Groupement et dégroupement au sein d'un faisceau cathodique injecté dans un espace exempt de champs extérieurs, après avoir été modulé dans sa vitesse. II

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Groupement et dégroupement au sein d’un faisceau

cathodique injecté dans un espace exempt de champs

extérieurs, après avoir été modulé dans sa vitesse. II

R. Warnecke, J. Bernier, P. Guenard

To cite this version:

GROUPEMENT ET

DÉGROUPEMENT

AU SEIN D’UN FAISCEAU

CATHODIQUE

INJECTÉ

DANS UN ESPACE EXEMPT DE CHAMPS

_EXTÉRIEURS,

APRÈS

AVOIR

ÉTÉ

MODULÉ

DANS SA VITESSE. II. Par R. _WARNECKE, J. BERNIER et P. GUÉNARD.

DEUXIEME

PARTIE.

Groupement

dans un faisceau

électronique

commandé

par une modulation de vitesse

_sinusoïdale

quand

on tient

_compte

des effets de

_charge

_d’espace.

L’insuffisance de la théorie du rassemblement

«

_purement

cinématique

» dans un faisceau

électro-nique

modulé par contrôle de vitesse

_semble,

a

_priori,

évidente pour

l’application

à de nombreux cas

pratiques :

aux effets de la

_charge

_d’espace

en

l’absence de

_signal

alternatif,

s’ajoutent

en effet

les actions

_répulsives

des diverses

_portions

de faisceau

de densité différente. Intuitivement

déjà,

on

_conçoit

qu’il

ne doit pas être

_possible

en

_réalité,

comme le

prétend

la théorie du rassemblement

_{cinématique,}

de moduler

_{complètement}

l’intensité du courant de conduction d’un faisceau de vitesse moyenne

suffisamment

faible,

avec un tout

_petit

_signal

et

une très faible

_longueur

_d’espace

de rassemblement.

Deux méthodes ont été

_indiquées

_{pour tenir}

compte

des effets de

_charge

_d’espace

dans les

fais-ceaux modulés dans leur vitesse. La

_première

proposée

par Hahn

[10] [ I 1 ],

et

reprise par Ramo [12]

]

[13],

abandonnant la base du mouvement individuel des

électrons,

ramène le

_problème

à celui de la

propagation

d’ « ondes de

_charge

_d’espace

»

_qui,

excitées _par le

_signal,

se

_propagent

le

_long

du fais-ceau en subissant des modifications dont on utilise

les effets

_(par

influence dans le circuit de

_sortie).

Dans cette théorie on cherche à déterminer les

_types

d’ondes

_{qui peuvent}

se _propager le

_long

d’un faisceau d’électrons

_glissant

à l’intérieur d’un

tuyau

métallique

et à établir comment ces

_ondes,

excitées

par une différence de

_{potentiel périodique,}

_peuvent

provoquer au cours de leur

_propagation

une

modu-lation de courant de conduction.

Ainsi

_présenté

le

_problème

a alors

_quelque

_analogie

avec celui de la

_propagation

d’ondes

électromagné-tiques

le

_long

des conducteurs d’une

_ligne

de

trans-mission coaxiale

_{(les propriétés particulières}

d’un milieu de

_{propagation rempli}

de

_charges

mobiles étant essentiellement

_{introduites).}

Ce

_problème

_peut

être mis convenablement en

_équations,

même dans

le cas

_général,

à

_partir

des

_équations

de

Lorentz,

mais

malheureusement,

dès _que l’on aborde la

résolution,

les

_{complications}

_{mathématiques}

sont telles _que des restrictions

_importantes

doivent être

introduites

_(hypothèse

du

_{petit signal}

_par

_exemple)

ce

_qui

réduit considérablement la

_portée

des résultats. La seconde méthode

_proposée

_pour tenir

_compte

des effets de la

_charge

_d’espace

consiste à évaluer

la force

_électrique

résultante exercée sur un électron

en un

_point

_quelconque

du _{faisceau par} les _groupes

d’électrons distribués le

_long

de

_l’espace

de

grou-pement,

et à introduire

_{l’expression}

de cette force dans

_{l’équation}

du mouvement de l’électron. Cette méthode a

_déjà

été suivie _{par Webster}

_[4],

mais les

hypothèses

de cet auteur ne sont _pas

_légitimées

par les conditions

expérimentales

habituelles,

ce

qui

ôte

_également

aux résultats une

_{grande partie}

de leur valeur. C’est un

_procédé

_{du même genre}

qui

est utilisé

_ici,

mais avec des

_hypothèses

diffé-rentes

_qui,

_{bien que}

_{restrictives,}

_{correspondent}

néanmoins à un certain nombre de cas

_pratiques

importants.

