′ ∀ ~x ^′

don

~k = ~k 0

etpour

~x ^′ = ~ 0

^ona

ω 0 t(1 − ~n 0 · ~v/c) = ωt ∀ t

don

ω = ω 0 (1 − ~n 0 · ~v/c)

Supposonsquelemouvementdel'observateursoitolinéaireàl'ondeplane

~n//~v

^{,onaalorspourfréquene}

observée

ω = ω 0 (1 − v/c)

^{.Ainsisilasoures'éloignedel'observateur(}

v > 0

^{),lafréqueneobservéeestplus}

faiblequelafréqueneréelle delasoure,l'ondelumineuseestdéaléeverslerouge,onparlederedshift.

Parontre silasoure serapprohe(

v < 0

^{)lafréqueneobservéeest plusélevée etl'onde est déaléevers}

lebleu,onditqu'ilyablueshift.

EetDoppler Lorentzien

L'analyse faite plus haut utilise les transformations de Galilée (méanique lassique) qui sont en fait

inompatiblesavelesloisdel'optique(la vitessedelalumièredansleréférentiel

K ^′

^est

c − ~n · ~v

^aulieude

c

^{).Ondoitentouterigueurreprendreetteanalyseaveles}transformationsdeLorentz-Poinaré(relativité restreinte)

~x = (~x ^′ + ~vt ^′ ) q

1 − ^v c ^{2 2}

t = (t ^′ + ^{~ v} _c ^{· ~ x} 2 ^′ ) q

1 − ^v c ^{2 2}

L'égalitédelaphaseentre lesdeuxréférentielsnousdonne

φ = ω 0 (t − ~n 0 · ~x/c) = ω(t ^′ − ~n · ~x ^′ /c)

soit

ω 0

t ^′ + ~v · ~x ^′ /c ² − ~n 0 · ~x ^′ /c − ~n 0 · ~vt ^′ /c q

1 − ^v c ^{2 2}

= ω(t ^′ − ~n · ~x ^′ /c)

d'où

~n = ~n 0 − ~v/c p 1 − v ² /c ²

ω = ω 0 1 − ~n 0 · ~v/c p 1 − v ² /c ²

Les autres aspetsde l'eetDopplerLorentzien

La formule préédente est très similaire au as Galiléen mis à partla orretion relativistedu fateur

√ 1 1 − v ² /c ²

.LaprésenedeefateurinduituneetDopplertransverse

~v ⊥ ~n 0

^{.D'autrepartonpeutmontrer}

enspetrosopiequel'eetDoppler Lorentzien aetelesspetresd'émission(et dansunemoindremesure

lesspetresd'absorption) desatomesetdesmoléulesnon-seulementpardéalagedesraiesspetralesmais

aussiparélargissementdeelles-i.

1.2.2 La loi de Hubble

Les observations astronomiques montrent que toutes les galaxies présentent un redshift systématique.

D'autreparteredshiftest d'autantplusimportantquelesgalaxiessontlointaines.Lesgalaxiess'éloignent

donlesunesdesautres,ephénomèneest appelé fuitedesgalaxies.

Question5. Parquoi la fuitedesgalaxies est-elleausée?

En ohérene ave le prinipe d'homogénéité de l'Univers, toutes les galaxies s'éloignent les unes des

autresdelamême façon(elles nes'éloignentpasd'unentre).C'est àdire quetouteslesdistanesne font

queroîtrent.CeinousiniteàonsidérerunUniversenexpansion,àl'imagedelasurfaed'unballonque

l'onestentraindegoner, fgure1.2.

Fig.1.2Shéma2D del'expansion del'Univers.

Notons quel'Universnegone dansrien, il fautonsidérer l'expansionommeune propriétémétrique,

si

d t

^{estladistaneàl'instant}

t

^,et

x

^et

y

^{deuxpointsdel'Univers(deuxgalaxies),}l'expansionsignieque

t ^′ > t ⇒ d t ^′ (x, y) > d t (x, y)

Notonsenorequelafuitedesgalaxiesestunmouvementglobalduaugonementdel'Univers,desmouve-

mentsgalatiquesloauxdusauxforesdegravitationpeuvententraînerlerapprohementdedeuxgalaxies

partiulières(omme'estleasdelaVoie Latéeet d'Andromède).

Le faitque lesgalaxies se trouvantplusloin s'éloignent plusvite est une simpleonséquenegéométrique

dugonement.Soit

x

^{lapositiondelaVoieLatée,}

y

^{elled'unepremièregalaxieet}

z

^{elled'unedeuxième}

tellesqueles3galaxiessoientalignéesettellesque

∀ t d t (x, y) < d t (x, z)

^.Soit

α > 1

^telque

d t ^′ (x, y) = αd t (x, y)

ave

t ^′ > t

^{, dufaitde}l'homogénéitédel'expansiononaaussi

d t ^′ (y, z) = αd t (y, z)

d'où

d t ^′ (x, z) = d t ^′ (x, y) + d t ^′ (y, z) = α(d t (x, y) + d t (y, z)) = αd t (x, z)

Ainsilesvitessesd'éloignementde

y

^etde

z

^parrapportà

x

^sont

v y = (α − 1)d t (x, y)

t ^′ − t < v z = (α − 1)d t (x, z) t ^′ − t

lesgalaxies pluslointainess'éloignentplusvite.Ainsi,l'amplitudeduredshift permet lealuldelavitesse

d'éloignementdesgalaxiesquel'on peututiliserpourestimerlesdistanesosmiques.

