Cours de Physique Nucléaire – PHY3600

Cours de Physique Nucléaire – PHY3600

professeur: G. Azuelos, Pavillon Roger Gaudry, V-222 automne 2009

PHY3600 Physique nucléaire (3 cr.) Section

Activité Gr

.Jour De A Du Au Local Immeuble

th Jeu. 09:30 11:30 3 sept. 15 oct. Z-200 PAV. C-MCNICOLL

th Ven. 08:30 09:30 4 sept. 16 oct. Z-200 PAV. C-MCNICOLL

th Jeu. 09:30 11:30 29 oct. 3 déc. Z-200 PAV. C-MCNICOLL

th Ven. 08:30 09:30 30 oct. 4 déc. Z-200 PAV. C-MCNICOLL

exf Jeu. 09:00 12:00 10 déc. Z-200 PAV. C-MCNICOLL

Contenu du cours

Contenu du cours

‰

Paul Taras, Concepts de Physique Nucléaire Notes de cours, Juillet 2008

o disponibles chez Prof. Paul Taras, V-236, à partir de lundi

‰

J-L Basdevant, J. Rich, M. Spiro, Fundamentals in Nuclear Physics - From Nuclear Structure to Cosmology,

Springer (2005),ISBN: 0-387-01672-4, QC173/B378/2005

‰

C. A. Bertulani, Nuclear Physics in a Nutshell,

Princeton University Press (2007), ISBN:0-691-12505-8, QC777/B47/2007

‰

John Lilley, Nuclear Physics, Principles and Applications, Wiley 2001, ISBN-13: 978 0 47197936 4

‰

B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche, Particles and Nuclei, Springer (2008), ISBN: 978-3-540-79367-0, QC776/T4514/2008

‰

S. S. Wong, Introductory Nuclear Physics,

Wiley (1998), QC776/W65/1998

http://ie.lbl.gov/toi.html

Quelques détails sur le déroulement du cours

‰ page web

‰ exercices – devoirs: 30%

o

soumis le vendredi

o

à remettre le jeudi

‰ examen partiel: 15 octobre 30%

‰ examen final : 40%

o

jeudi 10 décembre

Historique

‰

L’atome indivisible…

o concept ancien, mais prouvé seulement récemment

o 450 B.C: Démocrite

ƒ ἄτομος : atome = plus petite partie indivisible de la matière

ƒ concept purement philosophique

o chimie: étude des réactions entre atomes

‰

1896: H. Becquerel

o découverte de la radioactivité:

ƒ plaques photographiques marquées par un

rayonnement inconnu provenant de roches riches en Uranium

‰

1897: J J Thompson

o découverte de l’électron, par des expériences avec tubes cathodiques Î prix Nobel 1906

‰

Pierre et Marie Curie

o étude de la radioactivité: séparation chimique des éléments radioactifs dans la chaine de désintégration de l’uranium

‰

1903: prix Nobel à H. Becquerel, P et M Curie

Historique

‰

Rutherford, à McGill (1898-1907), puis en Angleterre

o

radioactivités de types α et β changent l’élément,

répondent différemment à la présence d’un champ magnétique

ƒ

particule α = hélium

ƒ

particule β = électron

ƒ

rayons γ = photons (rayonnement électromagnétique) plus pénétrants

o

diffusion de rayons α sur des feuilles d’Au

ƒ

diffusions à grands angles dans un champ Coulombien Î découverte du noyau nucléaire:

très petit par rapport à la dimension de l’atome

ƒ

modèle de l’atome planétaire

• problèmes théoriques:

rayonnement d’énergie → l’électron spirale vers le noyau

Historique

‰

noyau composé de protons et d’électrons

o

problème si on tient compte du spin du noyau

‰

Chadwick, 1932: découverte du neutron

o

masse ~ masse du proton

‰

Force électrique répulsive entre les protons

Î nouvelle force: interaction forte, ou nucléaire

‰

1935: Yukawa

o

force entre les nucléons est due à l’échange d’un méson (théorique quantique des champs)

