Séances 16 et 17/10/06

S´ EANCES DU 16 ET 17 OCTOBRE

3. Racines d’une C-alg`ebre de Lie semi-simple

Soit gune C-alg`ebre de Liesemi-simple, de dimension finie, et soithune sous-alg`ebre de Cartan. On note K = K_g la forme de Killing deg.

Comme g ne contient pas d’id´eal r´esoluble, alors z(g) = (0) et donc la repr´esentation adjointe

ad :g−→End(g)

est injective. Donc, lorsque n´ecessaire, on pourra consid´erer toute sous-alg`ebre de g, en particulier h, comme une sous-alg`ebre de Lie de End(g).

3.1. Racines de h dans g. — Notons R = R(g,h) l’ensemble des poids non nuls dehdansg, pour l’action adjointe. D’apr`es la proposition 2.23 et le th´eor`eme 2.15, on a

(1) g₍₀₎ =h et g=hL M

α∈R

g_α. De plus, d’apr`es 2.9 et 2.10, on a

(1⁰). [g_(α),g_(β)]⊆g_(α+β), ∀α, β ∈R.

Lemme 3.1. — L’invariance deK est ´equivalente au fait que K :g⊗g−→C est un g-morphisme,

o`u Cest consid´er´e comme g-module trivial. Par cons´equent, d’apr`es la propo- sition 2.9, pour tout λ, µ∈R∪ {0}, on a

(2) K(g_(λ),g_(µ))⊆C_(λ+µ)= 0 si λ+µ6= 0.

D´emonstration. — Laiss´ee au lecteur.

(0)version du 18/10/06

Corollaire 3.2. — La restriction deK `a hest non d´eg´en´er´ee etK induit, pour tout α∈R, une dualit´e parfaite entre g_(α) et g_(−α).

En particulier, α∈Rimplique −α∈R et dimg_(−α)=g_(α).

D´emonstration. — Ceci r´esulte du fait que K est non d´eg´en´er´ee et du lemme pr´ec´edent.

Corollaire 3.3. — hest ab´elienne, c.-`a-d., [h,h] = 0.

D´emonstration. — Par hypoth`ese,hest nilpotente, a fortiori r´esoluble. Donc, d’apr`es le corollaire 2.4, pour tout x∈hety∈D(h), on a

0 = Tr_g(ad_g(x) ad_g(y)) = K(x, y).

Ceci montre que D(h) est orthogonal `a h, et donc `a g tout entier, d’apr`es le lemme 3.1. Comme K est non d´eg´en´er´ee, ceci implique D(h) = 0, donc h est ab´elienne.

Remarquons que, pour tout λ ∈ {0} ∪R, tout h ∈ h agit sur g_(λ) comme une matrice triangulaire avecλ(h) sur la diagonale. Il en r´esulte que :

(3) ∀h, h⁰ ∈h, K(h, h⁰) = X

α∈R

dimg_(α)α(h)α(h⁰).

Corollaire 3.4. — On aT

α∈RKerα= (0) et donc R engendreh^∗.

D´emonstration. — Soith∈htel queα(h) = 0 pour toutα∈R. Alors, d’apr`es (3), h est orthogonal `ah, d’o`uh= 0. Ceci prouve la premi`ere assertion, et la seconde en d´ecoule, d’apr`es un r´esultat «bien connu» d’alg`ebre lin´eaire.

Définition 3.5. — Notons K^# l’isomorphisme h −→^∼ h^∗ induit par K, c.-`a-d., K^#(h) est la forme lin´eaire h⁰ 7→ K(h, h⁰). Pour tout α ∈ R, on note H_α l’unique ´el´ement dehtel que K^#(H_α) =α.

D’autre part, comme h est ab´elienne, on voit facilement que, pour tout α∈R, l’espace propre associ´e :

g_α={x∈g_(α)|[h, x] =α(h)x}

est non nul. (Ceci se d´eduit aussi du th´eor`eme de Lie.) Soit e_α un vecteur non nul deg_α.

Lemme 3.6. — Pour toutf ∈g_(−α), on a

(4) [e_α, f] = K(e_α, f)H_α.

D´emonstration. — Pour tout h∈h, l’on a

K(h,[e_α, f]) = K([h, e_α], f) =α(h)K(e_α, f).

