Séance 13/11/06

R-ALG` EBRES DE LIE SEMI-SIMPLES S´ EANCE DU 13/11

3. Extension et restriction des scalaires

3.1. Extension des scalaires. — Soientkun corps de caract´eristique 0 et k⁰/k une extension de k (c.-`a-d., k<sup>0</sup> est un corps contenant k). Soit g une k- alg`ebre de Lie de dimension finien. Rappelons (cf.§1.3, s´eances 9-10 octobre) que sa forme de Killing K = K_g est d´efinie par

K(x, y) = Tr(ad(x) ad(y)), ∀x, y∈g.

On poseg⁰=g⊗_kk⁰; c’est unek⁰-alg`ebre de Lie de dimensionn. On note K⁰ sa forme de Killing.

Lemme 3.1. — Kest la restriction `a g×g de K<sup>0</sup>, c.-`a-d.,

(∗) ∀x, y∈g, K(x, y) = K⁰(x, y),

et l’on a : Kest non d´eg´en´er´ee⇔ K⁰ est non d´eg´en´er´ee.

D´emonstration. — Soit B= (e₁, . . . , e_n) une base de gsur k; c’est aussi une base deg⁰ sur k⁰. La matrice de K dansB est la matrice :

A := Mat_B(K) = (K(e_i, e_j))_16i,j6n;

c’est aussi la matrice de K⁰ dansB. L’´egalit´e (∗) en d´ecoule. De plus, on sait que K (resp. K⁰) est non d´eg´en´er´ee si et seulement si A est inversible. Le lemme en r´esulte.

Remarque 3.2. — Plus g´en´eralement, soith(resp.h⁰) le noyau de K (resp. K⁰) ; ils sont tous deux de dimension dim Ker(A). Comme h⊗_kk⁰ ⊆h⁰, on a donc l’´egalit´eh⁰ =h⊗_kk⁰.

Remarque 3.3. — Dans le lemme pr´ec´edent, on n’a pas utilis´e l’hypoth`ese car(k) = 0. Elle intervient dans le th´eor`eme suivant.

(0)version du 24/11/06

Théorème 3.4. — Soit k un corpsde caract´eristique0, par exemplek=R, soit g une k-alg`ebre de Lie de dimension finie et soit K = K_g sa forme de Killing. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

a) K est non d´eg´en´er´ee.

b) g est somme directe d’alg`ebres de Lie simples : g=g₁⊕ · · · ⊕g_r. c)g ne contient pas d’id´eal r´esoluble non nul.

On dit queg estsemi-simple si ces conditions sont v´erifi´ees ; dans ce cas, g₁, . . ., g_r sont uniquement d´etermin´es, on les appelle les composantes simples ou id´eaux minimaux deg.

D´emonstration. — On a d´ej`a vu que a) ⇒ b) ⇒ c), et que sous l’hypoth`ese b) les g_i sont uniquement d´etermin´es, cf. cours d’Introduction, s´eance 9-10 octobre, 1.38 et 1.39.

Supposons c) v´erifi´e et notons hle noyau de K ; c’est un id´eal de g. Soit k⁰ une clˆoture alg´ebrique de k(en particulier, k⁰ =Csi k=R) et soient

g⁰=g⊗_kk⁰, h⁰ =h⊗_kk⁰,

et K⁰ la forme de Killing deg⁰. On ah⁰= Ker K⁰, d’apr`es la remarque 3.2. De plus, d’apr`es le crit`ere de Cartan (s´eance 9-10 octobre, 2.28),h⁰ = Ker K⁰ est r´esoluble.

Par cons´equent, h=h⁰∩g est un id´eal r´esoluble de g, donc h= 0 d’apr`es l’hypoth`ese c). Ceci montre que c)⇒a) et ach`eve la preuve du th´eor`eme.

3.2. Restriction des scalaires. — D´esormais, on prendk=R, c.-`a-d., on va s’int´eresser auxR-alg`ebres de Lie semi-simples.