Postulat 3 (Loi de Hubble). Si une galaxie

x

^{s'éloigne à l'instant}

t

^{d'une galaxie}

y

^{par expansion de}

l'Univers,aveune vitesse

v t

^alors

v t = Hd t (x, y)

où

H

^{estune onstante}universelleappelée onstantede Hubble.

Lavaleurdelaonstantede Hubblen'apasenoreétédéterminée avepréision,ellesetrouveatuel-

lemententre50et100

km.s ^{− 1} .M pc ^{− 1}

⁽

1pc ≃ 3.10 ¹⁶ m

^).

Sil'onprendl'histoiredel'Universàl'envers,elui-isedégone. Sil'onremonte susammentloindansle

passé,touteslesdistanessontréduitesàzéro

t lim → t H

d t (x, y) = 0

sil'onsupposelavitessedefuite de

x

^et

y

^{onstanteparrapportautemps}

t H = d t (x, y) − d t H (x, y )

v = d t (x, y) Hd t (x, y ) = 1

H

equidonneunâgedel'Universentre

14.10 ⁹

^et

17.10 ⁹

^années.

La singularité initiale où

∀ x, y d t H (x, y) = 0

^{a été} ironiquement baptisée Big-Bang. Notons que ette singularité présente des aratéristiques physiques non-ohérentes : densité de masse et d'énergie innie.

D'autrepartiln'estpasgéométriquementpossibledesuivrel'histoiredel'universdanslesenshronologique,

sionpeutfairedégoner unobjetversunpoint,onne peutpasmathématiquementfairegonerunpoint

versunobjetgéométriquededimension3(l'Univers).Lebig-bangn'estpasunobjetphysique,l'erreurvient

que l'on a onsidéré que leslois de la physique étaient ontinues ave letemps. Or e n'est pas le as, il

existeunpointdedisontinuitédesloisdelaphysique

t ^~ > t H

^{,oùesloishangent.Ilyaiiunenouvelle}

non-homogénéité du temps en plus du temps

t 0

^{à partir duquel les soures lumineuses se sont allumées}

(attention

t H < t ^~ < t 0

^).

t ^~

^{est appelé murdePlank,onreviendrasure problèmeàlanduours.Mais}

onpeutdèsmaintenantrépondreàlaquestion3surl'originede

t 0

^.

1.2.3 Le rayonnement fossile (le CMB)

Desobservationsontmontréesqu'ilexisteunrayonnementquiemplittoutl'Univers.Lesaratéristiques

deelui-isontlessuivantes:

ilest presqueisotrope.

ilprésenteunspetrederayonnementd'un orpsnoirdetempérature

3K

^.

ilest quasimenthomogène.

Onappelleerayonnementrayonnementfossile,rayonnementà

3K

^{,CMB(CosmiMirowaveBak-}

ground) ou fond dius osmologique.Le fait qu'il présente le spetre du orps noir entraîne qu'il a été

émispardelamatièreenéquilibrethermodynamique.L'expliationduCMBvientdelaloideHubble.On

remontantdans lepassé,onvaarriveràunUniversoùlesdistanes sesonttellementréduites,quelatrès

grandedensitédematièreentraînequel'Universestsihaud quel'agitationthermiquebrisetouteslesliai-

sonséletromagnétiques.L'Universestalorsunmélangedematièreioniséenéquilibreavelerayonnement,

e que l'on appelle unplasma. Dans e plasma,l'interation matière-rayonnement est très forte, aupoint

quetout photonémis est immédiatement réabsorbé, l'Universest opaqueà lalumière. C'est l'âgesombre

t < t 0

^{sansauunessoures}lumineuses,quel'onadéjàévoquéaveleparadoxed'Olbers.Àtitre indiatif, àlatempératurede

5000K

^{,99%delamatièreestionisée(plasmadeprotonset}d'életrons),à

3000K

^99%

dela matièreest sous formed'atomes d'hydrogène.En fait, àenviron

T 0 = 3000K

^{,les onditionspour la}

reombinaison

p ⁺ + e ⁻ → H

^sontsatisfaites, est l'Universdevient transparent. Onappellee moment la surfaededernièrediusion,'est erayonnementinitialqui onstitueleCMB(depuisdufaitdel'expan-

sion,leCMBs'estrefroidide

3000K

^à

3K

^{).LeCMBestl'objet}osmologiqueleplusanienquel'onpuisse observerpuisque'estlepermierquiaitrayonné.Ilonstitueenfaitl'imagefossiledel'Universàsesdébuts.

Fig.1.3Carte duCMB.WMAP,NASA

Exeries : Le CMB

Exerie 1.1:Thermodynamique du CMB

1. La température du CMB est aujourd'hui d'environ

T = 3K

^{, la} température de la surfae de dernière diusionétaitd'environ

T 0 = 3000K

(températuredereombinaison

p ⁺ +e ⁻ → H

^{).SahantqueleCMB}

estonstituéd'ondeséletromagnétiques,alulerlafateurd'aroissementdesdistanesparexpansion

osmologiqueentre lasurfaededernièrediusionetaujourd'hui.

