COURS BETON ARME CALCUL DES SECTIONS EN FLEXION SIMPLE (ELU) CHAPITRE 5 ISTEUB 2020

COURS BETON ARME

CALCUL DES SECTIONS EN FLEXION SIMPLE (ELU)

ISTEUB 2020

CHAPITRE 5

FLECTION

SIMPLE (ELU)

= 1,15 combinaison accidentelles et 1,50 dans les autres cas

θ =

1 ∶ > 24ℎ 0,9 ∶ 1ℎ ≤ ≤ 24ℎ 0,85 ∶ < 1ℎ

= 1,00 combinaison accidentelles et 1,50 dans les autres cas

CARACTERISTIQUE MECANIQUE DE CALCUL

(ACIER)

(BÉTON)

FLECTION

SIMPLE (ELU)

b

b₀ b₀

d'

b

h₀ A’

A A’

A

d

Le choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section d’acier dépend du type de fissuration.

CHOIX DU DIMENSIONNEMENT

FLECTION

SIMPLE (ELU)

b

b₀ b₀

d'

b

h₀ A’

A A’

A

d CHOIX DU DIMENSIONNEMENT

Zone Comprimée

Zone Tendue

Zone Comprimée

Zone Tendue

Zone Tendue

Zone Comprimée Zone Comprimée

Zone Tendue

Zone Comprimée Zone

Tendue

Zone Comprimée

Zone Tendue

SECTION

RECTANGULAIRE

o d : Hauteur utile de la section (distance entre le centre de gravité des armatures et la fibre la plus comprimée).

o A : Section totale des armatures tendues ;

o y : Distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée ;

o ξ

: Raccourcissement unitaire du béton de la fibre la plus comprimée ; o ξ

: L’allongement unitaire des armatures tendues ;

o F

: Résultante des efforts de compression dans le béton ; o F

: Résultante des efforts de traction dans l’acier ;

o Z : bras de levier (distance entre Fs et Fb).

Sans Armatures comprimées

o Résultante des efforts de compression dans le béton : = 0,8 ; F

passe à la mi hauteur de la zone comprimée, donc à une distance de 0,4y de la fibre la plus comprimée.

o Résultante des efforts de traction dans les aciers : F

= A σ

;

F

passe par le point a (centre de gravité des armatures tendues)

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Définitions des différentes droites de déformation possibles en flexion simple à l’ELU et des Pivots.

Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de déformation dans la section est fixé.

Ce point s’appelle le pivot.

Soit il correspond à la déformation limite de traction dans les aciers _s = 10 ◦/◦◦ : c’est le Pivot A, soit il correspond à la déformation limite en compression du béton _b= 3.5 ◦/◦◦ : c’est le Pivot B.

Toutes les droites de déformation comprises entre la droite (Pivot A, _b= 0) et (_s = 0 ◦/◦◦ , Pivot B) sont possibles. Le bon fonctionnement de la section de Béton Armé se situe aux alentours de la droite AB, car les deux matériaux - acier et béton - travaillent au mieux.

Droites de déformation - Pivots

SECTION

RECTANGULAIRE

Définitions des différentes droites de déformation

possibles en flexion simple à l’ELU et des Pivots.

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

Théoriquement ; la méthode déjà exposée est valable jusqu’à ce

que l’on ait y = d c’est à dire  = 1 ou bien µ = 0.480 ; mais

pratiquement il n’en ait pas ainsi car à partir d’une certaine valeur

de ξ

, donc de  , la contrainte σ

diminue rapidement et on arrive à

une section qui n’est pas économique.

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

SECTION

RECTANGULAIRE

Définitions des différentes droites de déformation possibles en flexion simple à l’ELU et des Pivots.

Valeurs de 

, du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus σ

en

fonction de la valeur du moment ultime réduit µ

.

