Chapitre 8

8 Corps finis et leur clôture algébrique

Version du 5 janvier 2006

30 Corps finis

30.1 Cardinal et groupe multiplicatif d’un corps fini

Soit k un corps fini. Son sous-corps premier est fini donc, d’après le paragraphe 23.1, k est de caractéristique p > 0. On identifiera son sous- corps premier à F_p = Z/pZ. Tout corps contenant k a même sous-corps premier, donc est aussi de caractéristiquep.

Lemme 30.1.1 Soient k ⊆k⁰ deux corps finis, de cardinalq et q⁰ respecti- vement.

1) On a q⁰ =qⁿ, oùn= [k⁰ :k].

2) Par conséquent, si p = car(k) et m = [k : F_p], alors q = p^m et q⁰ =p^mn.

Démonstration. 1) Comme k⁰ est fini, c’est un k-espace vectoriel de di- mension finien. Alorsk⁰ ∼=kⁿ commek-espace vectoriel, et donc|k⁰|=|k|ⁿ. Ceci prouve 1).

Le même argument appliqué àF_p ⊆kmontre queq=p^m, d’où le lemme.

¤

Corollaire 30.1.2 Si k est un corps fini de caractéristique p, alors le car- dinal de kest une puissance de p.

Théorème 30.1.3 (Groupe multiplicatif d’un corps fini)

Soit k un corps fini de cardinal q = pⁿ. Le groupe multiplicatif k^× = k\ {0} est un groupe cyclique d’ordre q−1.

235

Démonstration. k^× est un groupe abélien fini ; c’est donc un Z-module de type fini et de torsion. D’après le théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal, il existe des entiersd₁ ≥ · · · ≥d_r>1 tels qued_i divise d_i−1, pour i=r, r−1, . . . ,2et

k^×∼=Z/d₁Z⊕ · · · ⊕Z/d_rZ.

Alors, d’une part, |k^×| = d₁d₂· · ·d_r et, d’autre part, tout élément x ∈ k^× vérifiex^d= 1, oùd=d₁. Or, commek[X]est intègre, le polynôme X^d−1a au plusdracines dansk. Il en résulte que r= 1etk^×∼=Z/dZ est cyclique, d’ordred=|k^×|=q−1. Ceci prouve le théorème.¤

30.2 La formule du binôme

Soientk, n deux entiers tels que0≤k≤n. On rappelle la définition du coefficient binomial : µ

n k

¶

:= n!

k!(n−k)!.

(On le note aussiC_n^k.) C’est le nombre de façons de choisirkéléments dans un ensemble àn éléments. Pour k= 0 ou n, ceci vaut1. On rappelle aussi la formule de Pascal (pourk≥1) :

µn k

¶

=

µn−1 k

¶ +

µn−1 k−1

¶ ,

qu’on obtient en remarquant que, quand on prendkéléments dans{1, . . . , n}, on peut ou bien prendre, ou ne pas prendre,n. On rappelle aussi la formule du binôme, valable dans tout anneau commutatif.

Lemme 30.2.1 (Formule du binôme)

Soit A un anneau commutatif eta, b∈A. Pour tout n≥1, on a : (a+b)ⁿ=

Xn i=0

µn i

¶ aⁱbⁿ⁻ⁱ.

Démonstration. Par récurrence surn, en utilisant la formule de Pascal.

¤

Lemme 30.2.2 Soitp∈Nun nombre premier. Alorsp divise¡_p

k

¢pour tout k= 1, . . . , p−1.

Démonstration.pdivise p! =k!(p−k)!¡_p

k

¢et est premier aveck!(p−k)!, donc divise¡_p

k

¢.¤

30.3 Endomorphismes de Frobenius

Proposition 30.3.1 (L’endomorphisme de Frobenius Fr_p)

SoitK un corps de caractéristique p >0. Alors l’application x7→x^p est un endomorphisme du corps K, noté Fr_p. De plus, si K est fini, alors Fr_p est un automorphisme de K.

Démonstration.Il est clair que1^p = 1et(ab)^p =a^pb^p pour touta, b∈K.

L’égalité (a+b)^p = a^p +b^p résulte de la formule du binôme et du lemme précédent. Donc, Fr_p est un morphisme de corps deK versK, c.-à-d., un en- domorphisme de corps deK. Il est bien sûr injectif, comme tout morphisme de corps. Par conséquent, si K est fini, Fr_p est bijectif donc un automor- phisme deK.¤

Corollaire 30.3.2 (Les endomorphismes de Frobenius Fr_q =Fr_pⁿ) Soient K un corps de caractéristique p > 0 et n ≥ 1. L’application Frⁿ_p :=Fr_p◦· · ·◦Fr_p (nfois), qui à toutx associex^pn, est un endomorphisme du corps K. On le note aussi Fr_pⁿ ou Fr_q si q =pⁿ. Si K est fini, c’est un automorphisme de K.