2. Montrer que si lerayonnementduCMB suivait initialementla loi duorps noir à

T 0 = 3000K

^{,il suit}

toujoursaujourd'huiuneloideorpsnoirà

T = 3K

^etréiproquement.OnrappellequelaloidePlank pour unorps noiràlatempérature

T

^{est donnée parla}distribution spetrale deladensitévolumique d'énergie:

δ E ^T (ω) = ~ π ² c ³

ω ³ e ^{~ω kT} − 1 dω

où

~

estlaonstantedePlank,

c

^{lavitessedelalumièredanslevideet}

k

^{laonstantedeBoltzmann.}

Indiation :onaluleralenombre dephotons de fréquene

ω

^{dansunpetit volume de l'espae.}

Exerie 1.2:Anisotropies etinhomogénéitésdu CMB

Ondonnegure1.4uneimagethermiquenon-traitéeduCMB.Onyonstateuneanisotropiedurayonnement

Fig.1.4Imagenon-traitéeduCMB

devariationabsolue maximaledestempératuresdel'ordrede

∆T

T moyen = 10 ^{− 4}

^.

1. Quelleest laausedeetteanisotropie?

2. Caluler lavitessede laTerre entraînée parlemouvementde laVoie Latée parrapport auréférentiel

duCMB.

3. Aprèsorretiondeetteanisotropieartiielle,l'imageduCMBestdonnéegure1.5.Ononstateenore

detrèslégèresanisotropies.Expliquerenquoiesinhomogénéitéssontimportantespourlaompréhension

del'Universatuel.

.

Fig.1.5Imagetraitée duCMB

Éléments de géométrie Riemannienne

2.1 Rappels sur la théorie des tenseurs

Onrappelleiiquelquesélémentsessentielsdelathéoriedestenseurs.Onnedonneiique lesformules

debaseutilespoureourssansexpliationsnirigueur,leleteurestvivementenouragéàétudierunours

demathématiquessurettenotion.

Soit

E

^{unespaevetorieldedimension}

N

^{quidansleadredeeoursestdénisurleorpsdesréels.On}

note

E ^∗

^sondual algébrique,i.e.l'ensembledesformeslinéairesde

E

^:

E ^∗ ∋ l : E → R

Soit

(e 1 , ..., e N )

^{une base} orthonorméede

E

^et

(e ¹ , ..., e ^N )

^{sa base duale, i.e.}

∀ i, j e ⁱ (e j ) = δ ⁱ j

^,

δ

^{étant le}

symbole deKronekerdénipar

δ ⁱ j =

( 1

^si

i = j 0

^si

i 6 = j

Toutveteur

v ∈ E

^{peutsedéomposersurlabase}

(e i ) i

^:

v = X N

i=1

v ⁱ e i

où

v ⁱ ∈ R

sont les omposantes de

v

^{dans la base}

(e i ) i

^{. De même, toute forme linéaire}

l ∈ E ^∗

^{peut se}

déomposersurlabase duale

l = X N

i=1

l i e ⁱ

And'allégerlesnotationsonadoptelesonventionsd'Einstein:larépétitiond'unmêmeindieenhautet

enbasest synonymedesommation:

v = X N

i=1

v ⁱ e i = v ⁱ e i

l = X N

i=1

l i e ⁱ = l i e ⁱ

L'ationdelaforme

l

^surleveteur

v

^s'érit

l(v) = l i e ⁱ (v ^j e j ) = l i v ^j e ⁱ (e j ) = l i v ^j δ ⁱ j = l i v ⁱ = X N

i=1

l i v ⁱ ∈ R

Unveteurestaussiappelé tenseurdetype

(1, 0)

^{etuneformetenseurdetype}

(0, 1)

^{,etonnotesouvent}

v = v ⁱ e i = (v ⁱ ) l = l j e ^j = (l j )

Notonsl'ambiguïtédenotation:

e i

^{n'estpaslaomposanted'uneforme maisunélémentde labase de}

E

^,

ainsi

i

^{n'estpasdanseasunindietensoriel.L'éritureabrégéeduveteur}

e i

^detype

(1, 0)

^est

e i = (δ ^j i ) j

puisque on a bien

e i = δ ^j i e j

^{, de même}

e ⁱ = δ ⁱ j e ^j

^{et don}

e ⁱ = (δ ⁱ j ) j

^{(notons que l'on a fait gurer}

expliitementl'indiedesommationanqu'iln'y aitpasd'ambiguïté).

Uneformebilinéaire

b

^{estuneappliation}

b : E × E → R

∀ u, v, w ∈ E, ∀ α, β ∈ R b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w) b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w)

Danslelangagedelathéoriedestenseurs,onditque

b

^{est untenseurdetype}

(0, 2)

^{et onpeutérire}

b = (b ij ) = b ij e ⁱ ⊗ e ^j

où

e ⁱ ⊗ e ^j

^{estlaformebilinéairedéniepar}

e ⁱ ⊗ e ^j (e k , e l ) = δ ⁱ k δ ^j l

Delamême façon,onpeutdénirlestenseurs detype

(2, 0)