Définition 3.5(Restriction des scalaires). — Soitg une C-alg`ebre de Lie de di- mension n sur C. Alors, consid´er´ee comme R-espace vectoriel, c’est une R- alg`ebre de Lie de dimension 2n. On la note g^R et on dit qu’elle est obtenue `a partir de gpar restriction des scalaires (deC`a R). Si on note K la forme de Killing deg, on notera K^R celle deg^R.

Notation 3.6. — On note Re(z) et Im(z) la partie r´eelle (resp. imaginaire) d’un nombre complexez, c.-`a-d., on ´ecrit

z= Re(z) +iIm(z).

On d´esigne par z le conjugu´e dez, c.-`a-d., z= Re(z)−iIm(z).

Proposition 3.7. — On a K^R= 2 Re K, c.-`a-d.,

∀x, y∈g=g^R, K^R(x, y) = 2 Re(K(x, y)).

Donc, Ker K = Ker K^R. En particulier : K est non d´eg´en´er´ee ⇔ K^R est non d´eg´en´er´ee.

D´emonstration. — Soit B= (e₁, . . . , e_n) une base degsur C. Alors B₀= (e₁, . . . , e_n, ie₁, . . . , ie_n)

est une R-base de g^R. Soient x, y ∈ g et soit A la matrice dans B du C- endomorphisme ad(x) ad(y). Posons

A = B +iC, avec B,C∈M_n(R).

Alors ad(x) ad(y), consid´er´e comme R-endomorphisme de g^R, a dans la base B₀ la matrice suivante :

A₀ =

µB−C C B

¶ . Il en r´esulte que

K^R(x, y) = Tr(A₀) = 2 Tr(B) = 2 Re(Tr(A)) = 2 Re(K(x, y)).

Ceci prouve la premi`ere assertion.

Ceci entraˆıne imm´ediatement que Ker K ⊆ Ker K^R. R´eciproquement, soit x∈Ker K^R. Alors, pour tout y∈g^R, on a

Re K(x, y) = K^R(x, y)/2 = 0

et Im K(x, y) =−Re K(x, iy) =−K^R(x, iy)/2 = 0,

d’o`u K(x, y) = 0, et donc x ∈ Ker K. Ceci prouve la seconde assertion. La proposition est d´emontr´ee.

Définition 3.8(Formes réelles). — Soit g une C-alg`ebre de Lie de dimension finie. Uneforme r´eelle de gest une sous-R-alg`ebre de Lieg₀ deg^R telle que l’application naturelle

g₀⊗_RC−→g

soit bijective, ce qui ´equivaut `a dire que g₀ est engendr´ee comme R-espace vectoriel par uneC-base de g.

Exemple 3.9. — Soitg=sl₂(C), avec la base standard E =

µ0 1 0 0

¶

, H =

µ1 0 0−1

¶

, F =

µ0 0 1 0

¶ .

On a [E,F] = H et [H,E] = 2E, [H,F] =−2F. Alorssl₂(R), dont (E,H,F) est une R-base, est une forme r´eelle desl₂(C). Dans la base (E,H,F) on a :

ad(E) ad(F) =



2 0 0 0 2 0 0 0 0



, ad(H)² =



4 0 0 0 0 0 0 0 4



.

Donc la forme de Killing de sl₂(R) a pour matrice dans la base (E,H,F) la

matrice suivante : 

0 0 4 0 8 0 4 0 0



;

elle est de signature (2,1), sa matrice dans la base (E + F)/2, H/2, (E−F)/2

est 

2 0 0 0 2 0 0 0−2



.

D’autre part, posons X = E−F, H⁰ = iH, Y = i(E + F). Alors (X,H⁰,Y) est uneC-base de sl₂(C), et l’on a :

[H⁰,X] = 2Y, [H⁰,Y] =−2X, [X,Y] = 2H⁰. Donc RX⊕RH⁰⊕RY est une forme r´eelle desl₂(C), not´eesu₂.