Démonstration.Ceci résulte immédiatement de la proposition précédente.

¤

Corollaire 30.3.3 Soient p un nombre premier, n ≥1 et q = pⁿ. Alors p divise ¡_q

i

¢pour tout i= 1, . . . , q−1.

Démonstration. Plaçons-nous dans le corps K = F_p(X) des fractions rationnelles surF_p et notons π la projectionZ→F_p. D’une part, on a

(1) (1 +X)^q =

Xq i=0

π(

µq i

¶ )Xⁱ.

D’autre part, comme Fr_q =Frⁿ_p est un endomorphisme de K, l’on a

(2) (1 +X)^q= 1 +X^q.

En comparant(1)et(2), on obtient que¡_q

i

¢≡0mod.p, pouri= 1, . . . , q−1.

Ceci prouve le corollaire. ¤

30.4 Existence et unicité des corps F_pⁿ

Lemme 30.4.1 Soient K un corps et τ un endomorphisme de K. Alors l’ensemble des éléments invariants

K^τ :={x∈K |τ(x) =x}

est un sous-corps de K.

Démonstration.C’est clair.¤

Théorème 30.4.2 (Existence et unicité deF_q)

Soient p un nombre premier, n ≥ 1 et q = pⁿ. Soit K un corps de dé- composition sur F_p du polynôme X^q−X. Alors, |K|= q. Réciproquement, tout corps fini à q éléments est isomorphe à K. Par conséquent, il existe à isomorphisme près, un unique corps fini àq éléments. On le noteF_q ouF_pⁿ. Démonstration. Soit K un corps de décomposition du polynôme Q :=

X^q−X sur F_p. Le polynôme dérivéQ⁰ égale −1donc n’a pas de racines en commun avecQ. Par conséquent, d’après la proposition 25.2.3,Qaq racines distinctes dansK.

Or, le point-clé est que ces racines sont exactement les solutions de l’équationx^q =x, c.-à-d., les éléments de K fixés par l’endomorphisme Fr_q. Par conséquent, ces racines forment un sous-corps K₁ de K, de cardinal q.

Comme, par hypothèse,K est engendré par ces racines, on obtientK =K₁, et doncK est de cardinalq. Ceci prouve le point 1).

Réciproquement, supposons queLsoit un autre corps fini de cardinalq.

D’après le théorème 30.1.3, le groupe multiplicatif L^× est cyclique, d’ordre q−1. Donc, tout élémentx∈L^× vérifie

x^q−1 = 1 et donc x^q=x.

Donc, tout élément de L = L^× ∪ {0} est une racine du polynôme Q = X^q −X. Comme |L| = q, alors Q a toutes ses racines dans L, et puisque leur ensemble égale L tout entier, L est un corps de décomposition de Q surF_p. Par conséquent, d’après le théorème 24.2.3,Lest isomorphe àK. Le théorème est démontré.¤

Théorème 30.4.3 (Existence et unicité des extensionsF_q ⊆F_qⁿ) Soient p un nombre premier,q=p^d et q⁰=pⁿ deux puissances de p.

1) S’il existe une extension F_q ⊆ F_q⁰ alors q⁰ est une puissance de q, c.-à-d.,n est un multiple ded.

2) Réciproquement, si n = rd, c.-à-d., si q⁰ = q^r, alors le corps F_q⁰ contient un unique sous-corps de cardinal q; c’est le sous-corps des inva- riants de Fr_q.

Démonstration.1) On a déjà vu (lemme 30.1.1) que siF_q⊆F_q⁰ alorsF_q⁰ est un F_q-espace vectoriel de dimension finier, d’oùq⁰ =q^r, c.-à-d.,n=dr.

2) Réciproquement, supposons n=dr, c.-à-d., q⁰ =q^r. D’après le théo- rème précédent, le polynôme

X^q0−X =X^qr −X

est scindé dans F_q⁰ et ses racines, deux à deux distinctes, sont exactement les éléments de F_q⁰. D’autre part,

X^qr −X = X^q−X+X^q2 −X^q+· · ·+X^qr−X^qr−1

= X^q−X+ (X^q−X)^q+· · ·+ (X^q−X)^qr−1.

DoncX^q−XdiviseX^qr−Xet a aussi toutes ses racines dansF_q⁰. Ces racines sont exactement les points fixes dans F_q⁰ de l’endomorphisme de Frobenius Fr_q, donc forment un sous-corpsK de cardinalq, isomorphe àF_q.

Enfin, supposons que L soit un autre sous-corps de F_q⁰ de cardinal q.

D’après le théorème 30.1.3, le groupe multiplicatif L^× est cyclique, d’ordre q−1. Donc, tout élément x∈L^× vérifie

x^q−1 = 1 et donc x^q =x.

Par conséquent, les éléments de L = L^×∪ {0} sont exactement les racines dansF_q⁰du polynômeX^q−X. Il en résulteL=K. Le théorème est démontré.

