Epreuve pratique de mathématiques sujet 031

Epreuve pratique de mathématiques sujet 031

Tangentes à une parabole

Inspiré du sujet 031

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère (O;−→i ,−→j), on considère la parabole P d’équation y = x² et la droite D_m d’équationy= 2x+m avecmun réel.

1. Montrer que pourm∈]−1; +∞[, la droiteD_met la paraboleP ont deux points d’intersection disctincts A etB.

2. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, : (a) Tracer la paraboleP : y=x².

(b) Tracer la droiteD_mpourm∈]−1; +∞[.

(c) PlacerAet B les points d’intersection deD_metP. (d) Soit∆A la tangente enAàP et∆B la tangente enAà P

Tracer∆Aet ∆B.

(e) PlacerC le point d’intersection des droites∆Aet ∆B. (f) Conjecturer le lieu décrit parC lorsquemdécrit]−1; +∞[.

3. Démontrer la conjecture émise.

Correction

1. La droiteD_met la parabolePont deux points d’intersection disctinctsAetBsi et seulement si l’équation x²−2x−m= 0 admet deux solutions⇔∆ = 4 + 4m >0⇔m >−1

2. À l’aide du logiciel libre Geogebra (http://www.geogebra.at), on réalise simplement la figure demandée http://akbida.free.fr/ressources/epreuve_pratique/sujet031.html.

(a) Dans la barre commande on saisity=x², puis on renomme la paraboleP.

(b) On crée unCurseur m∈]−1; +∞[, avec comme valeur minimale−1et maximale10puis on renomme le curseur m.

Dans la barre de commande on saisit y= 2x+m.

(c) Dans le menu point on chositIntersection entre deux objets, puis on placeAetB les points d’inter- section deD_metP.

(d) Pour tracer les tangentes∆A et∆B on saisit dans la barre de commande : Tangente[A,P]

Tangente[B,P]

(e) On placeC le point d’intersection des droites∆A et∆B.

(f) Pour conjecturer le lieu décrit parClorsquemdécrit]−1; +∞[, on active laTrace du pointC, puis on fait varier à l’aide du curseur la valeur dem.

Le lieu décrit parC semble être la demi-droite

x= 1

y <1 . 3. On détermine tout d’abord les coordonnées des pointsAet B.

Lorsque que m ∈]−1; +∞[ l’équation x²−2x−m = 0 admet deux solutions xA = 1 +√

1 +m et xB= 1−√

1 +m,

on obtient les odronnéesyA= 2xA+m= 2 +m+ 2√

1 +met yB= 2xB+m= 2 +m−2√ 1 +m.

On peut alors déterminer les équations des tangentes àP. La fonction carréex :7−→x² est dérivable sur Ret sa fonction dérivée estx :7−→2x.

typeset by L^ATEX

Epreuve pratique de mathématiques sujet 031

On a donc

∆A : y= 2xA(x−xA) +yA

y= 2xA×x−2xA2+yA

y= 2xA×x−2xA2+xA2

y= 2xA×x−xA2

y= 2(1 +√

1 +m)x−2−2√

1 +m−m de même pour ∆B : y= 2(1−√

1 +m)x−2 + 2√

1 +m−m.

Il reste à déterminer les coordonnées de Cpoint d’intersection des droites ∆Aet ∆B. Pour cela on résout le système suivant

y= 2(1 +√

1 +m)x−2−2√

1 +m−m y= 2(1−√

1 +m)x−2 + 2√

1 +m−m

⇔

y= 2(1 +√

1 +m)x−2−2√

1 +m−m 0 = 4(√

1 +m)x−4√ 1 +m

⇔

y= 2(1 +√

1 +m)x−2−2√

1 +m−m x= 1

⇔

y=−m

x= 1

le pointC a pour coordonnées C(1;−m), or lorsquemdécrit ]−1; +∞[−mdécrit]− ∞; 1[,donc le lieu décrit parC est la demi-droite

x= 1

y <1 .

typeset by L^ATEX