Comme la restriction de K `a hest non d´eg´en´er´ee, il en r´esulte que l’´el´ement [e_α, f]−K(e_α, f)H_α de hest nul.

Définition 3.7. — On pose

s_α =Ce_αL

CH_αL M

n>1

g_(−nα).

Il r´esulte de (1⁰) et (4) que s_α est une sous-alg`ebre de Lie deg.

Comme K induit une dualit´e parfaite entreg_(α) etg_(−α), il existef ∈g_(−α) tel que K(e_α, f) = 1 et donc, d’apr`es (4), on a :

H_α = [e_α, f]∈D(s_α).

Proposition 3.8. — s_α n’est pas r´esoluble, et l’on a : α(H_α)6= 0.

D´emonstration. — On observe que e_α ∈D(s_α) si et seulement siα(H_α)6= 0.

Supposons α(H_α) = 0. Alors,D(s_α)⊆CH_α⊕L

n>1g_(−nα), puis D²(s_α)⊆M

n>1

g_(−nα) et doncD²(s_α) est nilpotente, et doncs_α r´esoluble.

Alors, il r´esulte du th´eor`eme de Lie que ad_g(x) est nilpotent, pour tout x∈D(s_α), en particulier pourx= H_α. Donc, toutes les valeurs propres de H_α sont nulles. Mais ceci est impossible, car

\

β∈R

Kerβ = (0),

donc il existe β∈R tel queβ(H_α)6= 0 et [H_α, e_β] =β(H_α)e_β.

Cette contradiction montre que s_α n’est pas r´esoluble, et donc α(H_α)6= 0.

La proposition est d´emontr´ee.

Consid´erons l’action adjointe de H_αsurs_α. Comme H_α est un commutateur [e_α, f], avec f ∈s_α, on a

0 = Tr_sαad_sα(H_α) =α(H_α)



1−X

n>1

ndimg_(−nα)



.

Commeα(H_α)6= 0 etg_−α 6= (0), on en d´eduit que :

g_(−α)=g_−α=Ce_−α et g_(−nα) = (0) pourn >1.

Rempla¸cant −α par α, on a donc obtenu la proposition suivante.

Proposition 3.9. — Pour tout α ∈R, g_(α) est de dimension 1 et ´egale g_α; de plus, on a, pour tout n∈Z:

(5) nα∈R⇔n=±1.

Définition 3.10. — Pour toutα∈R, on pose h_α= 2H_α

α(H_α), d’o`u [h_α, e_α] = 2e_α.

Comme K induit une dualit´e parfaite entre g_α et g_−α, il existe un unique f_α ∈g_−α tel que

[e_α, f_α] =h_α,

et l’on a de plus [h_α, f_α] =−2f_α. Il en r´esulte que la sous-alg`ebre s_α =Ce_αL

Ch_αL Cf_α est isomorphe `asl₂, via

e_α ↔e, h_α ↔h, f_α ↔f, o`u

(∗) e=

µ0 1 0 0

¶

, h= µ1 0

0−1

¶

, f = µ0 0

1 0

¶ .

Théorème 3.11(Théorème d’intégralité). — Pour tout α, β ∈R, on a : β(h_α)∈Z et β−β(h_α)∈R.

Pour d´emontrer le th´eor`eme, on a besoin de certains r´esultats sur les sl<sub>2</sub>- modules, qui se d´emontrent au moyen de relations de commutation dans l’al- g`ebre enveloppante de U(sl₂). Ceci nous conduit `a faire un interm`ede sur l’alg`ebre enveloppante d’unek-alg`ebre de Lie arbitraire.

3.2. Alg`ebre enveloppante d’une k-alg`ebre de Lie. — Dans ce para- graphe, soit k un corps commutatif arbitraire et soit L une k-alg`ebre de Lie de dimension finie.

Rappelons d’abord que, pour tout k-espace vectoriel V, son alg`ebre tenso- rielle est

T(V) =kL M

n>1

V^⊗n, avec la multiplication

(v₁⊗ · · · ⊗v_r)·(v⁰₁⊗ · · · ⊗v_s⁰) =v₁⊗ · · · ⊗v_r⊗v⁰₁⊗ · · · ⊗v⁰_s.

On a une inclusion naturelle V ,→ T(V), et T(L) est engendr´ee comme k- alg`ebre par L.