o

il prédit la masse du meson

o

explique la portée courte de l’interaction forte

‰

désintégration β:

o

existence du neutrino

o

violation de parité Î interaction faible

Î interaction électrofaible

8 Gluons

Interaction forte Photon

‰

Gravitation

‰

force électrique

‰

force magnétique

‰

force nucléaire forte

‰

intéraction faible

Les forces fondamentales

force

électromagnétique

Équations de Maxwell, 1879 Newton, 1687

Einstein, 1905-1915

n → + p e

+ ν

Lois de physique: un ensemble d’idées simples qui semblent uiverselles et qui ont été vérifiées par l’expérience

Introduction

‰

Caractéristiques du Noyau

o

problème à plusieurs corps

ƒ

N neutrons, Z protons, A = N + Z nucléons

ƒ

exemple: Carbone-12: C Î 6 protons, A = 12

o

forces entre les constituents

→ détermine la structure, dimension, énergie de liaison, etc…

o

dimensions:

ƒ

ordre du fermi ( 1 fm = 10

m)

o

masses:

ƒ

ordre du GeV/c

( 1 GeV = 10

eV)

( 1 eV = charge de l’électron x 1 Volt)

• masse du proton: 1.007276 u = 0.938.27 GeV/c

• masse de l’électron: 0.511 MeV/c

o

spin: moment angulaire de rotation

ƒ

rotation des protons, neutrons, et révolution autour du c.m.

o

moment magnétique

ƒ

courants produisent des aimants

12

C

A Z

X

Énergie de liaison et masses nucléaires

Énergie de liaison:

différence entre la masse des nucleons, à l’état libre, constituant le noyau et celle du noyau

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2

e

B p n A

p n e atome B

H n atome

E Z m c N m c m c

Z m c N m c Zm c M c E Z m N m M c

= + −

= + + − +

≈ + −

Unité de masse atomique:

12 u ≡ masse de l’atome de Carbone-12

= 1.66054 x 10^-27 kg

= 931.494 MeV/c²

Carte des Isotopes

http://www.iasa.gr/nucl/Isotopes/chart1.pdf

Z

N

Carte des Isotopes

Stabilité des noyaux

http://www.laradioactivite.com/fr/site/pages/Carte_Noyaux.htm

Stabilité des noyaux

Représentation classique:

• feuille mince de la cible:

•

• particule ponctuelle qui traverse la cible a une probabilité

dP

épaisseur dz , aire , A dN

atomes de rayon R

2

2 section efficace d'interaction densité volumique de noyaux =

A A A

A

dN R dN dN

dP dz ndz

A A dV

R n N

A

π σ σ

σ π

σ

ρ

× ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ =

= ≡

= ×

unités de surface (cm²)

Section Efficace: définition

28 2 24 2

10 8

15 13

barn : 1 10 m 10 cm Angstrom: 1 10 m =10 cm fermi (femtometre) : 1 10 m 10 cm

o

b

f

− −

− −

− −

= =

=

= =

A

Pour une cible épaisse

0

Pour une épaisseur

,

s

ln

i

N z s

N i

n z

s i

dN N dP N n dz z

N

dN n dz n z

N N

N N e

σ

σ σ

Δ

− Δ

= − = − × Δ

⎛ ⎞

= − ⇒ ⎜ ⎟ = − Δ

⎝ ⎠

=

∫ ∫

nombre de particules incidentes

nombre de particules sortant, non-diffusées

i s

N N

=

=

section efficace différentielle

( )

1 2

aire efficace d'interaction d'un atome (classiquement )

1 ( , ) aire efficace d'un atome menant à une diffusion à un angle ,

dP dz

dP R

n dz

d d

d n d P n

z σ

σ π

σ θ ϕ θ ϕ

=

= =

= =

Ω

Expérience de Rutherford

b particuleα

Exercice 1.4:

particle alpha, charge Q’, incidente avec un paramètre d’impact b sur une charge ponctuelle Q de masse infinie, avec une énergie cinétique E

