Chap. 5

(1)

CHAPITRE 5

CONIQUES PROJECTIVES (ET AFFINES)

Les passages en petits caractères 23.8 et 23.12 n’ont pas été traités en cours et peuvent être omis.

21. Rappels sur les formes quadratiques

(1) Cette section, constituée de rappels de L2 ou L3, a été exposée rapidement en cours.

Ses résultats sont considérés comme connus. Soit k un corps.

Définition 21.1. — Soient V, E deux k-espaces vectoriels. Une application bilinéaire de V ×V dans E est une application b : V ×V → E qui est linéaire en chaque variable (l’autre variable étant fixée), i.e. pour u, u⁰, v, v⁰ ∈V etλ, µ, λ⁰, µ⁰ ∈k, on a :

b(λu+λ⁰u⁰, v) = λb(u, v) +λ⁰b(u⁰, v) et b(u, µv+µ⁰v⁰) =µb(u, v) +µ⁰b(u, v⁰).

En appliquant successivement ces deux conditions on obtient que :

b(λ₁u₁+λ₂u₂, µ₁v₁ +µ₂v₂) = λ₁µ₁b(u₁, v₁) +λ₁µ₂b(u₁, v₂) +λ₂µ₁b(u₂, v₁) +λ₂µ₂b(u₂, v₂).

Plus g´en´eralement, pour toutn ∈N^∗ etu_i, v_i ∈V et λ_i, µ_i ∈k, on a : bXⁿ

i=1

λ_iu_i,

n

X

j=1

µ_jv_j

=

n

X

i=1

λ_ib u_i,

n

X

j=1

µ_jv_j

=

n

X

i,j=1

λ_iµ_jb(u_i, v_j).

Exemple 21.2. — Soit A = k[X1, . . . , Xr] l’algèbre des polynômes sur k en r variables ; pour tout r-uplet a = (a₁, . . . , a_r) ∈ N^r on note Xâ le monôme X₁â¹· · ·X_râ^r. Alors la multiplication m:A×A→Aest définie parXâ·X^b =Xâ+bet la condition quemsoitk-bilinéaire. C’est-à-dire, pour P =P

a∈N^rαaX^a etQ=P

b∈N^rβ_bX^b arbitraires, on a : P·Q=m(P, Q) = X

a,b∈N^r

α_aβ_bm(X^a, X^b) = X

a,b∈N^r

α_aβ_bX^a+b.

Dans la suite de cette section, on suppose car(k)6= 2.

D´efinitions 21.3. — Soit V un k-espace vectoriel.

(1) Une forme bilin´eaire sur V est une application bilin´eaire φ :V ×V →k.

(2) On dit que φ est sym´etrique si pour tout x, y ∈V on a φ(x, y) = φ(y, x).

(1)Version du 26/10/2016.

(2)

(3) Dans ce cas, on dit que l’application Q :V → k, x7→ Q(x) = φ(x, x) est laforme quadratique d´efinie par φ. Pour tout λ∈k et x, y ∈V, on a Q(λx) =λ²Q(x) et :

Q(x+y) =φ(x+y, x+y) =φ(x, x) +φ(x, y) +φ(y, x) +φ(y, y)

=Q(x) +Q(y) + 2φ(x, y).

(†)

Donc φ est d´etermin´ee par Q, i.e. :

(∗) φ(x, y) = 1

2 Q(x+y)−Q(x)−Q(y) et, si Q est donn´ee, on dit que φ est la forme polaire deQ.

(4) En rempla¸cant y par −y dans la formule (†), on obtient Q(x−y) =Q(x) +Q(y)− 2φ(x, y) d’o`u la formule ´egalement utile :

(∗∗) φ(x, y) = 1

4 Q(x+y)−Q(x−y) .

Remarque. — Pour vérifier qu’une application φ : V ×V → k est une forme bilinéaire symétrique, il suffit de voir queφ(x, y) = φ(y, x) et queφ est linéaire en la première variable, car ces deux conditions entraˆınent alors la linéarité en la deuxième variable.

Désormais, on supposeV dedimension finien. Soitφ une forme bilinéaire symétrique (en abrégé : fbs) surV et Q la forme quadratique associée.

Définition 21.4 (Expression dans une base et rang). — Soit B = (e1, . . . , en) une base de V et soient (x1, . . . , xn) les coordonnées correspondantes. Pour i, j = 1, . . . , n, posons aij =φ(ei, ej) ; comme φ est symétrique alors aji =aij.

(i) La matrice A= (a_ij)_1≤i,j≤n est symétrique (i.e. ^tA =A) ; elle est appelée la matrice deφ (ou deQ) dans la base B et notée Mat_B(φ) ou Mat_B(Q).

(ii) Pour tout x = Pn

i=1x_ie_i et y = Pn

j=1y_je_j, notons ^tX = (x₁, . . . , x_n) et ^tY = (y₁, . . . , y_n), alors on a φ(x, y) =Pn

i,j=1a_ijx_iy_j et ceci est ´egal, d’une part, `a

(†) (x₁, . . . , x_n)A





 y₁

... y_n





=^tXAY et, d’autre part, `a :

(‡)

n

X

i=1

a_iix_iy_i+ X

1≤i<j≤n

a_ij(x_iy_j +x_jy_i).

(iii) Pour y= x, (‡) donne Q(x) =Pn

i=1a_iix²_i +P

1≤i<j≤n2a_ijx_ix_j donc Q correspond dans la base B au polynˆome Pn

i=1a_iiX_i² +P

1≤i<j≤n2a_ijX_iX_j homog`ene de degr´e 2.

(iv) R´eciproquement, si Qest donn´ee parQ(X) = Pn

i=1c_iX_i²+P

1≤i<j≤nc_ijX_iX_j alors sa forme polaireφ est donn´ee parφ(e_i, e_i) =c_i et, pouri6=j, φ(e_i, e_j) =c⁰_ij o`u c⁰_ij =c⁰_ji = (1/2)c_ij. Donc

Mat_B(Q) =







c1 c⁰₁₂ · · · c⁰_1n c⁰₂₁ c2 c⁰₂₃ · · · c⁰_2n ... . .. ... . .. ... c⁰_n−1,1 · · · . .. cn−1 c⁰_n−1,n

c⁰_n1 c⁰_n2 · · · c⁰_n,n−1 c_n





 .