Définition 3.12. — L’alg`ebre enveloppanteU(L) de L est le quotient de l’al- g`ebre tensorielle T(L) par l’id´eal bilat`ere I engendr´e par tous les ´el´ements

x⊗y−y⊗x−[x, y], pour x, y∈L.

Soit π la projection T(L) → U(L) et τ la compos´ee de π avec l’inclusion L,→T(L).

Notons que U(L) est engendr´ee commek-alg`ebre parτ(L).

Théorème 3.13(Propriété universelle deU(L)). — Pour toute k-alg`ebre asso- ciative A et toute application k-lin´eaireρ: L→A telle que

(†) ρ([x, y]) =ρ(x)ρ(y)−ρ(y)ρ(x), ∀x, y∈L, il existe un unique morphisme de k-alg`ebres associatives

φ: U(L)−→A, tel que φ(τ(x)) =ρ(x), ∀x∈L.

D´emonstration. — D’abord, comme U(L) est engendr´ee commek-alg`ebre par τ(L), alorsφ, s’il existe, est uniquement d´etermin´e par la condition ci-dessus.

Montrons l’existence. D’apr`es la propri´et´e universelle de T(L), il existe un (unique) morphisme dek-alg`ebres

ψ: T(L)−→A tel que ψ(x) =ρ(x), ∀x∈L.

Alors, la condition (†) implique pr´ecis´ement queψest nulle sur l’id´eal bilat`ere I, doncψ se factorise en un morphisme dek-alg`ebres

φ: U(L)−→A, tel que φ(τ(x)) =ρ(x), ∀x∈L.

Le th´eor`eme est d´emontr´e.

Soit V un k-espace vectoriel. Appliquant le th´eor`eme `a la k-alg`ebre A = End_k(V), on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 3.14. — Se donner une repr´esentation ρ deL dansV ´equivaut `a se donner une structure deU(L)-module surV. Par cons´equent :

«un L-module est la mˆeme chose qu’un U(L)-module».

Ce qui pr´ec`ede est rendu particuli`erement int´eressant par le th´eor`eme sui- vant, qui montre que l’alg`ebre U(L), bien que non commutative (sauf si L est ab´elienne), est un objet assez maniable. (De fa¸con informelle, on peut dire que c’est une«alg`ebre de polynˆomes non commutative».)

Théorème 3.15(Poincaré-Birkhoff-Witt). — Soit(x₁, . . . , x_r)une base deLsur k. Alors les monˆomes «ordonn´es» :

x^ν₁¹· · ·x^ν_r^r (pris dans cet ordre) pour (ν₁, . . . , ν_r)∈N^r,

forment une base de U(L) sur k. En particulier, si l’on a des sous-alg`ebres de Lie n⁺,h,n⁻ de L telles que

L = n⁻L hL

n⁺ comme espaces vectoriels, alors

U(L)∼= U(n⁻)⊗U(h)⊗U(n⁺) comme espaces vectoriels.

D´emonstration. — Pour la d´emonstration (qui n’est pas tr`es int´eressante), on renvoie `a [BL1,§2.7] ou [Di74, 2.1.11].

Notation 3.16. — En particulier, l’application τ : L→U(L) est injective. D´e- sormais, on ne mentionnera plusτ et l’on identifiera L `a son image dans U(L).

Lemme 3.17. — Soit A un anneau. Pour tout a∈A, l’endomorphisme ada: A−→A, b7→[a, b] =ab−ba,

est une d´erivation de A, c.-`a-d., v´erifie : (ada)(b₁· · ·b_n) =

Xn

i=1

b₁· · ·b_i−1[a, b_i]b_i+1· · ·b_n, ∀b₁, . . . , b_n∈A.

D´emonstration. — Imm´ediat, par r´ecurrence sur n.

3.3. Repr´esentations de sl₂(C). — Revenons au cas o`u le corps de base est C, et notons simplement sl₂ = sl₂(C). Soit (f, h, e) la base standard de sl₂ (cf. (∗) avant 3.11). Dans U = U(sl₂), on a les relations de commutation suivantes :

[h, eⁿ] = Xn

i=1

eⁱ⁻¹[h, e]eⁿ⁻ⁱ = 2neⁿ, (1)

[h, fⁿ] = Xn

i=1

fⁱ⁻¹[h, f]fⁿ⁻ⁱ =−2nfⁿ, (2)

(3) [e, fⁿ] = Xn

i=1

fⁱ⁻¹hfⁿ⁻ⁱ = Xn

i=1

fⁱ⁻¹fⁿ⁻ⁱ(h−2(n−i)) =nfⁿ⁻¹(h−n+ 1).

