PC* – Programme de colles de mathématiques
Semaine(s) 8-9, du 15-11-2021 au 26-11-2021
Réduction.
Cours: la connaissance des énoncés suivants sera vérifiée au cours de la colle.
• Définition : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre.
• Si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres du premier sont stables par le second.
• Une somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe.
• Définition : polynôme caractéristique.
• Caractérisation des valeurs propres d’un endomorphisme en dimension finie.
• Comparaison entre la dimension d’un sous-espace propre et la multiplicité de la valeur propre.
• Définition : endomorphisme diagonalisable.
• Caractérisation : somme des dimensions des sous-espaces propres, base de vecteurs propres, matrice diagonale.
• Caractérisation par le polynôme caractéristique.
• Cas d’un endomorphisme possédantnvaleurs propres distinctes. Connaitre un contre-exemple pour la réciproque.
• Définition : endomorphisme trigonalisable.
• Caractérisation par le polynôme caractéristique.
• Calcul de la trace et du déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé.
• Cas des matrices carrées : reformulation des résultats précédents.
• Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant et même polynôme caractéris- tique. Contre-exemple pour la réciproque.