Expérience de Rutherford

J. Lilley, pp 341-342

Expérience de Rutherford

2

2 2

2

2 1 2

0 2

0 0

2 0

0

2

2

2 1

4 2

sin cos

sin cos

Z Z e dt

mv d

r d K

mv d

d v b

mr mv b dt

θ

θ θ

θ

π

π π

π

θ

θ

α α

πε α α α

α

−

− −

−

⎛ ⎞ ⎫

= ⎜⎝ ⎟⎠ ⎪⎪⎬ ⇒ =

= ⎪⎪⎭

∫ ∫

Quantité de mouvement non conservée

(on ne tient pas compte du recul du noyau, supposé être très lourd)

2d

mr mvb dt

α

2

0 2 2

Changement de quantité de mouvement:

2 sin cos

dp Fdt

mv F dt d

d

θ θ

π π

θ α α

α

−

−

=

⎛ ⎞

=

∫

mais K

Section efficace de diffusion Rutherford

J. Lilley, pp 341-342 2 2

2

Entre les paramètres d'impact et

2 particules traversent la cible par seconde (et sont donc diffusées à un an

Supposons un flux de particules :

gle ) d 2

2 4

:

cot sin

b db bdb

K K

R d

E E

θ θ

π

θ

π θ

α Φ

× Φ

= × × Φ

2 0

2 2 2

cot cot

K K

b mv E

θ θ

= = ₂

4 sin 2

db K d E ^θ θ

⇒ =

4 2

2

3 2

2

2 2

2

1 4

mais 1

2 4

cos si

s

n sin

n

s n

i

i d K

d E

dR d d K

d d d E

θ θ

θ

σ σ

π θ θ

σ

= Φ ⇒ = ⋅ ⋅ θ

= ⋅

Ω

Ω Ω

Diffusion Coulombienne

0 2 2 0

2 2 2

0 2 1 2

0 2

2 2 2

2 2

conservation de moment angulaire et d'énergie:

2 2 4

0 4

2

min

min

min

min min

min min min

mv b mv r v v b r

mv mv K Z Z e

E K

r

b K

E E r r

K K E b

r E r K Eb r

E πε

= ⇒ =

⎛ ⎞

≡ = + ⎜ ≡ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

+ +

− − = ⇒ =

2

2

2 2

K K

E E b

⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

Diffusion Coulombienne

J. Lilley

Diffusion Coulombienne

(

)

R ≈ A +

rayon du noyau rayon de α ( 1.2 Α^1⎡3)

0.15 nucleon fm^-3 0.075 proton fm^-3

densité de charge des noyaux

densité de charge des noyaux

( ) r ρ

ρ =

_{t = 4 a ln 3 2 4 ≈ . fm}

Quelques remarques

‰

Densité neutronique ne peut être mesurée avec des électrons

‰

volume varie ~ A

“

espace” entre les protons indépendant de A , ou

proton n’interagit qu’avec ses plus proches voisins, ou force entre protons est de courte portée

à très courtes distances, la force nucléaire est répulsive (force entre quarks)

‰

force Coulombienne

o

distribution des protons différente de celle des neutrons

o

mais effet petit, car la force nucléaire >> force électrique, à des distances nucléaires

ƒ

force n-p ~ force p-p ~ force n-n: densité de charge ne varie

pas en fonction de A/Z

Règle d’or de Fermi

Élément de matrice:

*

int int

fi f i f i

M = ψ H ψ = ∫ ψ H ψ dV

( )

( )

3

2 3

Espace de phase:

2 2

4 2 ( )

x p

x p h V V

V p dp dn p

π π

π π

Δ Δ = = ⇒ =

× =

( )