(3)

21. RAPPELS SUR LES FORMES QUADRATIQUES 85

(v) Soit C une autre base de V etP = Mat_B(C) la matrice de passage. Alors

(?) Mat_C(φ) =^tP AP.

(vi) On appellerangdeφ(ou deQ) le rang de la matriceA. D’après le point précédent, ceci ne dépend pas de la base choisie, car comme P (et donc ^tP) est inversible, alors A et ^tP AP ont même rang.⁽²⁾ On dit que Q (ou φ) est non dégénérée si elle est de rang n = dim(V), i.e. si sa matrice dans n’importe quelle base est inversible.

(vii) On appelle noyaudeQ(ou de φ) et l’on noteN(Q) ouN(φ) le sev de V suivant : N(φ) = {x∈V | ∀y∈V, φ(y, x) = 0}.

Pour toute base B de V, on a N(φ) = Ker(A) ; par conséquent,N(φ) ={0}ssi φ est non dégénérée.

Démonstration. — Seul les points (v) et (vii) nécessitent une démonstration. Donnons-en deux pour (v). Écrivons C = (f₁, . . . , f_n) et posons B = Mat_C(φ).

1ère démonstration. Écrivons f_i =Pn

r=1p_rie_r pour touti. Alors b_ij =φ(f_i, f_j) =

n

X

r,s=1

p_rip_sjφ(e_r, e_s) =

n

X

r,s=1

p_rip_sja_rs =

n

X

r,s=1

(^tP)_ira_rsp_sj = (^tP AP)_ij. 2ème démonstration. Soient u, v ∈ V arbitraires, notons X, Y (resp.X⁰, Y⁰) leurs coor- données dans la base B (resp. C). D’après la formule de changement de coordonnées, on a X =P X⁰ et Y =P Y⁰ donc

φ(v, u) =^tYAX =^tY⁰(^tP AP)X⁰

et ceci entraˆıne que bij =φ(fi, fj) est le coefficient d’indice (i, j) de la matrice ^tP AP (car alors^tY⁰= (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) avec le 1 à lai-ème place et de même pourX⁰), d’où B =^tP AP.

Prouvons maintenant (vii). Soit x∈V etX le vecteur colonne de ses coordonn´ees dans la base B. Alors x∈N(φ) ssi φ(y, x) = 0 pour tout y∈V, i.e. ssi :

(∗) ∀Y ∈kⁿ, ^tY AX = 0.

Or, notant U le vecteur colonne AX et Y(i) le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la i-ème qui vaut 1, on voit que^tY(i)U égale la i-ème coordonnée u_i deU. Par conséquent, la condition (∗) équivaut à la nullité de U = AX. Ceci montre que N(φ) = Ker(A).

Une propriété importante des formes quadratiques non dégénérées est qu’elles induisent un isomorphisme entre V etV^∗, i.e. on a les résultats suivants.

Définition 21.5 (importante). — Soit φ une fbs surV ; notonsθ l’application linéaire V →V^∗, x7→φ(−, x). C’est-à-dire :

(i) Pour tout x ∈ V, θ(x) est l’application V → k, y 7→ φ(y, x). La linéarité de φ en la première variable signifie que y 7→φ(y, x) est une forme linéaire sur V, donc on a bien θ(x)∈V^∗.

(2)On verra plus bas qu’on peut trouver une baseC dans laquelle la matrice de φest diagonale; alors le rang est le nombre de coefficients diagonaux non nuls.

(4)

(ii) La linéarité de φ en la deuxième variable entraˆıne alors que θ est linéaire i.e. que θ(λx+x⁰) =λθ(x) +θ(x⁰) (égalité de formes linéaires) ; en effet, pour touty∈V on a :

θ(λx+x⁰)(y) = φ(y, λx+x⁰) = λφ(y, x) +φ(y, x⁰) = λθ(x)(y) +θ(x⁰)(y).

Proposition 21.6. — SoientB une base deV, B^∗ la base duale de V^∗ etA= Mat_B(φ).

Alors A est la matrice de θ dans les bases B (au départ) et B^∗ (et l’arrivée), notée Mat_B^∗_,_B(θ).

Démonstration. — Écrivons B = (e₁, . . . , e_n) et B^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_n). Pour tout f ∈ V^∗, son écriture f = Pn

i=1c_ie^∗_i est donn´ee par c_i = f(e_i). Pour f = θ(e_j) on a : θ(e_j)(e_i) = φ(ei, ej) = aij et donc θ(ej) =Pn

i=1aije^∗_i. Ceci montre que Mat_B^∗,B(θ) =A.

Corollaire 21.7. — φ (ou Q) est non dégénérée ssi θ est un isomorphisme V −→^∼ V^∗. Dans le cas contraire, on dit que Q est dégénérée et son noyau N(Q) égale Ker(θ).

D´efinition 21.8 (Orthogonalit´e). — Soit φ une fbs sur V.

(i) On dit que deux vecteurs x, y ∈ V sont orthogonaux (pour φ) si φ(x, y) = 0.

Plus g´en´eralement, on dit que deux sous-ensembles X, Y de V sont orthogonaux si l’on a φ(x, y) = 0 pour tout x ∈ X et y ∈ Y. On notera X⊥Y pour signifier que X et Y sont orthogonaux.

(ii) Pour tout sous-ensembleY de V, son orthogonal (relativement `a φ), not´e Y^⊥, est : (?) Y^⊥ ={x∈V |φ(x, y) = 0, ∀y∈Y}.

Remarquons au passage que V^⊥=N(φ).

(iii) Y^⊥ est un sous-espace vectoriel de V (même si Y n’en est pas un) ; de plus, on a les propriétés suivantes :

(??) Y ⊂Z =⇒Z^⊥⊂Y^⊥ et Y^⊥= Vect(Y)^⊥

en particulier, si Y est un sous-espace vectoriel F de V et si (f1, . . . , fp) est une famille g´en´eratrice de F, alors

F^⊥={f₁, . . . , f_p}^⊥ ={x∈V |φ(x, f_i) = 0, ∀i= 1, . . . , p}.

D´emonstration de (iii). — Soientx, x⁰ ∈Y^⊥etλ∈k, alors on a, pour touty∈Y,φ(λx+x⁰, y) = λφ(x, y) +φ(x⁰, y) = 0, ce qui montre que λx+x⁰ ∈Y^⊥. Donc Y^⊥ est un sous-espace vectoriel de V.