¤

30.5 Groupe de Galois de Fqⁿ sur Fq

Lemme 30.5.1 Soit Gun groupe fini.

1) Pour tout sous-groupeH, on a |G|=|H| · |G/H|. En particulier, |H|

divise |G|.

2) Soit g ∈ G. L’ensemble {n ∈ Z | gⁿ = 1} est un sous-groupe non- nul de Z, donc de la forme dZ, pour un certain d ≥ 1, appelé l’ordre de g. On a d = 1 ⇔ g = 1. Le sous-groupe de G engendré par g est égal à {1, g, . . . , g^d−1}; il est de cardinal det isomorphe à Z/dZ. En particulier, d divise n.

Démonstration. On rappelle que G/H désigne l’ensemble des classes à gauchegH. C’est un ensemble fini, puisqueGest fini. De plus, deux classes distinctes gH 6= g⁰H sont disjointes. En effet, sinon il existerait h, h⁰ ∈ H tels que gh=g⁰h⁰, et l’on aurait gH =g⁰H. De plus, chaque classe gH est de cardinal|H|, puisque l’application H 7→ gH, h 7→ gh est une bijection.

DoncG est la réunion disjointe de |G/H|classes, chacune de cardinal |H|.

Le point 1) en résulte.

Soit g ∈G. On pose g⁰ = 1. Comme G est fini, les élémentsg^k, k ≥1, ne peuvent être tous distincts. Donc il existe r < s tels que g^r = g^s, d’où g^s−r= 1. Ceci montre que l’ensemble

{n∈Z|gⁿ= 1}

n’est pas réduit à {0}. Comme g^mgⁿ =g^m+n, on voit que cet ensemble est un sous-groupe non nul deZ, donc est de la formedZ, pour un uniqued≥1, et le reste du point 2) s’obtient facilement.¤

Théorème 30.5.2 (L’isomorphismeGal(F_qⁿ/F_q)∼=Z/nZ) Soientn≥1 etq une puissance d’un nombre premierp.

L’extension F_q⊆F_qⁿ est galoisienne. Son groupe de GaloisGal(F_qⁿ/F_q) est cyclique d’ordren, engendré par l’automorphisme de Frobenius Fr_q.

Démonstration. F_qⁿ est un corps de décomposition du polynôme Q = X^qn−XsurF_p, donc a fortiori surF_q. De plus,Qa des racines distinctes dans F_qⁿ (puisqueQ⁰ =−1) donc est séparable surF_q. Donc, d’après le deuxième théorème fondamental (26.1.5), l’extensionF_q ⊆F_qⁿest galoisienne. De plus, d’après le théorème d’Artin (26.3.1), on a

|Gal(F_qⁿ/F_q)|= [F_qⁿ :F_q] =n.

D’autre part, Fr_q est un F_q-automorphisme de F_qⁿ, c.-à-d., un élément de Gal(F_qⁿ/F_q); soit dson ordre. L’égalité Fr^d_q=id_Fqn équivaut à

∀x∈F_qⁿ, x=Fr^d_q(x) =x^qd.

Comme le polynômeX^qd−X a au plus q^dracines, ceci entraîne que d≥n.

Par conséquent,d=net donc Fr_qest un générateur de Gal(F_qⁿ/F_q), qui est donc isomorphe àZ/nZ. Le théorème est démontré.¤

30.6 Théorème de l’élément primitif, et polynômes irréduc- tibles sur F_q

On rappelle qu’une extensionk⊂K est dite monogène s’il existeξ ∈K tel que K =k(ξ); dans ce cas, on dit que ξ est un élément primitif de K sur k.

Théorème 30.6.1 On considère une extensionF_q ⊂F_qⁿ. Soitξ un généra- teur du groupe multiplicatif F^×_qn.

1) F_qⁿ =F_q[ξ], c.-à-d., ξ est un élément primitif.

2) Le polynôme minimalIrr_Fq(ξ) est de degrén.

Démonstration.1) est clair carF_q[ξ]contient{1, ξ, ξ², . . . , ξ^qn−1}=F^×_qn, ainsi que 0, donc égale F_qⁿ. Le point 2) en découle car le degré de Irr_Fq(ξ) est le degré sur F_q de F_q[ξ] =F_q, qui égalen.¤

Corollaire 30.6.2 Pour tout corps fini F_q, et tout n ≥ 1, il existe dans F_q[X]au moins un polynôme irréductible unitaire de degrén.

Définition 30.6.3 Pour tout d ≥ 1, notons I(d, q) l’ensemble des poly- nômes irréductibles unitaires de degré d dans F_q[X] et posons i(d, q) =

|I(d, q)|.

Théorème 30.6.4 Pour toutn≥1, on a

(1) X^qn−X =Y

d|n

Y

P∈I(d,q)

P.

Par conséquent,

(2) qⁿ=X

d|n

d i(d, q).