Le

_problème

étudié

_correspond

au schéma de la

figure

I dans

lequel

un faisceau

_rectiligne

infiniment

long

est modulé en vitesse au niveau de MM’

puis

subit un

_groupement

_par

glissement.

Tant

qu’elles

ne _{sont pas}

_{explicitement}

_modifiées,

les

hypothèses

de la

_{première partie}

sont conservées dans cette étude

mais,

par souci de

simplicité,

on

se limite à l’utilisation d’une modulation de vitesse

sinusoïdale.

2. A.

_{- Équation}

du mouvement de l’électron.

- La résultante des forces exercées

par l’ensemble des électrons du faisceau sur un électron

_particulier

lui

_communique

une

_{accélération y}

_{qui, dépendant}

de son abscisse

(et

donc du

_temps

de transit

T),

modifie son _mouvement,

_lequel

cesse d’être uniforme

comme dans le rassemblement

_{cinématique;}

avec

y

= y

(T,

on a donc

Avec

on

_peut

écrire

Introduisons

_l’angle

de

_{transit 71}

= 1

(i

- Ô

sin j)

du rassemblement

_{cinématique,}

ce

_qui

_suppose

négligeable

devant ôl

_(donc

ô2

_négligeable

devant

_à),

il s’ensuit _que

2. B. - Avec

quelle

précision

doit-on chercher à évaluer T? - La forme de

l’équation (15)

fait entrevoir la

_possibilité

d’obtenir

_{l’expression}

de i

quand

on tient

_compte

des effets de

_{dégroupement,}

à

_partir

d’une correction à

_apporter

aux résultats

de la théorie du rassemblement

_{cinématique.}

Le terme correctif - du

_temps

de transit doit

évidemment être calculé avec la même

approxi-mation que son terme

_principal,

et ceci

_permet

_pour

certaines conditions restrictives d’obtenir une

expres-sion

_{analytique simple}

_pour

" lu

En

effet,

puisque

cela est _{fait pour} le calcul

de 71’ on doit

_négliger

_pour le calcul de f les termes du même ordre de

_grandeur

_que a2~,.

_Mais,

_{d’après (15),}

on doit donc

_négliger

dans ‘- ,

les termes de l’ordre

’o 0

de

_grandeur

de à2 au

_plus.

Inversement :

Si -’1 >

2,

les effets de

_{dégroupement longitudinal}

(/0

sont

_{négligeables}

_{pour le} calcul du

_temps

de transit.

Si

à,

la modification de z due aux amas de

(’0

-charges

est

_{prépondérante}

vis-à-vis de celle

_qui

résulte des variations de vitesse

_produites

exté-rieurement à l’entrée du

_système;

dans ce cas z

doit être calculé à l’aide de

_{plusieurs approximations}

successives.

Si 2

1

ô,

les effets de

_{dégroupement}

longi-Ç’O

tudinal

_{n’apportent qu’une}

correction au

rassem-blement

_{cinématique.}

Dans le dernier de ces trois cas, le fait de

négliger

’2 conduit

_{pour -}

à

_{l’expression simplifiée}

dans

_laquelle

les

_quantités

peuvent

être calculées à l’aide des relations

₍₃₎

et

₍₆₎

relatives au rassemblement

_cinématique

tout

en

_négligeant

les termes du deuxième ordre vis-à-vis

de à considéré comme infiniment

_petit

_principal.

2. C. - Calcul de l’accélération. -

a.

Hypo-THÈSES. - Les forces

qui agissent

sur le mouvement des électrons du faisceau dans l’électrode étui de la

_figure

1 sont : d’une

_part

celles

qui proviennent

des électrons du faisceau, d’autre

_part

celles

_qui

sont dues aux courants et aux

_{charges superficielles}

des

_parois

entourant le faisceau. Dans ce

_qui

suit on _{suppose que} les

_parois

sont suffisamment

_éloignées

du domaine où l’on étudie le mouvement de l’électron

pour que les forces résultantes

puissent

être

négligées.

Le

_problème

traité sera donc celui de la détermi-nation en P de l’intensité du courant de conduction

dans un faisceau

_rectiligne

infiniment

_long,

isolé

dans

_l’espace,

de densité constante en amont du

point

1B1 où il subit une modulation de vitesse sinu-soïdale de faible

_profondeur,

et maintenu

_cylindrique

par une focalisation

_magnétique

intense.

Cette dernière

_hypothèse

a une double nécessité :

théorique

et

_technique.