Il est imm´ediat que si Y ⊂ Z, alors Z^⊥ ⊂ Y^⊥ car si x ∈ Z^⊥ alors x est orthogonal `a tout

´

elément de Z, donc x est a fortiori orthogonal à tout élément de Y (puisque Y ⊂ Z), donc x∈Y^⊥.

CommeY ⊂Vect(Y), ceci donne l’inclusion Vect(Y)^⊥⊂Y^⊥. Montrons l’inclusion r´eciproque.

Soit x ∈ Y^⊥ et soit v un élément arbitraire de Vect(Y) ; par définition, v s’écrit comme une combinaison linéaire finie v=λ1y1+· · ·+λryr, avec yi ∈Y etλi∈k; alors on a

φ(x, v) =

r

X

i=1

λi φ(x, yi)

| {z }

=0

= 0

et doncx∈Vect(Y)^⊥. Ceci montre queY^⊥⊂Vect(Y)^⊥, d’où l’égalité Vect(Y)^⊥=Y^⊥.

Théorème 21.9 (Orthogonalité pour φ non dégénérée). — Soit φ une fbs non dé- générée sur V et soitF un sev de V.

(5)

(i) On a dim(F^⊥) = dim(V)−dim(F) et F = (F^⊥)^⊥. (ii) Si F ∩F^⊥ ={0}, alors V =F ⊕F^⊥.

(iii) En fait (ii)est vrai même sans supposer que φ soit non dégénérée.

Démonstration. — (i) Six∈F alors pour touty∈F^⊥on aφ(x, y) = 0 et doncx∈(F^⊥)^⊥. Ceci montre que F ⊂(F^⊥)^⊥, sans supposer que φ soit non dégénérée.

Soit θ:V →V^∗ l’application linéaire associée à φ. Alorsθ(F) est un sev de V^∗ et l’on a F^⊥ =

y∈V | ∀x∈V, 0 =φ(x, y) = θ(x)(y) =θ(F)⁰, où⁰ désigne l’orthogonalité entre V etV^∗ (cf. 15.1). On a donc

(∗) dim(F^⊥) = dim(V)−dimθ(F).

Supposons maintenant que φ soit non dégénérée. Alors θ est bijective donc θ(F) est de même dimension queF, et donc (∗) entraˆıne que dim(F^⊥) = dim(V)−dim(F).

On a de même dim(F^⊥)^⊥ = dim(V)−dim(F^⊥) = dim(F), et alors l’inclusionF ⊂(F^⊥)^⊥ entraˆıne l’égalité F = (F^⊥)^⊥. Ceci prouve (i).

(ii) et (iii) : ne supposant plus queφsoit non dégénérée, on a toujours dimθ(F)≤dim(F) et donc dim(F^⊥)≥dim(V)−dim(F).

Si l’on a F ∩F^⊥ ={0}, alors F et F^⊥ sont en somme directe, et d’après ce qui précède on a :

dim(F ⊕F^⊥) = dim(F) + dim(F^⊥)≥dim(V) et ceci entraˆıne que F ⊕F^⊥ =V (et que dim(F^⊥) = dim(V)−dim(F)).

Remarque 21.10. — Attention ! Le lecteur peut penser au cas de V = Rⁿ muni du produit scalaire euclidien (x|y) =Pn

i=1x_iy_i; dans ce cas, pour tout sev F deV on aF∩F^⊥={0}car si x∈F∩F^⊥alors l’´egalit´e 0 = (x|x) =Pn

i=1x²_i entraˆıne quex= 0. Mais ceci est une particularité du cas euclidien et n’est pas vrai pour une fbs non dégénéréeφarbitraire. Par exemple, soitφla fbs surR² définie par

φ(u, v) =x₁y₂+x₂y₁ si u= x₁

x2

etv= y₁

y2

;

sa matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2) deR² estA= 0 1

1 0

, doncφest non dégénérée.

Cependant, on a φ(e1, e1) = 0 = φ(e2, e2) donc chacune des droites D1 = Re1 et D2 =Re2 est

´

egale `a son propre orthogonal, i.e.D₁^⊥=D₁ etD^⊥₂ =D₂.

D´efinition 21.11 (Restriction `a un sous-espace). — Soit φ une fbs surV et soit F un sev de V.

(i) On note φF la fbs sur F obtenue en restreignant φ `a F ×F, i.e.φF(x, y) = φ(x, y) pour toutx, y ∈F ; on l’appelle la restriction deφ `a F.

(ii) On a F ∩F^⊥ = {x ∈ F | ∀y ∈ F φ(x, y) = 0} = N(φ_F). Donc l’assertion (ii) du théorème 21.9 peut se récrire comme suit : «siφ_F est non dégénérée, alors V =F ⊕F^⊥».

Remarque 21.12. — Attention ! Même si φ est non dégénérée, φF ne l’est pas nécessairement. Par exemple, soit φ la forme polaire de la forme quadratique Q(x1x2) = x1x2 sur R², elle est non dégéné- rée mais sa restriction à chaque droite isotropeD₁=Re₁ ouD₂=Re₂ est nulle, donc dégénérée.

(6)

D´efinition 21.13 (Bases orthogonales). — Soient Qune forme quadratique sur V et φ sa forme polaire. Soient B = (e₁, . . . , e_n) une base de V et (x₁, . . . , x_n) les coordonn´ees correspondantes.

(i) On dit que B est une base orthogonale pour φ (ou pour Q) si l’on φ(e_i, e_j) = 0 pouri6=j, ce qui ´equivaut `a dire que la matrice A = Mat_B(φ) est diagonale.

(ii) Ceci ´equivaut encore `a dire que Q(x₁, . . . , x_n) = c₁x²₁ +· · ·+c_nx²_n, et dans ce cas c₁, . . . , c_n sont les coefficients diagonaux de A.

Th´eor`eme 21.14 (Existence de bases orthogonales). — Soit φ une fbs sur V. (i) Il existe une base de V orthogonale pour φ.

(ii) Si B = (e₁, . . . , e_n) est une base de V orthogonale pour φ et si (x₁, . . . , x_n) sont les coordonn´ees correspondantes, alors Q(x₁, . . . , x_n) = c₁x²₁ +· · ·+c_nx²_n et le rang de φ est

´

egal au nombre de c_i non nuls. En particulier,φ est non dégénérée ssi tous lesc_i sont6= 0.

