TD 2: Écoulements bidimensionnels

TD 2: Écoulements bidimensionnels

Loïc Simon, Mahdi Ben Jelloul Mercredi 24 mars 2004

1 Généralités - Fonction courant

Montrer que le champ de vitesses de l'écoulement incompressible d'un uide dérive d'un potentiel vecteur Ψ. On suppose de plus maintenant, et dans toute la suite du problème, que :

• L'écoulement est bidimensionnel : v = v_x(x, y, t)e_x +v_y(x, y, t)e_y. Déduire de ce qui précède (Ψ) qu'il existe une fonction ψ(x, y, t) telle que v = (∇ψ)∧k. Montrer que les courbes d'équation ψ = Cte sont les lignes de courant de l'écoulement ; la fonction ψ est pour cela appelée fonction courant de l'écoulement. Donner une formulation simple portant surψ des conditions aux frontières.

• L'écoulement est irrotationnel : ∇∧ v = 0. Montrer que la fonction ψ vérie ∆ψ = 0. Puis en déduire une propriété d'existence et d'unicité d'un écoulement incompressible irrotationnel, pour des conditions aux limites données. Est-il nécessaire de supposer au préalable que l'écoulement est inviscide ?

2 Exemples

Déterminer en coordonnées cylindriques (ρ, θ) la fonction courant décrivant les écoule- ments suivants :

• Écoulement uniforme de vitesseU0 parallèle à l'axe Ox.

• Source ponctuelle de uide de ux m située à l'origine O.

•Dipôle de momentµet d'axeOxsitué à l'origineO : il est déni comme la superposition de deux sources2πµ/ε en εex/2et −2πµ/ε en−εex/2.

• Vortex ponctuel de circulation (vorticité) Γsitué à l'origine O.

3 L'eet Magnus

Considérons un uide de densité ρ, dans lequel un objet bidimensionnel (inni dans la directionk) se déplace à vitesse constanteV0 ⊥k. Le uide est supposé au repos inniment loin de l'objet dans le plan Oxy. On cherche à évaluer la force qu'exerce le uide sur cet objet.

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3.1- Considérons un cylindre C de rayon a et d'axe k. Montrer que la forme générale de l'écoulement bidimensionnel incompressible irrotationnel du uide autour du cylindre qui est uniforme de vitesseU₀ =U₀e_x à très grande distance a pour fonction courant :

ψ =U₀rsinθ− U₀a²sinθ

r − Γ

2πlnr a

Discuter l'origine et la nature des trois termes de cette expression. On précisera en parti- culier la signication physique de Γ, et on notera Γ= Γk.

3.2- Préciser les points de stagnation de l'écoulement en fonction du rapportΓ/4πU₀a. Donner l'expression p(θ) du champ de pression du uide à la surface du cylindre. Calculer la force F qu'exerce un uide au repos à grande distance sur un cylindre de rayon a et d'axe k qui s'y déplace à la vitesse constante V₀ ⊥k .

3.3- Même question pour un corps mince d'axekse déplaçant dans le uide à la vitesse constante V₀ ⊥ k avec un angle petit par rapport à la direction V₀. Que constate-t-on ? Pourquoi suppose-t-on que l'angle est petit ? On peut montrer que la relation obtenue dans ces cas particuliers est vraie quelle que soit la forme du corps considéré (eet Magnus).

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