D251-Aux quatre coins d’un carré
Trouver la dimension entière d'un carré à l'intérieur duquel quatre cercles C1,C2,C3 et C4 calés aux quatre coins, sont tangents à un cinquième cercle C5. Les quatre premiers cercles ont pour rayons des valeurs entières dont les trois premières R1,R2 et R3 sont connues : 165, 157, 221.Donner les rayons de C4 et de C5 ainsi que les coordonnées du centre de C5 par rapport au coin inférieur gauche du carré.
Source : problème inspiré de la célèbre tablette sangaku de la préfecture de Gunma (1874).
Solution proposée par Paul Voyer:
Soit p la longueur du côté du carré, x, y les coordonnées de C5, R le rayon de (C5).
Le système doit satisfaire aux conditions suivantes : (x-R1)²+(p-R1-y)²=(R+R1)²
(p-R2-x)²+(p-R2-y)²=(R+R2)² (p-R3-x)²+(y-R3)²=(R+R3)² (x-R4)²+(y-R4)²=(R+R4)²
4 équations pour 5 inconnues, p, x, y, R, et R4, mais liées par une autre relation, qui permet de trouver R4 une fois connus p, x, y, et R.
L'élimination de 3 inconnues de trop entre ces 5 relations donne une relation entre p et R4.
Il suffit alors de déterminer les couples de valeurs entières qui respectent cette relation.
D'après http://mathworld.wolfram.com/CaseysTheorem.html
p= 2 1 4 3
) 1 4 )(
4 3 )(
3 2 )(
2 1 ( 2 4 2 3 1 2
R R R R
R R R R R R R R R
R R R
Le radical s'écrit : 2(8*64*R4-165)*(221-R4)) = 32² R4165 R4221 et doit être un carré parfait.
Si R4 < 165, (165-R4)(221-R4) doit être un carré parfait.
Si 165<R4<221, (R4-165)(221-R4) doit être un carré parfait.
Si R4>221, (R4-165)(R4-221) doit être un carré parfait.
Les valeurs convenables de R4 jusqu'à 1000 sont : 93
140 158 193 228 246 293 390
Seules les valeurs 228 et 293 donnent p entier.
La valeur 293 donne p=346, manifestement trop petit.
La valeur 228 est la seule à retenir pour R4.
La valeur correspondante de p est 2010.
Une approximation graphique donne : R953 x1019 y1107
Nos 4 équations initiales deviennent (équations non indépendantes en x, y et R) (x-165)²+(1845-y)²=(R+165)² (1)
x²+y²-330x-3690y=R²+330R-1845² (1853-x)²+(1853-y)²=(R+157)² (2)
x²+y²-3706x-3706y=R²+314R+157²-1853²-1853² (1789-x)²+(y-221)²=(R+221)² (3)
x²-3578x+y²-442y=R²+442R-1789² (x-228)²+(y-228)²=(R+228)² (4) x²-456x+y²-456y=R²+456R-228²
Des soustractions membre à membre permettent de les remplacer par 3 (4 non indépendantes) équations du premier degré en x, y et R qu'il ne reste plus qu'à résoudre.
(1)-(2)
3376x+16y-16R=1853²+1853²-157²-1845²=3438544 (1)-(3)
3248x-3248y+112R=-1845²+1789²=-203504 (1)-(4)
126x-3234y+126R=-1845²+228²=-3352041 La résolution par tableur donne :
x=1017.8 y=1113.5 R=958.5
valeurs pas trop éloignées des estimations graphiques.
Image à l'échelle