(iii) Si Qest de rang r < non peut supposer, quitte à renuméroter les e_i, quec_i =Q(e_i) est non nul pour i = 1, . . . , r et nul pour i > r. Alors N(Q) est le sev Vect(e_r+1, . . . , e_n), donné par les équations x_i = 0 pour i= 1, . . . , r.

Démonstration. — (i) Procédons par récurrence sur n = dim(V). Il n’y a rien à montrer si n= 0 ou si φ= 0. On peut donc supposer n≥1, le résultat établi pour n−1 et φ 6= 0.

Alors la forme quadratique Q est non nulle (cf. 21.3 (∗)), donc il existe e₁ ∈ V tel que Q(e₁)6= 0. Posons F =ke₁; comme φ(e₁, e₁) 6= 0, alors F ∩F^⊥ ={0} et donc, d’après le théorème 21.9, on a V =F ⊕F^⊥.

Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base (e₂, . . . , e_n) de F^⊥ telle que φ(e_i, e_j) = 0 pouri6=j. Alors (e₁, e₂, . . . , e_n) est une base de V orthogonale pour φ. Ceci prouve (i).

(ii) est clair, car le rang de φ est le rang de la matrice A = Mat_B(φ), qui est diagonale de coefficients diagonauxc₁, . . . , c_n.

Enfin, (iii) découle du point (vii) de 21.4. On peut aussi le redémontrer comme suit : Fixons un indice i > r; comme la base B est orthogonale et comme φ(e_i, e_i) = 0, alors e_i est orthogonal à tous les éléments de B donc appartient à N(Q). Ceci montre que Vect(e_r+1, . . . , e_n) ⊂ N(Q). Réciproquement, si un élément v = Pn

j=1a_je_j appartient à N(Q) alors, pouri = 1, . . . , r, l’égalité 0 =φ(e_i, v) =a_ic_i donne a_i = 0 (car c_i 6= 0), donc v ∈Vect(e_r+1, . . . , e_n).

Le théorème 21.14 est valable pour tout corps k de caractéristique 6= 2. La possibilité d’effectuer des réductions supplémentaires dépend de propriétés «arithmétiques» de k, c.-à-d., de quels éléments de k sont des carrés. Lorsque k = C ou R, on peut donner des versions plus précises.

Théorème 21.15 (Formes quadratiques sur C). — Soient k un corps algébrique- ment clos,⁽³⁾ V un k-ev de dimension n etQ une forme quadratique sur V, de rang r≤n.

Il existe une baseB de V telle queMat_B(Q)soit diagonale, avec les rpremiers coefficients

´

egaux à 1 et les autres nuls, i.e. dans les coordonnées correspondant à cette base on ait : Q(x₁, . . . , x_n) =x²₁+· · ·+x²_r.

(3)Il suffit en fait que tout élément dekpossède une racine carrée dansk, cf. la démonstration.

(7)

Démonstration. — D’après le théorème 21.14, il existe une base (f₁, . . . , f_n) de V orthogonale pour Q. Pour tout i, posons c_i = Q(f_i). Alors le rang r de Q est le nombre de c_i non nuls et, quitte à renuméroter les f_i, on peut supposer que c_i 6= 0 pour i ≤r et c_i = 0 pour i > r. Comme k est algébriquement clos, chaque c_i 6= 0 possède dans k une racine carrée µ_i 6= 0. Posons alors e_i = µ⁻¹_i f_i pour i ≤ r, et e_i = f_i pour i > r. Alors la base B = (e₁, . . . , e_r, e_r+1, . . . , e_n) est encore orthogonale, et vérifie Q(e_i) = 1 pour i ≤ r et Q(e_i) = 0 pouri > r. Ceci prouve le théorème.

Théorème 21.16 (Théorème d’inertie de Sylvester). — Soient V un R-espace vectoriel de dimension n, Q une forme quadratique sur V et φ sa forme polaire.

(i) Soit B = (e₁, . . . , e_n) une base orthogonale pour φ et soit p (resp. q) le nombre d’indices i tels que Q(e_i) > 0 (resp. < 0). Alors p et q ne d´ependent pas de la base orthogonale choisie.

(ii) Le couple (p, q) s’appelle la signature de Q (ou de φ) ; on a rang(φ) =p+q.

(iii) On peut choisir B de sorte que la matrice diagonale D= Mat_B(φ) ait pour termes diagonaux (1, . . . ,1,−1, . . . ,−1,0, . . . ,0), le nombre de 1 (resp. −1)´etant p (resp. q).

D´emonstration. — Posons r = rang(φ). Soient B = (e1, . . . , en) et C = (f1, . . . , fn) deux bases de V orthogonales pour φ. Notons p(resp.p⁰) le nombre d’indicesi tels queQ(e_i)>0 (resp. Q(f_i) >0) et q (resp.q⁰) le nombre d’indicesitels queQ(ei)<0 (resp.Q(fi)<0). Alors

r=p+q=p⁰+q⁰

et il s’agit de montrer queq=q⁰etp=p⁰. Quitte à renuméroter les éléments deBetC, on peut supposer que

(?)











Q(e_i)>0 pouri= 1, . . . , p Q(ei)<0 pouri=p+ 1, . . . , p+q Q(ei) = 0 pouri > p+q=r;











Q(f_i)>0 pouri= 1, . . . , p⁰

Q(fi)<0 pouri=p⁰+ 1, . . . , p⁰+q⁰ Q(fi) = 0 pouri > p⁰+q⁰=r .

Notons P+ le sous-espace de V engendré par les vecteurs ei tels que Q(ei)≥0. Ces vecteurs sont au nombre den−q, donc dimP₊=n−q. Soitxun élément arbitraire deP₊, écrivons x=P

i∈Ix_ie_i, avec I={1, . . . , p} ∪ {r+ 1, . . . , n}; alors, d’apr`es (?), on obtient

(1) Q(x) =

p

X

i=1

x²_iQ(ei)≥0.