Alors, ad(X) ad(H⁰), ad(Y) ad(H⁰) et ad(Y) ad(X) sont de trace nulle, et le tableau ci-dessous d´ecrit ad(X)², etc.

X H⁰ Y

ad(X)² 0 −4H⁰ −4Y ad(Y)² −4X −4H⁰ 0 ad(H⁰)² −4X 0 −4Y

Par cons´equent, la forme de Killing de su₂ a pour matrice dans la base (X,H⁰,Y) :





−8 0 0 0 −8 0

0 0 −8



;

elle est d´efinie n´egative. En particulier, sl₂(R) et su₂ ne sont pas isomorphes (puisque leur formes de Killing ont des signatures diff´erentes).

On convient que, dans la suite, «alg`ebre de Lie» signifie«alg`ebre de Lie de dimension finie».

Corollaire 3.10. — Soit g₀ une R-alg`ebre de Lie et g = g<sub>0</sub> ⊗<sub>R</sub>C (resp. soit g uneC-alg`ebre de Lie et g₀ une forme r´eelle deg. On a les ´equivalences :

g₀ est semi-simple ⇔ g est semi-simple ⇔ g^R est semi-simple.

D´emonstration. — Ceci r´esulte du lemme 3.1 et de la proposition 3.7.

4. Formes r´eelles d´eploy´ees ou bien compactes

4.1. Bases de Chevalley. — Soient g une C-alg`ebre de Lie semi-simple, K = K<sub>g</sub> sa forme de Killing,hune sous-alg`ebre de Cartan, R = R(g,h) le sys- t`eme de racines, ∆ une base de R et R⁺ les racines positives correspondantes.

On va montrer d’abord qu’il existe une base de g dans laquelle toutes les constantes de structure sont des entiers. On en d´eduira ensuite une forme r´eelle compacte u deg.

Pour toutβ ∈R, soiteh_β l’unique ´el´ement dehtel que (1) K(eh_β, h⁰) =β(h⁰), ∀h⁰∈h, et soit

(2) h_β = 2eh_β

K(eh_β,eh_β); alorsh_β est l’unique ´el´ement de htel que :

(3) h_β ∈[g_β,g_−β] et β(h_β) = 2.

Notonsν :h−→^∼ h^∗l’isomorphisme induit par K (en particulier,eh_β =ν⁻¹(β)).

On transporte K `a h<sup>∗</sup> via ν, c.-`a-d., on pose

(3) (λ, µ) = K(ν⁻¹(λ), ν⁻¹(µ)), ∀λ, µ∈h^∗. En particulier, (β, β) = K(eh_β,eh_β). Posons

β^∨ = 2β (β, β), alors, pourα, β ∈R, on a

α(eh_β) = K(eh_α,eh_β) = (α, β) et donc

(4) α(h_β) = (α, β^∨)∈Z.

Tout β∈R⁺ s’´ecrit de fa¸con unique

β = X

α∈∆

n_β,αα, avec n_β,α ∈N, et donc

(5^∨) β^∨ = X

α∈∆

n_β,α(α, α) (β, β) α^∨.

On peut montrer que R^∨ := {β^∨ |β ∈ R} est un syst`eme de racines (appel´e le syst`eme de racines dual), et que ∆^∨ ={α^∨ |α∈∆} en est une base ; voir [Hu, Ex. 9.2 & 10.1] ou [Se, V, Prop. 2 & 7]. Par cons´equent, les coefficients

m_α,β :=n_β,α(α, α) (β, β)

appartiennent `aN. Transportant alors l’´egalit´e (5^∨) par l’isomorphisme lin´eaire ν⁻¹ :h^∗ −→^∼ h, on obtient, pour tout β∈R⁺ :

(5) h_β = X

α∈∆

m_β,αh_α, avec m_β,α ∈N.

Remarque 4.1. — Commeh_β = 2eh_β/(β, β), on a K(h_β, h_β) = 4

(β, β).

On reviendra sur cette quantit´e dans la remarque 4.17 plus bas.