^pardualité

h = (h ^ij ) = h ^ij e i ⊗ e j

ave

e ^k ⊗ e ^l (e i ⊗ e j ) = δ ^k i δ ^l j

Soitunendomorphisme

A

^de

E

^{.Onpeutdéomposer}

A

^surlabasede

E A(e j ) = A ⁱ j e i

A ⁱ j

^{onstituantlesélémentsdematriede}

A

^danslabase

(e i ) i

^{.Onpeutdonérire}

A = (A ⁱ j ) = A ⁱ j e i ⊗ e ^j

ave

A(v) = A ⁱ j e i ⊗ e ^j (v ^k e k ) = A ⁱ j v ^k e ^j (e k )e i = A ⁱ j v ^k δ ^j k e i = A ⁱ j v ^j e i

Lesendomorphismes de l'espaevetorielsontappelés dansle langagetensoriel, tenseurs detype

(1, 1)

^{. Il}

estd'usagedenoter

A(v) = (A ⁱ j v ^j )

etmêmedansunabusdenotationsd'oublierlesparenthèses.Cesnotionssegénéralisentaisémentetondira

que

T

^{est untenseurdetype}

(n, p)

^si

T = (T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j p ) = T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j p e i 1 ⊗ ... ⊗ e i n ⊗ e ^{j 1} ⊗ ... ⊗ e ^{j p}

Untenseur

T

^detype

(n, 0)

^{estdittotalementsymétriquesi}

∀ a, b T ^{i 1 ,...,i a ,...,i b ,...,i n} = T ^{i 1 ,...,i b ,...,i a ,...,i n}

ettotalementantisymétrique(oualterné)si

∀ a, b T ^{i 1 ,...,i a ,...,i b ,...,i n} = − T ^{i 1 ,...,i b ,...,i a ,...,i n}

Ona une dénition équivalente pourles tenseurs detype

(0, n)

^{. Enn, on introduit lesymbole alternéde}

Levi-Civita

ǫ

^detype

(n, 0)

^dénipar

ǫ ^{i 1 ,...,i n} =



 

 

0

^si

∃ a, b

^telsque

i a = i b

1

^si

(i 1 , ..., i n ) = (1, 2, ..., n)

^ouunepermutationirulairede

(1, 2, ..., n)

− 1

^si

∃ a, b

^telsque

(i 1 , ..., i n ) = (1, 2, ..., a − 1, b, a + 1, ..., b − 1, a, b + 1, ..., n)

^oupermutationirulaire

onademêmepourlesymboledeLevi-Civitadetype

(0, n)

^.

2.2 La notion de variété

Pourétudierlarelativitégénéraleetlaosmologie,onauraitbesoind'unoursdegéométriediérentielle.

Un telours néessiterait unnombre d'heuresonsidérables, e donton nedispose pas ii.On vadon se

ontenter d'introduire les notionsde base de manièreunpeu heuristique. En mathématiques le terme qui

désigne un objet géométrique quelonque sans plus de préision est variété. Des exemples de variétés

sont

R ⁿ

, le erle

S ¹

^{, la sphère}

S ²

^{, le tore}

T ²

^{, le ylindre}

C ²

^{, et... On se repère sur es objets àl'aide}

d'un système de oordonnées

(x ⁱ ) i=1,...,N

^,

N = n

^{dans le as de}

R ⁿ

,

N = 1

^pour

S ¹

⁽

x ¹ = θ

^),

N = 2

pour

S ²

⁽

x ¹ = θ

^et

x ² = ϕ

^{), et... Une variété est don un objet} géométrique sur lequel onsait dénir unsystème de oordonnées. Lenombre de es oordonnées denit ladimension de lavariété. Une variété

M

^{de dimension}

n

^{sera don aratérisée par une appliation1}

x : M → R ⁿ

qui à un point

P

^de

M

assoie

x(P ) = (x ¹ (P ), x ² (P ), ..., x ⁿ (P )) x ⁱ (P )

^{étant la}

i

^{-ème oordonnée du point}

P

^{. Si} l'appliation

x

est ontinue on dit que

M

^{est une variété} topologique, si

x

^{est dérivable on dit que}

M

^{est une variété}

C ¹

-diérentiable, et si

x

^{est innimement dérivable on dit que}

M

^{est une variété lisse (ou variété}

C ^∞

^-

diérentiable). De manière heuristique, une variété topologique est un objet géométrique qui ne présente

pasdedéhirures(disontinuités),unevariété

C ¹

-diérentiableneprésentenidéhiruresnianglesoupliages (non-diérentiabilités d'ordre 1), ..., une variété

C ^∞

-diérentiable est un objet géométrique parfaitement lisse.

Plusrigoureusement:

Dénition2(Variététopologiqueetvariétédiérentielle). Unespaetopologique

M

^{estune variététopolo-}

gique(resp.

C ^k

-diérentielle)dedimension

n

^sitoutouvert

U

^de

M

^esthomeomorphe(resp.

C ^k

-diéomorphe) àunouvert de

R ⁿ

.

Pourl'instanton nevapasdénirrigoureusementequ'estunespaetopologique,disons qu'unespae

topologiqueestunensemble

M

^{surlequelonsaitdénirdesfontions(des}appliationsde

M

^vers

R

)etsur lequelonsait dénirdesouverts(lesvoisinagesdespoints

x

^de

M

^).

Dénition3 (Homéomorphismeset diéomorphismes). Ondit qu'une appliation

f : M → N

^{entre deux}

espaes topologiques estunhoméomorphisme (resp. un

C ^k

-diéomorphisme) si

f

^{est une bijetion ontinue}

(resp.

k

^foisdiérentiable) etde réiproqueontinue (resp.

k

^fois diérentiable).