D’autre part, soitP₋⁰ le sous-espace deV engendré par les vecteursf_jtels queQ(f_j)<0. Ces vecteurs sont au nombre de q⁰, donc dimP₋⁰ =q⁰. Soit y un élément non nul de P₋⁰, on peut écrire y =Pp⁰+q⁰

j=p⁰+1yjfj, avec au moins l’un desyj non nul (cary6= 0). Alors, d’apr`es (?) `a nouveau, on obtient

(2) Q(y) =

p⁰+q⁰

X

j=p⁰+1

y²_jQ(fj)<0.

Par cons´equent, on a P+∩P₋⁰ ={0} doncP+ et P₋⁰ sont en somme directe, d’o`u n= dimV ≥dimP₊+ dimP₋⁰ =n−q+q⁰

d’où q ≥ q⁰. Échangeant les rôles des bases B et C, on obtient de même q⁰ ≥ q, d’où q = q⁰, puis p=r−q=r−q⁰=p⁰. Ceci prouve (i).

Prouvons (iii). SoitB= (e₁, . . . , e_n) comme ci-dessus ; pour i= 1, . . . , p+q, notonsc_i la racine carrée de|Q(ei)|et rempla¸conseiparc⁻¹_i ei; on obtient ainsi une base orthogonale ayant la propriété désirée.

(8)

22. Quadriques et coniques projectives, th´eor`eme de Pascal

Le but de cette section est d’´etudier les quadriques projectives dePⁿ(k), c.-`a-d. les sous- ensembles

V(Q) = {[x₀, . . . , x_n]∈Pⁿ(k)|Q(x₀, . . . , x_n) = 0}

oùQ est une forme quadratique sur kⁿ⁺¹, i.e. un polynôme homogène de degré 2 : Q(x) =

n

X

i=0

a_ix²_i + X

0≤i<j≤n

b_ijx_ix_j.

Remarquons tout de suite que, pour un point p = [x] de Pⁿ(k), le point x de kⁿ⁺¹ n’est défini qu’à homothétie près donc on ne peut pas parler de lavaleur deQenp, mais comme Q est un polynôme homogène de degré 2 alors Q(λx) =λ²Q(x) pour toutλ ∈k^×, donc le fait que Q(x) soit nul ne dépend que de p, ce qui justifie la définition de V(Q). Lorsque n = 2, on dit«conique»au lieu de quadrique.

Même si l’on ne s’intéressera dans la suite qu’aux quadriques (et surtout aux coniques), nous donnons ci-dessous des définitions générales, en guise d’introduction à la géométrie algébrique.

Définition 22.1 (Hypersurfaces de kⁿ). — SoitP ∈k[X1, . . . , Xn] un polynôme non constant.⁽⁴⁾ On définit savariété des zéros dans l’espace affine kⁿ, notéeV (P),⁽⁵⁾ par :

V(P) = {x= (x₁, . . . , x_n)|P(x) = 0}

et l’on dit que c’est une hypersurface (algébrique) de kⁿ. En fait, quand on dit cela, on suppose implicitement que le corps k est algébriquement clos, par exemple k=C, ou bien quekest considéré commesous-corps d’un corps algébriquement closk, par exemple k =R et k=C.

En effet, lorsque k n’est pas alg´ebriquement clos, il arrive que V(P) ne soit «pas int´e- ressant», par exemple si k =R, et si l’on poseP_c=X²+Y²+cpourc∈R, alors

V(P₀) = {(x, y)∈R² |x² +y² = 0}

se réduit au point (0,0), au lieu d’être une honnête «courbe algébrique » comme par exemple le cercle

V(P−1) = {(x, y)∈R² |x²+y² = 1}

ou l’hyperbole

{(x, y)∈R² |xy = 1}=V(XY −1) ou la parabole

{(x, y)∈R² |y=x²}=V(Y −X²).

Pire encore, VR(P₁) = {(x, y) ∈ R² | x² +y² = −1} est vide. Toutefois, dans C on a (x +iy)(x −iy) = x² +y² donc dans C[X, Y] si l’on fait le changement de variables X⁰ =X+iY et Y⁰ =−X+iY, alors P₁ = 1−X⁰Y⁰ et donc

VC(P₁) = {(x⁰, y⁰)∈C² |x⁰y⁰ = 1}

(4)On supposeP non constant carV(P) =kⁿ siP = 0, tandis queV(P) =∅siP est une constante6= 0.

(5)On noteV pour«Variété»; d’autres auteurs notentZ(P) pour«Zéros».

(9)

22. QUADRIQUES ET CONIQUES PROJECTIVES, TH ´EOR `EME DE PASCAL 91

est une «honnˆete » hyperbole, et le fait que VR(P₁) = ∅ signifie simplement que cette hyperbole «complexe» n’a pas de «points r´eels». On verra bien d’autres exemples de la sorte dans la suite.

Toutefois, nous ne voulons pas imposer àkd’être algébriquement clos, car précisément on veut pouvoir étudier des courbes algébriques dansR² telles que cercles, ellipses, hyperboles et paraboles...

Définition 22.2 (Polynômes homogènes). — On dit qu’un polynôme non nul P ∈ k[X₁, . . . , X_r] est homogène de degrédsi tous les monômes qui le composent sont de même degré total d. Par exemple, si r = 3 un polynôme homogène de degré 1 est de la forme a₁X₁+a₂X₂+a₃X₃, et un polynôme homogène de degré 2 de la forme :

a₁X₁²+a₂X₂²+a₃X₃²+a_1,2X₁X₂+a_1,3X₁X₃+a_2,3X₂X₃.

Exercice 22.3. — Soitnun entier≥2. Quelle est la dimension duk-espace vectoriel des polynômes en nvariables surk, homogènes de degré 2 ?

Définition 22.4 (Hypersurfaces de Pⁿ(k)). — Soit P ∈ k[X₀, . . . , X_n] un polynôme en (n+1) variableshomogènede degréd≥1. On définit savariété des zéros dans l’espace projectif Pⁿ(k), encore notéeV(P), par :

V(P) = {[x] = [x₀, x₁, . . . , x_n]∈Pⁿ(k)|P(x) = 0}

et l’on dit que c’est une hypersurface (algébrique) dePⁿ(k). Remarquons d’abord que ceci est bien défini : en effet, si on remplace x ∈ kⁿ⁺¹ par λx, avec λ ∈ k^×, alors, comme P est homogène de degréd, on a P(λx) =λ^dP(x), donc la nullité ou non deP(x) ne dépend que de [x].⁽⁶⁾ Par exemple, si P est homogène de degré 1, i.e. si P = a₀X₀ +· · ·+a_nX_n, alors V(P) est simplement l’hyperplan projectif P(Ker(f)), où f est la forme linéaire f(x) = a₀x₀+· · ·+a_nx_n.

