E323 – La variante chinoise du problème impossible [**** à la main]
Résumés des solutions proposées par Michel Boulant, Etienne Joly, Jérôme Pierard et Jean Louis Pourailly
Il est commode d’établir le tableau (T) à double entrée qui donne la répartition des entiers naturels à 2 chiffres selon le nombre de diviseurs d compris entre 2 et 12 et la somme des chiffres comprises entre 1 et 18.
La première déclaration de Sébastien qui ne sait pas répondre permet d’éliminer les solutions extrêmes 10 et 99 mais rien de plus.
La déclaration suivante de Damien qui affirme connaître la parité du nombre permet
d’éliminer toutes les colonnes de (T) dans lesquelles on trouve à la fois des nombres pairs et impairs de façon à garder les seules colonnes où les nombres sont tous impairs (couleur jaune pour d = 2 avec les nombres premiers et d = 3) ou tous pairs (couleur verte pour d = 8,10,12)
Sébastien qui a établi ce même tableau réduit à ces cinq colonnes, détient la somme des chiffres des entiers correspondants. S’il sait répondre, la somme S qu’il a reçue est
nécessairement unique dans (T). On retient donc les seuls nombres de (T) qui à l’intérieur des colonnes 2,3,8,10 et 12 apparaissent une fois et une seule .Il s’agit des nombres repérés en rouge : 11,59,89 dans la colonne d=2 et de 30 dans la colonne d=8. A ce stade, pour vous lecteur, l’ambiguïté demeure toujours.
C’est la dernière déclaration de Damien qui lève cette ambiguïté. Il ne peut répondre que si à l’intérieur de l’une des deux colonnes, la solution est unique. Pour d=2, il y a trois solutions possibles qui interdisent à Damien de se prononcer. La solution est alors N = 30. Sébastien a reçu le nombre 3 et Damien le nombre 8.
