Enonc´e noE542 (Diophante)
2010 cerises sont r´eparties dans un certain nombre de paniers.
1) on choisit le ou les paniers qu’on veut garder, on retire les autres avec les cerises qu’ils contiennent ;
2) on retire des paniers conserv´es, quand il y en a plusieurs, autant de cerises que n´ecessaire pour que chacun de ces paniers contienne le mˆeme nombre de cerises.
Le but de ces choix est de maximiser en fin d’op´eration le nombre total de cerises dans les paniers restants.
Si l’on a 2010 cerises au d´epart, quel est le plus grand nombre total qui peut ˆetre obtenu par le meilleur choix, quelle que soit la r´epartition initiale des 2010 cerises ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Classons les paniers par ordre d´ecroissant du nombre de cerises qu’ils con- tiennent,n1 ≥n2 ≥. . .
Si l’on gardekpaniers, autant garder leskplus pleins, afin de b´en´eficier de knk cerises apr`es la phase d’´egalisation du nombre de cerises dans chaque panier.
Il s’agit de d´eterminer une plus grande borne inf´erieure N de maxk(knk) sous la contraintePknk= 2010.
Supposons donc que pour toutk on aknk≤N. Alors nk ≤ bN/kc, et P
knk≤PkbN/kc=f(N), fonction croissante de N.
Par cette formule on trouvef(335) = 1996, f(336) = 2016,f(337) = 2018.
Ainsi, pour 2010 cerises les valeurs desnkne peuvent pas limiter le meilleur total `a N = 335, mais on peut par une certaine r´epartition entre paniers ˆetre contraint de ne pas d´epasser N = 336.
Pour 1997 `a 2016 cerises, la r´epartition la plus d´efavorable permet d’obtenir quand mˆeme le total 336. Avec 2016 cerises, elle comporterait 336 paniers, dont un panier de 336 cerises et 168 paniers d’une cerise.
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