Espace de modules de G2-fibrés principaux sur une courbe algébrique

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courbe algébrique

Chloé Gregoire

To cite this version:

Do teur en S ien es de l'UniversitéMontpellierII

Spé ialité:Mathématiques

présentéeetsoutenue par

Chloé GRÉGOIRE

ESPACE DE MODULES DES

G

2

-FIBRÉS PRINCIPAUX

SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE

Thèsedirigéepar Christian PAULY soutenue le

1

ero tobre

2010

Membres dujury:

Jo hen HEINLOTH Professeur àl'Université d'Amsterdam Rapporteur YvesLASZLO Professeur àl'Université Paris-Sud XI Rapporteur Laurent MANIVEL Dire teur de Re her he

à l'UniversitéJoseph Fourier-Grenoble I Examinateur Boris PASQUIER Maître de onféren esà l'UniversitéMontpellier II Examinateur Christian PAULY Professeur àl'Université Montpellier II Dire teur Ni olas RESSAYRE Maître de onféren esà l'UniversitéMontpellier II Examinateur Olivier SERMAN Maître de onféren esà l'UniversitéLilleI Examinateur Christoph SORGER Professeur àl'Université Nantes Examinateur

Université Montpellier II

Do teur en S ien es de l'UniversitéMontpellierII

Spé ialité:Mathématiques

présentéeetsoutenue par

Chloé GRÉGOIRE

ESPACE DE MODULES DES

G

2

-FIBRÉS PRINCIPAUX

SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE

Thèsedirigéepar Christian PAULY soutenue le

1

ero tobre

2010

Membres dujury:

Jo hen HEINLOTH Professeur àl'Université d'Amsterdam Rapporteur YvesLASZLO Professeur àl'Université Paris-Sud XI Rapporteur Laurent MANIVEL Dire teur de Re her he

à l'UniversitéJoseph Fourier-Grenoble I Examinateur Boris PASQUIER Maître de onféren esà l'UniversitéMontpellier II Examinateur Christian PAULY Professeur àl'Université Montpellier II Dire teur Ni olas RESSAYRE Maître de onféren esà l'UniversitéMontpellier II Examinateur Olivier SERMAN Maître de onféren esà l'UniversitéLilleI Examinateur Christoph SORGER Professeur àl'Université Nantes Examinateur

Université Montpellier II

UNE COURBE ALGÉBRIQUE

Après plus de

250

trajets en train, me voi i arrivée à la n de es trois années de thèsequej'aibeau oupappré iées etquimelaisserontunsouveniragréableautantsur leplans ientiquequesur leplanhumain.

L'appro he ave laquelle mondire teur, ChristianPauly,m'a présentélagéométrie algébrique et la façon qu'il a d'aborder un problème mathématique m'a séduite et je tiens àleremer ier, notamment pour lapatien e qu'il aeu envers moi.

Jeremer ieégalement ha undesmembresdemonjurypourleurprésen e, parti u-lièrementY.LaszloetJ.Heinlothquiontrapportémonmanus rit, O.Sermanpourles dis ussionsautour dulieu lisse d'espa edemodulesetB. Pasquier pourses onseils.

Mer iaussiàJ.Lafontaine,pour sarele tureetsonattention, etàB.Toën quim'a permisdebéné ierd'unbureauaulaboratoirePaulSabatierdeToulouse.Parailleurs, je voudrais souligner l'ambian e vraiment agréable qui règne au labo I3M, aussibien ave les permanents qu'ave le personnel administratif. Je garde notamment un très bon souvenir des onversations ave Étienne.

Cettethèseest,pourmoi,l'aboutissementd'un heminnonlinéairedanslequel beau- oupde personnesontjoué unrle important. Parmi elles, jetiens à iterM. Té ourt, poursamanièredetransmettrelesmathématiques,MessieursJ-L.BasdevantetL. Bo-naveropourleurappuietleursolli itudeetégalement OdileetJeanquim'ontentourée ave beau oupd'ae tion à lareprisede mes études.

Au ours de mon ursus, j'ai partagé de nombreux moments ave Steph puis ave Anabel,adeptes de larigueur mathématique,du travailpartagé etdeslongues dis us-sionstardives. J'ai retrouvé es é hanges ave Guillaume, mon o-bureau pendant es troisannées de thèse. Il m'a énormément appris surla théorie desreprésentations (et latypographie)et,ave lui,j'aifran hement passédebonsmomentsen

007

etailleurs. Durant es années, j'ai aussi eu plaisir à ren ontrer diverses personnes : le groupe de do torants du labo,Gwladys, Justine, James etCé ile... Je tiens aussià remer ier eux ave qui j'ai partagé des moments sportifs variés : les nageurs, les oureurs, les baigneursenmer dedé embre,les gymnasteset,biensûr,l'équipe delaHRP(dont je tairai les surnoms).Je remer ie aussi les diérentes personnesqui m'ont hébergée, en parti ulierJ.C&J.CGonneaud,Julien,mon ollo ,ave quij'aipartagédetrèsbonnes soirées rempliesd'astronomie, de des riptions de kayaket d'envies de roziette, et le quatrième"pyrénéen"qui m'aa ompagnée toutau longde edernier trimestre.

J'ajoute un ae tueuse pensée pour Mandarine, Benj, Yunaï et Alain qui ont tous, ertains par leur bienveillan e et leur ae tion et un autre par son absen e, été très présents pendant esannées dethèse etles annéespré édentes.

Introdu tion ...xiii

Notations ...xxiii

1.Notations et résultats préliminaires ... 1

1.1.L'algèbre deso tavesde Cayley ... 1

1.2.Le groupe de Lie

G

2

... 3

1.3.Des ription expli ite del'algèbre de Lie

g

2

du groupe

G

2

... 15

1.4.Des ription dessous-groupesparaboliques maximauxde

SO

7

et

G

2

... 25

1.5. Des riptiondes sous-groupes onnexesde rang maximalet maximaux pour l'ordredonné par l'in lusion, dugroupe deLie

G

2

... 38

2.Étude des formes trilinéaires alternées sur

C

7

dégénérées ... 45

2.1.Grassmanniennes, plongement de Plü keretvariétésdessé antes ... 45

2.2.Appli ation rationnelle

Φ

etpropriétés ... 46

3.Étude des

G

2

-brés prin ipaux et de la notion de (semi)-stabilté .... 65

3.1.Dénitions généralesrelativesaux

G

-brés prin ipaux ... 65

3.2.Notion de (semi)-stabilitépour les

G

-brés prin ipaux ... 70

3.3.Étude derédu tions de

G

2

-brésprin ipaux ... 76

3.4.Propriétés relatives àl'espa e de modules

M

C

(G

2

)

...117

4.Utilisation des formules de Verlinde ...141

4.1.UtilisationdelaformuledeVerlindepourle al ulde

h

0

_(M

C

(G), L

i

G

)

pour

G

= G

2

, SL

2

ou

SL

3

etdiérentsentiers

i

...141

4.2.Surje tivités etisomorphismesentrediérents

H

0

_(M

C

(G), L

i

_G

)

...151

A. Tables de multipli ation dans

V

dans diérentes bases ...165

B.In lusion de l'algèbre de Lie

g

2

dans l'algèbre de Lie

so

7

...169

Bibliographie ...173

L'objet de ette thèse est l'étude des

G

-brés prin ipaux au-dessus d'une ourbe omplexeproje tive onnexelisse

C

etde leurespa edemodules

M

C

(G)

, où

G

estun groupealgébrique.Uneattention touteparti ulièreest portéeau as oùlegroupe

G

est legroupede Lieex eptionnel

G

2

.

Les espa es de modules - où le terme module est, i i, synonyme de  pa-ramètre - peuvent être pensés omme des solutions géométriques à des pro-blèmesde lassi ation géométrique. Ce sont des ensembles d'objets dénis par des onditions géométriques parti ulières. Dans le as des brés ve toriels, on xe par exemple les données suivantes : le rang, le degré ou le déterminant des brés. Une illustrationd'espa e de modules est la Grassmannienne

Gr(r, n)

des sous-espa esve torielsde dimension

r

d'un espa eve torielde dimension

n

.Les espa es de modulesinterviennent dansdiérentes bran hes des mathématiques: en géométrie algébrique (dont les idées- lefs ont été introduites par D. Mum-ford[MS72 ℄), dans lathéorie de jauge, dans elle de Tei hmüller, dans le pro-grammede Langlands géométrique eten physiquethéorique.Parl'intermédiaire des espa es de modules, es domaines ont beau oup à apprendre les uns des autres, omme le montre l'impa tde lathéorie onforme des hamps en géomé-triealgébrique.L'établissementré entde laformulede Verlindepourles

G

-brés prin ipauxsur les ourbes algébriquesen est une illustration on rète.