Démonstration. Fixons n ≥ 1. On va démontrer le théorème en trois étapes.

1. SoientddivisantnetP ∈I(d, q). Le corps de ruptureF_q[X]/(P)est de degrédsurF_q, donc est isomorphe àF_qd. Par conséquent,P a au moins une racineα dansF_qd. Comme, d’après le théorème 30.5.2, l’extensionF_q ⊆F_qd

est galoisienne, alors P = Irr_Fq(α) est scindé sur F_qd. Par conséquent, P divise le polynôme

(∗_d) X^qd−X= Y

x∈F_qd

(X−x).

De plus, on a vu dans la preuve du théorème 30.4.3 que X^qd −X divise X^qn −X. Ceci découle aussi de l’inclusionF_q^d ⊆F_qⁿ (établie en 30.4.3), et de l’égalité

(∗_n) X^qn−X= Y

x∈Fqn

(X−x).

Donc, P divise Q_n := X^qn −X. Ceci montre que Q_n est divisible par le terme de droite de(1).

2. Réciproquement, soit R un facteur irréductible, unitaire, de degré d, deQ_n dansF_q[X]et soit αune racine de R dansF_qⁿ. AlorsR =Irr_Fq(α) et doncdeg_Fq(α) =d. Par conséquent, on a

F_qd ∼=F_q[α]⊆F_qⁿ,

et, d’après le théorème 30.4.3, ceci entraîne que d|n. Ceci montre que Q_n n’a pas d’autres facteurs irréductibles que lesP ∈I(d, q), pourd|n.

3. Enfin, les facteurs irréductibles de Q_n sont tous de multiplicité 1, puisqueQ_n a des racines simples, d’après (∗_n). Ceci prouve l’égalité (1)du théorème, et l’égalité(2)en découle en prenant les degrés. ¤

Théorème 30.6.5 (Polynômes irréductibles sur F_q) Soit P ∈ I(d, q) et soitα∈F_qd une racine de P. Alors,

(3) P = (X−α)(X−α^q)· · ·(X−α^qd−1).

Démonstration.D’après le théorème 30.5.2, l’extensionF_q ⊆F_qd est ga- loisienne, de groupe

G:=Gal(F_qd/F_q) ={1,Fr_q, . . . ,Fr^d−1_q } ∼=Z/dZ.

D’autre part, d’après la proposition 24.3.2, l’on a : P =Irr_Fq(α) = Y

β∈Gα

(X−β).

Comme degP = d, l’orbite Gα a d éléments ; elle est donc formée des élé- mentsα, α^q, . . . , α^qd−1, qui sont deux à deux distincts. Ceci prouve le théo- rème.¤

31 Clôtures algébriques

31.1 Corps algébriquement clos

Définition 31.1.1 Soitk⊆K une extension de corps et soitP ∈k[X]non constant. On dit que P estscindé dansK[X], ou surK, siP se décompose dansK[X]comme produit de facteurs du premier degré, c.-à-d.,

P =c(X−α₁)· · ·(X−α_d),

où d= degP,c est le coefficient dominant deP, et lesα_i sont dansK (pas nécessairement distincts).

Définition 31.1.2 Un corps K est dit algébriquement clos si tout P ∈ K[X]non constant a au moins une racine dansK.

Lemme 31.1.3 Si K est algébriquement clos, toutP ∈K[X]non constant est scindé.

Démonstration.Par récurrence surd= degP. C’est clair si d= 1. Sup- posons d≥2 et l’assertion établie en degré< d. Soit P ∈K[X]de degréd.

Comme K est algébriquement clos, P possède dans K au moins un racine α, donc se factorise en P = (X−α)Q, avec Q∈K[X]de degré d−1. Par hypothèse de récurrence,Qest scindé dans K[X], et donc il en est de même de P.¤

Définition 31.1.4 Soitk⊆K une extension de corps. On dit queKest une clôture algébrique de k si K est algébriquement clos et si tout élément de K est algébrique surk.

31.2 Le corps F_p

Soit(m_i)_i≥1 une suite d’entiers ≥1 tendant vers+∞ et « suffisamment divisible » au sens suivant : pour touti≥1, m_i divisem_i+1, etidivise m_i. On peut prendre, par exemple,m_i=i!.

PosonsK₀ =F_p et pour tout i≥1, soit K_i un corps de décomposition sur K_i−1 du polynôme

X^pmi−X.

Alors, K_i∼=F_pmi et on a une suite croissante K₀ ⊆K₁ ⊆K₂⊆ · · · On note F_p la réunion desK_i.

Proposition 31.2.1 (Premières propriétés de F_p)

1) Pour tout d≥1, F_p contient un unique sous-corps de cardinal p^d; on le noteraF_pd(F_p).

2) Fixons r ≥1 etq =p^r. On a F_p=S

n≥1F_qn!(F_p).