Considérons une variété diérentiable

M

^{. En haque point}

x = (x ⁱ ) i

^de

M

^{, on peut dénir un plan}

tangent(lamanièrerigoureusedelefairenepeutêtrefaiteii,onseontenteradel'idéeintuitive).Ceplan

tangentpeutêtreonsidéréommeunespaevetorielquel'onnote

T x M

^{.Onpeutdonparlerd'unveteur}

tangent

~v ∈ T x M

^aupoint

x

^{,voirgure2.1.}

Fig.2.1Veteurstangents àla sphère.

Une appliation quiàun point

x

^de

M

^{assoie unveteur}

~v(x)

^{tangent aupoint}

x

^{, est appelée hamp}

deveteursde

M

^{.L'ensembledeshampsdeveteursde}

M

^estnoté

ΓT M

^{.Lesystèmedeoordonnées}

(x ⁱ )

induitune base naturelle de l'espaevetoriel

T x M

^{, ave}

~e i (x)

^{le veteur tangent normédans ladiretion}

delaoordonnée

x ⁱ

^{,voirgure2.2.}

1

Engénéraleetteappliationn'estdéniequeloalement.Learatèreloalesttrèsimportantengéométriediérentielle

maisonn'enparlerapasii.

Fig.2.2Base desveteurstangents pourlesystème de oordonnéesusuellesde la sphère.

Detellesnotionsontdéjàduesêtreabordéesdanslesoursdeméaniquedupointetdusolide.Lathéorie

des tenseurs est appliable à

T x M

^{et on dénit ledual algébriquede l'espaetangent, l'espae otangent}

(T x M ) ^∗

^{,quel'on note}

Ω ¹ _x M

^{,ave pour base}

e ⁱ (x)

^{. L'ensembledeshamps deoveteurs(deformes)n'est}

pasnoté

ΓΩ ¹ M

^{maissimplement}

Ω ¹ M

^{,deplusonlesappelle}

1

^-formesdiérentiellesde

M

^.

Ilestbienonnuquedansleplan,si

(x 0 , 0) ∈ R ²

alors

(x 0 +h, 0) = (x 0 , 0)+h~e 1 (x 0 , 0)

^{,voirgure2.3.Surune}

variétéourbe

M

^{,avedesoordonnées}urvilignes,et

h

^{trèspetit ona}

(x 0 + h, 0) ≃ (x 0 , 0) + h~e 1 (x 0 , 0)

^,

fgure2.3.

Fig.2.3Ation intuitivedesveteurs tangents

Supposonsque

f

^{soit unefontion}diérentiablede

M

^{,onvoudraitappliquerlamêmerègle,àsavoir}

f (x 0 + h, 0) ≃ f (x 0 , 0) + h~e 1 [f ] (x 0 , 0)

Oronsaitquepour

h ∈ V (0)

f (x 0 + h, 0) = f (x 0 , 0) + h ∂f

∂x ¹ (x 0 , 0) + O (h ² )

Laomparaisondees deuxexpressionsiniteàposer

~e 1 [f ] = ∂f

∂x ¹ ⇒ ~e 1 = ∂

∂x ¹

Ilestpossibledefaireuneanalysemathématiqueplusrigoureusemaisquiestplusoumoinslaformalisation

orretede l'analyse heuristique que l'onvient dedonner. On érit don labase des veteurstangentsde

T x M

^{,assoiéeauxoordonnées}

(x ⁱ )

^par

_∂x ^∂ i = ∂ i

i

^.

∀ ~v ∈ ΓT M, ~v(x) = v ⁱ (x) ∂

∂x ⁱ

Labasedualede

(∂ i ) i

^estnotée

(dx ⁱ ) i

^,d'où

∀ ω ∈ Ω ¹ M, ω(x) = ω i (x)dx ⁱ

d'oùlenomformesdiérentielles,avedeplus

dx ⁱ ∂

∂x ^j

= δ ⁱ j

Ainsiunhampdetenseursdetype

(n, p)

^{delavariété}

M

^est

T = (T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j p ) = T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j p (x) ∂

∂x ^{i 1} ⊗ ... ⊗ ∂

∂x ^{i n} ⊗ dx ^{j 1} ⊗ ... ⊗ dx ^{j p}

2.3 Éléments de géométrie des surfaes I : le tenseur métrique

Soit

M

^{une surfae(une variétéde dimension 2) de oordonnées loales}

(x ¹ , x ² )

^{. An de aluler des}

distanes sur ettesurfae,on abesoind'un objet appelé métrique,qui est en fait unhamp tensorielde

type

(0, 2)

^{jouant le rle de produit salairede l'espaevetorieltangent. Dans}

R ³

il existe une métrique naturelle,lamétriqueeulidiennedonnéeparletenseurmétriqueeulidien

δ

^:

∀ u, v ∈ T x R ³ , u · v = δ ij u ⁱ v ^j

ave

δ ij = 1

^si

i = j

^et

0

^{sinon. Notonsqueettemétriquepermetde desendre lesindiesen dénissant}

laforme

(u i ) = (δ ik u ^k )

soit

u · v = u j v ^j

Onnote

(g ij )

^{letenseurmétriquede}

M

^et

(g ^ij )