Andejustier l'utilisationde ette notiondesemistabilité,introduisonstout d'abord les espa es de modules de brés ve toriels, dont l'étude a, hronologi-quement,pré édé elledes

G

-brésprin ipaux. Danstout e quisuit,lalettre

C

désigneune ourbe omplexeproje tive onnexelisse de genre aumoins

2

.

Lors de l'étude et de la lassi ation des brés ve toriels, le rang et le degré se sont révélés être des invariantstopologiques. Néanmoins, il s'est avéré que la familledes brésve torielsderang etde degréxés ne peutêtre paramétréepar une variété algébrique. Enrevan he, lasous-famille des brés ve toriels de rang etdedegréxés,quotientsd'unbréve torieldonné,l'est.Quelle ara téristique pertinentedoit-onimposer àun ensemblede brésve torielspouraboutir àune famillebornée? D. Mumford et C.S. Seshadri ontrépondu à ette question dans les années

1960

. An de paramétrer les brés ve toriels, ils ont introduit les notions de semistabilité et de stabilité [Ses67 ℄, provenant de la théorie des invariantstopologiquesde D. Mumford. Ces notionssont dénies ommesuit. On appelle pente d'un bré le nombre rationnel égal au quotient de son degré par son rang. Un bré ve toriel sur une ourbe

C

est dit semistable si sa pente est supérieure ou égale à elle de ha un de ses sous-brés ve toriels propres. Lastabilité, quantà elle, n'est autre que laréplique de ette propriété ave une inégalitéstri te.

Leurbut étaitde donnerune stru ture de variétéalgébriqueàl'espa ede mo-dules

M(r, d)

des lassesd'isomorphismesde brésve torielssemistablesde rang etdedegré xés.Parlà,ilsont onsidérablement lariél'étudedes brés ve to-riels.Parailleurs,l'étudedes brésve torielsnon semistablespeut être ramenée à elle des brés ve toriels semistables via la ltration de Harder-Narasimhan, onstituéedequotientssu essifsdebrésve torielssemistables.Celaad'autant plus motivé l'attention portée à la notion de semistabilité. En outre, en onsi-dérant la notion de semistabilité, C.S. Seshadri a, le premier, observé que la atégorie des brés ve torielssemistables de mêmepenteest abélienne.

En

1976

, A. Ramanathan s'est intéressé dans sa thèse, non pas aux brés ve toriels, mais aux

G

-brés prin ipaux et à la onstru tion de l'espa e de mo-dules de

G

-brés prin ipaux semistables. De ré ents arti les omme eux de A. Kapustin et E. Witten[KW07℄, R. Donagi et T. Pantev [DP06℄ et N.Hit hin[Hit06℄illustrentlari hessedelagéométriedes

G

-brésprin ipaux etde lanotion de semistabilité.

Pour les

G

-brésprin ipaux, lasemistabilité sedénit de la façonsuivante:

Dénition.  Un

G

-bréprin ipal

E

estditsemistable(resp.stable)siledegré

deg(σ

∗

_T

E/P

)

est positif ou nul (resp. stri tement positif) pour tout sous-groupe parabolique maximal

P

de

G

et toute rédu tion

σ

à

E/P

, où

T

Lanotionde semistabilitéest alorséquivalentepourun

GL

n

-bréprin ipalet son bré ve torielasso ié.

Au sein des algèbres de Lie omplexes, de dimension nie et simples, on dé-note les algèbres lassiques et les algèbres ex eptionnelles. Les premières sont

sl(n + 1, C)

,

so(2n + 1, C)

,

sp(n, C)

et

so(2n, C)

(respe tivement asso iées aux systèmesdera ines

A

n

,

B

n

,

C

n

et

D

n

)etlesalgèbresex eptionnelles

g

2

,

f

4

,

e

6

,

e

7

et

e

8

,lesindi essignalantlerangdesalgèbresdeLie.Cette lassi ationremonte à elle des algèbres de Lie simples omplexes par W. Killing et É. Cartan de

1884

. Le groupe de Lie ex eptionnel

G

2

est le groupe onnexe, simplement onnexe d'algèbre de Lie

g

2

. Parmi les groupes de Lie ex eptionnels, e dernier apparaîtremarquable pour plusieurs raisons. Évoquons-en deux. D'une part, le groupe de Lie

G

2

est susamment petit pour être étudié ave pré ision, e qui est bien plus déli at pour les groupes de Lie

E

7

ou

E

8

par exemple. En eet, la dimension du groupe

G

2

est

14

, alors que elles des groupes

E

7

et

E

8

sont respe tivement

133

et

248

! D'autre part, le groupe

G

2

peut être onstruit via diérentes appro hes; ette diversité de points de vue lui onfère une grande ri hesse.

Àl'époquedeW.KillingetdeÉ.Cartan,l'existen edesalgèbresdeLie ex- eptionnellesétaitenveloppéedemystère,puisqu'ellesn'apparaissaientpasreliées à des groupes onnus omme l'étaient les algèbres de Lie lassiques, orrespon-dantesauxgroupes

SO

n

(C), Sp

n

(C)

et

SL

n

(C)

.Cependant,en

1914

,É. Cartan t le lien entre l'algèbre des o taves de Cayley et le groupe

G

2

: e groupe se révèleêtre le groupe des automorphismes des o taves de Cayley.

Notre travail débute par la des ription des o taves de Cayley et la dénition dugroupe

G

2

Nousexaminonsensuitelanotiondesemistabilitédansle adrede

G

2

-brés prin ipaux ainsi que elle de leur espa e de modules. En dernier lieu, uneappli ationde laformuledeVerlindeàl'espa ede Verlindede niveau

1

pour legroupe

G

2

est proposée.

LeChapitre 1porteunintérêtparti ulieràl'algèbredes o tavesde Cayley

O

C

etaugroupedeLie

G

2

.Uneétudeapprofondiede ettealgèbreest menéean de pouvoir établirun éventail de propriétés sur legroupe

G

2

qui est déni àpartir de

O

C

.Ces propriétésétaient onnues dans lalittératuremaissans for ément de lienentre elles, que e soit par leur appro he (dénition du groupe

G

2

) ou bien leurs notations, d'où laintérêt de ette synthèse.

L'algèbre

O

C

est l'algèbrede divisionnormée omplexede plus grande dimen-sion parmi lesquatre existantes :

R

C

⊂ C

C

⊂ H

C

⊂ O

C

.

les o taves de Cayley, elles, sont bien moins onnues. Cela est ertainement dû au fait que ette algèbre, non ommutative, n'est pas non plus asso iative. Dé- ouvertes séparément par J. Graves et A. Cayley dans les années

1840

, les o tavesde Cayleysontdemeuréesdansl'ombrejusqu'aumomentoùÉ. Cartan a dé rit latrialité (symétrie entre ve teurs et spineurs dans un espa e eu lidien de dimension

8

). Ces o taves interviennent aussi en mé anique quantique ave lestravauxde C. Jordan, C. NeumannetE.P. Wigner, ave un su ès tou-tefois restreint. Ré emment, on a réalisé qu'elles expliquent quelques urieuses ara téristiquesen théoriedes ordes.

Lepointde départ de e hapitreest ladénition du groupe

G

2

proposée par É. Cartan.Le groupe

G

2

est dé rit ommel'ensembledes automorphismes de

O

C

, 'est-à-dire omme l'ensemble des appli ations linéaires inversibles dénies sur les o taves de Cayley qui ommutent ave la multipli ation. Or, il s'avère que tout automorphisme des o taves de Cayley est entièrement déterminé par son a tionsur l'hyperplan

V

des o tavesde Cayleyimaginaires pures.Legroupe

G

2

peut don être traité ommeun sous-groupedu groupelinéairede dimension

7

,etilressortquelegroupe

G

2

est un sous-groupedu groupespé ialorthogonal

SO

7

.

