E542. Le temps des cerises

E542. Le temps des cerises

Initialement nous avonsppaniers non vides etc_i cerises dans le panier numéro 16i6p.Quitte à réindexer les paniers, nous supposonsc₁>· · ·>c_p>1.

Si m est le plus grand total de cerises obtenu quelle que soit la configuration initiale, alors pour touti= 1. . . p,nous devons avoiric_i6m.En effet, dans le cas contraire, en choisissant les paniers de 1 àiet en conservant la quantitéci

dans chaque panier, cela contredirait la maximalité dem. D’un autre côté, en ne conservant qu’une cerise dans chaque panier, il est clair quem>p.

Ainsi 2010 =X

i6p

ci6X

i6p

jm i

k

6X

i6m

jm i

k

=X

i6m

τ(i) oùτ(i) =X

d|i

1.

En effet, nous avons : – s(m) =X

i6m

τ(i) – s(m) =X

i6m

d|i

1 par associativité

– s(m) = X

d,d⁰6m

dd06m

1 par changement d’indiced⁰= _dⁱ

– s(m) = X

d6m

X

d⁰6b^m_dc

1 par associativité – s(m) = X

d6m

_m

d

D’où m > 336, à l’aide de

335

X

i=1

τ(i) = 1996 < 2010<2016 =

336

X

i=1

τ(i) (suite A006218) ou à l’aide du développements(m) =m(lnm+ 2γ−1) +O(√

m). Réciproquement, avecp= 336, c1= 330 etci=336

i

pour i= 2. . .336,on ne peut espérer faire mieux quem= 336.

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