^{letenseurdonnéparlamatrieinversedelamatriedénie}

par

(g ij )

^,i.e.

g ij g ^jk = δ i k

. Enobservantlagure2.4,onérit quel'élémentdiérentieldelongueur dans

leasoù

M

^{est plat(géométrie}eulidienne),est

ds ² = (dx ¹ ) ² + (dx ² ) ² = δ ij dx ⁱ dx ^j

Lagénéralisationnaturelleauasnon-Eulidienest

ds ² = g ij (x)dx ⁱ dx ^j = g 11 (x)(dx ¹ ) ² + g 22 (x)(dx ² ) ² + g 12 (x)dx ¹ dx ² + g 21 (x)dx ² dx ¹

Fig.2.4DistaneEulidienne dansleplan

Notonsqueladistaneinnitésimale n'estriend'autrequel'ériture dutenseurmétriquedanslabasedu

systèmedeoordonnées:

ds ² = g = g ij (x)dx ⁱ ⊗ dx ^j = g 11 (x)dx ¹ ⊗ dx ¹ + g 22 (x)dx ² ⊗ dx ² + g 12 (x)dx ¹ ⊗ dx ² + g 21 (x)dx ² ⊗ dx ¹

Ilest d'usage d'omettreles symboles duproduit tensoriel.

g

^et

g ^{− 1}

^{sontutilisés pourdesendre et monter}

lesindies,si

T

^{esttenseurdetype}

(n, p)

^{,alorsondénitdestenseursdetype}

(n − 1, p + 1)

^et

(n + 1, p − 1)

par

(T ^{i 1 ,...,i k − 1} i k

i k+1 ,...,i n

j 1 ,...,j p ) = (g i k ,l T ^{i 1 ,...,i k − 1 ,l,i k+1 ,...,i n} j 1 ,...,j p ) (T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j k−1

j _k

j k+1 ,...,j p ) = (g ^{j k ,l} T ^{i 1 ,...,i n} j 1 ,...,j k−1 ,l,j k+1 ,...,j p )

Suppons que

C

^{soit un hemin dans}

M

^{paramétré par une appliation}

γ(s) ∈ M

^{, pour}

s ∈ [0, 1]

⁽

s

oordonnéeurvilignede

C

^{).Lalongueurde}

C

^{est donnéepar}

ℓ( C ) =

Z

C

ds = Z

C

q

g ij dx ⁱ dx ^j = Z 1

0

r

g ij (γ(s)) ∂γ ⁱ

∂s

∂γ ^j

∂s ds

Fig.2.5Chemin surune surfae.

Pourune surfaeimmergéedans

R ³

,lamétrique

g

^{estinduiteparlamétrique}

δ

^de

R ³

.Lealuldela métriquedelasurfaeest donné parlaproposition suivante(la démonstration deelle-i n'entrepasdans

leadredee ours).

Proposition 1. Soit

M

^{une surfae de oordonnées loales}

(u ⁱ ) i=1,2

^{.On note}

(x ^µ ) µ=1,2,3

^{les oordonnées}

artésiennesde

R ³

.Onsupposeque

M

^{estdénieparuneappliation}

f : M → R ³

,

f (u)

^{étantlesoordonnées}

artésiennesdupoint

u

^de

M

^dans

R ³

.Onsupposequel'appliation linéaire

f _∗ : T u M → T f(u) R ³

∂

∂u ⁱ 7→ ^∂f ∂u ^{µ i}

∂

∂x ^µ

estinjetive(on rappellequelesespaestangents sont desespaesvetoriels etqueles dérivations sontune

notation pourles basesde es espaes). Ondit alors que

f

^{est une immersion de}

M

^dans

R ³

. La métrique de

M

^{induitepar lamétrique eulidiennede}

R ³

est

g ij (u)du ⁱ du ^j = δ µν ∂f ^µ

∂u ⁱ

∂f ^ν

∂u ^j du ⁱ du ^j

Quelquesexemplesdesurfaesetdeleurmétrique:(onnoteii

(x, y, z)

^{lesoordonnées}artésiennesde

R ³

,

a ∈ R

est uneonstante)

lepland'équation

z = a

^:

g(x, y) = (dx) ² + (dy) ²

^.

le ylindre d'équation

x ² + y ² = a ²

^{, ave pour oordonnées loales}

θ ∈ [0, 2π[

^et

z ∈ R

:

g(θ, z) = a ² (dθ) ² + (dz) ²

^.

la sphère d'équation

x ² + y ² + z ² = a ²

^{, ave pour oordonnées loales}

θ ∈ [0, 2π[

^et

ϕ ∈ [0, π]

^:

g(θ, ϕ) = a ² (dϕ) ² + a ² sin ² ϕ(dθ) ²

^.

letored'âmederayon

a

^{(rayonmajeur)etdesetionderayon}

b

^{(rayonmineur),avepouroordonnées}

loales

θ ∈ [0, 2π[

^{(angled'âme)et}

ψ ∈ [0, 2π[

^{(angledesetion):}

g(θ, ψ) = (a+b sin ψ) ² (dθ) ² +b ² (dψ) ²

^.