Démonstration. 1) Soient d ≥ 1 et q = p^d. Par hypothèse, d divise m_d donc

F_pd ⊆F_pmd ⊆F_p.

De plus, le polynôme X^q−X a toutes ses racines, deux à deux distinctes, dansF_q, et ces racines sont exactement les éléments de F_q.

Par conséquent,F_q est l’unique sous-corps deF_p de cardinalq. En effet, si L en est un autre alors, comme le groupe multiplicatif L^× est cyclique d’ordre q −1, les éléments de L sont exactement les racines dans F_p du polynômeX^q−X, c.-à-d., les élément de F_q. Ceci prouve le point 1).

2) Pour tout d≥1, notons simplementF_pd l’unique sous-corps de F_p de cardinalp^d. Par définition, l’on a

F_p =[

i≥1

F_pmi.

Fixonsq =p^r et montrons que

(∗) [

i≥1

F_pmi = [

n≥1

F_qn!.

Pour tout i ≥ 1, on a F_pmi ⊆ F_qmi!, puisque m_i divise m_i!. Ceci prouve l’inclusion ⊆. Réciproquement, soit n ≥ 1. Par hypothèse, i = rn! divise m_i =m_rn!et doncF_qn! ⊆F_pmrn!. Ceci prouve l’inclusion⊇, et donc l’égalité dans(∗). La proposition est démontrée.¤

Théorème 31.2.2 (Existence et unicité d’une clôture algébrique de F_q)

1) F_p est une clôture algébrique de F_q, pour tout q=p^d. 2) Toute clôture algébrique de F_q estF_q-isomorphe à F_p.

Démonstration.Fixonsq =p^det désignons parF_q l’unique sous-corps de F_p à q éléments.

1) Soit x∈F_p. Il existe i≥1tel que x∈F_pmi, et doncx est algébrique surF_p, et a fortiori surF_q. Donc, pour prouver 1), il suffit de montrer que F_p est algébriquement clos. Soit P = X^d +a₁X^d−1 +· · · +a_d ∈ F_p[X],

non constant. Il existe i ≥ 1 tel que a₀, . . . , a_d ∈ F_pi. Soit K un corps de décomposition de P surF_pⁱ et soitr = [K :F_pⁱ]. AlorsK est isomorphe au sous-corps F_p^ir de F_p et donc P est scindé sur ce sous-corps, a fortiori sur F_p. Ceci prouve que F_p est une clôture algébrique deF_q.

PosonsK=F_pet, pour toutn≥1, désignons parK_nl’unique sous-corps de K de cardinal q^n!. Ainsi, K₁ est le corps F_q considéré dans le théorème, et l’on a, d’après la proposition précédente,

(1) K = [

n≥1

K_n.

Considérons une extension F_q ⊂ L et supposons que L soit une clôture algébrique de F_q. Comme L est algébriquement clos, le polynôme Q_n :=

X^qn! −X ∈L[X]est scindé ; et comme ses racines sont simples,L contient un sous-corps de cardinal q^n!. En raisonnant comme dans la preuve de la proposition précédente, on obtient que L contient un unique sous-corps de cardinal q^n!, dont les éléments sont les racines dansLde Q_n. Notons-le L_n. En particulier, L₁ égaleF_q, identifié à K₁.

D’autre part, soit x ∈ L. Par hypothèse, x est algébrique sur F_q; soit d = deg_Fq(x) son degré. Alors le sous-corps F_q[x] de L est de cardinal q^d, donc est contenu dansL_d (puisque ddivised!). Par conséquent, on a

(2) L= [

n≥1

L_n.

Montrons maintenant, par récurrence sur n, qu’on peut prolonger l’identifi- cation L₁ =K₁ =F_q en unF_q-isomorphisme τ_n:L_n→^∼ K_n.

Supposons l’assertion établie au crann. Commençons par remarquer que τ_n(Q_n+1) =Q_n+1, puisque les coefficients deQ_n+1 sont dans F_p. Observons ensuite que, comme L_n+1, resp. K_n+1, contient L_n, resp. K_n, et est formé des racines deQ_n+1dansL, resp.K, alorsL_n+1, resp.K_n+1, est un corps de décomposition deQ_n+1 surL_n, resp.K_n. Par conséquent, d’après le premier théorème fondamental 24.2.5, τ_n se prolonge en unF_q-isomorphisme τ_n+1 : L_n+1 →^∼ K_n+1.

On obtient ainsi une suite infinie(τ₁, τ₂,· · ·)d’isomorphismes τ_n:L_n→^∼ K_n, tels queτ₁ =id_Fq et

(3) ∀r≥n, τ_r|_Ln =τ_n.

