Weighted coloring on planar, bipartite and split graphs: complexity and improved approximation

(1)

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Submitted on 26 Jan 2005

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Weighted coloring on planar, bipartite and split graphs:

complexity and improved approximation

Dominique de Werra, Marc Demange, Bruno Escoﬀier, Jérôme Monnot,

Vangelis Paschos

To cite this version:

Dominique de Werra, Marc Demange, Bruno Escoﬀier, Jérôme Monnot, Vangelis Paschos. Weighted

coloring on planar, bipartite and split graphs: complexity and improved approximation. xxx, 2004,

France. pp.896-907. �hal-00004074�

(2)

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(3)

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21

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(4)

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1 , . . . , c

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C

j

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j

)

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j

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i

)

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V

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G

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G

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V

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T

i

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T

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i

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T

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, v

p

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v

2

2 k−1

v

1 T

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2 k−3

v

3

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v

1

2 k−2

v

2

2 k−1

v

1 T

2 T

1

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T

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2

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T

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T

1 , T

2 , T

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0 _{, w)}

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0 _{, E}

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G

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G

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G

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1 , . . . , V

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G

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k

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21

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32

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1 , . . . , x

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m

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BP

1

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BP

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K

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BP

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2 , R

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2 )

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L

2 = {l

1 , . . . , l

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}

R

2 = {r

1 , . . . , r

2n

}

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, r

j

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i

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i

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2i−1

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{

x

i

w~w|yzw w|ww{

BP

1

{

BP

2

| } wwy~~w|

E

3

wx w~

[x

i

, r

j

] /

∈ E

3

y

j = 2i−1

j = 2i

{

[l

i

, c

j

] /

∈ E

3

y

i = 2k − 1

{

x

k

y ~y{

C

j

i = 2k

{

x

k

y ~y{

C

j

N | w | } |

BP

y ~

P

8

¢ ww £ y|y| w x } ® { w { zwy| } |

(X, C)

y ~ ~ |y ~ § £ w y

opt(I) 6 2

2n

− 1

¤

v w w{ | } y ~ ~w|y { £ ~||y{x | } | y ~ { y

P

5

¢ ww £ y|y| wx } ~ y w y| } |y{ w } y{{ { w~ ¨} www~wzw } | wy¦|y {~

P

5

¢ ww £ y|y| w x } ~ ~ww w w ¯ w w| V ì} {x w| { ¯ ¥ | w { ¨ ¦ ë ¤ { |y

BP

y ~

P

5

¢ ww £ y|y| w x } y

BP

y ~ £ y|y| w { w } {{ w| w{ w{|

BP

y ~

2K

2

¢ ww y w y| ~ ww{|y ~

C

4

¢ ww ¤ {| } y~ ~w w {~ } | } | {|y wyx } | w{ w y{x

S

∗

_{= (S}

∗

1 , . . . , S

`

∗

)

~w~ | ~| ~ ï~

` 6 3

ð { } w{

` = 3

| } w{ { {{ w| w { w{|

BP

i

= (L

i

, R

i

; E

i

)

P

5

¢ ww £ y|y| w x } w } zw

S

₁

∗,i

∩ L

i

6= ∅

{

S

∗,i

₁

∩ R

i

6= ∅

S

₂

∗,i

⊂ R

i

ïw~

S

₂

∗,i

⊂ L

i

ð{

S

₃

∗,i

⊂ L

i

ïw~

S

∗,i

₃

⊂ R

i

ð } ww

(S

₁

∗,i

, S

₂

∗,i

, S

₃

∗,i

)

y ~| } ww~|y |y {

S

∗

| | } w~ £ x }

BP

i

¨} ~ y{x{w } ~|yzw~w } {

k

1 = w(S

2 ∗

)

{ y } | ~w }

k

2 = w(S

3 ∗

)

w { § { {|y ~ |y {y| } y{

O(n|w|log|w|)

|yw } ww

|w| = |{w(v) : v ∈ V }|

¯ w{ w w { ~|| w !" #$%# & I( W ÷ ýñò ó ôõòö ÷øó ÷ õ

P

5

,ûúú K ÷ ñ ø û ù÷ù ú-û ø ñ ÿ ý ø õ/ þ ø õ K úýò ó Xú/ . ÷ùÿ÷ õ ù÷ öú

O(n|w|log|w|)

1 67Y Z <<C:?@;[ A @: \ ¤ { î w{x w w|

4

3

¢ y|y { y ~ xyzw{ { y| y ~ zw| } |

(

8 ₇

− ε)