Comme dans le paragraphe précédent, quand on considère V (P) avec P homogène de degréd >1, on suppose implicitement que le corpsk est algébriquement clos, par exemple k = C, ou bien que k est considéré comme sous-corps d’un corps algébriquement clos k, par exemple k =R et k=C.

En effet, si k = R et si l’on note X, Y, Z au lieu de X₀, X₁, X₂ et qu’on considère le polynôme P =X²+Y²+Z² homogène de degré 2, alors

VR(P) = {[x, y, z]∈P²(R)|x²+y²+z² = 0}=∅.

Par contre, dans C[X, Y, Z], on aX²+Y²+Z² = (X+iY)(X−iY) +Z² donc si l’on fait le changement de variable X⁰ =X+iY et Y⁰ =−X+iY, alors

VC(P) = {[x⁰, y⁰, z]∈P²(C)|x⁰y⁰ =z²}

est une honnête courbe algébrique projective, appelée une conique projective (cf. ci- dessous).

Dans la suite de cette section, on suppose car(k)6= 2 etV désigne unk-ev de dimension n+ 1, d’où dim(P(V)) = n. Sauf mention du contraire, les formes quadratiques considérées seront supposéesnon nulles, i.e. dans la suite la phrase«SoitQune forme quadratique sur V » signifie : «Soit Qune forme quadratique sur V, non nulle».

(6)Par contre, on ne peut pas parler de la«valeur»deP au point [x].

(10)

D´efinitions 22.5. — Soit Q une forme quadratique sur V, non nulle.

(i) Un vecteur v ∈V est dit isotrope (pour Q) si l’on a Q(v) = 0.

(ii) L’ensemble C(Q) = {v ∈ V | Q(v) = 0} des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope. C’est un cône, au sens où il est stable par homothéties : si v ∈C(Q) et λ∈ k^× alors Q(λv) = λ²Q(v) = 0 donc λv∈C(Q).

(iii) L’image deC(Q)−{0}dansP(V) est l’hypersurface deP(V) définie par le polynôme homogène Q, i.e. c’est :

V(Q) = {[v]∈P(V)|Q(v) = 0}.

On dit queV(Q) est la quadrique projectived´efinie parQ, et lorsque dimP(V) = 2 on dit conique au lieu de quadrique.

Exemples 22.6. — (1) SiQest la forme quadratique surR² définie parQ(x1, x2) =x1x2, alors le cône isotrope est la réunion de la droite d’équation x₁ = 0 et de celle d’équation x₂ = 0, et la quadriqueV(Q)⊂P¹(R) est formée des deux points [0,1] et [1,0].

(2) SiQest la forme quadratique sur R³ définie parQ(x1, x2, x3) =x²₁+x²₂−x²₃, alors le cône isotrope est le cône d’équationx²₁+x²₂=x²₃ : la section par chaque plan«horizontal»d’équation x3 = c donne le cercle de centre (0,0, c) et de rayon r = |c|. Son image V(Q) dans P²(R) est formée du «cercle» {(x, y)∈R²|x²+y² = 1} dans le plan affineP =P²(R) privé de la droite D∞ d’équation z = 0 ; il lui manque les deux points d’intersection avec D∞, qui sont les deux points [1, i,0] et [1,−i,0] deP²(C).

Remarque. — Attention ! Il ne faut pas confondre le cône isotropeC(Q) ={x∈V |Q(x) = 0} avec le sev N(Q) = {x∈V | ∀y ∈V, φ(x, y) = 0}. On a toujoursN(Q)⊂C(Q) mais l’inclusion est en général stricte : dans les deux exemples précédents Qest non dégénérée doncN(Q) ={0}, tandis que C(Q) est un cône 6={0}.

Exemple 22.7 (important). — Décrivons tout d’abord les quadriques d’une droite projective D = P(E), où dim(E) = 2. Soit Q une forme quadratique sur E et soient B = (e0, e1) une base de E orthogonale pour Q et (x0, x1) les coordonnées correspondantes.

Quitte `a ´echanger e0 et e1 on peut supposer que λ = Q(e0) est 6= 0 ; alors en rempla-

¸cant Q par λ⁻¹Q (ce qui ne change pas la quadrique) on se ramène au cas où Q(e0) = 1, d’où Q(x0, x1) =x²₀−δx²₁, pour un certain δ∈k. Distinguons les cas suivants :

(i) δ = 0, d’où Q(x₀, x₁) = x²₀. Dans ce cas, V(Q) est formée d’un point «double», i.e. c’est le point p= [0,1] de D «compté deux fois».

(ii) δ 6= 0. Soit α une racine carrée de δ dans le corps algébriquement clos k, alors Q(x₀, x₁) = (x₀−αx₁)(x₀+αx₁). DoncV(Q) est formée des deux points distincts [α,1] et [−α,1]. Ces deux points sont dansP(E) ssiα ∈k; sinon, notantk⁰ l’extension quadratique k[α] =k[T]/(T²−δ) de k, ils sont dans P¹(k⁰).⁽⁷⁾

Revenons `a unk-evV de dimensionn+ 1≥3 et d´ecrivons l’intersection de la quadrique V(Q)⊂ P(V) et d’une droite projective D =P(E), pour E un sev de V de dimension 2.

Notons Q_E la restriction de Q à E et remarquons que D∩V(Q) est la variété des zéros V(Q_E)⊂D.

Lemme 22.8. — On a l’une des trois alternatives suivantes :

(7)Plus précisément, ils sont dans P(E_k⁰), oùE_k⁰ désigne le k⁰-espace vectoriel déduit de E par extension des scalaires dekà k⁰, cf. 23.14.

(11)

a) Q_E = 0 et D⊂V(Q).

b) Q_E est non dégénérée. Alors D ∩V(Q) est formée de deux points distincts p 6= q (éventuellement à coordonnées dans une extension quadratique de k).

c) Q_E est de rang 1. Alors D∩V(Q) est form´ee d’un seul point p.