Définition 4.2. — Soit k un corps de caract´eristique 0 (par exemple, k = R ou C) et soit V unk-espace vectoriel de dimension finie. Unr´eseau de V est un sous-Z-module L engendr´e par une base de V ; ceci ´equivaut `a dire que le morphisme L⊗_Zk→V est bijectif.

On va maintenant construire un r´eseaug_Z degstable par le crochet de Lie, c.-`a-d., uneZ-forme de g.

D’abord, (h_α)_α∈∆ est une base deh. Consid´erons le r´eseau

(6) h_Z= L

α∈∆

Zh_α; il contienth_β pour toutβ∈R, d’apr`es (5).

Pour tout β ∈R⁺, soit X_β un ´el´ement non nul de g_β et soit X_−β l’unique

´el´ement deg_−β tel que

(7) [X_β,X_−β] =h_β.

Remarquons que si (e_β, e_−β)∈g_β×g_−β est un autre couple tel que [e_β, e_−β] = h_β, alors

e_β =t_βX_β et e_−β =t⁻¹_β X_−β, pour un uniquet_β ∈C^∗.

Définition 4.3. — Soient α, β ∈ R, non proportionnelles. L’ensemble des ra- cines de la forme β+kα, k ∈ Z, s’appelle la α-chaˆıne de β (en anglais :

“α-string throughβ”).

Notation 4.4. — Pour toutα∈R, on pose

sl_α=g_α⊕Ch_α⊕g_−α. C’est une sous-alg`ebre de Lie de g, isomorphe `a sl₂.

Lemme 4.5. — Soientα, β ∈R, non proportionnelles. Alors

{k∈Z|β+kα∈R} est un intervalle [−r, q], avec r, q∈N,

c.-`a-d., laα-chaˆıne deβ est «sans trous». De plus, on aβ(h_α) =r−q. Plus pr´ecis´ement, le sous-espace

Lq k=−r

g_β+kα

est un sl_α-module simple.

D´emonstration. — Voir [Se, VI.2.12] ou [Hu, 25.1].

Pour α6=β dans R, posons N_α,β= 0 si α+β 6∈R et

(8) [X_α,X_β] = N_α,βX_α+β si α+β ∈R.

Lemme 4.6. — Soientα, β ∈R, non proportionnelles et telles que α+β ∈R.

Soit β−rα, . . . , β+qα la α-chaˆıne deβ. Alors : a) (r+ 1) (β, β) =q(α+β, α+β);

b) N_α,βN_−α,−β =−(r+ 1)².

D´emonstration. — Pour a) voir [Hu, 25.1], et pour b) [BL4-6, §VIII.2, Lemme 4], en tenant compte du changement de signe induit par la conven- tion (bizarre) [X_α,X_−α] = −h_α adopt´ee par Bourbaki dans le Lemme 2, qui entraˆıne un changement de signe dans le Lemme 3 et les ´egalit´es (4) et (5) du Lemme 4 .

Théorème 4.7(Automorphisme de Chevalley). — Il existe un unique automor- phisme involutif τ de g tel que

½ τ(h) =−h, ∀h∈h, τ(X_α) =−X_−α, ∀α∈∆, et l’on a τ(g_β) =g_−β pour tout β∈R.

D´emonstration. — D’apr`es le cours d’Introduction, s´eance du 24/10, Th. 7.2, g est engendr´ee par les 3n´el´ements

(X_α, h_α,X_−α)_α∈∆,

soumis aux relations (1–3) d´ecrites en 7.2. Les ´el´ements (−X_−α,−h_α,−X_α)_α∈∆,

satisfont aux mˆemes relations, donc il existe un unique automorphismeτ de g v´erifiant les conditions du th´eor`eme, etτ<sup>2</sup> laisse fixe le syst`eme de g´en´erateurs donc est l’identit´e. Enfin, pour toutx∈g_β eth∈h, on a

[h, τ(x)] =−[τ(h), τ(x)] =−τ([h, x]) =−β(h)τ(x),

et donc τ(x) ∈ g_−β. Ceci prouve le th´eor`eme. Pour plus de d´etails, voir [Se, VI,§ §4-5].