Parailleurs,envuededis uter delanotionde semistabilitédes

G

2

-brés prin- ipaux, nous mettons en exergue lesdeux sous-groupes paraboliques maximaux de

G

2

,ainsiqueleursous-groupede Levi.Cetteanalyseestmenée onjointement à elle du groupe

SO

7

an d'étudier les extensions de

G

2

-brés prin ipaux au groupe de stru ture

SO

7

dans leChapitre

3

.

Être le groupe des automorphismes des o taves de Cayley n'est pas la seule dénition utiliséepour dénir legroupe

G

2

,etlelienentre lesdiérentes déni-tionséquivalentes n'est pas élémentaire.Le groupe

G

2

peut aussiêtre déterminé à partir d'une forme trilinéaire alternée non-dégénérée sur l'espa e ve toriel

V

. D'autre part, le système de ra ines de l'algèbrede Lie ex eptionnelle simple de plus petite dimension présentée par W. Killing, É. Cartan et F. Engel au débutdu XIX

e

siè le n'estautre quel'algèbrede Lieasso iée augroupe onnexe

G

2

.L'équivalen e de es trois pointsde vue est ee tuée au ours de e premier hapitre.

Enn,dansla lassi ationdeA.Borel etJ. De Siebenthal[BDS49℄,les deux sous-groupes de

G

2

, maximaux pour l'ordre donné par l'in lusion, parmi eux onnexesetderangmaximal,sontlegroupespé iallinéaire

SL

3

etlegroupe spé ial orthogonal

SO

4

. Une in lusion de ha un de es deux groupes dans

G

2

est proposée etutilisée auChapitre 3

etpublia,en

1900

,deux arti les reliantune formequadratiqueàune forme trili-néairealternée.Celaapermisdedénirlanotiondenon-dégénéres en epourune forme trilinéairealternée : une forme trilinéaire alternée est dite non-dégénérée si la forme quadratique qui lui est asso iée par e biais est non-dégénérée. Ce travail a abouti à la dénition de

G

2

traitée dans e hapitre : à onjugaison près, e groupe est la omposante onnexe de l'identité du stabilisateur d'une forme trilinéaire alternée non-dégénérée. Le groupe

G

2

peut don être déni, à onjugaison près, par n'importe quelle forme non-dégénérée. Cela explique les diverses dénitions que l'on peut ren ontrer dans lalittérature.

L'essentieldu hapitre est onsa ré à la ara térisationde l'appli ation

Φ

qui relie une forme quadratique à une forme trilinéaire alternée, puis à l'étude des formes trilinéaires non-dégénérées. Ce i nous permet d'aboutir au résultat sui-vant :

Théorème A.  L'ensemble des formes trilinéaires alternées dégénérées dé-niessurl'espa eve toriel

V

deso tavesdeCayleyimaginairespures oïn ideave latroisième variétédes sé antes

Sec

(3)

_{(Gr(3, 7))}

de la Grassmannienne

Gr(3, 7)

. L'équation dénissant le premier ensemble est, à un s alaire près, le ube de elle dénissant lese ond.

L'hypersurfa e

Sec

(3)

(Gr(3, 7))

aétéabordéedansl'arti ledeH.Abo,G. Ot-taviani et C. Peterson [AOP09℄. Par ailleurs, dans l'arti le de M. Sato et T. Kimura [SK77℄, le degré du polynme invariantrelatifest déterminé, ainsi que le fait que les équations des hypersurfa es irrédu tibles du lieu singulier de l'espa e

Λ

3

_V

∗

sont, à un s alaire près, multiples de e polynme homogène. Cependant, le lieu des zéros de et invariant relatif n'y est pas identié. Nous anons es résultats en prouvant que l'invariant relatifn'est autre que le poly-nme dé rivant la troisième variété des sé antes

Sec

(3)

_{(Gr(3, 7))}

(à un s alaire près).Enn,suite à e théorème,nousretrouvons deuxrésultats onnus, regrou-pés dans les orollaires suivants. Le premier ara térise les orbites des formes trilinéairesnon-dégénérées etle se ondrelie leurs stabilisateurs.

Corollaire B.  L'orbite d'une forme trilinéaire alternée sur

V

, sous l'a tion dugroupe

GL

7

, estdensedansl'espa e

Λ

3

_V

∗

sietseulementsilaformetrilinéaire est non-dégénérée.

Corollaire C.  Les formes trilinéaires alternées non-dégénérées dénies sur

V

ont des stabilisateurs, sous l'a tion de

SL

7

, onjugués :

∀ ω

1

, ω

2

∈ Λ

3

V

∗

,

non-dégénérées

,

∃g

0

∈ SL7

tel que

Stab(ω

1

) ∩ SL

7

= g

0

· [Stab(ω

2

) ∩ SL

7

] · g

0

−1

.

Après ette mise en pla e de propriétés sur le groupe

G

2

, le Chapitre 3 est onsa ré à l'analyse des

G

2

-brés prin ipaux et de l'espa e de modules des

G

2

-brés prin ipaux semistables. Via le Corollaire C, les

G

2

-brés prin ipaux sont dé rits par la donnée d'un bré ve toriel, de rang

7

et de déterminant trivial, muni d'une formetrilinéairealternée non-dégénérée.

Dans ette partie, nous rappelons les dénitions de rédu tion et d'extension de groupe de stru ture de

G

-brés prin ipaux, onsistant à relier deux

G

-brés prin ipauxasso iésàdeuxgroupesdestru turediérents.Onpeutaussiasso ier àun

G

-bréprin ipalun bré ve toriel,en onsidérant une extensionde groupe destru ture augroupe

GL

n

.Dansle as dugroupe

G

2

,nous évoquons les rédu -tions de

G

2

-brés prin ipaux aux deux sous-groupes ités pré édemment :

SL

3

et

SO

4

. Si l'on onsidère un

SL

3

-bré prin ipal

E

, son extension au groupe de stru ture

G

2

etle bré ve toriel

V

asso iéqui est de rang

7

,alors il vient :

V = W ⊕ W

∗

⊕ O

C

où

W

est le bré ve toriel de rang

3

asso iéà

E

etoù

O

C

est lebré en droites trivialsur

C

. Con ernant le sous-groupe

SO

4

, nous asso ions à deux

SL

2

-brés prin ipaux

E

et

F

un

SO

4

-bré prin ipal,un

G

2

-bré prin ipal etun bré ve -toriel

V

de rang

7

.La relationentre brés ve toriels est alors la suivante:

V = M ⊗N ⊕ End

0

(N)

lorsque

M

et

N

désignent lesbrés ve toriels de rang

2

asso iés respe tivement à

E

età

F

.Cesdeuxdes riptionssontutiliséespourl'analysedelastabilitéd'un

G

2

-bré prin ipal.

Pour ertainsgroupesalgébriques

G

, un

G

-bré prin ipal est semistable si et seulementsison bré ve torielasso iél'est. Pour legroupespé ial linéaire

SL

n

, e résultat est trivial. Par ailleurs, ette équivalen e est valide pour le groupe orthogonal

O

n

et le groupe

G

2

. S. Ramanathan [Ram96℄ l'a prouvée pour le premier groupe et la démonstration on ernant le se ond groupe est le sujet de l'arti ledeS. Subramanian[Sub99 ℄. Unequestionnaturellesepose : ette propriétéest-ellemaintenuesil'onrempla ela onditiondesemistabilitépar elle de stabilité? Nous examinons e point dans le adre des

G

2

-brés prin ipaux. Cetteétudeestenpartieréaliséegrâ eàl'analysedes

SL

3

-rédu tionsetdes

SO

4

-rédu tions que peut admettre un

G

2

-bré prin ipal. Alors que la stabilité d'un bréve torielasso iéàun

G

2

-bréprin ipalimplique elledu

G

2

-bréprin ipal, l'impli ationré iproque n'est pas automatique. En eet, nous exhibons un bré ve toriel stri tement semistable, 'est-à-dire semistable mais non stable, asso ié àun

G

2

-bré prin ipalstable.Nous établissons lesdeux théorèmes suivants:

Théorème E.  Soit

P

un

G

2

-bré prin ipal sur une ourbe

C

. Si

P

est un

G

2

-bré prin ipal régulièrement stable, alors le bré ve toriel de rang

7

qui lui est asso iéest stable.

