Solution exacte des équations d'Einstein-Maxwell décrivant un trou noir chargé dans un champ électrique extérieur

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Submitted on 1 Jan 1994

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Solution exacte des équations d’Einstein-Maxwell décrivant un trou noir chargé dans un champ électrique

extérieur

E. Matagne

To cite this version:

E. Matagne. Solution exacte des équations d’Einstein-Maxwell décrivant un trou noir chargé dans un champ électrique extérieur. Journal de Physique I, EDP Sciences, 1994, 4 (7), pp.997-1001.

�10.1051/jp1:1994179�. �jpa-00246969�

J. Phys. l Fianc.e 4 (1994) 997-lool JULY 1994, PAGE 997

Classification Physics Abslracls

04.20J 04.20M

Solution exacte des équations d'Einstein-Maxwell décrivant

_un

trou noir chargé dans

_un

champ électrique extérieur

E.

Matagne

Université

Catholique

de Louvain,

Département

d'Electricité. Laboratoire LEI, 3

place

^du Levant, 1348 Louvain-la-Neuve,

Belgique

(Receiiied1 December1993, ievised10 Maic.h 1994, accepled 30 Maic.h 1994)

Résumé.-Cet article

présente

une solution _exacte des

équations

d'Einstein-Maxwell. Cette solution présente à

l'origine

des coordonnées

spatiales

_une

singularité

du type ^Reissner-

Nordstrom. A grande distance, elle tend vers un champ électrique uniforme dans _{un univers} de Melvin. La solution

présentée

_est statique, mais une accélération ayant ^{la valeur} classique qE/1n peut être _{mise en} évidence.

Abstract. This paper reports an exact solution of the Einstein-Maxwell

equations.

This solution has _at the origm of the spatial coordinates _a

singularity

of the Reissner-Nordstrom type. Far

outside, it is a umform electric field embedded into _a Melvm _metric. The entire solution _is static, but _an acceleration with the classical value qE/1n can be shown.

Introduction.

On connaît des solutions _exactes des

équations

d'Einstein-Maxwell décrivant

l'entourage

d'un corps

chargé plongé

dans _un

champ magnétique [5, 7].

Par contre, pour un corps

chargé

dans _un

champ électrique

extérieur, seules des études valables à la limite d'une _{masse ou} d'un

champ

faibles _existent

[2, 4].

Il est donc tentant

d'essayer

de combiner _une

métrique

de

Reissner-Nordstrom,

_qui décrit

une

particule chargée

dans _un environnement isotrope, ^à une

métrique

de

Melvm,

_qui peut décrire _un

champ électrique

uniforme.

l. La

métrique.

Soit t, 1, 0, _~ un

système

de coordonnées

sphérique.

Imposons

à la

métrique

d'être

diagonale

de la forme

g,~ =

A~A

g» = c~ ^~

A~

_A~ ^'

gôô ₌

-c~~i~A~ (1)

g~~

=

-C~~r~sm~ 0A~~

998 JOURNAL DE

PHYSIQUE

I N° 7

où _c est la vitesse de la

lumière,

dont la valeur

dépend

du choix des

unités,

tandis que A

= 2 M/r ₊

Q~/i~ (2)

comme dans la

métrique

de Reissner-Nordstrom et que ^{A est} une fonction de _{r et} 0 à

déterminer. Si M _et

Q

sont

nuls,

la

métrique (1) prend

la même forme que la

métrique

dite de Melvin

(cf. [3, 5]).

Nous

imposons

au tenseur de Ricci de satisfaire les conditions de Rainich, _qui assurent

généralement

l'existence d'un _tenseur

énergie-moment

purement

électromagnétique.

Ces conditions consistent à imposer au tenseur de Rico d'avoir _{une trace} nulle _{et un} carré

diagonal

R

=

R(

=

0

(3)

R$R$ =kô$. (4)

On obtient le

système d'équations

A"+A'A'+A~*r~~-A*;~~ctg0

=0

(5)

(A'r

ctg ^{0 A*} )~ =

Q~ A'(2

Ar~ ^'

A'j (6)

où ^'

désigne

la dérivée selon _; et ^~ la dérivée selon 0.

Ce

système d'équations

_{a pour} solution

A

= +

CQ Il ^{~~ ~~}

cos 0 +

~~ (r~ Q~) ^sin~

0.

(7)

4 4

Si

Q

=

0,

la fonction A est

identique

à la fonction rencontrée dans la

métrique

de Melvin.

Donc,

si,

de

plus,

M

=

0,

la

métrique (1)

_se réduit à la

métrique

de Melvm.

On sait que, dans _{ce cas,} C

représente,

en composantes et unités

appropriées,

un

champ magnétique

_ou

électrique

^uniforme

[5].

2. Le

champ électrique.