Démonstration. — On aQ_E = 0 ssiV(Q_E) =D, et ceci équivaut àD⊂V(Q). Supposons donc Q_E 6= 0. Soit (e₀, e₁) une base orthogonale de E. Comme dans l’exemple précédent, on se ramène au cas oùQ(e₀) = 1 et l’on pose alors Q(e₁) = −δ. Sous ces conditions, on a

D∩V(Q) = {[xe₀+ye₁]|x²+δy² = 0}

o`u (x, y)6= (0,0).

SupposonsQ_E non dégénérée, i.e. δ6= 0. Notonsαune racine carrée deδ(éventuellement dans une extension quadratique k⁰ de k). Alors D ∩ V(Q) est formée des deux points distincts p= [αe₀+e₁] et q = [−αe₀+e₁].

Enfin, supposons Q_E de rang 1, i.e. δ= 0. Dans ce cas,D∩V (Q) est formée du «point double» p= [e₁] (défini par l’équationx² = 0).

Corollaire 22.9. — Soit C = V(Q) une quadrique de P(V). Si C contient trois points d’une droite D alors C contient D.

Démonstration. — Ceci découle de la proposition précédente.

Avant d’énoncer le théorème sur la conique passant par cinq points donnés (22.12) et celui de Pascal (22.14), qui nous intéresseront principalement dans le cas non dégénéré, on a besoin d’énoncer quelques résultats qui nous permettront de traiter le cas dégénéré.

Proposition 22.10. — Soit C =V(Q) une conique d’un plan projectif P(V). Supposons que C contienne une droite D.

(i) Alors C est dégénérée.

(ii) Plus précisément, si l’on choisit des coordonnées homogènes[x, y, z] telles que D ait pour équation Z = 0, alors Q=ZL(X, Y, Z) pour une certaine forme linéaire L.

(iii) Si L n’est pas multiple de Z, alors Q est de rang 2 et C est la r´eunion de D et de la droite D⁰ d’´equation L= 0. Sinon, Q=λZ² est de rang 1 et dans ce cas on dit que C est la «droite double» D.

Démonstration. — Soitφla forme polaire deQ. ÉcrivonsD =P(E), oùE est un sev de V de dimension 2. Par hypothèse, la restriction de Q à E est nulle, donc pour toutx, y ∈E on a :

φ(x, y) = 1

2 Q(x+y)−Q(x)−Q(y)

= 0.

Soient (e₁, e₂) une base de E, compl´etons-la en une base B = (e₁, e₂, e₃) de V et notons (x, y, z) les coordonn´ees dans cette base. Alors A= Mat_B(φ) est de la forme suivante :





0 0 a 0 0 b a b c





o`u a=φ(e₁, e₃), b =φ(e₂, e₃) et c=Q(e₃) ne sont pas tous nuls (car Q est suppos´ee non nulle). Alors on a

Q(X, Y, Z) = cZ²+ 2Z(aX +bY) =Z(2aX+ 2bY +cZ),

(12)

ce qui donne (ii) avec L(X, Y, Z) = (2aX+ 2bY +cZ). De plus, on voit que Aest de rang

≤2 (car ses colonnes 1 et 2 sont li´ees), d’o`u (i).

Enfin, on voit que A est de rang 1 ssi a = 0 = b, ce qui correspond au cas o`u L est multiple de Z. Le point (iii) en d´ecoule.

Remarques 22.11. — (1) Réciproquement, la réunion de deux droites D et D⁰ du plan projectif est une conique. En effet, soientLetL⁰ les formes linéaires (uniques à homothétie près) définissantDetD⁰et soitQ=LL⁰. Alors, pour tout [x, y, z]∈P(V), on aQ(x, y, z) = L(x, y, z)L⁰(x, y, z) et ceci est nul ssi l’un au moins de L(x, y, z) et L⁰(x, y, z) est nul : ceci montre que V(Q) est la réunion de D etD⁰.

(2) Il résulte de la proposition que si C est une conique dégénérée (i.e. la réunion de deux droites ou une droite «double») et sip₁, . . . , p₅ sont cinq points distincts deC, alors au moins trois de ces points sont alignés.

Théorème 22.12. — Soient P(V) un plan projectif et p₁, . . . , p₅ cinq points distincts de P(V), quatre d’entre eux n’étant jamais alignés. Alors il existe une unique conique C passant par ces cinq points.

Démonstration. — Distinguons deux cas. (1) Supposons que trois points soient alignés sur une droiteD, par exemple p₁, p₂, p₃. Si une coniqueC contient lesp_i alors, d’après 22.9 et 22.10, elle contientD donc elle est dégénérée et est la réunion de Det d’une seconde droite D⁰. Alors, comme p₄ et p₅ ne sont pas sur D ils doivent être sur D⁰ et donc D⁰ = (p₄p₅).

Ceci montre que, dans ce cas, D∪D⁰ est l’unique conique contenant les p_i.

(2) Supposons maintenant que trois des pi ne sont jamais alignés. Alors (p1, p3, p5, p2)⁽⁸⁾ forment un repère projectif et dans ce repère ils ont pour coordonnées homogènes respectives : [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1], et [1,1,1]. De même,p4 = [a, b, c] aveca, b, ctous non nuls et deux à deux distincts (car si on avait, par exemple,c= 0 (resp.a=b) alorsp1, p3, p4 (resp.p5, p2, p4) seraient alignés).

Soit Q(X, Y, Z) = αX² +βY² +γZ² +uY Z +vZX +wXY une forme quadratique arbitraire. Elle s’annule en p₁ (resp.p₃, resp.p₅) ssi α = 0 (resp.β = 0, resp.γ = 0), et l’annulation en p₂ et p₄ équivaut aux deux équations linéaires en u, v, w suivantes :

u+v+w= 0 et bc u+ca v+ab w= 0.

On en d´eduit w=−u−v puis b(c−a)u+a(b−c)v = 0, d’o`uv = b a

c−a

b−cu, puis w=−u−v = −u

a(b−c)

a(b−c)−b(a−c)

= c a

a−b b−cu.

Ceci détermine de fa¸con unique Q, à homothétie près, i.e. en prenant u = a(b −c) on obtient que

Q(X, Y, Z) = a(b−c)Y Z+b(c−a)ZX+c(a−b)XY

est l’équation de l’unique conique qui passe par le repère standard [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1], [1,1,1] et par le point [a, b, c]. (Celle-ci est non dégénérée d’après la remarque 22.11.)