2

2 3

2

4 2 ( ) ( )

p p

E dE dp vdp

m m

dn E p

E V

dE v

ρ π

π

= ⇒ = =

= = ×

2

Règle d'or de Fermi:

taux de réaction par particule incidente et par particule de la cible:

2

1

fi ( ) W π M ρ E

τ

=

= ≡

Diffusion par une charge non ponctuelle

2

1 1

normalisation: 1

/ ' /

ip x ip x

i e f e

V V

dV

ψ ψ

ψ

⋅ ⋅

= =

∫ =

( ) ( )

2

2 2

2 2

3 3 3

2

4 2 4

2 2

( ) ( )

~

fi

fi

M E V

v

p E

E V M V

v c c

E pc v c

σ π ρ

π π π

ρ π σ π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎫

⎪⎪⎪

= × ⎬ = ⋅ ⋅ ⋅

⎪⎪

= ⎪

⎪⎭

( )

2 2 2

3 3

1 4

2 _fi( ) 2

d E

M V

d c c

σ π

= ⋅ Ω ⋅ ⋅ π

Ω

3

3

2

2 3

2 2

3 2

0

1 potentiel électrique

(Théorème de Green) densité de charge =

/ /

/

/

/

( ( )) ; ( )

( ) ;

( ) ;

( ) ; ( ) ( )

ip x ip x

fi

iq x

iq x

iq x

M e e x e d x x

V

e x e d x q p p V

e x e d x

V q

e x

e d x x Ze f x

V q Z

φ φ

φ

φ

ρ ρ

ε

− ′⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅

= =

= = − ′

= − ∇

= =

=

∫

∫

∫

∫

3

3 2

4 c ( ); ( ) ( ) ^{iq x/} facteur de forme

F q F q f x e d x V q

πα _⋅

⋅ × ≡

∫

(

)

V S

dV dn dn

ψ ϕ

ϕ ψ ψ ϕ∇ − ∇ = ^⎛⎜⎝ϕ ^∂ −ψ ^{∂ ⎞}⎟⎠ψ =

∫ ∫

Facteur de forme du noyau

Potentiel nucléaire

‰

Forme inconnue:

o

en fait, dérive du potentiel de l’interaction forte entre quarks, mais nucléons sont relativement indépendants

o

forme du noyau influe sur la forme du potentiel

o

quelques approximations:

( )

2 2

2 0

0

parabolique:

gaussien:

Yukawa:

Woods-Saxon (Fermi):

1

/ /

/

-

r b

r R a

V kr Ke

K e

r b V e

−

−

−

− +

−

−

+

Niveaux d’énergie

‰ Comme pour l’atome d’hydrogène,

o énergienon-continue, mais les états sontquantiques:

ƒ niveaux d’énergie et de moment cinétique discrets

o étatfondamental

ƒ peut être instable si le noyau se désintègre par intéraction forte ou faible

o états excités de quelques MeV

ƒ se désintègrent principalement pas émission de rayons

gammas, et généralement d’un temps de vie court

ƒ transitions plus ou moins importantes Îspectroscopie nucléaire complexe

o àplus haute énergie:

ƒ E > énergie de liaison Î désintégration par interaction forte: émission de proton, alpha, …

Spin

‰

spin: moment angulaire intinsèque

o

Dirac: équation de Dirac en mécanique quantique, tenant compte de la relativité

Î fermions: spin = ½ ħ existence des antiparticules

o

Klein-Gordon: équation tenant compte aussi de la relativité

Î bosons: spin = n ħ , n = 0, 1, 2…

spin S: classiquement, c’est dû à la rotation d’un corps

( comme le moment angulaire de rotation de la terre autour de son axe) 0

i

γ

ψ

ψ

2 2

2 2 2

2 2 mc

c t

φ φ φ

− ∂ + ∇ =

∂

Groupe de symétrie discret

‰

Définition

Un groupe de symétrie G est un ensemble d’éléments ayant les propriétés suivantes sous une opération donnée