Remarque 3.18. — Posante^(r) =e^r/r!, f^(s)=f^s/s! et µh

t

¶

= h(h−1)· · ·(h−t+ 1)

t! ,

on peut montrer, plus g´en´eralement, que e^(r)f^(s)=

min(r,s)X

i=0

f^(s−i)

µh−r−s+ 2i i

¶ e^(r−i),

voir par exemple [Hu,§26].

Lemme 3.19. — SoientV un sl₂-module de dimension finie, v∈V un vecteur non nul, etλ∈C, tels que

(∗) hv =λv et ev= 0.

Alors λ est un entier m >0 et, pour i= 0, . . . , m, chaque fⁱv est non nul et de poids m−2i, c.-`a-d.,

hfⁱv= (m−2i)fⁱv, ∀i= 0, . . . , m.

D´emonstration. — D’apr`es le th´eor`eme de Poincar´e-Birkhoff-Witt, l’alg`ebre enveloppante U de sl₂ a pour base surCles monˆomes

f^sh^te^r, pour s, t, r∈N.

Il r´esulte de (∗) que le sous-U-module de V engendr´e par v est engendr´e, commeC-espace vectoriel, par les

f^sv, pour s∈N.

De plus, comme chaque f^sv est vecteur propre de h de poids λ−2s, les f^sv non nuls sont lin´eairement ind´ependants.

Comme dim V<∞, il existem∈N tel quef^mv 6= 0 =f^m+1v. Alors, 0 =ef^m+1v=f^m(h−m)v= (λ−m)f^mv,

d’o`u λ=m. Bien sˆur,f<sup>i</sup>v6= 0 pour i= 0, . . . , m, et on a d´ej`a vu que chaque fⁱv est de poidsm−2i. Le lemme est d´emontr´e.

3.4. Retour `a la preuve du th´eor`eme d’int´egralit´e. — On peut main- tenant d´emontrer le th´eor`eme 3.11. Reprenons les notations du paragraphe 3.1.

Soit β ∈ R. Si β = ±α le th´eor`eme est v´erifi´e ; donc, d’apr`es 3.9 (5), on peut supposer queβ 6∈Zα. Pour toutn>0, on a

(ade_α)ⁿ(e_β)⊆g_β+nα. Soit nle plus petit entier>0 tel que

(ade_α)ⁿ⁺¹(e_β) = 0, et posons x= (ade_α)ⁿ(e_β).

Alorsxest un vecteur de poids β+nα, annul´e par e_α. D’apr`es le lemme 3.19, ceci entraˆıne que

(β+nα)(h_α) =β(h_α) + 2n est un entier m>0,

d’o`u β(h<sub>α</sub>) ∈ Z. Alors, quitte `a changer α en −α, on peut supposer que β(h_α) = r > 0. Alors, m = r+ 2n et, d’apr`es le lemme 3.19, le sous-U(s_α)- module de gengendr´e parx a pour base surC les vecteurs :

f_αⁱx, de poidsβ+ (n−i)α, pouri= 0, . . . , m.

Prenant i=r+n, on obtient que

β−rα=β−β(h_α)α

est un poids de h dans g. Comme β 6∈ Zα, par hypoth`ese, ce poids est 6= 0, donc est un ´el´ement de R. Le th´eor`eme est d´emontr´e. ¤ Corollaire 3.20. — Soientα∈R et t∈C tels que tα∈R. Alorst=±1.

D´emonstration. — Posons β = tα. Alors t 6= 0 et α = (1/t)β. D’apr`es le th´eor`eme,

β(h_α) = 2t∈Z, et α(h_β) = 2 t ∈Z.

Alors t = n/2, avec ±n ∈ {1,2,4}. Comme ±2α et ±2β ne sont pas des racines, d’apr`es 3.9 (5), alors ±n= 4 et ±n= 1 sont exclus. Donc n=±2 et t=±1.

3.5. Passage `a un R-espace euclidien. — On a vu que R engendre h<sup>∗</sup>, par cons´equent h est engendr´e par les H<sub>α</sub>, et donc aussi par les h<sub>α</sub>, puisque chaque h<sub>α</sub> est un multiple non nul de H<sub>α</sub>. Posons`= dimh^∗= dimh.