On rappellequ'un

G

-bré prin ipalest ditrégulièrementstable s'il est stable etquesongrouped'automorphismesest leplus petitpossible, 'est-à-dires'ilest isomorphe au entre du groupe

G

. Il serait intéressant de savoir si le

SO

7

-bré prin ipal obtenu par extension de groupe de stru ture d'un

G

2

-bré prin ipal régulièrementstable est aussi régulièrementstable.

L'intérêt de la notion de stabilité régulière dans le théorème pré édent nous amèneà étudierle lieurégulièrement stable de l'espa ede modules

M

C

(G

2

)

: Théorème F.  Le lieu régulièrement stable de l'espa e de modules

M

C

(G

2

)

oïn ide ave son lieu lisse.

Cettepropriétéestun asparti ulierduré entrésultatthéoriquedeI.Biswas etN.Hoffmann[BH10℄valablepourtoutgroupealgébriquerédu tif omplexe onnexe.Cependant,nousanons e résultatdansle as de l'espa ede modules

M

C

(G

2

)

etobtenons une des ription détailléede son lieu singulier:

Théorème G.  Le lieu singulier

M

C,sing

(G

2

)

de l'espa e de modules

M

C

(G

2

)

est :

M

C,sing

(G

2

) = i (M

C

(SL

3

)) ∪ j (M

C

(SO

4

))

où les morphismes

i

et

j

sont donnés par extension de groupe de stru ture :

i :

M

C

(SL

3

)

→ M

C

(G

2

),

j : M

C

(SL

2

) × M

C

(SL

2

) → M

C

(G

2

).

Celieu singulier possède ainsi trois omposantes onnexes :

i (M

C

(SL

3

)) , j M

+

C

(SO

4

)

et

j M

−

C

(SO

4

)

.

Enn,alorsquel'ons'estfondésur leso tavesdeCayleypourdénirlegroupe

G

2

, il s'avère que l'analyse de la stabilité des

G

2

-brés prin ipaux révèle une propriétésur ettealgèbre.Àlasuitedeladémonstrationduthéorèmepré édent, nous obtenons lerésultat suivant :

Théorème H.  Notons

ω

0

laformetrilinéairealternéenon-dégénéréesur l'es-pa e

V

,dénieen1.2.4,et

H

l'hyperplandelaGrassmannienneisotrope

Gr

iso

_{(3, 7)}

onstitué des

3

-plansisotropes engendrés partroisve teurs

x, y

et

z

de

V

telsque

ω

0

(x, y, z)

s'annule.

L'hyperplan

H

est ontenu dans le lieu d'asso iativité de l'algèbre des o taves de Cayley :

si

[x ∧ y ∧ z] ∈ H

alors

(xy)z = x(yz).

globales

H

0

_(M

C

(G

2

), L

G

2

)

surune ourbe

C

,où

L

G

2

estlebréendroitesample générateur du groupe de Pi ard du hamp de modules

M

C

(G

2

)

. Le théorème suivantest établi:

Théorème I.  Soit une ourbe

C

de genre au moins

2

. Le morphisme donné par extension de groupe de stru ture

i : M

C

(SL

3

) → M

C

(G

2

)

induit,parimageinverse,uneappli ationlinéaire

Υ

entrelesespa esdeVerlinde suivants :

Υ : H

0

_(M

C

(G

2

), L

G

2

) → H

0

(M

C

(SL

3

), L

SL

3

)

+

où

H

0

_(M

C

(SL

3

), L

SL

3

)

+

désignele sous-espa e propre de

H

0

_(M

C

(SL

3

), L

SL

3

)

, asso ié à la valeur propre

1

, pour l'involution naturelledont il est muni.

L'appli ation linéaire

Υ

possède les propriétés suivantes :

(1) l'appli ation

Υ

est surje tive lorsque la ourbe

C

est sans thêta- onstante ee tive.

(2) l'appli ation

Υ

est un isomorphisme lorsque la ourbe

C

est de genre

2

. En dernierlieu, nous étudions l'appli ation linéaire

Ψ

dénie omme suit. Le morphismedonnépar extensionde groupedestru tureentre espa esde Verlinde

j : M

C

(SL

2

) × M

C

(SL

2

) → M

C

(G

2

)

induit,par image inverse, l'appli ation linéaire

Ψ : H

0

_(M

C

(G

2

), L

G

2

) →



H

0

_(M

C

(SL

2

), L

SL

2

) ⊗ H

0

(M

C

(SL

2

), L

⊗3

SL

2

)



0

où



H

0

_(M

C

(SL

2

), L

SL

2

) ⊗ H

0

_(M

C

(SL

2

), L

⊗3

SL

2

)



0

désigne l'ensemble des se -tions invariantes sous le groupe

JC[2]

onstitué des éléments de la Ja obienne

Pic

0

(C)

dits de

2

-torsion.

Pourdes ourbesgénéralesdepetitgenre,nousmontronslethéorèmesuivant:

Théorème J.  Sur une ourbe

C

de genre

2

ou non-hyperelliptique de genre

3

, ou bien de genre

4

sans thêta- onstante ee tive, l'appli ation

Ψ

est un iso-morphisme.

Ilest natureldepenser que e résultatpeut êtregénéralisé engenre supérieur. Ce i est par ailleurs orroboré par une étude dimensionnelle des espa es ve -toriels

H

0

_(M

C

(G

2

), L

G

2

)

et



H

0

_(M

C

(SL

2

), L

SL

2

) ⊗ H

0

_(M

C

(SL

2

), L

⊗3

SL

2

)



0

en genre élevé. Pour le moment, nous ne pouvons faire sans la onje ture de nor-malité ubique. On dit qu'une ourbe

C

vérie la normalité ubique lorsque l'appli ationnaturellesuivante est surje tive :

Sym

3

H

0

_(M

C

(SL

2

), L

SL

2

) → H

0

Théorème K.  Pour une ourbe

C

degenreau moins

2

, sansthêta- onstante ee tive et vériant la normalité ubique, l'appli ation

Ψ

est un isomorphisme.

Danstoute ette thèse,

C

désigne le orps desnombres omplexeset

O

l'algèbre de o taves deCayley.

La lettre

G

désigne un groupe algébrique onnexe et rédu tif sur

C

et la lettre

C

une ourbe omplexe proje tive, onnexe etlisse,de genreau moins

2

.

Andedisso ierunespa eve torield'unbréve toriel ouprin ipal,onaprisgarde à utiliser des notations en ara tères dits alligraphiques pour les espa es ve toriels et simplement le mode mathématique pour les brés. Par exemple, alors que

V

in-diquel'espa e ve toriel deso tavesde Cayley imaginaires pures,

E

indique un

G

-bré prin ipal.

NOTATIONS ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

Nous allons i i présenter le groupe de Lie ex eptionnel

G

2

, plusieurs de ses dénitionséquivalentes ainsiquesonalgèbredeLie.Ce hapitreest unesynthèse (non exhaustive) de onnaissan es déjàétablies ausujet du groupe

G

2

.

La première dénition que nous utilisons est elle proposée par É. Cartan oùle groupe

G

2

apparaît omme legroupedes automorphismes de l'algèbredes o taves de Cayley. C'est pourquoi nous onsa rons le début de e hapitre aux o tavesde Cayleypuis nousprésentonsdiérentes appro hes dugroupe

G

2

ave , entre autres, une des ription de ses sous-groupes paraboliques maximaux utiles au hapitre 3.

1.1. L'algèbre des o taves de Cayley

Pour tout e paragraphe, nous renvoyons le le teur aux deux référen es sui-vantes:[Bae02℄et[Ada96℄.Lesdémonstrationsdesdiérentespropriétés propo-séesi idièrent,laplupartdutemps,de ellesindiquéesdanslesdeuxréféren es pré édentes mais lamajoritédes résultats s'y trouve.

Soient

O

R

la

R

-algèbre des o taves de Cayley et

O

C

= O

R

⊗ C

la

C

-algèbre des o taves de Cayley obtenue en omplexiant

O

R

. Ces deux algèbres sont respe tivement isomorphes à

R

8

et

C

8

.

L'algèbre de o taves de Cayley omplexe est parfois désignée par le symbole

C

ou notée tout simplement

O

. Cette dernière onvention d'é riture sera elle utiliséedans toute la suite de et é rit.