On définit alors τ :L→K par la formule :τ(x) =τ_n(x)si x∈L_n. Ceci est bien défini d’après (3). Il est alors clair que τ est un morphisme de corps,

donc est injectif. De plus, son image contientK_n, pour toutn≥1, donc égale K. Par conséquent, τ est un F_q-isomorphisme de L sur K. Le théorème est démontré.¤

31.3 Clôtures algébriques en général

Dans le cas des corps finis, on a pu démontrer explicitement, de façon constructive, l’existence et l’unicité d’une clôture algébrique. En fait, on peut démontrer ce résultat pour un corps arbitraire, en utilisant des arguments de théorie des ensembles et le lemme de Zorn. C.-à-d., on a le théorème ci-dessous.

Théorème 31.3.1 (Steinitz) Tout corps k admet une clôture algébrique, unique àk-isomorphisme (non-unique) près.

Démonstration.Pour l’existence, l’idée est très simple. La réunion d’une famille filtrante d’extensions algébriques de k est une extension algébrique dek. L’ensemble des extensions algébriques de kvérifie donc les hypothèses du Lemme de Zorn (11.2.6) donc possède un élément maximalK.

SoitP ∈K[X]un polynôme irréductible, etL=K[X]/(P)son corps de rupture. Les extensionsK/k etL/K sont algébriques, donc par transitivité L/k l’est aussi (23.5.5 ou 23.3.9). Donc, par maximalité, K =L, donc P a une racine dans K. Ceci prouve que K est algébriquement clos, donc une clôture algébrique dek.

Le problème de la « démonstration » ci-dessus est qu’on sait, depuis Can- tor, qu’il n’existe pas d’« ensemble » de tous les ensembles. Il n’est pas clair que les extensions algébriques dekforment un ensemble, et donc qu’on puisse appliquer le lemme de Zorn. En fait, par un argument de cardinalité, on peut effectuer qu’on peut effectivement parler de l’ensembledes extensions algé- briques dek, de façon à rendre rigouresue l’idée de démonstration ci-dessus.

Pour cela, voir [Ja2, §8.1] ou [Dou], tome 2, §5.2 (complétés par [La], Ap- pendice 2, pour les questions de cardinalité).

Une autre démonstration se trouve dans [La, §VII.2], et ces références démontrent aussi l’unicité àk-isomorphisme près. ¤

Remarque 31.3.2 Par ailleurs, on a déjà vu que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos (3.1, 28.1). De plus, on a les résultats ci-dessous.

Proposition 31.3.3 (Fermeture algébrique de k dans K)

Soit k⊂K une extension de corps. L’ensemble

K_alg/k ={x∈K|x est algébrique surk}

est un sous-corps de K, appelé la fermeture algébrique de k dans K.

Démonstration. Posons K⁰ = K_alg/k. Il est clair que 1 ∈ K⁰. Soient x, y ∈K⁰. Alors la sous-algèbrek[x] est un corps, de degréd= deg_k(x) sur k. Commeyest algébrique surk, il l’est aussi surk[x]et donc la sous-algèbre k[x, y] = k[x][y] est un corps, égal à k(x, y), et de degré f = deg_k[x](y) sur k[x]. Donc,

[k(x, y) :k] = [k(x, y) :k(x)][k(x) :k] =f d <∞.

Comme k(x, y)contient x+y etxy, ces deux éléments sont algébriques sur k, c.-à-d., appartiennent à K⁰. Ceci montre queK⁰ est un sous-corps de K.

¤

Théorème 31.3.4 Soit k⊆L une extension de corps. On suppose L algé- briquement clos. Posons

k=L_alg/k ={x∈L|x est algébrique sur k}.

Alors k est une clôture algébrique dek.

Démonstration. D’après la proposition précédente, k est un corps, al- gébrique sur k. Montrons que k est algébriquement clos. Soit P = a₀ + a₁X+· · ·+a_dX^d∈k[X]. Comme lesa_i sont algébriques surk, le sous-corps K =k[a₀, . . . , a_d]est de degré finin surk, d’après la proposition 23.5.6.

D’autre part, comme L est algébriquement clos, il existe α ∈ L tel que P(α) = 0. Alorsαest algébrique surKet doncK(α)est de degré fini, disons r, surK. Alors

rn= [K(α) :k] = [K(α) :k(α)][k(α) :k],

d’où [k(α) : k]<+∞. Donc α est algébrique sur k, c.-à-d., appartient à k.

Ceci montre quek est algébriquement clos. Le théorème est démontré. ¤ CommeC est algébriquement clos, on obtient ainsi le corollaire suivant.

(cf.2.4.5 ; à ce propos, deux lignes au-dessus de la proposition 2.4.5, corriger Qen Q.)

Corollaire 31.3.5 Le corps Q :={z ∈C|z est algébrique sur Q} est une clôture algébrique de Q.

