Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Epreuve de Mathématiques C
Durée 4 h
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Epreuve de Mathématiques A
Durée 4 h
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
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Les parties I et II peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment l’une de l’autre.
Pr´eambule
1. Soithla fonction qui, `a tout r´eel strictement positifx, associe : arctanx+ arctan1 x. Montrer que la fonction h est constante sur ]0,+∞[ (on pr´ecisera la valeur prise parh sur ]0,+∞[).
2. (a) Pour tout r´eel tde 0,π
2
, exprimer costen fonction de cos t 2. (b) Pour tout r´eeltde
0,π 2
, comparer 1 1 + tan2 t
2
et cos2 t 2. (c) Pour tout r´eeltde
0,π 2
, on pose :
u= tant 2 On demande d’exprimer costen fonction de u.
Partie I
Pour tout entier natureln, on pose : In=
+∞
0
e−x sinnx dx
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l’int´egraleIn est convergente.
(b) Que vautI0?
(c) Donner une primitive de la fonction qui, `a tout r´eel positifx, associe :e−x cosx (on pourra utiliser la fonction `a valeurs complexes x→e−xei x).
(d) Pour tout entier natureln ≥2, montrer, `a l’aide d’une double int´egration par parties, la relation :
In= n(n−1) n2+ 1 In−2
(e) En d´eduire, pour tout entier natureln, l’expression de I2n en fonction de net du produit
n k=0
4k2+ 1 .
2. (a) Pour tout entier naturel non nul n, on pose : un = ln2n(2n−1)
4n2+ 1 . Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral un.
(b) Pour tout entier naturel non nuln, comparer : lnI2net
n
k=1
uk.
2
(c) Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralI2n?
Partie II
Pour tout r´eelx de ]−1,1[, on pose : F(x) =
π
2
0
dt 1−x cost. 1. Que vaut F(0) ?
2. Soita ∈]0,1[. Etudier la d´erivabilit´e deF sur [−a, a], et exprimer, pour tout r´eelx de [−a, a],F(x) en fonction de x.
3. Etudier la d´erivabilit´e de F sur ]−1,1[.
4. A l’aide du changement de variable u = tant
2, montrer que, pour tout r´eel x de ]−1,1[ :
F(x) = 2
√1−x2 arctan
√1 +x
√1−x (On pensera `a utiliser le Pr´eambule.)
5. En d´eduire, pour tout r´eel x de ]−1,1[, une relation entreF(x) et F(−x).
Pour ce qui suit, on utilisera le fait que, pour tout r´eel x de ]−1,1[: (1−x2)F(x) =x F(x) + 1
6. (a) Donner la solution g´en´erale sur ]−1,1[ de l’´equation diff´erentielle homog`ene : (E0) (1−x2)y(x)−x y(x) = 0
(b) A l’aide de la m´ethode de variation de la constante, donner la solution g´en´erale sur ]−1,1[ de l’´equation diff´erentielle :
(E) (1−x2)y(x)−x y(x) = 1 (c) Donner les solutions respectives des probl`emes de Cauchy :
(P0)
(1−x2)y(x)−x y(x) = 1 y(0) = 0 et :
(P1)
(1−x2)y(x)−x y(x) = 1 y(0) = π 2
(d) Pour tout r´eel x de ]−1,1[, d´eduire de la r´esolution de (P1) une expression simplifi´ee deF(x) avec la fonction arcsinus.
7. Pour tout r´eelxde ]−1,1[, d´eduire de la question 2. la valeur de π2
0
cost−x (1−xcost)2 dt.
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(e) Montrer que la suite de terme g´en´eral (n+1)anan+1est constante (on pr´ecisera la valeur de cette constante).
(f) Justifier que, lorsque l’entierntend vers l’infini : an∼
π
2n
(g) D´eterminer la valeur du rayon de convergence de
anxn. On pr´ecisera le th´eor`eme utilis´e.
(h) Montrer que, lorsque l’entier ptend vers l’infini : 1
p
42p(p!)4 ((2p) !)2 ∼π
11. On suppose d´esormais queλest quelconque. A l’aide des questions 9 et 10, d´eterminer le rayon de convergence de
anxn.
Dans la premi`ere partie, on ´etudie des variantes, sous forme d’int´egrales g´en´eralis´ees, des classiques int´egrales de Wallis. On les retrouve en seconde partie, `a travers l’´etude cette fois d’une int´egrale `a param`etres v´erifiant une ´equation diff´erentielle, et pouvant aussi s’exprimer comme la somme d’une s´erie enti`ere. Ces int´egrales, telles qu’expos´ees par le math´ematicien anglais John Wallis (1616-1703), dans son livre Arithmetica in- finitorum, concernaient initialement le calcul de
1
0
(1−x2)ndx, n ∈ N, en lien avec l’aire du disque unit´e, ce qui conduit `a une m´ethode permettant d’approximer le nombre transcendant π.
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IMPRIMERIE NATIONALE – 19 1094 – D’après documents fournis
