CONIQUES
Abréviation de "section conique" : les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet.
Equation polaire dans un repère d’origine un foyer et d’axe des abscisses l’axe focal :
€
r= p
1+e cos θ e est l’excentricité et p le paramètre de la conique Equation cartésienne dans un repère d’origine un sommet et d’axe des abscisses l’axe focal :
€
y2=2px+
(
e2−1)
x2La trajectoire d’une particule M soumise à une force centrale de centre O et newtonienne (de norme proportionnelle à
€
1
OM2 ) est une conique de foyer O.
Ellipse
Les ellipses sont les coniques d’excentricité e < 1
Elles résultent de la section d’un cône de révolution par un plan faisant avec l’axe du cône un angle supérieur à celui de l’angle entre une génératrice et l’axe.
Equation cartésienne réduite :
€
x2 a2+y2
b2 =1 avec a demi grand axe ≥ b demi petit axe > 0 c demi distance focale → O (c, 0) et O’ (-c, 0) foyers de l’ellipse
Paramétrisation cartésienne : x = a cos t ; y = b sin t
Equation bipolaire : OM + O’M = 2a → l’ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, les foyers O et O’, est constante → construction dite "du jardinier" : une ficelle de longueur constante est attachée aux foyers.
Equation polaire :
€
r= p
1+e cos θ
→
€
rmin = rP = OP = a - c = p 1+e et
€
rmax = rA= OA = a + c = p 1−e Si le centre attracteur O est la Terre, P est le périgée et A l’apogée.
Si le centre attracteur O est le Soleil, P est le périhélie et A l’aphélie.
€
2a=rA+rP = 2p 1−e2 donc
€
a= p 1−e2 OO' = 2c = 2a - 2OP =
€
2p 1−e2 - 2
€
p 1+e =
€
2pe 1−e2 →
€
c= pe
1−e2 → Excentricité
€
e= c a Pour M = H :
€
a2=b2+c2 dans le triangle rectangle OCH soit b2 = a2 - c2 = a2 ( 1 - e2)= p a → Paramètre
€
p= b2 a
Aire : S = πab
a
O’ C
M
O y
x A P
θ
c b
H
O M
O’
Ellipse r
Cercle
Le cercle est le lieu formé des points du plan équidistants d’un point fixe. Il peut être défini comme « conique d’excentricité nulle » : e = 0. Il résulte de la section d’un cône par un plan perpendiculaire à son axe.
Equation polaire :
€
r=p=R = constante pour un cercle de rayon R.
Equation cartésienne :
€
x2+y2=R2
€
x−xo
( )
2+(
y−yo)
2=R2 pour un cercle de rayon R et de centre (xo, yo) Paramétrisation cartésienne : x = R cos t et y = R sin tAire : S = πR2
Parabole
La parabole est la conique d’excentricité e = 1 →
€
r= p 1+cos θ
→ sommet S pour
€
rmin = rS=OS=p
2 quand θ = 0
Elle résulte de la section d’un cône de révolution par un plan parallèle à une génératrice.
Equation cartésienne réduite :
€
y2=2px
Hyperbole
Les hyperboles sont les coniques d’excentricité e > 1
Elles résultent de la section d’un cône de révolution par un plan faisant avec l’axe du cône un angle inférieur à celui de l’angle entre une génératrice et l’axe.
Equation cartésienne réduite :
€
x2 a2−y2
b2 =1 Equation bipolaire :
€
OM−O'M =2a → l’hyperbole est le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes, les foyers O et O’, est constante en valeur absolue.
Equation polaire :
€
r= p
1+e cos θ → sommet S pour
€
rmin = rS=OS= p
1+e pour θ = 0 En physique, une seule branche est réellement parcourue par le point matériel.
PCSI 2 y
θ x
M
S O
r
M
O y
θ x r
O’ C
M
O y
x S
θ r Cercle
Parabole
Hyperbole S’