Exemple:

f g G , h f g G

∀ ∈ ⇒ ≡ i ∈

( f g h i i ) = f g h i i ( ) tel que

e G f G e f f e f

∃ ∈ ∀ ∈ i = i =

1 tel que 1 1

f G, f⁻ f f⁻ f⁻ f e

∀ ∈ ∃ i = i =

clôture :

associativité : identité :

inverse :

Groupe de symétrie continue (groupe de Lie)

Ce sont des groupes de transformation continue avec des éléments qui sont fonctions d’une variable continue

éléments

pour de petites transformations:

Moment angulaire en mécanique quantique – bref aperçu

m_J = -J, -J+1, … 0, … J-1, J

1 1 2 2

1 1

2 2

1 spin up 0

0 spin down 1

, : ,

,

J mJ ⎛ ⎞

→ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

− → ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ représentation SU(2):

0 1 0 1 0

1 0 ; 0 ; 0 1

x y x

i

σ =^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠ σ =^⎛⎜⎝i ^{− ⎞}⎟⎠ σ =^⎛⎜⎝ − ^⎞⎟⎠

générateurs: matrices de Pauli

représentation:

1 2

1 4

( ) _{spin spin}

S S + = ψ σ ψ

1 0 0 1

0 1 1 0

2

;

x i y

σ σ σ

σ σ

+ −

±

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ±

Rotation d’un spineur

θ x,y

x’,y’

' ( '

cos sin

( sin

c )

) os

x x

R y y

R

θ

θ θ θ

θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

Pour un spineur, les composantes se transforment selon:

1 0

0 1

R ( )

θ π = ⇒ θ = ^⎛ ⎜ ⎝ ⁻ − ^⎞ ⎟ ⎠ = − 

Addition de moments angulaires

J = L ⊕ S

- composantes m_L et m_S s’additionnent algébriquement pour donner m_J

- valeur maximum de J: J_max = L + S

- valeur minimum de J: J_min = |L-S|

- norme du vecteur:

- probabilités de combiner L et S pour obtenir J (ou décomposer J pour obtenir L et S) sont calculables: coefficients Clebsch-Gordan

(

)

J = J J +

Conservation du moment angulaire

34 37 7

* 2

( )

S + → +

α

J=0 J=0 J= ¹₂ J= ⁷₂

3 ou 4

J= 3 ou 4

L_α=

Moment angulaire du noyau

noyau

nucleons i i

J = ∑ j

J = nb entier pour noyaux ayant un nombre pair de nucléons

= nb demi-entier impair

Î neutron ≠ proton + electron

Valeur de spin du noyau reste généralement bas:

- énergie augmente avec le moment angulaire orbital - force spin-spin Î une paire de nucléons est

dans un état de plus basse énergie si leurs spins sont opposés

Parité

Dans la vie de tous les jours, les lois de physique ne changent pas sous une transformation de parité:

En mécanique quantique, l’opérateur de parité commutera avec l’Hamiltonien :

mais

Î fonction d’onde a une parité positive ou négative si le système est invariant sous une transformation de parité

ou ( , , ) ( , , )

P P

r ⎯⎯→ − r x y z ⎯⎯→ − − − x y z

1 2

ˆ ˆ ( ) ( )

( ) ( )

P P r r

r r

ψ ψ

ψ ψ

= ⇒ = ±

− = ±

par exemple, si dans l'équation de Schroedinger:

( ) ( )

V r = V r −

Parité

x V x ( )

potentiel ( 1-dimension) fonction d’onde

en 3 dimensions

2 2

potentiel central, avec symétrie sphérique

2 1

4

:

2

( ) ( ) ( ) ( , )

( )!