En

effet,

à moins de _supposer

un faisceau infiniment

_large,

ce

_qui

n’a aucune réalité

physique,

elle

_permet

d’admettre

_{implicitement}

que les

trajectoires

des électrons sont

rectilignes

et

parallèles

et de se

_rapprocher

ainsi des

_hypothèses

du rassemblement

_{cinématique.}

Si le

_champ

magné-tique

n’existait pas, ou n’avait _pas une intensité

suffisante,

l’onde de

_charge

_d’espace

accentuerait

les effets de

_dispersion

dus à des vitesses radiales des électrons et

_qui

existent

_déjà

au sein d’un faisceau

de section

finie,

même en l’absence de

signaux

alter-natifs. Ces vitesses radiales

_pourraient

avoir des

effets considérables et notamment

_pourraient

mas-quer

complètement

les effets normaux de la

modu-lation de _{vitesse que l’on cherche} à

_produire

et à

discuter.

En

_fait,

à cause des effets de haute

_fréquence

dans le modulateur et dans le

collecteur,

l’intro-duction d’un

_{champ magnétique}

focalisateur est

également

une nécessité

_technique

dont il est diffi-cile de s’affranchir

_{complètement}

dans les tubes à

modulation de vitesse

_puissants

et ceci

_quel

_{que soit} le

_système

de focalisation

_électrique

_que

_comportent

ces tubes.

Pour

_simplifier

les

_{développements mathématiques,}

on restreindra ici

_l’analyse

au cas où le faisceau a

un faible diamètre car, dans le cadre des

_hypothèses

restrictives

déjà

admises,

cette nouvelle

_hypothèse

permet

de considérer _que la densité

_{électronique}

est la même en tous les

_points

d’une même section droite du faisceau. ,

En

effet,

comme il est montré dans l’Annexe II par des considérations élémentaires concernant un

faisceau non _modulé, le

_rapport

entre le

_potentiel

U,.

à une distance r de l’axe et le

_potentiel

U,,, sur l’axe

est

_{approximativement}

10

intensité de

_courant),

ou encore

avec

On obtient alors

1

Fig. 4.

En

_prenant

les moyennes dans une section droite

ceci donne

Ainsi dès que

ou

on _pourra

_négliger

les variations radiales de la

phase

A et du

_degré

de rassemblement

c’est-à-dire considérer la densité du faisceau comme

uni-forme dans une même section droite

(2) :

c’est ce

qui

est fait dans la suite.

~?. EXPRESSION DE

_’".

- Solent : 2 a, le diamètre du

f aisceau ;

z, l’abscisse de la section droite où se trouve l’électron considéré P _par

_rapport

à la section

M,

où est

produite

la modulation de

vitesse;

~, l’abscisse d’une section

_quelconque

11~ de densité

électronique

(1) Unités pratiques G. G. S.

(2) Par _{exemple, pour} U 0 = j ooo _{V, 7~} = _{o, ~} A _cm-’, celte approxiimation est _{valable dès que le diamètre} du

faisceau en centimètres vaut 13 6.

D’après

les

_hypothèses

_{précédentes,}

la tranche N

d’épaisseur

dr

exerce sur l’électron P une force

de

_répulsion

dont la

_composante

suivant l’axe est

égale

en valeur absolue à 2

_{~~ e ~ (~) ~? (z,}

~,

r)

d~

où L) est

une fonction d’action ne

_dépendant

_que de la

dis-tance de P à _N, du diamètre du

faisceau,

et de la

distance de P à

l’axe,

donc

_{de 1 ç -:z ,}

, a et r.

En

_prenant

_{pour direction}

_positive

celle du

mouve-ment des

électrons,

la force élémentaire exercée

par la tranche N sur l’électron P est

_égale

à

Par suite,

l’accélération de l’électron P est

Puisqu’on

considère le faisceau comme étant transversalement

_homogène,

il n’interviendra dans

les _{calculs que la valeur moyenne}

_{de y}

dans une

section

droite,

soit

et, _par

suite,

également

la valeur moyenne de

Q,

soit

n’est fonction que du

groupe-ment ) j

2013 ,

on a

D’autre

_part,

mettant en évidence la

partie

pério-dique

de la densité p

(~),

on a

~2013~- =i-~/(~)

aBec ,..,

1’( 1 ) # o

po 0

’ ’

Il s’ensuit que l’accélération moyenne d’un électron dans la tranche P a _pour

_expression

Puisque

dans y

(z)

intervient non _{pas p}

(~)

mais

seulement

_{f t4),}

cela

_signifie

_qu’avec

les

_hypothèses

faites,

seules

_{interviennent,}

_{pour le}

_{dégroupement,}

les différences entre les valeurs locales de la densité

et sa _{valeur moyenne.} Ce résultat

_simple

admis

par Webster

[4]

sans

_{justification}

ni restriction

n’est valable que

lorsque

la variation radiale de

faisceau a un diamètre fini et sous réserve de la

condition

_(16).

