Pr´eparation CAPES 2007-2008 Page 1
Coniques
Soit E un espace affine euclidien orient´e, on note k−→v k la norme du vecteur −→v . Soient D une droite de E et F un point n’appartenant pas `a D. On note K le projet´e orthogonal de F sur D, ∆ la droite (F K). On note −→
i et −→
j des vecteurs unitaires directeurs de ∆ et D de sorte que (−→
i ,−→
j ) soit un rep`ere orthonorm´e direct de E.
Soient δ = k−−→
KF k et e un nombre r´eel positif. On d´esigne par C : C = {M ∈ E | k−−→
F M k = e dist (M, D)}
Premi`eres propri´et´es
1-(question facile et inutile) Que se passe-t-il si e = 0 ?
2-(question plus s´erieuse) ´Etudier, suivant les valeurs de e, les points d’intersection de C avec ∆ (nombre - position).
3-(parabole) On suppose que e = 1. On note O le point d’intersection de C avec ∆ (qui est unique d’apr`es la question pr´ec´edente). Donner une ´equation de C dans le rep`ere (O,−→
i ,−→
j ) en fonction de δ.
4-(ellipse) On suppose que e < 1. On note G1 et G2 les points d’intersection de C avec ∆. Soit O le milieu de [G1, G2] et on consid`ere le rep`ere orthonorm´e direct (O,−→
i ,−→
j ). On suppose que l’on a G1 = (a, 0) et F = (−c, 0) avec a et c positifs.
Exprimer a et c en fonction de e et de δ, exprimer e et δ en fonction de a et c.
Comment d´efinir b ? Donner une ´equation de C dans le rep`ere.
5-(hyperbole) Faire le cas e > 1 en s’inspirant du cas pr´ec´edent...
6-(sym´etries) Discuter des sym´etries ´evidentes de C. Dans quel(s) cas pouvons-nous dire qu’une conique poss`ede deux foyers ? Deux directrices ?
Parabole(tangente)
Soit C la parabole d’´equation y = ax2, a > 0 dans un rep`ere orthonorm´e direct.
1- Quelle est l’´equation de la directrice D ? Quelles sont les coordon´ees du foyer F ? 2- Quelle est l’´equation de la tangente (T ) de C en M0(x0, y0) ∈ C ?
3- Quelle est l’´equation de la normale de C en M0(x0, y0) ∈ C ?
4- On suppose que (x0, y0) 6= (0, 0)). Soient HM0 le projet´e orthogonal de M sur D, L et T les points d’intersection de la tangente (T ) avec les droites O + R−→
i et D respectivement. Montrer que :
(a) L est le milieu de [F, HM0].
(b) (T ) est orthogonale `a (F HM0).
(c) Les points F , T , HM0 et M0 sont cocycliques.
(d) Que la normale en M0 est bissectrice de (−−−−−\→ HM0M0,−−−→
M0F ).
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Ellipse(d´efinition bifocale et tangente)
Soit E une ellipse d’´equation x2/a2 + y2/b2 = 1 avec a > b > 0 dans un rep`ere orthonorm´e direct.
1- Quelles sont les coordonn´ees des foyers F et F0? 2- Donner une d´efinition bifocale de E .
3- On consid`ere G l’application de E dans R d´efinie par : G(M ) = k−−→
F M k + k−−→
F0M k − 2a
En utilisant l’exercice sur les diff´erentielles, montrer que l’´equation de la tangente (T ) `a E en M0 est la droite orthogonale `a
−−−→F M0
k−−−→
F M0k +
−−−→F0M0
k−−−→
F0M0k passant par M0.
4- Soient M1 le sym´etrique orthogonal de F par rapport `a (T ) et M2 le point d’in- tersection de (F M1) et (T ). Montrer que les points F0, M0 et M1 sont align´es.
5- Montrer que M1 appartient au cercle C0 de centre F0 et de rayon 2a.
6- Soit h l’homoth´etie de centre F et de rapport 1/2. Quel est l’image par h du cercle C0 et du point M1.
7- Comment s’appelle le cercle C0? Le cercle h(C0) ?
8- Refaire les mˆemes questions avec M10, M20 et le cercle C de centre F0et de rayon 2a.
9- En consid´erant la sym´etrie centrale de centre O, montrer que les droites (M1F ) et (M20O) sont concourantes sur le cercle principal de E .
Hyperbole(d´efinition bifocale et tangente) Reprendre l’´etude de l’ellipse...
Diff´erentielles
On consid`ere une application G : R2 → R de classe C1 telle que G0(−→v0) 6= 0.
1- Que signifie G0(−→v0) 6= 0 ?
2- Soit C la courbe de R2 d´efinie par C = {−→v ∈ R2 | G(−→v ) = 0}. En utilisant le th´eor`eme des fonctions implicites montrer que la direction de la tangente `a C en un point −→v0(x0, y0) ∈ C est le noyau de G0(−→v0).
3- En utilisant le th´eor`eme des d´eriv´ees des fonctions compos´ees, calculer la d´eriv´ee de −→v 7→ k−→v k.