Définition 3.21. — On noteh_Rle sous-R-espace vectoriel dehengendr´e par les h_α, pour α∈R. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il est de dimension`.

Alors, leR-espace vectoriel dual deh_R est

h^∗_R={λ∈h^∗|λ(h_R)⊆R.}

(Prendre une base (e_i) de h_R, c’est une C-base deh et la base duale (e^∗_i) est une R-base deh^∗_R.)

Comme h^∗_R contient R (puisque β(h_α) ∈ Z pour tout α, β ∈ Z), alors R engendreh^∗_R commeR-espace vectoriel. Notons K_R la restriction de K `ah<sub>R</sub>. Proposition 3.22. — 1) K<sub>R</sub> est `a valeurs r´eelles et est d´efinie positive.

2) K_R induit un isomorphisme h_R−→^∼ h^∗_R. 3)Pour tout α∈R, on a H_α ∈h_R.

D´emonstration. — 1) Sih∈h_R, alorsh=P

αx_αh_α, avec x_α∈R, d’o`u

∀β ∈R, β(h) =X

α

x_αβ(h_α)∈R.

Donc, pour h, h⁰ ∈h_R, on a, d’apr`es (3) (avant 3.4) : K(h, h⁰) = X

β∈R

β(h)β(h⁰)∈R.

De plus, d’apr`es 3.4, on a K(h, h) > 0 si h 6= 0. Ceci prouve 1), et 2) en d´ecoule.

On d´eduit 3) de 2), comme suit : K_R induit un isomorphisme K^#_R :h_R−→^∼ h^∗_R,

qui est la restriction de K^#:h−→^∼ h^∗. Commeα∈h^∗_R, alors H_α = (K^#_R)⁻¹(α)∈h.

La proposition est d´emontr´ee.

3.6. Le syst`eme de racines R⊂h<sup>∗</sup><sub>R</sub>. — On munith<sup>∗</sup><sub>R</sub> du produit scalaire euclidien ( , ) obtenu via l’isomorphisme K<sup>#</sup><sub>R</sub> :h<sub>R</sub>−→<sup>∼</sup> h<sup>∗</sup><sub>R</sub>. C.-`a-d., si on pose H_λ = (K^#_R)⁻¹(λ) alors :

(1) (λ, µ) = K_R(H_λ,H_µ) =λ(H_µ) =µ(H_λ), ∀λ, µ∈h^∗_R.

Pour tout α ∈ R, la r´eflexion orthogonale associ´ee, c.-`a-d., la r´eflexion orthogonale par rapport `a l’hyperplan H_α orthogonal `aα, est donn´ee par la formule

λ7→λ−2(λ, α) (α, α) α;

en effet, si on notes_αl’endomorphisme d´efini par cette formule, on as_α(λ) =λ pour λ∈ H_α, et s_α(α) = −α; donc s_α est bien la r´eflexion orthogonale par rapport `aH_α. On a, bien sˆur, s²_α = id ; en particuliers_α est bijectif.

Il est commode de poserα^∨= 2α/(α, α) ; alors la formule ci-dessus se r´ecrit :

(2) s_α(λ) =λ−(λ, α^∨)α.

Observons aussi que α^∨ = K_R(h_α), c.-`a-d.,

(3) ∀λ∈h^∗_R, (λ, α^∨) =λ(h_α).

En particulier, d’apr`es le th´eor`eme d’int´egralit´e 3.11, pour toutβ ∈R, on a (4) (β, α^∨)∈Z et s_α(β) =β−β(h_α)α∈R.

Par cons´equent, tenant compte du corollaire 3.20, on obtient que R v´erifie les quatre propri´et´es de la d´efinition ci-dessous ; par cons´equent, R est un syst`eme de racinesdans V =h^∗_R.

Définition 3.23. — Soit V unR-espace vectoriel de dimension finie, muni d’un produit scalaire euclidien ( , ). On dit qu’un sous-ensemble fini R de V est un syst`eme de racinesdans V s’il v´erifie les quatres axiomes suivants :

(R1) R ne contient pas 0 et engendre V ;

(R2) Pour tout α∈R, la r´eflexion orthogonale associ´ee, d´efinie par s_α(λ) =λ−(λ, α^∨)α, o`u α^∨= 2α

(α, α), v´erifie s_α(R) = R ;

(R3) Pour tout α, β∈R, on a (β, α^∨)∈Z.