C. EXPRESSION SIMPLIFIÉE DE LA FONCTION

D’ACTION

_{S~ (z, ~).}

- La fonction d’action

~>. (z, ~,

r) est maximum sur l’axe du faisceau, c’est-à-dire

pour r = o. Par suite sa _{valeur moyenne dans} une

section droite est _{telle que}

Or, ainsi

_qu’il

résulte d’un calcul

_classique,

D’autre

_{par t}

cette fonction est

_{représentable}

à moins de 3 pour 10o

_près,

ainsi

_{qu’il apparaît}

sur la

figure

5,

par la fonction e p

Il:

: dans cette

expression,

p est un coefficient

_numérique

voisin de 1,18, mais

_supérieur

à ce nombre. On trouvera à l’annexe III

_{l’expression}

_rigoureuse

de

_r).

Pour

alléger

les calculs on se contentera dans ce

_qui

suit

de

_{l’expression}

_simplifiée

_que l’on vient de donner et l’on

_remplacera

par

sachant

_qu’on

surestimera les effets de la

_charge

d’espace

en attribuant à _{p la valeur 1,18}

_(3).

d. CALCUL DE

_y.

- On

remplace

dans

₍₁₈₎

par sa valeur

₍₆₎

donnée par la théorie du

rassem-blement

_{cinématique,}

soit

₍₄₎

avec

(On supprimera

dorénavant le

_symbole

_ch, étant bien entendu que l’on ne

_prendra

_{que la}

partie

réelle

du résultat

_final.)

Posons

d’où

et en

_remarquant

_que

(3) Notons que pour

ce _qui fait _{qu’à partir} d’unc distance P _égale au diaIl1èlre

du faisceau, tout se _passe comme si la charge totale d’une section droite était localisée sur l’axe. D’autre _{part, lorsque a}

augmente indéfiiiiment, -Q tend vers i.

(4) Pour tenir compte de la variation radiale du poLenLiel,

il faudrait _remplacer À _{par ar} et a par or puis, dans le résultat

final, faire la moyenne dans une section droite.

l’élément différentiel des

_{intégrales figurant}

_{dans y}

s’écrit

Fig. j. - Courbes

représentatives de la fonction d’action. En traits _pleins En traits En _pointillés 1 En _pointillés e ’ « . Pour calculer

f2 d

et

/

on 0 ’ z "

permute

l’ordre

_{d’intégration}

d’où,

en

_remplaçants

par

On

_peut

dans l’élément différentiel

_{négliger à sin y}

devant

l’unité,

et on obtient ainsi la valeur suivante

de l’accélération de l’électron P due aux effets de

la

_{charge d’espace}

avec

e. CALCUL

DE 2013 2013

_Exprimons

dans

₍₁₉₎

(,) t et 1,

(Jo en fonction de z;

d’après (4)

/, =

z (1

₊

osino)

et T = - 0, donc Cùi - ï. = q - 01" sin ~.

Puisque

l’on

_néglige

02,

on a ôl. = 0-:-. Cette valeur

portée

dans

₍₁₄₎

donne

avec

2. D. - Calcul de

l’angle

de transit. - Précé-demment on a

_{supposé qu’on}

se trouvait dans des

conditions

_physiques

telles _que

Ainsi,

en faisant dans

(20)

et dans

₍₂₁₎

les

chan-gements

de variables dU =

x, ôz = y, on obtient

soit,

en ne considérant que la

_partie

réelle de

l’expres-sion ci-dessus

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE FOURIER DE T,

-Ce

_{développement,}

_{nécessaire pour}

_{obtenir .- i d’après}

lü

le

_paragraphe

0.

B.,

ne contient _{que des termes}

en sin mx, on _{posera donc}

avec

et l’on a

(5)

En

_particulier

Fig. 0. ~- Courbes _{représentatives} des variations de

en fonction de r = ô î~.

-Les a,,, ne

_dépendent

_{que du}

_degré

de

rassem-blement r = ~~, et du diamètre du faisceau

(par

cc

= ‘ cc

ils tendent vers zéro avec oc,

c’est-B 0 /

à-dire avec a.

En

_figure

6

_{et 7}

sont

_{représentées}

les variations de - a2 en fonction de ~~. _pour

diffé-rentes valeurs de

P2 ;

ces courbes montrent en

parti-a2

culier que pour o

ô. 1,41

on a

Elles montrent

_également

_{que, pour}

~’-~2

= i _par

exemple,

- a2 reste

compris

entre o et o,02 tant

que ~~. reste inférieur à z,6, tandis que

lorsque

8~. > z,8,

~i. et

_peut

devenir

_important

(ainsi

pour ~l. = 3,

a2 ~ -

o,5).