Si _on impose au tenseur

électromagnétique F~~

d'avoir pour seules composantes non nulles

~Î

"

Î~

~

~Î

^~~~

et que l'on identifie le _tenseur

énergie-moment

de _ce

champ

à celui que on peut ^{déduire de la}

métrique (1), (7),

_on obtient

après quelques simplifications

~' ÎFoÎc Î

~

~~ _~

~ ~ ~"~

~~12 l~ ^~é~

~°~ ~

~~

~~~~ ~

E~

=

j

^~ _AD"

sm

jl ^{~~ ~~}

+

CQ

cas

(9)

Fo «c 4 2

où _eo est la

permittivité

du vide et _« la constante d'Einstein.

Ce

champ

dérive d'un

potentiel A~

^{dont la seule}

composante

non nulle _est

~°

~

jfolc Î

~

~~ _~~

_{~ ~ ~~}

i~ ^~é~

~°~ ~

~~

~~~~ ~ ~~~~

N° 7 TROU NOIR CHARGE DANS UN CHAMP

ELECTRIQUE

EXTERIEUR 999

En

intégrant

le

déplacement électrique

sur une surface fermée entourant

1origine

des

coordonnées,

_on trouve la

charge électrique

de la

singularité

centrale

q=-4gr ~~°Q

~~

_~.

(ll)

ÎKC

C

Q

2

3. Cas où

CQ

« 1.

Si

CQ

est petit, ^le

champ

à

grande

distance _{est un}

champ

uniforme de valeur

E~

_m

i~

_C

₍₁₂₎

80 ^KC

où

2/Fo

_«c

=

1.05 _x

10~?

volts _en

système

MKSA.

Sous la même

condition,

_{on a}

j2e~

q=-4gr -Q (13)

~C

où

4 gr

°

= 1.16 _x

10~? Coulomb/m.

~Î.

Les relations

(12)

et

(13) permettent

^{de vérifier} a posteriori si

CQ

est effectivement très

petit.

Par

exemple,

pour un électron soumis _au

champ électrique

d'un proton ^distant d'une

longueur égale

_{au rayon} de

Bohr,

_on obtient

CQ

=

6 _x

10~~~.

Lorsque CQ

et CM _sont

petits,

il _{existe une}

large plage

de _variation de _{r, soit}

Q

«

j~

_«

r «

(14)

C C

M«r

pour

laquelle

la

métrique (1)

est très

proche

de la

métrique

de Minkowski.

4. Accélération.

En

fait,

une

métrique

_peut être

indépendante

du temps, ^{même dans} un référentiel accéléré

(voir

par

exemple [6],

_p.

173).

Pour mettre en évidence

l'accélération,

considérons l'écart entre la

métrique (1), (7)

et sa

valeur limite pour M _et

Q Petits,

c'est-à-dire la

métrique

de Minkowski ~~~.

~@v ~'Îpv

~~pv ~Î5)

On sait

[2, 4, 6] qu'un changement

de coordonnées infinitésimal

f~

permet de

remplacer H~~

par

h~v

₌

H~v

₊

f~;v

+

fv;~ (16)

où les _{« ; »}

désignent

la dérivation covariante dans la

métrique

de Minkowski. Définissant h

=

~"~ h~~ (17)

looo JOURNAL DE PHYSIQUE I N° 7

et

h~~

=

h~~

_~~~ ^h

(18)

on peut ^choisir le

changement

de coordonnées de

façon

telle que

h~~

^{vérifie la} condition de Lorentz

[j

~ ⁼

0.

(19)

On peut pour cela utiliser le

changement

de coordonnées

f,

=

2

CQt~

_i~

cos Mc~ ^~

(20) f~

₌ 2

CQt~

_{ctg cos}

ce qui conduit à

~ ~f ~2 f2

h)

=

--+2CQjcosÙ

r

~~ ~

~~~~

_~~

~°~ ~

(21)

hf

=

4

CQC~

_ti~ ^~ _{ctg cos}

hf

= 0

Or, selon

[2],

formule

(5.14)

_ou

[4],

formule

(3.32),

_{on a en ne} considérant _que les _{termes en} i~ ^'

(des

composantes

normées)

~~

~°

m m

+ À~~

~~

~n> _~ ~

où l'indice _{m ne} parcourt que les valeurs

spatiales

et où a~'est l'accélération. On obtient ainsi

à,

(- 4

CQC~

_tr~ ^~ _cos à ₊ ~ ~

a~'

=

0

(23)

1' _n>

On _en déduit que l'accélération est orientée dans la direction à

=

o et vaut

a =

~~~~ (24)

En tenant compte des

correspondances (12)

et

(13)

_et de la

correspondance

bien _connue entre

une masse m et _son rayon de Schwarzschild

~~3

M

= m

(25)

on peut mettre

(24)

_sous la forme

classique

a ₌

E~ q/m (26)

Conclusion.

Le

champ

et la

métrique

au voisinage d'une

particule chargée

peuvent ^être

représentés

_par une

solution exacte

statique

des

équations d'Einstein-Maxwell,

bien que la

particule

soit accélérée.

Cette solution _est donc _un outil d'étude intéressant pour une meilleure

compréhension

de

l'électrodynamique.

N° 7 TROU NOIR

CHARGÉ

_DANS UN CHAMP

ÉLECTRIQUE ^EXTÉRIEUR

1001

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