( , ) (

( ) (

c

)

( )! os )

m l l m

m m im

l l

V r E r R r Y

m

l l m

Y P e

V r r

l m

V

ϕ

ψ ψ ψ ψ θ ϕ

θ ϕ θ

π

− ∇ + = ⇒ =

= +

+

=

−

∑

( )

2 1

1 1

1 1 1 2

( ) ( ) / ( )

( ) ( , ; ; )

m m

m m

l m l

l

P x x d P x

dx P x F l l x

⎛ ⎞

= − −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ = − + − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ¹

( , )

( , )

m m

l l

Y π θ π ϕ − + = − Y θ ϕ

harmoniques sphériques

0 pour un potentiel indépendant de

m = ϕ

Parité intrinsèque des nucléons

Par convention, on assigne une parité positive au nucléon

- parité intrinsèque: une fois définie pour le proton, on n’a pas de liberté pour

les parités intrinsèques des autres particules, puisque la parité est conservée par l’interaction forte

parité: nombre quantique multiplicatif

- il existe des particules qui ont une parité intrinsèque négative: ex le pion π

- ainsi, en physique des particules, chaque particule a une parité intrinsèque bien définie

1

( ) ( ) ( ) ( )

P i j + = P i × P j × −

Conservation de la parité

‰

État de parité d’un noyau

o dépend des parités intrinsèques (ici toutes +ves) et des moments angulaires des nucléons par rapport au centre de gravité

‰

L’interaction nucléaire conserve la parité:

34 37

7

2

*

(

)

S + → + α n Ar J =

(

) (

)

P ψ = ± ψ

J

J

L

J P

0 0 0 0 +

0 0 1 1 −

0 0 2 2 +

0 0 3 3 −

0 0 4 4 +

J

J

L

J P

½

0 3 −

½

0 4 −

½

1 3 +

½

1 4 +

½

1 5 +

non-conservation de la parité

‰

L’interaction faible ne conserve pas la parité

o

voir plus tard, désintégration β

o

exemple:

ƒ

distribution angulaire de l’électron pas symétrique par rapport à une inversion de parité

n → + p β

+ ν

60 60

27

Co →

Ni + β

+ ν

Isospin

‰

Isospin

o masse du proton ~ masse du neutron (modèle de quarks)

Î suggère que le p et le n sont la même particule en tous points sauf pour un nombre quantique, appelé isospin (symbole T).

isospin: par analogie au spin ±½

o formellement, dansles calculs, on considère p et n commedeux états différents de la mêmeparticule (charge électrique cause uneperturbation)

o dans l’espace d’isospin, une rotation de 180 degrés transforme un neutron en proton.

1 1 1 1

2 2 2 2

T m ,

: p = , ; n = , − base 2

1 0

0 1

( ) :

; SU

p ⎛ ⎞ n ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

3 2 2

1 1

3 2 2

;

;

T n n T n n p

T p p T p p n

τ τ

+ +

− −

= − ≡ =

= + ≡ =

τ

σ

Isospin

o L’isospin est un nombre quantique conservé par l’interaction forte pour les nucléons:

3 1

Q T = +

3 Y2

Q T= +

2 2 2 2

p n 1

N α β α

α β α β β

+ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟

+ + ⎝ ⎠

→ indépendance de charge de l’interaction forte

2

rotation dans l'espace d'isospin dans le plan x-y:

cos sin _i

N N

θ θ

θ θ

⎛ ⎞ −

′ → ′ = ⎜− ⎟ =

Noyaux miroir

Indépendance de charge

pareil pour ¹³C-¹³N, ¹⁵N-¹⁵O, ¹⁷O-¹⁷F, ….