Fig. ~. - Courbes représentatives des variations de 2013 ~.

en fonction de i- == ûA. La courbe _{(1) correspond} à

--

= o. a-La courbe _{(2) correspond}

à L

= _{o, 3.} 0152." La courbe ₍₃₎ correspond

à

= i . La courbe _{(4) correspond}

àp2

= 2. (1.-2. E. - Calcul de l’intensité du faisceau modulés L’intensité du faisceau modulé est donnée

par les

équations (2)

avec

Dans le

_{développement,}

on doit

_négliger

les termes

qui

sont de l’ordre de

sont du même ordre

cle

_grandeur

_que

_ô2j,,

on a

et

ce

_qui

donne en

_particulier

_{pour le}

_premier

harmo-nique

de l’onde de courant

Ainsi,

dans le cadre des

_hypothèses

faites,

si

A 1 (-t.21 1

"’ -

"JB

2-

charge

d’espace

n’entraîne,

par

rapport

au rassemblement

_{cinématique,}

ni

dépha-sage, ni diminution de la

grandeur

maximum

_possible

de l’onde fondamentale

_(qui

reste

_{égale à}

2 X

0,~82

i,).

Elle entraîne

seulement,

pour un _espace de

rassem-blement _donné, une diminution de

_degré

de

rassem-blement,

qui

passe de la valeur . à la valeur ô. -

2013.

.

o- -2

Si l’on _suppose en outre que al. est

petit

(grou-pement faible)

de

_façon

_que l’on

_puisse

écrire

et

on obtient

₍₆₎

.

sont

_petits

mais non

négli-geables,

mais si

( 2013) 2

62

_A,

on obtient a-

-d’ois

(s) Cette _hvpothèse est identique à (elle de llahn

qui suppose, dans sa théorie, que f (z) petit. Le résultat ci-dessus constitue ine _{première approlimation qui}

corres-pond aux premiers termes du développement en série de cc

que Hahn écrit sin " 2 ‘ , son coefiicicnt a étant

propor-2

tionnel à Vp2 + .

On obtiendrait les termes suivants du _{développement} en

122

ce

_qui

conduit en

_particulier

_{pour l’onde} du courant

fondamentale à

avec

Ici encore la

_charge

_d’espace

n’entraîne pas de

déphasage

dans l’onde de courant mais, par le fait que a2 est

_négatif

le maximum

_{d’amplitude}

de celle-ci reste inférieur à celui du

rassem-blement

_{cinématique.}

Un

_déphasage

ne commencerait

à

_apparaître

_que

si

(il- )2

2

n’était pas

négli-.,

, -

,

geable;

ce

_déphasage

_dépendrait

alors de l’intensité

moyenne

io

par l’intermédiaire de K.

Exemple

numérique

Prenons

on a

La condition

_(16),

i 3 (

Koc2

_à2,

est

_largement

1 )

remplie,

ce

_qui

_permet

de

_négliger

la variation radiale du

_potentiel.

On sait que le _{coefficient p}

_provenant

de la fonction d’influence S2 et entrant dans les coefficients ai

est

_supérieur

à _1,18; en le

_prenant

_égal

à _{I, on.}

_majore

considérablement les effets de la

_charge

_d’espace,

ex2

avec cette valeur alors

1

On constate 62 A

_lorsque

_{ô~. ~ ;}

donc

avec les valeurs

_{précédentes}

tant _{que le}

_degré

de

rassemblement reste inférieur ou de l’ordre de

grandeur

de 2, les relations

(22)

et

(23)

restent

applicables.

Il

faudrait,

par contre,

appliquer (24)

pour 62,

compris

entre 2 et

4.

Dans

_l’exemple

_numérique

choisi,

si l’on diminue

la

_profondeur

de modulation de vitesse

à,

on ne

peut plus négliger

la variation radiale du

_potentiel

dès

_{que 0}

_{0,07 :}

_{pour 6}

=

0,07 et pour

1,5,

K ,

a2 ~ ,_ ~2i,;

dans ces conditions la formule

(23)

est

_applicable

_et,

comme

pour

on a, en

_particulier,

Par contre la formule

₍₂₄₎

serait

_{applicable lorsque}

1,5 01. 2 et cesserait de l’être _pour 2

(toujours

en

_supposant

_{p =}

_i).

COlVIPARAISON AVEC LES RÉSULTATS DE WEBSTER.

-

Webster suppose un faisceau infiniment

_large,

ce

_{qui correspond}

= o _{et trouve pour ôï. i,}

c

avec

Pour a~. « I nos résultats donnent

et, comme

en faisant

on a

relation

_identique

à celle de Webster

_lorsque

hl

est suffisamment

_petit

_{pour que}

Conclusions.