Proposition 2. Soit

M

^{une surfae de}

R ³

déniepar une équation de la forme

x ³ = f (x ¹ , x ² )

^{, où}

f

^est

unefontiondiérentiable. Danseason ditque

M

^{estunenappede}

R ³

.Onnote

u ¹

^et

u ²

^{lesprojetions}

de

x ¹

^et

x ²

^sur

M

^,

(u ⁱ )

^{onstituantunsystèmede oordonnéespour}

M

^{.Alorslamétriquede}

M

^{induite par}

la métriqueeulidiennede

R ³

est

g ij (u)du ⁱ du ^j = 1 + ∂f

∂x ¹ 2 !

(du ¹ ) ² + 2 ∂f

∂x ¹

∂f

∂x ² du ¹ du ² + 1 + ∂f

∂x ² 2 !

(du ² ) ²

2.4 Éléments de géométrie des surfaes II : Les géodésiques

On adéjà introduit l'appliation

ℓ

^{qui donne lalongueur d'un hemin sur}

M

^{, mais on n'a pas enore}

introduit dedistanesur

M

^{.Sionsedonnedeuxpointsde}

M

^{,quelleestladistaneentreesdeuxpoints?}

Engéométrieeulidienne,'estlalongueurdusegmentdelignedroitereliantesdeuxpoints.Engéométrie

non-eulidienne lanotion deligne droite est remplaée parlanotion de géodésique: le plusourt hemin

entre deux points. Soient

x

^et

y

^{deux points de}

M

^et

C xy

^{l'ensemble des hemins de}

M

^{partant de}

x

^et

arrivant en

y

^{(le sens et la vitesse de parours ne sont pas pris en ompte). La distane de}

M

^{est alors}

l'appliation

d : M × M → R ⁺

(x, y) 7→ d(x, y) = inf _C∈ C xy ℓ( C )

Cettedénitiondesgéodésiquesn'estpastrèspratique,ilexisteunedénitionalgébriquedesgéodésiques,

baséesurlathéoriedelaonnexion,maissonintrodutiondépasseleadredeeours.Dansleasoù

M

^est

unenappedénie parune fontion

f

^,lesgéodésiquessontdéniesparlesystèmed'équationsdiérentielles non-linéairesouplées



 

 

u ¨ ¹ = −

∂f

∂x 1

1+ ( _∂x ^∂f 1 ) ^{2 +} ( _∂x ^∂f 2 ) ² ∂ ² f

∂(x ¹ ) ² ( ˙ u ¹ ) ² + 2 _∂x ^∂ 1 ² ∂x ^{f 2} u ˙ ¹ u ˙ ² + _∂(x ^{∂ 2} 2 ^f ) ² ( ˙ u ² ) ² u ¨ ² = −

∂f

∂x 2

1+ ( _∂x ^∂f 1 ) ^{2 +} ( _∂x ^∂f 2 ) ² ∂ ² f

∂(x ¹ ) ² ( ˙ u ¹ ) ² + 2 _∂x ^∂ 1 ² ∂x ^{f 2} u ˙ ¹ u ˙ ² + _∂(x ^{∂ 2} 2 ^f ) ² ( ˙ u ² ) ²

Ondonneiilesgéodésiquespourquelquesexemplestypesdesurfaes:

Surfaes Géodésiques

Plan droitesduplan

Cylindre lesgénératries+leserlessetions+leshéliesirulaires

Sphère lesgrandserles

Tore leserlessetions+leserlesparallèlesàl'âme+leshéliesirulaires

Voirlesgures2.6,2.7et2.8.

2.5 Éléments de géométrie des surfaes III : la ourbure

La géométrie sur une surfaeest inuenéepar une propriété partiulière quel'on appelle laourbure

salaire(ou ourburede Gauss) de ette surfae. Une fois enore ladénition générale de la ourburene

peutentrerdansleadredee ours.Ondonneiiunepropriétéquel'onvaprendreommedénition:

Fig.2.6Géodésiques dela sphère.

Fig.2.7Géodésiquesduylindre.

Dénition 4 (Courburede Gauss : formule de Puiseux). Soit

M

^{une surfae. On note}

C(u, ǫ) = { v ∈ M, d(u, v) = ǫ }

^{leerle de entre}

u ∈ M

^{etde rayongéodésiquede longueur}

ǫ

^.Laourbureen

u

^{est dénie}

par

K(u) = 3 π lim

ǫ → 0

2πǫ − ℓ(C(u, ǫ)) ǫ ³

ettedénition étantdonnéeparla formule de Puiseux

∀ ǫ ∈ V (0) ℓ(C(u, ǫ)) = 2πǫ

1 − K(u)

6 ǫ ² + O (ǫ ³ )

Proposition 3. Soit

M

^{une surfae dénie par une immersion}

f

^dans

R ³

. On note

(u, v)

^{le système de}

oordonnéesloalesde

M

^et

(x ^µ )

^{lesoordonnées}artésiennesde

R ³

.Alorsla ourburede

M

^{estdonnéepar}

Fig.2.8Géodésiquesdutore.