Table des matières

1 Nombres entiers et rationnels . . . 1

1.1 Notations et définitions . . . 1

1.2 Division euclidienne et conséquences . . . 2

1.3 Solutions entières de x²+y² =z² . . . 7

2 Entiers algébriques . . . 8

2.1 Somme de deux carrés et entiers de Gauss . . . 8

2.2 Les anneaux de nombres Z[√ n] . . . 12

2.3 Les anneaux Z[^1+√₂⁻³]etZ[¹⁺₂^√5] . . . 15

2.4 Entiers algébriques . . . 16

2.5 Anneaux noethériens . . . 19

2.6 Éléments irréductibles dans un anneau intègre noethérien . . . 21

3 Cest algébriquement clos . . . 23

3.1 L’énoncé du théorème . . . 23

3.2 La démonstration d’Argand . . . 24

3.3 La cas de plusieurs polynômes . . . 25

4 Le théorème des zéros . . . 26

4.0 Courbes algébriques . . . 26

4.1 Variétés algébriques . . . 27

4.2 Vers la suite du cours . . . 28

5 Anneaux et idéaux . . . 29

5.1 Anneaux et corps . . . 29

5.2 Idéaux . . . 31

6 Modules . . . 32

6.1 Groupes abéliens et Z-modules . . . 32

6.2 A-modules et sous-A-modules . . . . 32

6.3 Construction de modules (I) : sommes directes finies . 35 6.4 Morphismes et isomorphismes . . . 35

6.5 Modules de type fini . . . 36

7 Modules et anneaux noethériens . . . 38 i

7.1 Modules noethériens . . . 38

7.2 Anneaux et modules noethériens . . . 39

8 Anneaux de polynômes et théorème de transfert de Hilbert . . . 40

8.1 L’anneau de polynômesA[X] . . . 40

8.2 Le théorème de transfert de Hilbert . . . 42

8.3 Construction de modules (II) : modules libres . . . 43

8.4 Anneaux de polynômes en plusieurs variables . . . 46

8.5 Morphismes d’anneaux et A-algèbres . . . . 48

8.6 A-algèbres et propriété universelle des algèbres de polynômes . . . 49

9 Modules et anneaux quotients, théorèmes d’isomorphisme de Noether . . . 50

9.1 Définition des modules quotients . . . 50

9.2 Noyaux et images, théorèmes de Noether . . . 52

9.3 Applications des modules quotients . . . 55

9.4 Anneaux quotients . . . 57

9.5 Algèbres de fonctions polynomiales . . . 59

9.6 Anneaux d’endomorphismes et A/I-modules . . . . 61

10 Algèbres de type fini et noethérianité . . . 63

10.1 Algèbres de type fini . . . 63

10.2 Résultats de noethérianité . . . 65

11 Idéaux premiers et maximaux, Lemme de Zorn . . . 67

11.1 Idéaux premiers et maximaux . . . 67

11.2 Sous-modules maximaux et lemme de Zorn . . . 68

12 Anneaux de fractions, localisation . . . 71

12.0 Motivation . . . 72

12.1 Construction de l’anneau S⁻¹A . . . 73

12.2 Le cas intègre . . . 77

12.3 Localisation de modules . . . 79

12.4 Idéaux premiers de S⁻¹A, anneaux locaux . . . . 83

12.5 Support et idéaux premiers associés . . . 84

13 Idéaux irréductibles, radical d’un idéal et idéaux premiers mi- nimaux . . . 88

13.1 Idéaux irréductibles . . . 88

13.2 Racine d’un idéal et idéaux premiers minimaux . . . . 90

14 Extensions entières et extensions de corps (I) . . . 91

14.1 Morphismes entiers . . . 91

14.2 Extensions de corps, multiplicativité du degré . . . 93

14.3 Retour sur K[X] . . . 94

15 Un aperçu de géométrie algébrique, théorème des zéros de

Hilbert . . . 95

15.1 Sous-variétés algébriques de kⁿ et topologie de Zariski 95 15.2 Le théorème des zéros de Hilbert . . . 97

16 Anneaux factoriels . . . 101

16.1 Éléments irréductibles et éléments associés . . . 101

16.2 Anneaux factoriels, lemmes d’Euclide et Gauss . . . . 102

16.3 PPCM et PGCD dans un anneau factoriel . . . 105

16.4 Le théorème de transfert de Gauss . . . 107

17 Anneaux principaux et anneaux euclidiens . . . 111

17.1 Les anneaux euclidiens sont principaux . . . 111

17.2 Les anneaux principaux sont factoriels . . . 112

18 Idéaux étrangers et théorème chinois . . . 113

18.1 Idéaux étrangers . . . 113

18.2 Théorème chinois des restes . . . 115

19 Modules de torsion sur un anneau principal . . . 116

19.1 Annulateurs et modules de torsion . . . 116

19.2 Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal . . . 118

20 A-modules libres de type fini, invariance du rang . . . 125

20.1 Rang d’un module libre de type fini . . . 125

20.2 Modules d’homomorphismes et module dual . . . 127

21 Modules de type fini sur un anneau principal . . . 128

21.1 Matrices échelonnées . . . 128

21.2 Les résultats fondamentaux . . . 129

21.3 Existence d’une base adaptée . . . 130

21.4 Décomposition des modules de type fini . . . 132

21.5 Unicité des facteurs invariants . . . 134

22 Autre approche : réduction des matrices sur un anneau principal137 22.1 Une conséquence de l’existence de bases adaptées . . . 137