Théorème 4.8(Constantes de structure). — Pour tout α ∈ ∆, fixons X_α ∈ g_α et X_−α ∈g_−α tels que [X_α,X_−α] =h_α. Alors, il existe des ´el´ements e_β ∈g_β, pour tout β ∈R, uniques au signe pr`es, tels que [e_β, e_−β] =h_β, e_α= X_α pour α∈∆, et, chaque fois que β, γ, β+γ ∈R :

[e_β, e_γ] = N_β,γe_β+γ, N_−β,−γ =−N_β,γ, N_β,γ =±(r+ 1), o`u r est le plus grand entier>0 tel queβ−rγ ∈R. Par cons´equent,

g_Z:=h_ZL L

β∈R

Ze_β

est une Z-forme deg, c.-`a-d., un r´eseau qui est stable par le crochet de Lie.

D´emonstration. — Prenonse_±α= X_±αpourα∈∆ et soitτ l’automorphisme de Chevalley tel queτ|_h =−id_h etτ(X_α) =−X_−α pourα∈∆.

Pour toutβ ∈R⁺, on aτ(X_β) =c_βX_−β, pour un uniquec_β ∈C^∗, etc_α= 1 pour α∈∆. Posons

e_β =t_βX_β et e_−β =t⁻¹_β X_−β. Alors

τ(e_β) =t_βτ(X_β) =t_βc_βX_−β =t²_βc_βe_−β.

Par cons´equent, τ(e_β) = −e_−β ´equivaut `a t<sup>2</sup><sub>β</sub> = −c<sup>−1</sup><sub>β</sub> , ce qui d´etermine uni- quementt<sub>β</sub> au signe pr`es. (Pourα∈∆, on prendt_α = 1).

Pour toutβ, γ ∈R tels queβ+γ ∈R, posons alors [e_β, e_γ] = N_β,γe_β+γ.

Appliquant τ, on obtient N_−β,−γ =−N_β,γ. D’apr`es le point b) du lemme 4.6 on obtient alors que

N_α,β=±(r+ 1).

Ceci prouve le th´eor`eme.

Définition 4.9. — La base construite dans le th´eor`eme pr´ec´edent est appel´ee une base de Chevalleyde g.

4.2. Formes d´eploy´ees. — On rappelle la d´efinition ci-dessous, introduite au §2.3 du polycopi´e 9-10 octobre dans le cas o`u k=C, mais valable sur un corps arbitraire, en particulier pour k=R.

Définition 4.10(Sous-algèbres de Cartan). — Soit g₀ une R-alg`ebre de Lie semi-simple. Une sous-alg`ebre de Cartan est une sous-alg`ebre de Lie h<sub>0</sub> qui est nilpotente et ´egale `a son normalisateur.

Lemme 4.11. — Soit h₀ une sous-alg`ebre de Cartan deg<sub>0</sub>. Alors 1)h:=h<sub>0</sub>⊗<sub>R</sub>C est une sous-alg`ebre de Cartan de g:=g₀⊗_RC.

2) Par cons´equent, h₀ est ab´elienne, et toutes les sous-alg`ebres de Cartan de g₀ sont de mˆeme dimension (mais pas n´ecessairement conjugu´ees par un automorphisme deg₀).

D´emonstration. — On voit facilement que hest nilpotente. Pour l’´egalit´e N_g(h) = N_g0(h₀)⊗_RC=h,

on renvoie `a [BL1, §3, no.8]. Donc, h est une sous-alg`ebre de Cartan de g.

Commegest semi-simple (3.1),hest ab´elienne (16-17 octobre, Cor. 3.3), donc h₀ l’est aussi. Enfin, d’apr`es (9-10 octobre, 2.26), toutes les sous-alg`ebres de Cartan deg sont conjugu´ees, donc ont la mˆeme dimension sur C. Comme

dim_Rh₀= dim_Ch,

il s’ensuit que toutes les sous-alg`ebres de Cartan deg₀sont de mˆeme dimension.