Rassemblement

_{cinématique. - Lorsque}

l’on

accepte

les

_hypothèses

d’un rassemblement

_purement

cinématique,

la théorie fait

_apparaître

_{que, dans} un

faisceau

_{électronique}

contrôlé par modulation de

vitesse,

il est

_possible

_{de provoquer} un

_groupement

d’électrons tel _que ce faisceau

_puisse

céder à un

champ électrique

sinusoïdal dt même

_{périodicité,}

agissant

parallèlement

à son mouvement, la

_quasi

totalité de son

_{énergie cinétique.}

L’obtention de ce

de

_glissement

dont

_{l’expression (en}

_phases)

est le

développement

en série de Fourier

Une telle durée du

_temps

de transit

_peut

être

pro-voquée

par le maintien d’une différence de

potentiel

alternative de

_période

2 J: et de

valeur moyenne

nulle

_(appliquée

entre les

_grilles

idéales d’un

modu-lateur

_mince)

_{telle que}

avec

La condition que

U (cp)

ait une valeur _moyenne

nulle entraîne pour .

ï. = ‘l

la valeur

particu-v(

lière

_{)./=====2TrB/A’(2013i)}

_qui

détermine une

longueur optimum d’espace

de

_glissement.

Déjà,

avec une variation du

_temps

de transit

selon une forme

_{correspondant}

à

on

_peut

_obtenir,

_par un

_réglage

_convenable,

un

rendement de conversion maximum de l’ordre de

_73,7

pour I oo; ce rendement est

_supérieur

de

_près

de _{16 pour} Ioo à la valeur bien connue

58,2

pour ioo

_qui

est trouvée _{pour le}

_réglage

optimum

dans le cas d’une modulation de vitesse

sinusoïdale de faible

_amplitude.

Effets de la

_charge

_d’espace.

---- Une méthode

générale

du calcul de l’intensité du courant de

conduction

_transporté

par un faisceau d’électrons

dont le

_temps

de transit est

_{périodiquement}

variable est

_indiquée.

Cette méthode est

_appliquée

à l’éva-luation des

_principaux

effets de la

_charge

_d’espace

dans un faisceau

rectiligne

infiniment

long

parfai-tement focalisé. Pour

_simplifier

les

_calculs,

_l’analyse

est restreinte au cas où le faisceau se

_déplace,

loin

de toute

_paroi,

dans une électrode étui éliminant

toute action

_électrique

extérieure,

après

avoir subi

une modulation de vitesse sinusoïdale.

_{L’expression}

de l’intensité est trouvée en se limitant

rigoureu-sement à

_{l’approximation}

faite habituellement dans

la théorie du rassemblement

_{cinématique,}

où l’on

néglige

827. devant

Avec les

_hypothèses

_introduites,

on constate que

le rayon a du faisceau _{intervient par} et

= -

et

PI) u

la densité _{moyenne ,-jo}

_{par K}

= 87- f Po. 1

ln W2 2

Les effets de la

_charge

_{d’espace proviennent :}

10 d’une variation radiale du

_potentiel,

impu-table à _{la valeur moyenne Po de} la densité du

fais-ceau et

_qui

_provoque en

_quelque

sorte un _manque

de cohésion dans la formation des

_paquets

sans

qu’aucune

force ne

_s’oppose

au mouvement des

électrons;

2° d’une variation

_{longitudinale}

du

_potentiel,

imputable

aux excès et aux _{manques locaux de}

densité _par

_rapport

à la densité _moyenne du

fais-ceau et

_qui,

_{par la force exercée} sur les

électrons,

tend à

_empêcher

la formation des

_paquets.

Ce dernier effet est

_appelé

«

_{dégroupement}

longitudinal

~r.

En

_particulier

_{pour l’onde de} courant fondamentale

les résultats suivants ont été obtenus :

I° Si

seul intervient le

_{dégroupement longitudinal.}

Dans ce cas : a.

_Lorsque

où

on a

avec

Par

_rapport

au rassemblement

_{cinématique,}

il

_n’y

a _pas de

_changement

de

_phase

et

_{l’amplitude}

de Él

il

peut également

atteindre la valeur maximum 2 X o, 5 8

(pour

u =

1,84).

Dans le _cas

particulier

où ôl est

petit (cas

des tubes

_{amplificateurs}

de

_réception),

on a

b.

_Lorsque

on a

mais comme a2 o,

_{l’amplitude}

maximum est

il,

toujours

inférieure à 2 x o,58a.

c. Pour

( )

(2

r > 2

0,

les résultats n’ont _pas été

r

) ’

explicités

mais on

_peut

voir

_{qu’il apparaît}

un

déphasage

qui dépend

de

_K,

donc de

_i.,

Fig. 8. Courbes représentatives des variations de _{JI (u)}

_ , K K i,

ç2 ~l

pour

= 1,92. . La courbe (0) correspond à a, = o. La courbe _{(1) correspond}

à ’-;

= _o.