Notons

(1, e

1

, . . . e

7

)

labase anoniquede

O

entempsque

C

-espa eve torielet

V

le sous-espa e ve toriel de

O

engendré par

e

1

, . . . , e

7

. Toute o tave de Cayley est somme de sa partie s alaire etde sa partie imaginairepure, selon la dé ompositionsuivante :

Par la suite et par analogie au langage asso ié aux nombres omplexes, on ap-pellera partie réelle et sapartieimaginaire es deux parties. Les o taves de Cayley appartenant à

V

sont dites imaginaires purs.

La loi de multipli ation de l'algèbre

O

est donnée par le diagramme de Fano (voir Figure Fig. 1), moyen mnémote hnique pour onnaître la table de multi-pli ationdans

O

. Lesrègles de al ulsont lessuivantes :

e

1

e

3

e

4

e

6

e

2

e

5

e

7

Fig.1. DiagrammedeFano

(1)

1

est l'élément neutrepour lamultipli ation, (2)

∀i ∈ {1, . . . , 7}, e

2

i

= −1

,

(3) si le triplet

(e

i

, e

j

, e

k

)

est onstitué de trois élémentssitués sur une même ligne du diagramme i-dessus ( er le, médiane ou oté), ordonné selon le sens de la è he, alors on a

e

i

e

j

= e

k

et toutes les équations qui en dé oulent par permutation,en tenant omptede la signature de lapermutation.

ve teurs de la base anonique

e

i

, e

j

, e

k

, imaginaires purs, deux à deux distin ts et n'étant pas reliés sur le diagramme de Fano, alors on a la relationsuivante :

(e

i

e

j

)e

k

= −e

i

(e

j

e

k

)

, e qui montre lanon-asso iativité de

O

.

L'algèbre

O

est munie d'une appli ation tra e

T r

:

∀ z ∈ O, T r(z) :=

1

2

(z + z) := Re(z)

où

z

est le onjugué de

z

déni par

z = x − y

si

z = x + y

est ladé omposition de

z

selon

O

= C ⊕ V

.

Remarque 1.1.1.  Le sous-espa e ve toriel

V

n'est autre que l'ensemble des élémentsde

O

de tra enulle, e quijustie lanotationparfois employée

V = C

0

. Remarque 1.1.2. 

∀y ∈ V, y = −y

.

L'algèbre

O

est aussi une algèbre normée, 'est-à-dire munie d'une norme multipli ative:

∀ z ∈ O, ||z|| := zz

À ette norme,on asso ie leproduit s alaire anonique

B

:

∀ x, y ∈ O, B(x, y) =< x, y >=

1

₂

(xy + yx) = T r(xy) = Re(xy),

orrespondant à laformequadratique

Q = I

:

∀ x = x

0

+

7

X

i=1

x

i

e

i

,

Q(x) = B(x, x) = Re(xx) =

7

X

i=0

x

2

i

.

(1)

Dans la suite, on désignera par la lettre

Q

la forme quadratique anonique sur

O

ou bien sarestri tion à

V

, selon le ontexte.

1.2. Le groupe de Lie

G

2

Ceparagrapheapourviséeladénitionetlades riptiondu groupede Lie

G

2

, introduit notamment par C. Chevalley dans son traité en trois volumes sur lesgroupesde Lie [Che55 ℄.

Dénition 1.2.1.  Legroupede Lieex eptionnel

G

2

est déni ommeétant legroupedes automorphismesde

O

, noté

Aut(O)

.

CegroupedeLieestsimple.Ils'agitdugroupedeLiedepluspetitedimension parmiles inqgroupesde Liesimples ex eptionnels :

G

2

, F

4

, E

6

, E

7

et

E

8

(1)

.

(1)

Le hireenindi eindiquelerangdugroupe.

Commençons par faire quatre remarques onsé utives à la dénition pré é-dente :

Remarque 1.2.2.  (1) Tout élément de

G

2

envoieun s alaire( 'est-à-dire unélémentde

C

,où

O

= C ⊕ V

)sur lui-mêmeetune o taveimaginairepure sur un élément imaginairepure. D'oùl'égalité :

∀ g ∈ G

2

,

g(V) = V.

(2) Tout élémentdu groupe

G

2

ommute à la onjugaison.

(3) Tout élémentdu groupe

G

2

préserve le produit s alaire anoniquesur

O

. Démonstration.  Soit

Ψ ∈ G

e

2

.

(1) Comme

Ψ

e

est un automorphisme,

Ψ(1) = e

e

Ψ(1 · 1) = e

Ψ(1)

2

don

Ψ(1) = 1

e

. Soit

e

i

un ve teur de la base anoniquepour

i ∈ {1, . . . , 7}

.Notons

Ψ(e

e

i

) = z

et

z = x + y

sa dé omposition en partie réelle et imaginaire.Alors, d'une part,

z

2

_{= e}

_Ψ(e

i

) e

Ψ(e

i

) = e

Ψ(e

2

i

) = −1 ∈ C

et, d'autre part,

z

2

_{= (x}

2

_{+ y}

2

_{) + 2xy}

, qui est la dé omposition en partie réelle et imaginaire de

z

2

vu que

y

2

_{= −||y||}

2

_∈

C

. Don

xy = 0

. Si

y = 0

, on aurait

Ψ(e

e

i

) = x = e

Ψ(x)

, e qui ontredirait l'inje tivitéde

Ψ

e

. D'où

x = 0

et

Ψ(e

e

i

) ∈ V

.

Leséléments de

G

2

étantdes isomorphismes,ona bien l'égalité annon ée. (2) Soit

z = x + y ∈ C ⊕ V

.

e

Ψ(z) = e

_{Ψ(x − y) = x − e}

Ψ(y),

et

Ψ(z) = x + e

e

Ψ(y) = x − e

Ψ(y)

ar

Ψ(y)

e

appartient à

V

d'après(1) de laRemarque 1.2.2. Ainsi,

Ψ(z) = Ψ(z)

. (3) Soit

z ∈ O

.

||e

Ψ(z)||

2

_{= e}

_{Ψ(z) e}

_Ψ(z),

= e

Ψ(z) e

Ψ(z)

d'après (2)de laRemarque 1.2.2

,

= e

Ψ(zz) = zz =

_||z||

2

ar

zz ∈ C.

Ainsi, lorsqu'on prendra en onsidération un ertain

Ψ ∈ G

e

2

, on regardera indiéremment

Ψ ∈ GL

e

8

ou sa restri tion à

V

:

Ψ

e

|V

∈ GL

7

, qui, par abus de notation, seront souvent notés identiquement.

Dénition 1.2.3.  Dénissons laforme trilinéaire

ω

0

sur

O

suivante:

∀ x, y, z ∈ O,

ω

0

(x, y, z) = Re ((xy)z) ,

D'après la Remarque 1.1.2, la restri tion de la forme trilinéaire

ω

0

à l'espa e ve toriel

V

des o taves de Cayley vérie :

∀ x, y, z ∈ V,

ω

0

(x, y, z) = − Re ((xy)z) .

Larestri tion de

ω

0

à

V

est uneformetrilinéairealternée. Eneet, sil'on onsi-dère

x, y

et

z

trois éléments de

V

et si l'on note

xy = s + t

la dé omposition en partieréelle et imaginairedu produit

xy

, alors

yx = s − t

. Ainsi,

Re((xy)z) = Re((s + t)z = Re(tz),

et

Re((yx)z) = Re((s − t)z) = − Re(tz),

don

ω

0

(x, y, z) = −ω

0

(y, x, z).

On peut montrer pareillementque pour trois éléments

x, y, z

de

V

,on a

ω

0

(x, y, z) = −ω

0

(x, z, y).

Ainsi,sur

V

,

ω

0

est une formetrilinéairealternée; elle appartient don à

Λ

3

_V

.

Dénition 1.2.4.  Dénissons

ω

0

, appartenant à

Λ

3

_V

, la forme trilinéaire alternée dénie par :

∀ x, y, z ∈ V,

ω

0

(x, y, z) = − Re((xy)z).

Remarque 1.2.5.  La forme trilinéaire

ω

0

sur

O

n'est pas alternée à ause deso tavesde Cayleyréellesqui ommutentave touteautreo tave.Cependant, laformetrilinéaire

ω

0

sur

V

, elle, est bien alternée.