Quelques autres nombres quantiques

‰

charge électrique

o

quantité conservée de façon absolue: (symétrie U(1) de l’é.m.) dans les désintégrations et les réactions

‰

nombre leptonique

o

leptons: électrons, neutrinos (voir interaction faible, plus tard)

ƒ

muon, tau et neutrinos associés pas importants en physique nucléaire

ƒ

(nb de leptons – nb d’anti-leptons) est conservé

‰

nombre hadronique

o

hadron: nucléon

ƒ

en fait, c’est le (nombre de quarks – nombre d’antiquarks) qui

est conservé

Quelques autres nombres quantiques

‰

saveur (non conservée par l’interaction faible)

o

quarks

ƒ

étrangeté

ƒ

charme

ƒ

beauté

o

leptons (interaction faible seulement)

ƒ

electron

ƒ

muon

ƒ

tau

‰

couleur

o

chromodynamique quantique

‰

isospin faible

o

SU(2) de l’interaction électrofaible

Fonction d’onde de spineurs identiques

‰

Statistiques de Fermi-Dirac

o

s’applique aux particules de spin demi-entiers (appelées fermions)

o

principe d’exclusion de Pauli:

ƒ

2 particules identiques ne peuvent être dans le même état quantique

ƒ

cela implique que la fonction d’onde de deux fermions est antisymétrique sous l’échange des 2 particules

12 1 2

12 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2

0 0

0 ( , ) ,

, , , ,

f m n m n m n m n

m m m n n m n n

ψ

ψ ψ ψ ψ

= ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

= + + +

12 1 2 12 1 2

,

( , ) , ; ( , ) ,

m n

f m n m n f m n m n

ψ =

∑

système de deux fermions

1 2 ou 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

nk n k kn k n

ψ = ψ ψ ψ = ψ ψ

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

S n k n k S S

A n k n k A A

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

= ⎡⎣ + ⎤⎦ ⇒ =

= ⎡⎣ − ⎤⎦ ⇒ = −

espace espace

parité + symétrique parité - antisymétrique

ψ ψ

⇒

⇒ deux fermions dans les états n et k

Si les fermions sont identiques, on ne peut pas les distinguer, et donc on peut prendre des combinaisons linéaires:

Pour un système de N nucléons, la fonction d’onde est totalement anti-symétrique sous l’échange de deux nucléons dans les coordonnées d’espace, de spin et

d’isospin

partie spatiale de la fonction d’onde: l’opérateur de parité échange la position des deux particules

Î

(anti-)symétrie de la fonction d’onde 2 nucléons ⇒ S = 0 ou 1

L S+ = pair

Moment magnétique dipolaire

définition du moment magnétique ¹

2 C

I r dl μ = ∫ ×

2

Physique classique:

2 2

2 2 2

dq v v

I ef e e r

dt r r

evr

e mvr m

e m

μ π

π π

= = = ⇒ = ⋅

=

= ⋅

= ⋅

14 1

magnéton nucléaire:

3 15 10

modifie les niveaux d'énergie:

(champ magnétique interne: interaction spin-or te) 2

bi .

N

N

p

MeV T

E B B

e m μ

μ μ

− −

= ×

Δ = ⋅

≡

Moment magnétique dipolaire

g

μ = ⋅ μ

rapport gyromagnétique 1 proton)

0 (neutron) (

g g

≡

= ⎨⎧

⎩

= moment angulaire (en )

magneton nucléaire μN =

Moment magnétique nucléaire intrinsèque (anomal)

proton: distribution de charge en rotation autourde son axe Î moment magnétique neutron: charge intégrale est nulle, mais distribution pas nécessairement localement nulle

s

g s

μ = ⋅ μ

Moment magnétique dipolaire

problème:

- description classique d’un électron: cylindre, de rayon R,

masse uniformément distribuée Î calculer la vitesse angulaire

ω

- supposer que toute la charge est à la surface du cylindre Î calculer le moment magnétique

Î trouver le rapport gyromagnétique

Pour des fermions de charge 1 et de dimension ponctuelle, en mécanique quantique relativiste on trouve:

g_s= 2 exactement

Les corrections d’ordre supérieur peuvent être calculées avec très haute précision et sont en parfait accord avec les mesures expérimentales:

( )

2 (électron) = 1159.65218073 0.00000028 10 2

g −

± ×

en terme de magnéton de Bohr 2000 plus grand que

( ) 2 ( !)