La courbe _{(2) correspond}

à*2013

== _o5.

oe-La courbe _{(3) correspond}

à’-

= 1.

La courbe _{(4) correspond}

à~-;

= 2.

UO si

L

_Lorsque

le

_{dégroupement longitudinal}

_{n’intervient pas, il}

ne _{subsiste que l’effet dû} à la variation radiale du

potentiel.

On a

il y a alors

_déphasage,

fonction de

_{i o,}

mais

l’ampli-tude maximum

de i1

_peut

atteindre 2 X

o, 582

ta

1,84.

16

b. Le cas où

n’a _{pas été}

_explicité

non

_plus,

mais

_lorsque

on

_peut

voir

_qu’il

convient

_d’ajouter

les effets

men-tionnés sous I°a et et _{que l’on} a

Dans tous les cas où cela est

_possible,

_pour obtenir la même

_amplitude

_{de courant que} dans

_{l’hypothèse}

du rassemblement

_cinématique

il

_faut,

à

_profondeur

de modulation

_égale,

un _{espace de} rassemblement

_plus

grand.

Les

_figures

6

_{et 7}

donnent les variations des

coeffi-cients a, et a2 en fonction de r = 01. pour différentes

?

valeurs de

.,

La

_figure

8

_représente

la variation

de la

_{demi-amplitude}

de

-?

dans le cas

pour -

.,

10 ’l..- f,

égal

à

o,5,

et 2

(et

également

pour

= o,

quoique

ce dernier cas ne soit _pas

_compatible

avec le fait

qu’on néglige

la variation radiale du

potentiel .

Les

courbes de la

_figure

8 ont été tracées _pour des valeurs de K et d2

_{correspondant}

à

_{l’exemple numérique}

du

paragraphe précédent.

On a

_{ajouté également,}

en

pointillé

et à titre

_comparatif,

la variation de la

demi-amplitude

dans

_{l’hypothèse}

du

rassemble-"’0

ment

_{cinématique,}

c’est-à-dire la courbe

Les résultats obtenus dans cet article sont d’autant

plus

corrects _{que la vitesse moyenne v, des électrons} est

_grande

et _{que la densité} de courant

_io

est faible.

Il est en effet bien évident que, pour serrer de

_plus

près

les effets de la

_charge

_d’espace

dans le cas

général,

l’analyse

devrait faire

intervenir,

d’une manière

_plus

intime,

les limites des conducteurs de l’électrode étui. Mais les résultats revêtent alors

inévitablement une forme si

_compliquée

_que finale-ment ils

_perdent

de ce fait une

_partie

de leur utilité.

Par contre un intérêt

_important

des résultats

présentés

plus

haut vient de la forme

_analytique

simple

que l’on a _pu leur donner et

_{qui permet}

de les introduire et de les manier facilement dans les

problèmes

déjà

compliqués

en eux-mêmes de

_réglage

et de

_{prédétermination}

des tubes à modulation de vitesse. Cet intérêt est surtout sensible

_quand

il

s’agit

d’auto-oscillateurs ou

_{d’amplificateurs}

à

réac-tion _pour

_lesquels

la

_complication

des

_équations

est

_{particulièrement}

_grande

à cause des contraintes

de

_phases

_que l’on doit introduire dans les

_équations

des circuits

_couplés.

Un

_{problème particulièrement}

suggestif

à cet

_égard

est celui de l’étude

_théorique

des courbes de débit des tubes Wu =

1

(i 0)’

Wu =

f ( Uo).

On

_conçoit

_par

_exemple

facilement la

_complexité

en

_amplitude

d’un auto-oscillateur dans

_lequel

cette modulation est effectuée _{par la} variation du

potentiel

d’une

_grille

de contrôle

_disposée

devant la cathode. En

_effet,

dans ce cas, au cours du

_cycle

de

modulation, alternativement,

le courant

_Ío

_passe

d’une valeur faible à une valeur

_importante,

_{telle que} les effets de la

_charge

_d’espace

dans le tube de

glis-sement d’abord

_{négligeables}

ne le sont

_plus

ensuite.

A ceci

_s’ajoute

_{que, du} fait de la

_réaction,

la

pro-fondeur de modulation de vitesse

_{[variable avec io}

puisque VI = f (io)]

passe d’une valeur très

petite

à une valeur élevée

_{qui peut}

être _{telle que, si} le

couplage

entre le collecteur et le modulateur est

relativement

élevé,

les résultats habituels du

rassem-blement

_{cinématique (établis}

_{pour a}

C

₁₎

ne sont

déjà plus

valables eux-mêmes.