Au Chapitre 2, on asso ie à une forme trilinéaire alternée sur

V

une forme quadratiquede lamanièresuivante :

Dénition 1.2.6.  Soit l'appli ation rationnelle

Φ

suivante:

Φ : P(Λ

3

_V

∗

₎

_

_

_

_

_

_

//

P(Sym

2

V

∗

₎

[ω] 7−→ [Q

ω

]

où

B

ω

, la forme bilinéaire symétrique asso iée à la forme quadratique

Q

ω

, est déniepar :

∀ x, y ∈ V,

B

ω

(x, y) = ω(x, ·, ·) ∧ ω(y, ·, ·) ∧ ω(·, ·, ·).

Le fait que

Q

ω

est bien une forme quadratique quel que soit

ω ∈ Λ

3

_V

∗

est asso iée à laforme trilinéairealternée

ω

0

dénie sur

V

est proportionnelle à laforme quadratique anoniquesur

V

. Plus pré isément,on a

Q

0

= 6Q

.

Remarque 1.2.7.  Laformetrilinéaire

ω

0

sur

V

est alors dite non-dégénérée selon ladénition 2.2.3 puisque laforme quadratique

Q

0

qui luiest asso iée est non-dégénérée. La notion de forme trilinéaire alternée non-dégénérée sur

V

est l'objet du Chapitre 2 ety sera don développée en onséquen e.

Le groupe linéaire

GL

7

agitsur

Λ

3

_V

∗

etsur

Sym

2

V

∗

de la manière suivante:

∀ g ∈ GL

7

,

∀ ω ∈ Λ

3

_V

∗

,

∀ β ∈ Sym

2

V

∗

,

∀ x, y, z ∈ V

:

g · ω(x, y, z) = ω (g

−1

_{(x), g}

−1

_{(y), g}

−1

_{(z)) ,}

et

g · β(x, y) = β(g

−1

_{(x), g}

−1

_(y)).

Notons

Stab(ω

0

)

le stabilisateur de

ω

0

sous l'a tion de

GL

7

:

Stab(ω

0

) = {g ∈ GL

7

| g · ω

0

= ω

0

}.

Lorsque

g

appartientà e stabilisateur, ondit que

g

préserve

ω

0

.

Lemme 1.2.8.  Pour tout

g ∈ GL

7

, et pourtout

ω ∈ Λ

3

_V

∗

,

g · B

ω

= det(g) B

g·ω

Démonstration.  Notons

f

i

1

,...,i

k

:= f

i

1

∧ · · · ∧ f

i

k

.

Soient

g ∈ GL

7

,

ω ∈ Λ

3

_V

∗

et

x, y ∈ V

. Le al ul de

B

g·ω

(x, y)

faitintervenir des produits extérieursde la formesuivante :

g · f

1,2,3

(x, ·, ·) ∧ g · f

4,5,6

(y, ·, ·) ∧ g · f

7,8,9

oùles

f

i

∈ V

∗

.Cependant,

g · f

1,2,3

(x, ·, ·) ∧ g · f

4,5,6

(y, ·, ·) ∧ g · f

7,8,9

= [f

1

(g

−1

(x)) g · f

2,3

− f

2

(g

−1

(x)) g · f

1,3

+ f

3

(g

−1

(x)) g · f

1,2

]

∧ [f

4

(g

−1

(y)) g · f

5,6

− f

5

(g

−1

(y)) g · f

4,6

+ f

6

(g

−1

(y)) g · f

4,5

]

∧ g · f

7,8,9

.

Or, lepremier terme est :

f

1

(g

−1

(x)) g · f

2,3

∧ f

4

(g

−1

(y)) g · f

5,6

∧ g · f

7,8,9

= f

1

(g

−1

(x))f

4

(g

−1

(y)) g · f

2,3

∧ g · f

5,6

∧ g · f

7,8,9

,

= f

1

(g

−1

(x))f

4

(g

−1

(y)) g · f

2,3,5,6,7,8,9

,

= det(g

−1

_)f

Don

g · f

1,2,3

(x, ·, ·) ∧ g · f

4,5,6

(y, ·, ·) ∧ g · f

7,8,9

= det(g

−1

_{) [f}

1

(g

−1

(x)) f

2,3

− f

2

(g

−1

(x)) f

1,3

+ f

3

(g

−1

(x)) f

1,2

]

∧ [f

4

(g

−1

(y)) f

5,6

− f

5

(g

−1

(y)) f

4,6

+ f

6

(g

−1

(y)) f

4,5

]

∧ f

7,8,9

.

Etainsi :

B

_g·ω

(x, y) = det(g

−1

_{) B}

ω

[g

−1

(x), g

−1

(y)],

B

_g·ω

(x, y) = det(g

−1

_{) g · B}

ω

(x, y),

soit

g · B

ω

(x, y) = det(g) B

g·ω

(x, y).

Lemme 1.2.9.  Si

g ∈ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

, alors

g

préserve

B

.

Démonstration.  Soit

g ∈ SL

7

telque

g · ω

0

= ω

0

. D'après le Lemme1.2.8,

g · B

ω

0

= (det g) B

g·ω

0

= B

g·ω

0

= B

ω

0

et omme

B

ω

0

= 6B

, on a

g · B = B

don

g

préserve

B

.

Le théorème suivant montre que le groupe

G

2

peut être onsidéré omme l'interse tion du stabilisateur de la formetrilinéairealternée

ω

0

ave

SL

7

. Théorème 1.2.10.  L'imagedu groupe

G

2

dans

GL

7

(C)

, par l'appli ationde restri tion à

V

, oïn ide ave

Stab(ω

0

) ∩ SL

7

:

G

2

≃ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

.

(2)

Démonstration.  Soit

Ψ ∈ G

e

2

. D'après (1) de la Remarque 1.2.2,

Ψ ∈ G

e

2

est entièrement déterminée par sa restri tion à

V

.Considérons don

Ψ := e

Ψ

_|V

larestri tion de

Ψ

e

à

V

. Montrons que

Ψ ∈ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

. Comme

G

2

est un groupe, l'inverse

Ψ

e

−1

de

Ψ

e

appartient aussi à

G

2

. Soient

x, y, z ∈ V

.

Ψ · ω

0

(x, y, z) = − Re ((Ψ

−1

(x)Ψ

−1

(y)) Ψ

−1

(z)) ,

= − Re



Ψ

e

−1

_(xy)



_Ψ

−1

_(z)



_,

= − Re



Ψ

e

−1

_((xy)z)



_,

Ainsi,

Ψ

préserve

ω

0

.

(3)

Or, par (3) de laRemarque 1.2.2,

Ψ

préserve

B

:

Ψ · B = B.

(4)

Mais,d'aprèsleLemme1.2.8,

Ψ · B = (det Ψ)B

, e quiimpose

det Ψ = 1

.Ainsi:

G

2

⊂ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

.

Inversement, il sut de montrer que le prolongement par l'identité sur

C

de haque

g ∈ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

est un automorphisme de

O

. Soit

g ∈ SL

7

vériant

g ·ω

0

= ω

0

.Onnote

eg

sonprolongementà

O

vériant

eg

|C

= id

.D'aprèsleLemme 1.2.9,

eg

−1

préserve

ω

0

. Eneet, pour tous

x, y, z

appartenant à

V

,

g

−1

_{· ω}

0

(x, y, z) = ω

0

(x, y, z),

etpour tout

λ ∈ C

etpour tous

x, y ∈ V

, ona

eg

−1

_{· ω}

0

(λ, x, y) = ω

0

[eg(λ), eg(x), eg(y)] = ω

0

[λ, eg(x), eg(y)],

= − Re [[λeg(x)]eg(y)] = − Re [[eg(λx)]eg(y)] = B(g(λx), g(y)),

= B(λx, y) = − Re[(λx)(y)]

d'après leLemme 1.2.9

,

= ω

0

(λ, x, y).

Enn, pour tous

λ, µ ∈ C

etpour tout

x ∈ V

,

eg

−1

_{· ω}

0

(λ, µ, x) = ω[λ, µ, eg(x)] = − Re [(λµ)eg(x)] = −λµ Re [eg(x)] ,

= 0 = ω

0

(λ, µ, x)

En on lusion,

eg

−1

· ω

0

= ω

0

.

Pour montrer que

eg

est un automorphisme de

O

, il sut de montrer que pour tous

i, j ∈ {1, . . . , 7}

, ona:

eg(e

i

e

j

) = eg(e

i

)eg(e

j

).