¢ y|y {y ~{ |~~y £ w {

ε > 0

{ w~~ «

=

ª « wzw{yw{ ~y w £ y|y x w z w~

opt(I)

O ~y{x ì w ww | } | | } y ~ w £ { ~ } ~y w {~y w £ y|y| w { x } ~ ¯ww wxyzw

8

7

¢ y|y {y{ £ y|y| w x } ~ ]^_ í `a^a b c ded`

1

f | | } w{ w~y{{ { ¢ y{ w ~y{xwyx } | w ïy w

w(v

1 ) > . . . > w(v

n

)

ð¬

2 i = 1

|

n

2.1

f w|

V

i

= {v

1 , . . . , v

i

}

¬

2.2

ì | w

S

∗

i

= (S

1 i

, S

i

2 )

ï

S

i

2

£ w w|ð { |y wyx } | w { w ¢ y{x y{| } w ~ £ x }

BP [V

i

]

y{ w £

V

i

¬

2.3

î w § { w { w y{x

S

i

_{= (S}

i

1 , S

2 i

, L \ V

i

, R \ V

i

)

ï

L \ V

i

{

R \ V

i

£ w w|ð¬

(8)

3

® ||

S = argmin{val(S

i

_{) : i = 1, . . . , n}}

¬ ¨} w~| w

2.2

{ ~y ~| ~|y{x| } w ï{y ©wð ¢ |y {

(S

∗

1,j

, S

2,j

∗

)

ïy| }

w(S

∗

1,j

) > w(S

2,j

∗

)

ð w } {{ w| w { w{|

BP

j

, j = 1 . . . p

BP [V

i

]

ï y| }

S

∗

2,j

= ∅

y

BP

j

y ~ { y ~ | w{ wð ¨} w{ y| wx w~ | } w ~| ww{ ~yzw ~w| ~ y w y| | w~

S

i

1 = ∪

p

j=1

S

i,j

∗

i = 1, 2

¤ | y ~ w~ | £ ~wzw | } |

S

∗

i

= (S

1 i

, S

2 i

)

y ~ | } w £ w~| wyx } | w { w y{x

BP [V

i

]

{x | } w y{x ~ ~y{x | ~| ~¬~ } y{x { £ w{ y{

O(m)

|yw } ww

m = |E|

!" #$%# & I( g hij klmi mn opqpl ñò ó ôõòö ÷øóó ô ýò ó Xúý ÷ õ ù÷ öú

O(nm)

÷ õ K ÷ ñ ø û ù÷ù ú,-û ø ñ ÿ ý ø õ/ ÷ù ÷ ý ø

8

7

, ø ññûòü ÷ ö øù÷ òõ1 « %$$2 3 w|

I = (BP, w)

£ w wyx } | w £ y|y| w ¢ x } } ww

BP = (L, R; E)

{

S

∗

_{= (S}

∗

1 , ..., S

l

∗

)

£ w{ |y { w y{x

I

y| }

w(S

₁

∗

) ≥ ... ≥ w(S

_l

∗

)

¤

l < 3

| } w{ ]^_ í `a^a b c ded` § { ~{ | y wyx } | w{ w y{ x } y } y ~

S

n

N ~~w

l > 3

{ w|

i

j

= min{k : v

k

∈ S

j

∗

}

v w } zw

i

1 = 1

{

opt(I) > w(v

i

1 ) + w(v

i

2 ) + w(v

i

3 )

w| ~ wy{ w ~wzw ~| w ~ | } y ~ x y| } v} w{

i = i

2 − 1

| } w x y| } w~ { w ¢ y{x

S

i

2 −1

_{= (S}

1 i

2 −1

, L \ S

1 i

2 −1

, R \ S

1 i

2 −1

)

¤ { ww £ { ~||y {

V

i

2 −1

⊆ S

∗

1

y ~ { y{ ¢ ww{ w{| ~w| { | } w{

S

∗

i

2 −1

y ~ w § { w £

S

i

2 −1

1 = V

i

2 −1

, S

i

2 −1

2 = ∅

{ | } w{

val(S

i

2 −1

_{) 6}

w(v

i

1 ) + 2w(v

i

2 )

v} w{

i = i

3 − 1

| } w x y| } w~ {

BP [V

i

3 −1

]

{ w ¢ y{x

S

∗

i

3 −1

y| } ~|

val(S

∗

i

3 −1

) 6 w(v

i

1 ) + w(v

i

2 )