Définition 4.12(Sous-algèbres de Cartan déployantes). — Soient g₀ une R-al- g`ebre de Lie semi-simple et h<sub>0</sub> une sous-alg`ebre de Cartan de g₀. On dit que h₀ est d´eployante si, pour tout h ∈ h₀, ad(h) est diagonalisable (et donc `a valeurs propres r´eelles).

Exemple 4.13. — Soit g₀ = su₂, cf. 3.9 plus haut. Alors RH⁰ est une sous- alg`ebre de Cartan de g<sub>0</sub>, car CH<sup>0</sup> = CH est une sous-alg`ebre de Cartan de g₀⊗_RC=sl₂(C).

Mais, comme [H⁰,X] = 2Y et [H⁰,Y] =−2X, les valeurs propres de ad(H⁰) sont 0 et ±2i, donc RH⁰ n’est pas d´eployante. En fait, on peut montrer que su₂ n’a pas de sous-alg`ebre de Cartan d´eployante.

Définition 4.14(Formes déployées). — Soit g₀ une R-alg`ebre de Lie semi- simple et soit g = g<sub>0</sub> ⊗<sub>R</sub> C. On dit que g<sub>0</sub> est d´eploy´ee, ou une forme d´eploy´ee deg, sig<sub>0</sub> poss`ede une sous-alg`ebre de Cartan d´eployante.

Théorème 4.15(Existence et unicité d’une forme déployée)

Soit g uneC-alg`ebre de Lie semi-simple. Alors g poss`ede une R-forme d´e- ploy´ee, unique `a isomorphisme pr`es.

D´emonstration. — Soit g_Z la Z-forme construite dans le th´eor`eme 4.8. Alors g₀ :=g_Z⊗_ZR= L

α∈∆

Rh_αL L

β∈R

Re_β

est uneR-forme d´eploy´ee deg. (Et en fait, g_Z est une «Z-forme d´eploy´ee» ).

Ceci prouve l’existence.

L’unicit´e `a isomorphisme pr`es r´esulte du th´eor`eme 7.2 du 24 octobre, ou de sa variante pour les formes d´eploy´ees. Pour cela, on renvoie `a [BL4-6,

§VI.4].

4.3. Formes compactes. — On va maintenant construire une forme r´eelle compacte de g. Pour β∈R⁺, posons

h⁰_β =ih_β, x_β =e_β−e_−β, y_β =i(e_β+e_−β).

Alors (h⁰_α)_α∈∆∪(x_β, y_β)_β∈R+ est une C-base de g. Notonsu le sous-R-espace vectoriel engendr´e. On a

[x_β, y_β] = 2h⁰_β [h_β, x_γ] =γ(h_β)y_γ

−[h_β, y_γ] =γ(h_β)x_γ et, pourβ 6=±γ,

[x_β, x_γ] = N_β,γx_β+γ−N_β,−γx_β−γ

−[y_β, y_γ] = N_β,γx_β+γ+ N_β,−γx_β−γ [x_β, y_γ] = N_β,γy_β+γ+ N_β,−γy_β−γ.

Doncuest une forme r´eelle deg. Soit K_u sa forme de Killing. D’apr`es le lemme 3.1, K<sub>u</sub> est non d´eg´en´er´ee et est la restriction `a u×u de K = K_g. Or

K(h⁰_α, h⁰_α) =−K(h_α, h_α)∈ −Q^∗₊ K(x_β, x_β) = K(y_β, y_β) =−2K(e_β, e_−β) = −4

(β, β) ∈ −Q^∗₊.

Il en r´esulte que K_u est d´efinie n´egative. Doncuest une forme r´eelle compacte de g. On a donc obtenu le th´eor`eme d’existence ci-dessous. On verra plus loin que toutes les formes compactes de gsont isomorphes.