(5) Nousallons utiliser lesdeux propriétés suivantes vériées par

g

:

(1)

eg

−1

préserve

B

don

∀x, y, z ∈ O,

Re [eg(x)eg(y)] = Re(xy),

(2)

eg

−1

préserve

ω

0

don

Soit

z ∈ V

et soient deux éléments distin ts

i, j ∈ {1, . . . , 7}

. Comme

i 6= j

,

e

i

e

j

appartient à

V

. On a :

Re [[g(e

i

)g(e

j

)] g(z)] = Re [(e

i

e

j

) z]

d'après(2)

,

= Re [(g(e

i

e

j

)) g(z)]

d'après(1)

,

don

Re [[g(e

i

)g(e

j

) − g(e

i

e

j

)] g(z)] = 0.

Comme

g(z)

par ourt tous lesélémentsde

V

lorsque

z

varie, ona :

Im [g(e

i

)g(e

j

) − g(e

i

e

j

)] = 0.

Pour montrer l'égalité (5), il reste à omparer les parties réelles de

g(e

i

)g(e

j

)

et de

g(e

i

e

j

)

. D'après (1) de la Remarque 1.2.2,

g(e

i

e

j

) ∈ V

, don sa partie réelle est nulle. Étudions lapartie réelle

Re [g(e

i

)g(e

j

)]

.D'après (1),

Re [g(e

i

)g(e

j

)] = Re(e

i

e

j

) = 0,

don

g(e

i

)g(e

j

)

et

g(e

i

e

j

)

ayantmêmepartiesréellesetmêmepartiesimaginaires, sont égaux.

Dansle as où

i = j

,

e

2

i

= −1

et

eg(e

2

i

) = −1

. D'après (1) et(2),

∀z ∈ V

,

Re [(eg(e

i

)

2

) eg(z)] = Re[(e

2

i

)z] = Re(−z) = 0,

et

Re[eg(e

2

i

)eg(z)] = Re[−eg(z)] = 0.

Don

Im [eg(e

i

)

2

_{] = 0 = Im[eg(e}

2

i

)]

. Regardons les parties réelles : d'après (1),

Re[eg(e

i

)

2

] = Re(e

2

i

) = −1 = Re[eg(e

2

i

)]

. Don ,

eg(e

i

)

2

_{= eg(e}

2

i

)

.

Ainsi,

∀g ∈ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

, ∀x, y ∈ O,

eg(xy) = eg(x)eg(y),

soit :

∀g ∈ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

, eg ∈ G

2

où

eg

est le prolongement de

g

par l'identité sur

C

. Don

Stab(ω

0

) ∩ SL

7

⊂ G

2

et, don :

G

2

≃ Stab(ω

0

) ∩ SL

7

.

Anonslelienentre

Stab(ω

0

)

et

G

2

.Pour ela, nousallonsétablirles lemmes suivants:

Lemme 1.2.11.  SoitGungroupedeLiesemisimple onnexeet

g

sonalgèbre de Lie. Considérons la représentation adjointe :

où

Aut(g)

désigne les automorphismes de

g

et

d(C

g

)

la diérentielle de l'appli- ation

C

g

de onjugaison par

g

:

C

g

: G −→ G

h

_{7→ ghg}

−1

_.

Alors (1)

Z(G) ≃ ker(Ψ)

, (2)

Im(Ψ) ≃ Aut

◦

_(g)

, où

Aut

◦

_(g)

est la omposante onnexe de l'identité de

Aut(g)

,

(3)

coker(Ψ)

est isomorphe au groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin de

g

, noté

Aut(Dynkin(g))

.

Ainsi la suite suivante est exa te :

1 → Z(G) → G → Aut(g) → Aut(Dynkin(g)) → 1

et

G/Z(G) ≃ Aut

◦

_(g)

Démonstration.  La preuve omplète fait l'objet de la Proposition D.40 de l'appendi e D de [FH91℄. Nousne montronsi i quele point(1)du lemme.Soit

G

ungroupedeLie onnexeet

Ψ

l'appli ationdéniedanslelemme.Si

g ∈ Z(G)

alors

C

g

= id

don

d(C

g

) = id

;par onséquent

g ∈ ker(Ψ)

.Inversement, soit

g ∈

ker(Ψ)

. Expli itons le entralisateur de

{g}

:

Z

G

({g}) = {h ∈ G | ghg

−1

_{= h}}

. On a

Z

G

({g}) = {h ∈ G | C

g

(h) = h}

don

T

0

(Z

G

({g})) = {X ∈ g | d(C

g

)X =

X} = g

puisque

d(C

g

) = id

. Ainsi,

Z

G

({g})

est un sous-groupe fermé de

G

qui a même algèbre de Lie que

G

. Comme

G

est onnexe,

Z

G

({g}) = G

(voir le premier Théorème du hapitre

5

, Ÿ

13.1

de [Hum75℄); e qui montre que

∀h ∈ G, hg = gh

, don que

g ∈ Z(G)

.

Nousallonsutiliser e lemmeappliquéaugroupede Liesimple

G

2

. Pour ela, nous avons besoinde prouversa onnexitéet d'étudier son entre

Z(G

2

)

.

Retournons don un moment à l'étude des o taves de Cayley, dé rite dans [Bae02℄.

Sil'on onsidère

b

1

∈ V

telque

b

2

1

= −1

,alors

b

1

engendre une sous-algèbrede

O

isomorpheà

C

C

. Si l'on onsidère deux éléments de

V

de arré

(−1)

qui anti- ommutent,alorsilsengendrentunesous-algèbrede

O

isomorpheau omplexié des quaternions

H

C

. Enn, si l'on onsidère

b

1

, b

2

et

b

3

trois éléments de

V

de arré

(−1)

qui sont tels que, pris deux à deux, ils anti- ommutent et tels que

(b

1

b

2

)b

3

= −b

3

(b

1

b

2

)

, alors ilsengendrentl'algèbre

O

.

Interprétonsgéométriquement ettenotionde tripletbasique.Soient

b

1

, b

2

∈ V

tels que

b

2

i

= −1

et

b

1

b

2

= −b

2

b

1

. Notons

S

6

_{:= {x ∈ V | kxk}

2

= 1}

.Alors

< b

1

, b

2

>= − Re(b

1

b

2

) = −

1

2

(b

1

b

2

+ b

2

b

1

) = 0

et

kb

1

k

2

= − Re(b

2

1

) = 1 = kb

2

k

2

.

Don

b

1

, b

2

∈ S

6

et

b

1

et

b

2

sontorthogonaux. D'oùla dénition suivante:

Dénition 1.2.12.  Untriplet

(b

1

, b

2

, b

3

) ∈ V

3

est appelétriplet basiquesi etseulement si

(1)

∀i ∈ {1, 2, 3}, b

i

∈ S

6

,

(2) les ve teurs

b

i

sont deux à deux orthogonaux, (3) les deux ve teurs

b

1

b

2

et

b

3

sont orthogonaux.

L'algèbreengendrée par un triplet basique est l'algèbre

O

tout entière.

Parexemple,letriplet

(e

1

, e

2

, e

4

)

estuntripletbasiquemaisletriplet

(e

1

, e

2

, e

3

)

ne l'est pas. En eet,

e

1

e

2

= e

3

e qui ontredit la troisième assertion de la dénition.

À tout tripletbasique

(x, y, z)

, onpeut asso ier la base de

O

suivante :

(1, x, y, xy, z, (xy)z, yz, xz)

quisuit lesmêmerègles de multipli ations(àun ordreprès) que ellesindiquées par lediagramme de Fano pour la base :

(1, e

1

, . . . , e

7

).

Le produit de deux éléments parmi

{x, y, xy, z, (xy)z, yz, xz)}

est don un élé-ment de

{x, y, xy, z, zx, zy, z(xy)}

.