~y{ w| } w y{x

(S

∗

1 ∩ V

i

3 −1

, S

∗

2 ∩ V

i

3 −1

)

y ~ w ~y £ w{ w ¢ y{x

BP [V

i

3 −1

]

y| } ~|

w(v

i

1 ) + w(v

i

2 )

¨} ~

val(S

i

3 −1

_{) 6 w(v}

i

1 ) + w(v

i

2 ) + 2w(v

i

3 )

y{ } w{

i = n

| } w{ w ¢ y{x

S

n

~ |y ~ § w~

val(S

n

_{) 6 2w(v}

i

1 )

¨} w {zw £ y{|y { | } w~w z w~ y| } w y w{| ~

1

7 × val(S

n

)

4

7 × val(S

i

3 −1

₎

{

2

7 × val(S

i

2 −1

₎

xyzw~| } w ww| ww~ |

¤

r u o r r tqqp un un 5u pouo p ¨} w wyx } | w wx w y{x £ w { x }

G

{ £ w zy ww ~ | } w wyx } | w { w y{x £ w {

L(G)

} ww

L(G)

y ~| } w y{ wx }

G

¯ww ~y y y| www| | } wwx ww s78 9 : ;< =>?@ A B C> DE= A D î w{x w w| } zw zw | } | y{ £ y|y| w £ y x } ~ y ~ ~|{x ª « ¢ w| w { w £ {

8

7

y ~ xyzw{ | } w y| y{ ¯ww w ~ yx } | yzw | } w~w wy|w~ | ~ !" #$%# & T ( ) Lõ K ÷ ñ ø û ù÷ù ú þ K ÷ þ ñ óø õ ø û -û ø ñ ÿ ý M ÷ ý ý ù ûòõ-ó ô *+ , þòöñ ó ú ù ú ø õ/ ÷ù ÷ ý õò ù

7

6 − ε

=

*+1 « %$$2 3 v w ~ } ww FGH y{ £ y|y| w £ y { x } ~ | £ w yzw{ £ y|y| w £ y { x }

BP

{

y y~w y ~ ¥ y{| | } y{x ~

E

i

| } w ©w~|y { FGH

y ~ | w| wy{ w y y| y ~ ~~y £ w | w| w{ | } w wx w w y{x

E

1 , E

2 , E

3

(9)

| w ¢ wx w y{x

G

www{| | } y ~ £ w } ~ £ ww{~ } { ª « ¢ w| wy{° ë w|

BP = (V, E)

{

E

1 , E

2 , E

3

£ w{y{ ~|{ w FGH ¬ w{~||{y{ ~|{ w

I = (BP

0 _{, w)}

wyx } | w wx w y{x ~ ~ u } wx w y{

E

1

wwyzw~ wyx } | u } wx w

[x, y] ∈ E

2

y ~ w w £ xx w|

F

2

w~y £ w y{ yxw ë } ww w y w{|y

x

{

y

|

v

0

{

v

9

w~w|yzw u } wx w y{

E

3

y ~ w w £ xx w|

F

3

} y } y ~ | } w ~ w ~ xx w|

F

2

ww| | } | w } zw w } {x w wyx } | ~ ë { ¨} w | } w wx w~

G

wwyzwwyx } | ë v w| } |

BP

0

y ~~|y £ y|y| w £ y { x }

v

2 v

6 v

0 v

1 v

4 v

5 v

8 v

9 v

3 v

7

w x y y x w w w x y y x w yxw x w|

F

2 e ∈ E

2

v w {zwy| } || } w { ~w FGH y{ ~|{ wy ~w~y { { y| } ww wy ~| ~ { wx w y{x

S

I

y| } ~|

val(S) 6 6

¤

s7Y Z <<C:?@;[ A @: \ ¤ { î w{x w w|

5

3

¢ y|y { y ~xyzw{ y{ £ y|y| w x } ~ y| } y wxww ¯ww w xyzw

7

6

¢ y|y { v w {ww ~w { ||y { ~ ¤

BP = (V, E)

y ~ £ y|y| w x } y| } { w ~w|

V = {v

1 , . . . , v

n

}

w ~ ~~w | } | y| ~ wx w~

E = {e

1 , . . . , e

m

}

w ~| w y{ { { ¢ y{ w ~y{x wyx } | w ïy w

w(e

1 ) > . . . > w(e

m

)

ð ¤

V

0

y ~ ~ £ ~w|{ w~{

E

0

~ £ ~w| wx w~

BP [V

0 _]