s N

e

e e

μ m × μ

Moment magnétique dipolaire d’un noyau

( )

( )

1 1

nucléons s

s N

nucléons

j N

nucléons

g g s g j

μ μ μ

μ μ

= +

= +

=

∑

∑

∑

N

g J

μ = μ

facteur g nucléaire

2

2

composante de dans la direction de l'axe défini par 1

1 1

:

s N

nucléons

s N N

nucléons

s nucléons

J g g s

J g J g s J g J

g J g s J

g J

μ

μ μ

μ μ μ

⇓

= +

⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅

=

∑

∑

∑

Precession autour d’un champ magnétique externe

Imagerie par résonance magnétique

photon

photon

2

2

p p

E B

B

μ ω

ω μ

Δ = =

= ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

- Champ magnétique constant (en direction z) Î 2 états d’énergie des protons:

- faible excès de proton alignés avec (facteur de Boltzmann )

- t = 0: On applique un champ magnétique alternatif (onde RF) de fréquence f

dans la direction x

p

B μ

±

f = fréquence d’un photon de même énergie

= fréquence de Larmor: de précession autour de z

~ fréquence radio

B

E kT/

e^−Δ

(

)

B

Imagerie par résonance magnétique

- on arrête le champ externe lorsqueθ = 90^o

précession autour de l’axe z continue, protons en phase

Î précession de M est maximale → induit un champ électromagnétique dans une bobine autour de l’échantillon

Î présence, ou concentration d’hydrogène

- dé-éxcitationdûe àla relaxation

Î signal décroit graduellement →taux de décroissance donne une mesure de l’environnement autour de l’échantillon (tumeur?)

Moments multipolaires

2 2 1

Potentiel électrique dû à une distribution de charge (ou somme de charges ponctuelles)

1 1

2

(loin du centre du noyau, et

( ) ( ) ( )

co

(co ) s

s

l l l l

r

r r dV

r r

r r r r rr

r r r r

r P

α

ρ φ ρ

α

<

+

>

<

>

′

′ ′

= − ′

= =

− ′ + ′ − ′

= ′ =

∑

∫

1 1

1

1

) 1

4

2 1

4 1

2 1

*

*

( ) (cos )

( ) ( )ˆ

( ) ( ) (c

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

( )ˆ

os ) _l

l l

lm lm

l l m

lm

l l

l lm l

l l

lm l l

r

r r dV

r

r r Y r

r Y r dV r l

r r

P P dV

r Y r

l r Y r

r

r dV

ρ α

ρ α

φ ρ

ρ π π

+

+ +

+

′ ′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′

= =

′ ⎛ ⎞

′ ′ ′

= ⎜⎝ + ⎟⎠

= +

′

∫

∑ ∑

∫

∑ ∑

∫

∑ ∫

(unités gaussiennes)

r’ à l’intérieur du noyau

Moment Quadrupolaire Électrique

M_{l m,} =

∫ ρ

partie radiale partie angulaire

S’il y a une symétrie azimuthale Î pas de dépendance en φ

2 1

4

*

, ( )ˆ , ( )ˆ (cos )

l m l m l

m

Y r Y r l P θ π

′ = +

∑

( ) 1_{l l}(cos( )) _l

l

P M

r r

φ

θ

⇒ =

∑

2

( )

(cos( ) ) ; cos( )

l l

M = ∫ ρ r r P ^{′ ′} θ dV ^′ dV ^′ = π r dr d ^{′ ′} θ

0

0 ( ) 0(cos( )) ( ) charge totale

M =

∫

∫

1 ( ) (cos( )) ( ) cos( ) 0 dipôle

M =

∫

∫

2 2

parité bien définie:

moment électrique d'ordre impair est nul!

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r r r

ψ ψ

ψ ψ ρ ρ

= ± −

⇒ = − ⇒ = −

⇒