Legroupe

G

2

des automorphismes de

O

est enbije tion ave l'ensemble

T

des tripletsbasiques.Parvoir ela,onxeuntripletbasique,par exemple

(e

1

, e

2

, e

4

)

. À un élément

g

de

G

2

, on asso ié l'image, notée

(x, y, z)

du triplet basique

(e

1

, e

2

, e

4

)

. Ce nouveau triplet est aussi un triplet basique. En eet, on a par exemple

x

2

_{= (g(e}

1

))

2

= g(e

1

2

) = g(−1) = −1

et

< x, y > = − Re(xy) = −

1

2

(xy + yx) = −

1

2

(g(e

1

)g(e

2

) + g(e

2

)g(e

1

)) ,

= −

1

2

(g(e

1

e

2

+ e

2

e

1

)) = 0

basique

(x, y, z)

.Ondénitl'appli ationlinéaire

g

suivante.Labase

(1, e

1

, . . . , e

7

)

s'é rit ommesuit:

(1, e

1

, e

2

, e

1

e

2

, e

4

, (e

1

e

2

)e

4

), e

2

e

4

, e

1

e

4

)

enfon tionde

(e

1

, e

2

, e

4

)

. Posons























g(e

1

) = x,

g(e

2

) = y,

g(e

4

) = z,

g(e

i

e

j

) = g(e

i

)g(e

j

)

pour

e

1

e

2

, e

1

e

4

et

e

2

e

4

,

g[(e

1

e

2

)e

4

] = (xy)z.

L'appli ationlinéaire

g

estun isomorphismede

O

puisque

hx, y, zi = O

.Deplus,

g

est un automorphisme de

O

ar, pour tout hoix

a, b

de deux élémentsparmi

{e

1

, e

2

, e

1

e

2

, e

4

, (e

1

e

2

)e

4

), e

2

e

4

, e

1

e

4

}

, on a

g(ab) = g(a)g(b)

d'après la similarité des tables de multipli ationdes algèbres engendrées par

e

1

, e

2

et

e

4

et

x, y

et

z

.

Par ette orrespondan e, il existe un etun seul automorphisme asso ié à un tripletbasique.

Lemme 1.2.13.  Le groupe

G

2

est onnexe.

Démonstration.  I i, et e sera l'unique o urren e du groupe réel

(G

2

)

R

:=

Aut(O

R

)

, nous allons montrer que

T

et don

(G

2

)

R

(étant isomorphe à

T

), est un groupe ( ompa t) et onnexe. Le groupe omplexe

G

2

sera don lui-aussi onnexe. L'ensemble

S

6

est onnexe

(2)

. Soit

A := {(x, y) ∈ (S

6

₎

2

_{| < x, y >= 0}}

muni de la proje tion sur la première oordonnée. L'ensemble

A

est une ltration sur la base

S

6

de bre

F

x

0

= {y ∈ S

6

_{| < x}

0

, y >= 0}

en

x

0

.Pourtout

x

0

∈ S

6

,

F

x

0

,étantl'interse tion de

S

6

ave unhyperplan,estisomorpheà

S

5

,don onnexe.Labase

S

6

et haque bre étant onnexe, l'ensemble

A

est lui-même onnexe.

On onsidère

T

_{= {(x, y, z) ∈ (S}

6

)

3

_{| (x, y) ∈ A}

et

xz = −zx, yz = −zy

et

(xy)z = −z(xy)},

muni de la proje tion sur les deux premières oordonnées. Alors,

T

est une ltration sur la base

A

, de bre

F

(x

0

,y

0

)

:= {z ∈ S

6

| x

0

z = −zx

0

, y

0

z =

(2)

Eneet,on onsidèrel'appli ationsuivante:

f :

SO

7

−→ S

6

M

7→

M (e

1

).

L'appli ation

f

est ontinue;

SO

7

étant onnexe,

Im(f )

est onnexe. Or,

f

est surje tive. En eet, pourtout

x ∈ S

6

,onpeuttrouverseptve teurs

u

i

telsque

(u

1

, . . . , u

7

) = (x, u

2

, . . . , u

7

)

soitunebase orthonorméede

V

. Notons

P

l'appli ation linéairevériant

∀i ∈ {1, . . . , 7}, P (e

i

) = u

i

.En e as,

P ∈ O

7

et,quitteàrempla er

u

7

en

−u

7

,onpeutsupposerque

P ∈ SO

7

.Onaalors

f (P ) = P (e

1

) = x

, d'oùlasurje tivitéde

f

.Ce imontrela onnexitéde

S

6

.Parlemêmeraisonnement,étantdonnéque touslesensembles

SO(n, C)

sont onnexespour

n > 1

,touteslessphères

S

n

−zy

0

et

(x

0

y

0

)z = −z(x

0

y

0

)}

en

(x

0

, y

0

)

. Pour tout

(x

0

, y

0

) ∈ A

, les trois équa-tions dénissant

F

(x

0

,y

0

)

dé rivent ha une un hyperplan distin t. Vu que l'in-terse tion d'une sphère

S

n

ave un hyperplan est isomorphe à une sphère de type

S

n−1

, haque bre

F

(x

0

,y

0

)

est isomorpheà

S

3

.Chaquebre

F

(x

0

,y

0

)

estdon onnexe,la base

A

étant onnexe,

T

est aussi onnexe.

Ainsi,

G

2

est onnexe.

Regardons àprésentle entre de

G

2

.

Lemme 1.2.14.  Le entre

Z(G

2

)

est réduit à l'identité. Démonstration. 

(3)

Soit

g ∈ Z(G

2

)

. Par dénition,

g

ommute ave tout élément de

G

2

. Considérons en parti ulier

h ∈ G

2

tel que

h(e

1

) = e

1

. On a

g(e

1

) = g(h(e

1

)) = h(g(e

1

))

don

g(e

1

) ∈ ker(h − I)

. Ainsi,

g(e

1

) ∈ ∩

_h∈G

2

| h(e

1

)=e

1

ker(h − I).

Prenonsdeux telséléments

h

1

, h

2

∈ G

2

dénis ommesuit :

h

1

laisse stable

e

1

et permute

e

2

et

e

4

; il s'agitdon de l'automorphismequi envoie le tripletbasique

(e

1

, e

2

, e

4

)

surletripletbasique

(e

1

, e

4

, e

2

)

;

h

2

laissestable

e

1

etpermute

e

2

et

e

5

; ils'agitdon del'automorphismequienvoieletripletbasique

(e

1

, e

2

, e

5

)

surle

tri-pletbasique

(e

1

, e

5

, e

2

)

.Ainsi,d'unepart

(h

1

(e

1

), . . . , h

1

(e

7

)) = (e

1

, e

4

, e

7

, e

2

, −e

5

, −e

6

, e

3

)

etd'autrepart

(h

2

(e

1

), . . . , h

2

(e

7

)) = (e

1

, e

5

, e

6

, −e

4

, e

2

, e

3

, −e

7

)

.Leurssous-espa es propresasso iés à lavaleur propre

1

sont

ker(h

1

− I) = he

1

, e

2

+ e

4

, e

3

+ e

7

i

et

ker(h

2

− I) = he

1

, e

2

+ e

5

, e

3

+ e

6

i.

Comme

ker(h

1

− I) ∩ ker(h

2

− I) = vect{e

1

}

,

g(e

1

) ∈ vect{e

1

}

. Don ,

∃λ

1

∈

C/ g(e

1

) = λ

1

e

1

.D'aprèsl'équation(4)deladémonstrationdu Théorème1.2.10,

g

préservelanorme,don

λ

1

= ±1

.Ilenestdemêmepourtouslesautresve teurs

e

i

de

V

:

∀i ∈ {1, . . . , 7}, ∃λ

i

∈ {±1}/ g(e

i

) = λ

i

e

i

.

Fixons

i ∈ {2, . . . , 7}

.Onpeuttrouver

j ∈ {1, . . . , 7}/ (e

1

, e

i

, e

j

)

soituntriplet basique. Pour ela, il sut de prendre

e

j

tel que les trois ve teurs

e

1

, e

i

, e

j

ne soient pas alignés sur lediagramme de Fano. Soit l'automorphismeh qui envoie letriplet basique

(e

1

, e

i

, e

j

)

sur letriplet basique

(e

i

, e

1

, e

j

)

. On a :

λ

1

e

1

= g(e

1

) = g(h(e

i

)) = h(g(e

i

)) = h(λ

i

e

i

) = λ

i

h(e

i

) = λ

i

e

1

,

e qui prouve que

λ

1

= λ

i

. Ainsi, l'automorphisme

g

n'est autre qu'une homo-thétiede rapport

1

ou

−1

. Enn, d'aprèsle Théorème 1.2.10,le déterminant de

(3)