(R4) Soient α∈R et t∈R. Sitα∈R, alorst=±1.

Notation 3.24. — Pour toutα∈R, on appelleα^∨ la coracineassoci´ee `aα.

Dans la section suivante, on va montrer que l’on peut classifier tous les syst`emes de racines, d’une fa¸con simple et ´el´ementaire, et que le r´esultat obtenu (diagrammes de Dynkin, matrices de Cartan) est tr`es joli. On terminera le cours en expliquant que la matrice de Cartan d´etermine la C-alg`ebre de Lie semi-simpleg dont on est parti.

S´eance du 18/9 . . . 1

1. Groupes topologiques . . . 1

2. Interlude sur les repr´esentations de groupes finis . . . 3

3. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 5

3.1. Repr´esentations r´eguli`eres gauche et droite . . . 5

3.2. Int´egration invariante . . . 6

3.3. Th´eor`eme du point fixe de Kakutani . . . 6

S´eance du 19/9 . . . 9

3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite) . . . 9

3.4. Mesures de Radon . . . 11

3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 12

4. Repr´esentations unitaires et th´eor`eme de Peter-Weyl . . . 16

4.1. Repr´esentations continues . . . 16

4.2. Repr´esentations unitaires . . . 17

4.3. Op´erateurs compacts . . . 18

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 19

S´eance du 25/9 . . . 21

5. L’alg`ebre des «fonctions repr´esentatives» . . . 21

5.1. Coefficients matriciels . . . 21

5.2. Fonctions repr´esentatives . . . 23

5.3. Cas des groupes compacts . . . 24

5.4. Schur, Burnside et produits tensoriels . . . 25

5.5. R´esultats sur les modules semi-simples . . . 26

5.6. Appendice : preuve du th´eor`eme de Burnside . . . 28

4. Th´eor`eme de Peter-Weyl (suite) . . . 29

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 29

S´eance du 26/9 . . . 35

4.5. Une cons´equence du th´eor`eme de Peter-Weyl . . . 35

6. Sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 36

6.1. Alg`ebres de Lie . . . 36

6.2. Propri´et´es de l’exponentielle . . . 36

6.3. L’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e de GL_n(R) . . . 39

6.4. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 40

7. Groupes de Lie . . . 42

7.1. Vari´et´es diff´erentiables . . . 42

S´eance du 2 octobre . . . 45

7. Groupes de Lie (suite) . . . 45

7.1. Vari´et´es diff´erentiables (suite) . . . 45

7.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 47

7.3. Espace tangent en un point `a une sous-vari´et´e deR^N . . . 50

7.4. Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations de rang constant . . . 52

S´eance du 3 octobre . . . 55

7. Groupes de Lie (suite) . . . 55

7.5. D´erivations et champs de vecteurs . . . 55

7.6. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 63

7.7. Retour aux sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 65

7.8. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 69

7.9. Repr´esentations . . . 73

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 9 et 10 octobre . . . 75

1. Alg`ebres de Lie : d´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . 75

1.1. Alg`ebres de Lie, id´eaux, modules . . . 75

1.2. Alg`ebres de Lie r´esolubles ou nilpotentes . . . 80

1.3. Formes invariantes et forme de Killing . . . 82

1.4. Th´eor`eme d’Engel et applications . . . 85

2. Th´eor`eme de Lie et crit`ere de Cartan . . . 87

2.1. Th´eor`eme de Lie et cons´equences . . . 87

2.2. Poids des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . 90

2.3. Sous-alg`ebres de Cartan . . . 93

2.4. Crit`ere de Cartan . . . 97

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 16 et 17 octobre . . . 99

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple . . . 99

3.1. Racines dehdansg . . . 99

3.2. Alg`ebre enveloppante d’unek-alg`ebre de Lie . . . 102

3.3. Repr´esentations de sl₂(C) . . . 104

3.4. Retour `a la preuve du th´eor`eme d’int´egralit´e . . . 105

3.5. Passage `a unR-espace euclidien . . . 106

3.6. Le syst`eme de racines R⊂h^∗_R . . . 107

Bibliographie . . . i

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