{

BP [E

0 _]

w{ | w| } w~ £ x }

BP

y{ w £

V

0

{ | } w |y x }

BP

y{ w £

E

0

w~w|yzw {

i 6 m

w ~w|

E

i

= {e

1 , . . . , e

i

}

{

E

i

= E \ E

i

y{

V

i

w{ | w~ | } w ~w| { w~

BP

y{ y w{| | { wx w y{

E

i

ï~ y| y ~| } w ~ £ ~w| { { ¢ y ~ | w{ w~

BP [E

i

]

ð ]^_ í `a^a bbz {b c ded`

1 i = m

{| ë

1.1

¡ x y| } | de} {

BP [E

i

]

¬

1.2

¤ | de} ï

BP [E

i

]

ð

6= ∅

w| wy{ xww | } w y{x ~ w £ | de} {| } w wx w~

E

i

w|

S

1,i

£ w £ w~| { w {x | } w~w wx w y{x ~

BP

¬

1.3 j = i

{| ë

1.3.1

¡ x y| } | de~ {

BP [E

j

]

¬

(10)

1.3.2

¤ | de~ ï

BP [E

j

]

ð

6= ∅

w| wy{xww | } w y{x ~w £ | de~ { | } w wx w~

E

j

w|

S

2,j,i

£ w £ w~| { w {x | } w~w wx w y{x ~

BP

¬

1.3.3

¡ x y| } | de {

BP [E

j

]

¬

1.3.4

¤ | de ï

BP [E

j

]

ð

6= ∅

w| wy{xww | } w y{x ~w £ | de { | } w wx w~

E

j

w|

S

3,j,i

£ w £ w~| { w {x | } w~w wx w y{x ~

BP

2

® ||

S = argmin{val(S

1,i

), val(S

k,j,i

) : k = 2, 3, j = 1, . . . , i, i = 1, . . . , m}

¨} w xww ~| w ~

1.2

1.2.2

{

1.2.4

xyzw ~ |y { ~y{x | ~| ~ °w x w{ w y{ w } zwzw| } | y{{x }

G

| } wxww y{x{ | w ~|{w|y wyx } | w{ w y{x~w|~|

∆(G)+ 1

~ } ww

∆(G)

w{ | w~| } wy wxww

G

¤ { ~w w } zw

G = L(H)

| } w y{ wx }

H

{ www

∆(L(H)) + 1 6 2(∆(H) − 1) + 1 = 2∆(H) − 1

¨} w x y| } ~| de} | de~ { | de w~w{~wzw |y x } ~

BP

0 BP

¤ {| } w y{x

V

0 E

0

{

m

0

w{ | ww~w|yzw | } w{ w ~w| | } w wx w ~w| { | } w{ £ w wx w | } w w{| x }

BP

0

° wzw w ~w|

V

0 i

= V

0 \ V

i

0

¤

M = (M

1 , . . . , M

l

)

y| }

w(M

1 ) > . . . > w(M

`

)

y ~ { wx w y{x

BP

0

w { | w

i

j

= min{k : e

k

∈ M

j

}

v w ~~w w~{ w £ y y| | } | ~w ~

M

j

£ ww| ïy{| } y ~ ~w

i

j

= m

0 + 1

ð ¨} w y{ y w | } w~w~ x y| } ~ { ~y ~| y{ § { y{x w~y|y {

BP

0

ï ~ £ x }

BP

ð y{| | ~ £ x } ~

BP

0

1

{

BP

0

2

} zy{x w } y wxww v} w{| } ww wy ~| ~~ } w~y|y { w {

BP

0 i

y| } | ~| ~ ~y{ w

BP

y ~ £ y|y| w | de}

1 j = m

0

{| ë

1.1

¤ | } wwxww

BP

0 _[E

0 j

]

y ~| ~| | } w{

1.1.1

ì { ~y w | } wx }

BP

0j

y{ w £ | } w{ w~

BP

0

y{ y w{|| | w ~| wx w~

E

0 j

{w~|y | w | | } w wx w~

E

0 j

1.1.2

î w| wy{ w y | } ww wy ~| ~ | } y{x

M

j

BP

0j

~ } | } | wzw { w

V

0 j

y ~ ~ || w¬

1.1.3

¤ ~ } | } y{x y ~ { { ~y w | } w w~y|y {

BP

0 1,j

{

BP

0 2,j

BP

0

y{ w £

E

0 j

∪ M

j

{

E

0 _{\ (E}

0 j

∪ M

j

)

w~w|yzw ¬

1.1.4

y{ { |y ¢ wx w y{x

(M

₁

j

, M

₂

j

)