la formule

K(u, v) = D 1 D 2 − (D 12 ) ² (EG − F ² ) ²

ave

D 1 = ∂ ² f ^µ

∂u ²

∂f ^ν

∂u

∂f ^ρ

∂v ǫ µνρ

D 2 = ∂ ² f ^µ

∂v ²

∂f ^ν

∂u

∂f ^ρ

∂v ǫ µνρ

D 12 = ∂ ² f ^µ

∂u∂v

∂f ^ν

∂u

∂f ^ρ

∂v ǫ µνρ

E = ∂f ^µ

∂u

∂f ^ν

∂u δ µν

F = ∂f ^µ

∂u

∂f ^ν

∂v δ µν

G = ∂f ^µ

∂v

∂f ^ν

∂v δ µν

Proposition 4. Soit

M

^{une nappe dénie par une équation}

f (x, y) = z

^dans

R ³

. On note

u

^et

v

^les

projetionsde

x

^et

y

^{surettenappe.Alorsla ourburede}

M

^{est donnéeparla formule}

K(u, v) =

∂ ² f

∂x ²

∂ ² f

∂y ² −

∂ ² f

∂x∂y

2

1 +

∂f

∂x

2

+

∂f

∂y

2

Dénition5. Une surfae estdite

plate en

u ∈ M

^,si

K(u) = 0

^.

sphériqueen

u ∈ M

^,si

K(u) > 0

^.

hyperboliqueen

u ∈ M

^,si

K(u) < 0

^.

Supposonsquel'ondéoupeunpetitvoisinage

V

^d'unpoint

u

^surunesurfae

M

^.Alorssi

M

^{estsphérique}

en

u

^{,onnepeutpasaplatir}

V

^{sansledéhirer,si}

M

^esthyperboliqueen

u

^{,onnepeutpasaplatir}

V

^sans

leplier.

Propriété 1. Propriétésgéométriques desvariétés :

Variété plate Variété sphérique Variété hyperbolique

Somme des angles d'un triangle

= π > π < π

2 géodésiques

⊥

^{à une 3ème restent} équidistantes peuvent seouper peuvent s'éloignerl'unede l'autre

Nombre de tés d'un arré 4 3 5

Unarré étantdéniomme unpolygone de géodésiques, de tésisométriquesetne présentant quedes

anglesdroits.Voir la gure 2.9.

Fig.2.9Propriétésgéométriques desespaesplats, sphériquesethyperboliques

Premièreremarque:laformuledePuiseuxmontrequeloalement(pourdetrèspetiteslongueurs

ǫ << 1

⁾

toute surfaeest quasimentplate. Ainsi pour un triangle très petit parrapport au rayonde ourbure, la

sommedesanglesest toujoursenviron

π

^.

Seonde remarque : un ylindre ou untore équipé 2

de la métrique

ds ² = a ² dθ ² + b ² dψ ²

^{, sont des objets}

plats.En fait,sionpeutfabriquerune surfaeàpartird'uneopérationdequotientageduplan,onobtient

unesurfaeplate.Prenonsunexemple.Soitunretangleduplan. Si onidentiedeuxtésopposés(si on

lesolle bord àbord)on obtient unylindre. Commeon est parti d'un retangle duplan (objet plat), le

ylindreest plat.Enidentiantlesdeux autrestés,onobtientletore.Lavisualisation dees opérations

est donnéegure2.10. Ilexisteenfait 6surfaes planesfondamentales :leplan

R ²

, leylindre

C ²

^,letore

T ²

^{, leruban deMöbius (f.g. 2.11),labouteillede Klein(f. g.2.12),et le planprojetif réel}

R P ²

^(f.

g. 2.13). Les manières de refermer le retangle par ollage bord à bord, sont données pour haune des

variétésplatesgure2.14.Entermes mathématiques:leplanest

R ² = R × R

.Surl'undesaxesonmetune graduationentière,'estàdire

Z

.Soitlarelationd'équivalenedans

R

x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z

Cetterelationdénitlesréelsmodulo

1

^{,iln'estpasdiiledeseonvainrequ'elleorrespondàrefermerle}

segment

[0, 1]

^{surlui-mêmeenposant}

0 = 1

^{.On obtientdonleerle,equel'on note}

R / Z = S ¹

^{.Dans le}

asdenotreretangleona

R ² /( Z × 1) = S ¹ × R

quiestbienunylindre.Delamêmefaçon

R ² / Z ² = S ¹ × S ¹

donneletore

T ²

^{quiestluiaussiplat.}

2

ils'agitiidutoretopologique,avelamétriqueinduite

ds ² = (a + b sin ψ) ² dθ ² + b ² dψ ²

^letoregéométriqueplongédans

Fig.2.10Opérations permettantde passerduretangle auylindrepuis autore.

Fig.2.11Construtiondurubande Möbius àpartird'unretangle.

La ourbure du toregéométrique est indépendante du plongement de elui-i dans

R ³

. Il existe une forme,laseondeforme quadratiquefondamentale, quiest aratéristiquedelarelationentrelasurfaeet

l'espaed'immersion.

2.6 Vers la géométrie des variétés de dimension quelonque

Lesobjetsdénisdansleasdeladimension2segénéralisentendimensionquelonque.Maisommeune

variétédedimension

n ≥ 3

^nepeutêtre représentée,il est diile d'introduire diretement esnotionsde manièreintuitive.Onpourraalorsonsidérerla3-sphère

S ³

^,le3-tore

T ³ = S ¹ × S ¹ × S ¹

^,lesgénéralisations duylindre

R ² × S ¹

^,

R × T ²

^{,etd'autresobjetsomme}

R × S ²

^{oudesespaesdetypeMöbiusouKlein,par}

R ³

n'estpasplat.Leylindreestplatdanslesdeuxas.