22.2 Réduction des matrices . . . 137

23 Caractéristique et extensions de corps . . . 145

23.1 Les corps fondamentauxQetF_p . . . 145

23.2 Généralités sur les extensions . . . 147

23.3 Extensions entières d’anneaux . . . 148

23.4 Éléments algébriques ou bien transcendants . . . 153

23.5 Extensions algébriques de corps et degré d’une extension154 23.6 Bases de transcendances et extensions de type fini . . 156

24 Corps de rupture et corps de décomposition . . . 160

24.1 Corps de rupture d’un polynôme . . . 160

24.2 Corps de décomposition d’un polynôme . . . 162

24.3 Le groupe des k-automorphismes d’une extension . . . 165

25 Extensions séparables et théorème de l’élément primitif . . . . 167

25.1 Polynômes et extensions séparables . . . 167

25.2 Racines multiples et séparabilité . . . 168

25.3 Caractérisation de la séparabilité en termes de mor- phismes . . . 170

25.4 Le théorème de l’élément primitif . . . 172

26 Extensions galoisiennes et correspondance de Galois . . . 174

26.1 Extensions galoisiennes . . . 174

26.2 Indépendance des caractères . . . 178

26.3 Invariants d’un groupe fini : théorème d’Artin . . . 180

26.4 Autre démonstration du théorème d’Artin . . . 182

26.5 Un rappel sur les groupes . . . 182

26.6 Le couronnement : correspondance de Galois . . . 183

26.7 Clôture normale ou galoisienne . . . 185

27 Théorie des groupes . . . 189

27.1 Ordre d’un élément, théorème de Lagrange . . . 189

27.2 Groupes en action . . . 190

27.3 Groupes symétriques et théorème de Cayley . . . 192

27.4 Décomposition en cycles, engendrement par les trans- positions . . . 193

27.5 Action sur k[X₁, . . . , X_n]et signature . . . 195

27.6 Conjugaison des cycles, générateurs de A_n . . . 197

27.7 Groupes résolubles . . . 198

27.8 A_n n’est pas résoluble, pourn≥5 . . . 200

27.9 Groupes abéliens finis . . . 201

27.10 Centre d’un groupe et équation des classes . . . 203

27.11 p-groupes et théorèmes de Sylow . . . 204

28 Polynômes symétriques et groupes de Galois . . . 206

28.1 Une application de Galois plus Sylow : C est algébri- quement clos . . . 206

28.2 Groupe de Galois d’un polynôme . . . 208

28.3 Polynômes symétriques . . . 209

28.4 Relations entre coefficients et racines d’un polynôme . 210 28.5 Le théorème fondamental des polynômes symétriques . 211 28.6 Invariants dans le corps des fractions . . . 215

28.7 Fractions rationnelles symétriques . . . 216

28.8 L’équation générale de degré n . . . 217

28.9 Discriminant d’un polynôme . . . 218

28.10 L’extension intermédiaire associée au discriminant . . 221

28.11 L’équation de degré3 . . . 223

29 Équations résolubles par radicaux . . . 224

29.1 Extensions radicales . . . 225

29.2 Adjonction de racines de l’unité . . . 226

29.3 Démonstration du théorème 29.1.5 . . . 230

29.4 Un exemple de polynômeP ∈Q[X]non résoluble par radicaux . . . 231

29.5 La réciproque du théorème 29.1.5 . . . 233

30 Corps finis . . . 235

30.1 Cardinal et groupe multiplicatif d’un corps fini . . . . 235

30.2 La formule du binôme . . . 236

30.3 Endomorphismes de Frobenius . . . 237

30.4 Existence et unicité des corpsF_pⁿ . . . 238

30.5 Groupe de Galois de F_qⁿ surF_q . . . 239

30.6 Théorème de l’élément primitif, et polynômes irréduc- tibles sur F_q . . . 241

31 Clôtures algébriques . . . 243

31.1 Corps algébriquement clos . . . 243

31.2 Le corps F_p . . . 243

31.3 Clôtures algébriques en général . . . 246

32 Produit tensoriel . . . 249

32.0 Remarque préliminaire . . . 249

32.1 Applications bilinéaires . . . 250

32.2 Définition du produit tensoriel . . . 252

32.3 Premières propriétés du produit tensoriel . . . 254

32.4 Produits de variétés et changement de base . . . 255

32.5 Algèbres tensorielles, symétriques et extérieures . . . . 255

32.6 Autres propriétés du produit tensoriel . . . 255

32.7 Produits et sommes directes . . . 256

32.8 Produit tensoriel par A/I . . . 259

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