Exercices série n°12 sur les fonctions logarithmes 2éme Bac Sc.Eco

(1)

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Exercices série n°12 sur les fonctions logarithmes 2éme Bac Sc.Eco

Exercice 1

Soit g la fonction définie sur l'intervalle



^0;^



^par:^{g x}

 

^{ }¹ ^x²^^ln^x^.

1) a) Etudier le sens de variation de g et calculer^g

 

¹ .(On ne demande pas de calculer les limites de g ).

b) En déduire le signe de ^{g x}

 

2) Soit f la fonction numérique définie sur



^0;^



^{par :} ^{f x}

 

^ln^x ² ^x

 x   a) Calculer

 

0

lim

x

 f x

 et ^lim

 

x f x



b) Montrer que pour tout ^x^



^0;^



^;

   

x2

f x g x

  .

c) Déduire que ^f^

 

^x a le signe deg x ; puis dresser le tableau de variations de f .

 

d) Montrer que l'équation ^{f x}

 

^⁰ admet deux solutions  et  telles que : 0   1 . 3) On note

 

^C la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



^.

a) Montrer que la droite

 

^Đ d'équation y = x 2 est asymptote à la courbe

 

^C

b) Etudier la position de

 

^C ^{et de}

 

^Đ ^.

c) Déterminer les coordonnées du point de la courbe où la tangente est parallèle à

 

^Đ , on appellera cette tangente

 

^{T .}

d) Tracer

 

^{T ;}

 

^Đ ^et

 

^C dans le repère



^{O i j}^{; ;}



^.

Exercice 2

1) La fonction g est définie sur l'intervalle



^0;^



^{par :}^{g x}

 

^²^{x x}^^3ln^x^⁶^.

En utilisant le sens de variation de g, déterminer, suivant les valeurs de x, le signe de ^{g x}

 

^.

2) La fonction f est définie sur



^0;^



^par ^{f x}

 

^3ln^x ^x ¹

 x   a) Calculer

 

0

lim

x

 f x

 et ^lim

 

x f x



b) Montrer que pour tout ^x^



^0;^



^;

   

2

x g x

x x

f  .

Puis dresser le tableau de variation de f

c) Soit

 

^ la droite d'équation y x 1 et

 

^C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



^.

Montrer que

 

^ est asymptote à

 

^C et étudier la position relative de

 

^C ^et

 

^ ^.

d) Construisez

 

^C ^et

 

^

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice 3

Partie I

On considère la fonction g définie sur



^0;^



^{par :}^g

 

^x ^^x²^²^ln^x

1) Etudier le sens de variation de g.

2) En déduire le signe de ^{g x}

 

^sur



^0;^



Partie ll

On considère la fonction f définie sur



^0;^



^{par :}

 

^{1 l}

2

nx f x x

x

  

On appelle la courbe de f dans un ζ repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



unité graphique 2 cm 1) Calculer

 

0

lim

x

 f x

 . Interpréter graphiquement le résultat 2) a) Calculer ^lim

 

x f x



b) Montrer que la droite

 

^ d'équation y x 1est asymptote à la courbeζ. c) Déterminer la position relative de ζet

 

^ ^sur



^0;^



^.

Montrer en particulier que

 

^ ^coupeζ en un point A que l'on déterminera.

3) Dresser le tableau de variation de f

4) Montrer qu'il existe un unique point B de la courbe ζ où la tangente T à ζ est parallèle å a

5) Montrer que l'équation ^{f x}

 

^⁰ admet une solution uniquedans l’intervalle



^0;^



. Justifier que 0,34  0,35

6) Tracer la courbe ζ ; les droites

 

^ ^{et T .}

Exercice 4

On considère la fonction g définie sur



^{ }^1;



^par:^{g x}

 

^{  }^x² ^{ax b}^{+ ln}



^x^¹



1) Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de g admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses aux points d'abscisses 0 et ³

2 .

2) Soit f la fonction définie sur



^{ }^1;



^{par :} ^{f x}

 

^^{ }^x² ⁵^x^^5ln



^x^¹



^et

 

C sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



; unité graphique 2 cm

a) Calculer

 

1

lim

x

 f x

 .

b) Calculer

 

2

ln 1

xlim x

 x

 ; En déduire^lim

 

x f x

 . 3) Montrer que pour tout ^x^{  }



^1;



^;

 

² ² ³

x x 1

f  x  x

  ; puis déterminer le sens de variation de la fonction f

4) Montrer que l'équation ^{f x}

 

^⁰admet une unique solution  dans l'intervalle

 

^2;3 . Donner une valeur approchée de  à 0,1 près.

5) Tracer la courbe de

 

^C