(8)Ce choix de numérotation est lié à la démonstration du théorème de Pascal 22.14 qui va suivre.

(13)

Définition 22.13 (Côtés opposés d’un hexagone). — Soient A, B, C, D, E, F six points d’un plan projectif, dont trois ne sont jamais alignés.⁽⁹⁾ Pour chaque numérotation p₁, . . . , p₆ de ces points, appelons «paires de côtés opposés »(pour la numérotation donnée) les trois paires de droites

(p₁p₂),(p₄p₅)

, (p₂p₃),(p₅p₆)

, (p₃p₄),(p₆p₁)

et notons P₁ (resp.P₂, resp.P₃) le point de concours de la 1ère paire (resp. de la 2ème, resp. 3ème). Ces trois points sont distincts. (Si on avait par exempleP1=P2, ce point appartien- drait à (p1p2)∩(p2p3) et à (p4p5)∩(p5p6) donc devrait être égal àp2et àp5, impossible carp26=p5.)

Sik =R et si les points p1, . . . , p6 du plan affine E =R² forment dans cet ordre les sommets d’un hexagone convexe régulier (donc inscrit dans un cercle), alors la notion de«côtés opposés» a le sens habituel et les côtés opposés sont parallèles (et donc dans le plongement projectifPb(E), les pointsP, Q, Rappartiennent à la droite à l’infini). Mais dans la définition précédente, la numérotation despi est arbitraire, ce qui donne plus de configurations possibles.

Théorème 22.14. — Soient A, B, C, D, E, F six points d’un plan projectif, dont trois ne sont jamais alignés.

(i) (Théorème de Pascal)⁽¹⁰⁾ Si ces points appartiennent à une même conique C (nécessairement non dégénérée)alors, pour toute numérotationp₁, . . . , p₆, les points de concours des trois paires de côtés opposés sont alignés.

(ii) Réciproquement, si pour une numérotation p₁, . . . , p₆ les points de concours des trois paires de côtés opposés sont alignés, alors il existe une unique conique C passant par A, B, C, D, E, F.

Démonstration. — Choisissons une numérotationp₁, . . . , p₆. Reprenant les notations de la démonstration précédente, on peut supposer quep₁, p₃, p₅, p₂, p₄etp₆ ont pour coordonnées homogènes respectives :

[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1], [1,1,1], [a, b, c] et [u, v, w],

aveca, b, c(resp.u, v, w) non nuls et deux à deux distincts. D’après le théorème précédent, l’unique conique C passant par p₁, . . . , p₅ est donnée par

Q(X, Y, Z) =a(b−c)Y Z+b(c−a)ZX+c(a−b)XY, et doncp₆ appartient `a C ssi on a :

0 =Q(u, v, w) =a(b−c)vw+b(c−a)wu+c(a−b)uv.

Déterminons à quelle condition les points de concours des trois paires de côtés opposés sont alignés.

La droite (p₁p₂), resp. (p₄p₅), a pour équationy=z, resp.bx=ay, donc elles se coupent au point P₁ = [a, b, b]. De même, la droite (p₂p₃), resp. (p₅p₆), a pour équation x = z, resp.vx =uy, donc elles se coupent au point P₂ = [u, v, u].

Enfin, la droite (p₃p₄), resp. (p₆p₁), a pour ´equation cx=az, resp. wy =vz, donc elles se coupent au point P₃ = [aw, cv, cw].

(9)En particulier, ces six points sont deux `a deux distincts.

(10)Blaise Pascal, mathématicien et philosophe fran¸cais (1623-1662), qui fut l’élève de Desargues.

(14)

AlorsP₁, P₂, P₃ sont align´es ssi le d´eterminant

a u aw b v cv b u cw

est nul, or on voit qu’il vaut : vw a(c−b) +wu b(a−c) +uv c(b−a) =−Q(u, v, w).

Ceci montre (ii), et aussi (i) puisque la numérotationp₁, . . . , p₆ a été choisie arbitrairement.

p₁

A A

Ap₂

p₃

p₄

p₅

B B

Bp₆

@

P R Q

22.15. Classification des coniques projectives réelles. — Il résulte du théorème d’inertie de Sylvester 21.16 qu’il n’y a, à homographie près, que cinq types de coniques réellesC =V(Q)⊂P²(R). En effet, d’après le théorème de Sylvester, il existe une base B deR³telle que, dans les coordonnées correspondantes, on aitQ(X, Y, Z) =aX²+bY²+cZ², aveca, b, cdans {−1,0,1}et non tous nuls. CommeQ et±Qdéfinissent la même conique, on a les cinq alternatives suivantes :

(1) Q est de rang 1. Dans ce cas, on peut supposer que Q=X² et alors C est la droite double de P²(R) d’´equation x² = 0.

(2) Qest de rang 2. Dans cas cas, on peut supposer que Q=X²±Y² et l’on a les deux sous-cas :

2a) Q = X² − Y² = (X −Y)(X +Y). Alors C est la r´eunion des deux droites projectives d’´equationsx=y etx=−y.

2b) Q=X²+Y². Alors dansP²(C),CC est la réunion des deux droites projectives d’équations x = iy et x = −iy; elles se coupent au point p = [0,0,1] qui est le seul point réel de C.

(3) Q est de rang 3, i.e. non dégénérée. On peut alors supposer que Q=X² +Y²±Z² et l’on a les deux sous-cas :

3a) Q=X² +Y²+Z². Dans ce cas, C n’a pas de point r´eel.

3b) Q=X²+Y²−Z².

On voit donc qu’à homographie près, Q = X² +Y² − Z² est l’unique conique projective non dégénérée ayant des points réels. Remarquons que si on prend comme droite

`

a l’infini D∞ la droite d’équation z = 0 (resp.y = 0) alors dans le plan affine E = P²(R)−D∞, identifié aux triplets de points (x, y,1) (resp. (x,1, z)) de R³, on obtient l’el- lipse (resp. l’hyperbole) d’équation x²+y² = 1 (resp.x²−z² = 1).

De plus, si l’on fait le changement de coordonnées u=z+y etv =z−y (de sorte que z²−y² =uv) et qu’on prend comme droite à l’infiniD∞ la droite d’équation v = 0 alors dans le plan affine E = P²(R)−D∞, identifié aux triplets de points (x, u,1) de R³, on obtient la parabole d’équationu=x².