Appliquée

à des cas

_pratiques

rentrant dans le

domaine des

_hypothèses

restrictives

_qui

condi-tionnent sa

validité,

la théorie

_{précédente (qui}

montre des effets de

_charge

_{d’espace plus}

faibles _que ceux

que l’on

imaginerait

en

_général

fournit des

résultats en bon accord avec ceux _{que l’on}

_peut

déduire des mesures de

_puissance

utile de tubes

«

_klystron

». Pour ce

_type

de tubes on sait

main-tenant calculer avec

_beaucoup

d’exactitude les constantes des circuits

_équivalents

aux résonateurs

employés :

il est

_possible

par suite de déduire de

la

_puissance

utile

_{l’expression}

du

_groupement

effectif des électrons dans le faisceau

_(puisque

l’on connaît

_{l’impédance}

shunt des

circuits,

leurs

_pertes,

et d’autre

_part

l’influence de la «

_largeur

» des

_champs

de commande et de

_{prélèvement d’énergie);}

un

tel

_{rapprochement,}

effectué à

_{plusieurs reprises,}

a montré _{que la correction}

_qu’il

fallait

_apporter

au résultat de la théorie du rassemblement

cinéma-tique

était tout à fait de l’ordre de

_grandeur

_prévu

par la

présente

analyse.

ANNEXE II.

Considérons

_{( fig. 9)}

un faisceau

_cylindrique

d’élec-trons de rayon a

_injecté

dans une électrode étui

également

cylindrique

infiniment

_longue

de rayon

A,

de même axe, et de

potentiel U o.

Le

_potentiel

U

en un

_{point quelconque}

est donné _par les

_équations

Le

_potentiel

est donc

_{l’intégrale}

de

_{l’équation}

pour

pour

(région I ),

(région

II),

avec les conditions aux limites

pour

pour

Soit le

_potentiel

sur

l’axe,

_posons

Fig, q.

Les

_équations

deviennent

avec les conditions aux limites

La solution de

_(A)

_peut

se

_développer

en série

et on obtient ainsi

Pour de

_petites

valeurs de R

_(par

_exemple

R I

condition souvent réalisée en

_pratique)

on

_peut

se

limiter au

_premier

terme et écrire

L’équation (B)

s’intègre

sans difficulté et

donne,

compte

tenu des conditions aux

_limites,

(1

_J2

U 0

est relié à

CI’,

1/7 es re le a

il existe donc entre

_°2

ct

_R2

les relations

avec

avec

et

_0,

est _{donné par}

Cette

_{équation possède}

une racine I et deux

autres racines

_{correspondant}

l’une à un

_régime

stable,

l’autre à un

régime

instable. Ces deux racines

disparaissent

quand

et ceci nous donne la valeur maximum de

_Io

_que

l’on

_peut

admettre. Pour le courant total

_{maximum Ío}

on obtient la condition

A

qui

ne _{contient que}

_Uo

et le

rapport .

Pour la valeur maximum de

_Io,

on a

Pour

A

voisin de i,

Ri

est voisin de

4.

L’approxi-a 1

mation faite en utilisant la solution

_(C)

est alors

assez

_grossière.

Numériquement

on _a, en unités

_pratiques,

ANNEXE III.

La fonction

_représente

la

_composante,

suivant

l’axe,

du

_champ

créé en P

_{(fig. 4)}

_par le

disque

N,

de rayon a, de densité

_{superficielle}

unité. En

_prenant

a comme unité de

_longueur

et en

=

p, S n’est fonction que

a a

de x et _{de p. Si} V

_(x,

_p)

est le

_potentiel

créé en P

par le

disque

N,

on a

~~ (x,

_p)

==-

É.

Soit N’ la section droite du faisceau

_qui

_passe

par

P ;

la valeur moyenne de Q dans 11T’ sera

et si

_{V {x) est}

_également

_{la valeur moyenne} de

_{~’ ~x, ~ ),}

on a

évidemment k (r)

_

.2013.

Or,

*

avec

(p,

pl

sont

_{respectivement}

_{les rayons} vecteurs dans le

_disque

iVT’ de P et de la

_projection

de

M;

9 est

l’angle

de ces _rayons

_vecteurs).

En utilisant les identités

et

On obtient

Pour _passer des calculs effectués avec

_{l’expression}

simplifiée Ù.(x)

= e-,,-r _aux calculs corrects, il

convient,

formellement,

de

_remplacer

_p

_{par t,}

de

multiplier

d’intégrer

entre o et

l’infini. Par

_exemple,

le coefficient am du

dévelop-pement

en série de 1"

_(§

_2D)

s’écrira

BIBLIOGRAPHIE.

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1942, n° _{12, p. 306-312.}

[10] W. C. _HAHN, G.E. Review, 1939, 42, p. 258.

[11] W. C. _HAHN, G.E. Review, 1939, 42, p. 497. [12] S. _{RAMO, Phys. Rev., 1939, 56, p. 276-283.}