BP

0 1,j

¬

1.1.5

ì xwwy | } w wx w~

BP

0 2,j

y| } | ~

(M

₃

j

, M

₄

j

)

¬

1.1.6

î w § { w

S

₁

j

= (M

₁

j

, M

₂

j

, M

₃

j

, M

₄

j

)

| } wwx w y{x

BP

0

¬

2

® ||

{S

₁

j

: j = 1, . . . , m

0 _{− 1}}

¬

(11)

N | w| } | | } w ~| w

1.1.2

y ~ { y ¤ { ww wx w{ w xyzw{ x }

G

{

V

0 _{⊆ V}

y| y ~ { y | w| wy{ w y | } ww wy ~| ~ | } y{x ~ } | } | w } { w

V

0

y ~ | } w ¨ ~ww | } y~ { ~y w

G

0

} ww w |

G

y ~~y{x wx w~ £ w|ww{ { w~

V \ V

0

¤

|V |

V \ V

0

¤ |y ~ w ~| ~ww| } |

G

0

} ~ ww| | } y{ xy { { y

G

} ~ | } y{x ~ } | } | w } { w

V

0

y ~~ || w # &&R T (' L

S = (M

1 , M

2 , M

3 , M

4 )

÷ ý ø õ ú/-ú þò ó òû ÷ õ- ò

BP

0

M ùÿ úõ .ú ÿø Xú

val(S

i

3 −1

1 ) 6

w(M

1 ) + w(M

2 ) + 2w(M

3 )

1 | de~

1 k = m

0

{|

1

1.1

¤

E

0 k

y ~ | } y{x

1.1.1

î w| wy{ w y | } ww wy ~| ~ | } y{x

M

k

BP

0 _[V

0 k

]

~ } | } | w } { w

BP

0 _[V

0 k

]

} zy{x wxww y{

BP

0

y ~ ~ || w

1.1.2

¤ ~ } | } y{x y ~ { { ~y w | } w w~y|y {

BP

0 1,k

{

BP

0 2,k

BP

0

y{ w £

E

_k

0 ∪ M

k

{

E

0 \ (E

0 j

∪ M

k

)

w~w|yzw ¬

1.1.3

ì

BP

0 1,k

y| } { w

M

k

1

¬

1.1.4

ì xwwy

BP

0 2,k

y| } | ~

M

k

2

{

M

k

3

¬

1.1.5

î w § { w

S

k

2 = (M

1 k

, M

2 k

, M

3 k

)

| } wwx w y{x

BP

0

¬

2

® ||

{S

k

2 : k = 1, . . . , m

0 }

¬ # &&R T (I L

S = (M

1 , M

2 , M

3 )

BP

0

M ùÿ úõ .ú ÿø Xú

val(S

i

2 −1

2 ) 6 w(M

1 ) +

2w(M

2 )

1 | de

1 k = m

0

{|

1

1.1

î w| wy{ wy| } ww y ~ | } y{x

M

k

y{

BP

0 _[E

0 k

]

~ } | } | w } { w wxww y{

BP

0

y ~~ || w

1.2

¤ ~ } | } y{xy ~ { { ~y w| } ww~y|y {

BP

0 1,k

{

BP

0 2,k

BP

0

y{ w £

M

k

{

E

0 _{\ M}

k

w~w|yzw ¬

1.3

ì

BP

_1,k

0

y| } { w

M

₃

k

¬

1.4

ì xwwy

BP

0 2,k

y| } | ~

M

k

1

{

M

k

2

¬

1.5

î w § { w

S

k

3 = (M

1 k

, M

2 k

, M

3 k

)

| } w wx w y{x

BP

0

¬

(12)

2

® ||

{S

k

3 : k = 1, . . . , m

0 − 1}

¬ # &&R T ( T L

S = (M

1 , M

2 , M

3 )

BP

0

M ùÿ úõ.ú ÿø Xú

val(S

i

3 −1

3 ) 6 2w(M

1 ) +

w(M

3 )

1 !" #$%# & T ( W hij klmi mnnnopqpl ÷ ý ø

7

6

ø ññûòü ÷ ö øù÷ òõ òû ÷ õ K ÷ ñ ø û ù÷ù ú-û ø ñ ÿ ý . ÷ùÿ ö ø ü ÷ öö / ú-ûúú 1 « %$$2 3 w|

S

∗

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(13)

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(14)

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