Théorème 4.16(Existence d’une forme compacte). — Soient g une C-alg`ebre de Lie semi-simple, h une sous-alg`ebre de Cartan, R = R(g,h) le syst`eme de racines, ∆une base de R, et soit

(h_α)_α∈∆S

(e_β)_β∈R une base de Chevalley de g. Alors

u₀ = L

α∈∆

Rih_αL L

β∈R⁺

(R(e_β−e_−β)⊕Ri(e_β+e_−β)) est une forme compacte de g.

Remarque 4.17. — Dans la discussion pr´ec´edant le th´eor`eme, on a vu appa- raˆıtre la quantit´e

2K(e_β, e_β) = 4

(β, β) = K(h_β, h_β),

cf. la remarque 4.1 plus haut. Commeg_Z est uneZ-forme, cette quantit´e doit ˆetre un entier>0. En fait, on peut voir que K(h_β, h_β) est un entier divisible par 4, et donc 1/(β, β)∈N^∗ pour toutβ ∈R.

Pour chaque syst`eme de racines irr´eductible (c.-`a-d., dont le diagramme de Dynkin est connexe), il y a au plus deux longeurs de racines ; lorsque c’est le cas, on parle de racines longues ou courtes. Lorsque toutes les racines ont la mˆeme longueur (c.-`a-d., en type A-D-E), on convient que toutes les racines sont longues. Alors, on a le tableau suivant, o`uα_cd´esigne une racine courte.

1/(β_{`</sub>, β<sub>`}) 1/(α_c, α_c)

A_n−1 n −

B_n 2n−1 4n−2 C_n n+ 1 2(n+ 1)

D_n 2n−2 −

E₆ 12 −

E₇ 18 −

E₈ 30 −

F₄ 9 18

G₂ 4 12

S´eance du 18/9 . . . 1

1. Groupes topologiques . . . 1

2. Interlude sur les repr´esentations de groupes finis . . . 3

3. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 5

3.1. Repr´esentations r´eguli`eres gauche et droite . . . 5

3.2. Int´egration invariante . . . 6

3.3. Th´eor`eme du point fixe de Kakutani . . . 6

S´eance du 19/9 . . . 9

3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite) . . . 9

3.4. Mesures de Radon . . . 11

3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 12

4. Repr´esentations unitaires et th´eor`eme de Peter-Weyl . . . 16

4.1. Repr´esentations continues . . . 16

4.2. Repr´esentations unitaires . . . 17

4.3. Op´erateurs compacts . . . 18

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 19

S´eance du 25/9 . . . 21

5. L’alg`ebre des «fonctions repr´esentatives» . . . 21

5.1. Coefficients matriciels . . . 21

5.2. Fonctions repr´esentatives . . . 23

5.3. Cas des groupes compacts . . . 24

5.4. Schur, Burnside et produits tensoriels . . . 25

5.5. R´esultats sur les modules semi-simples . . . 26

5.6. Appendice : preuve du th´eor`eme de Burnside . . . 28

4. Th´eor`eme de Peter-Weyl (suite) . . . 29

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 29

S´eance du 26/9 . . . 35

4.5. Une cons´equence du th´eor`eme de Peter-Weyl . . . 35

6. Sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 36

6.1. Alg`ebres de Lie . . . 36

6.2. Propri´et´es de l’exponentielle . . . 36

6.3. L’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e de GL_n(R) . . . 39

6.4. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 40

7. Groupes de Lie . . . 42

7.1. Vari´et´es diff´erentiables . . . 42

S´eance du 2 octobre . . . 45

7. Groupes de Lie (suite) . . . 45

7.1. Vari´et´es diff´erentiables (suite) . . . 45

7.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 47

7.3. Espace tangent en un point `a une sous-vari´et´e deR^N . . . 50

7.4. Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations de rang constant . . . 52