SECTION

RECTANGULAIRE

Sans Armatures comprimées

,

, ; M

μ = M

b f ; y = α

= 1,25 1 − 1 −

μ ≤ μ

Pivot A Pivot B

μ ≤0,186

= 10⁰/₀₀ = 3,5⁰/₀₀

Solution Économique

= 0,69 μ = 0,4

Pivot B

Existence d ’Acier Comprimé

/00

= 3,50

Redimensionner la section

Données b ; h ; f_c28 ; f_e ; d’

Non

Oui

μ >0,186

FLECTION

SIMPLE (ELU)

f = ^,

μ = M

b f

Vérifier si A>A_min

= μ b f

=

9 f − 13 f + 415 1

; 500

9 f − 0,9 13 f + 415 1

; 400 Données

b ; b₀; h ; f_c28; f_e; d ; d’

M et M

= 1,25 1 − 1 −

= d 1 − 0,4

= M

z f + ′ f

μ ≤ μ

Non A’≠0 à partir

du tableau

Oui

γ = ; ′ =

= 1 −

,

′ =( ) μ = μ

M = M

=

Section rectangulaire (b x d)

=

b = b

= − −

Section T

M > M ^Oui

Non

<

Oui

b

b₀ b₀

d'

b

h₀ A’

A A’

A

d

= b ℎ f

= d −ℎ 2

=

Début

FIN

Contrainte équivalente des Aciers Comprimés à l’ELU

=1,15 combinaison accidentelles et 1,5 dans les autres cas θ =

1 ∶ > 24ℎ 0,9 ∶ 1ℎ ≤ ≤ 24ℎ 0,85 ∶ < 1ℎ

Dans l’étude des sections en T, on distingue deux cas suivant que la zone comprimée, de hauteur égale à (0.8y), se trouve située dans la table (fig-a), on bien dans la nervure (fig-b).

Fig-a : la section en T sera calculée comme une section rectangulaire de dimension (bxh) , puisque le béton tendu n’intervient pas dans les calculs de résistance.

SECTION EN TE

SECTION EN TE

Les sections en T se rencontre dans les planchers, les murs de soutènement, les tabliers de pont et, d’une manière générale et dans tous les ouvrages où l’on fait intervenir le hourdis à la résistance de la poutre.

Table de Compression

SECTION EN TE

Si la table se trouve dans la partie comprimée (travée), la section de calcul sera une section en T.

Zone Comprimée

Zone Tendue

Zone Comprimée Zone

Tendue

Zone Comprimée

Zone Tendue

Si la table se trouve dans la partie tendue, la section de calcul sera une section rectangulaire de largeur b₀, car le béton tendu n’est pas pris en compte dans les calculs de résistance.

Remarque

SECTION EN TE

Dans l’étude des sections en T, on distingue deux cas suivant que la zone comprimée, de hauteur égale à (0.8y), se trouve située dans la table (Fig-a), on bien dans la nervure (Fig-b).

Fig-a : calcul comme Section Rectangulaire (b x h)

Remarque

Fig-b : calcul Section T

SECTION EN TE

Soit la section en T suivante, soumise à un moment M

.

Supposant que, pour cette valeur du moment, la hauteur de la zone comprimée soit égale à h

(0,8y = h

)

Axe Neutre dans la Table de Compression

SECTION EN TE

Axe Neutre dans la Nervure

M₀ : Moment fléchissant équilibré par la table de compression.

Le Bilan des Efforts

o Si M ≤ M

→ l’axe neutre se trouve dans la table et la section en T sera calculée comme une section rectangulaire de dimensions (b x h).

o Si M > M

→ l’axe neutre se trouve dans la nervure et la section de calcul sera une

section en T.

SECTION EN TE

Axe Neutre dans la Nervure

F

: la résultante des efforts de compressions sur la partie simplement hachurée (ailette) appliquée à h

/2de l’arrête supérieure.

F

: la résultante des efforts de compression sur la partie doublement hachurée appliquée à (0.4y) de l’arrête supérieure.

F

: la résultante des efforts de traction dans les armatures tendues.

SECTION EN TE

Axe Neutre dans la Nervure

Le Bilan des Efforts et Équations d’Équilibre

= z

SECTION EN TE

Axe Neutre dans la Nervure

Le Bilan des Efforts et Équations d’Équilibre

D’autre part on rappelle qu’on a :

Et on a aussi :

POUCENTAGE MINIMAL D’ARMATURE

SECTION RECTANGULAIRE

= 0,23

= 0,81 ℎ ′

SECTION EN T

= ℎ + ( − ) ℎ

2 ℎ + ( − ) ℎ

= ℎ −

= ℎ

3 + − ℎ

3 − ℎ + ( − ) ℎ

< 0 =

0,81 ℎ