S´eance du 3 octobre . . . 55

7. Groupes de Lie (suite) . . . 55

7.5. D´erivations et champs de vecteurs . . . 55

7.6. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 63

7.7. Retour aux sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 65

7.8. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 69

7.9. Repr´esentations . . . 73

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 9 et 10 octobre . . . 75

1. Alg`ebres de Lie : d´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . 75

1.1. Alg`ebres de Lie, id´eaux, modules . . . 75

1.2. Alg`ebres de Lie r´esolubles ou nilpotentes . . . 80

1.3. Formes invariantes et forme de Killing . . . 82

1.4. Th´eor`eme d’Engel et applications . . . 85

2. Th´eor`eme de Lie et crit`ere de Cartan . . . 87

2.1. Th´eor`eme de Lie et cons´equences . . . 87

2.2. Poids des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . 90

2.3. Sous-alg`ebres de Cartan . . . 93

2.4. Crit`ere de Cartan . . . 97

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 16 et 17 octobre . . . 99

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple . . . 99

3.1. Racines dehdansg . . . 99

3.2. Alg`ebre enveloppante d’unek-alg`ebre de Lie . . . 102

3.3. Repr´esentations de sl₂(C) . . . 104

3.4. Retour `a la preuve du th´eor`eme d’int´egralit´e . . . 105

3.5. Passage `a unR-espace euclidien . . . 106

3.6. Le syst`eme de racines R⊂h^∗_R . . . 107

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 17 et 23 octobre . . . 109

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple (suite) . . . 109

3.7. Le cas desl₂(C) . . . 109

4. Syst`emes de racines . . . 109

4.1. D´efinitions . . . 109

4.2. Syst`emes de racines de rang 2 . . . 110

4.3. Bases d’un syst`eme de racines . . . 113

4.4. Matrices de Cartan, graphes de Coxeter, diagrammes de Dynkin 115 5. Classification des graphes admissibles . . . 116

5.1. Premi`eres r´eductions . . . 116

5.2. Fin de la classification des graphes admissibles . . . 118

5.3. Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . 121

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines . . . 122

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eance du 24 octobre . . . 125

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines (suite) . . . 125

6.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases . . . 125

6.2. Isomorphismes de syst`emes de racines . . . 128

6.3. Fin de la classification des syst`emes de racines . . . 128

7. Classification des C-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 129

7.1. Le syst`eme de racines deg . . . 129

7.2. Th´eor`eme d’existence et d’unicit´e . . . 130

7.3. Type A_n−1 =sl_n(C) . . . 131

7.4. Types B et D : groupes orthogonaux . . . 132

7.5. Type C : groupes symplectiques . . . 135

Partie FI : Groupes et alg`ebres de Lie S´eance du 6 novembre . . . 1

1. Exponentielle et action adjointe . . . 1

1.0. Un «rappel»sur espaces tangents et diff´erentielles . . . 1

1.1. Champs de vecteurs et flots . . . 2

1.2. Exponentielle d’un groupe de Lie . . . 4

1.3. Calcul diff´erentiel sur G . . . 8

1.4. G-vari´et´es et repr´esentations d’isotropie . . . 9

1.5. Action adjointe . . . 10

1.6. Le yoga des -zateurs . . . 12

Partie FI : Groupes et alg`ebres de Lie

S´eance du 7 novembre . . . 17

2. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes . . . 17

2.1. G- et g-modules . . . 17

2.2. Automorphismes et d´erivations . . . 18

2.3. R-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 19

2.4. Revˆetements universels . . . 20

2.5. Groupes de Lie semi-simples 1-connexes . . . 21

2.6. Groupes et alg`ebres de Lie semi-simples compacts . . . 22

Partie FI : R-alg`ebres de Lie semi-simples s´eance du 13/11 . . . 27

3. Extension et restriction des scalaires . . . 27

3.1. Extension des scalaires . . . 27

3.2. Restriction des scalaires . . . 28

4. Formes r´eelles d´eploy´ees ou bien compactes . . . 31

4.1. Bases de Chevalley . . . 31

4.2. Formes d´eploy´ees . . . 34

4.3. Formes compactes . . . 36

Bibliographie . . . v

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