Questions proposées par M. S. Réalis

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M OREAU

Questions proposées par M. S. Réalis

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 16

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QUESTIONS PROPOSÉES PAR M. S . RÉAUS

(voir ?.' série, t. XV, p. 4:2);

SOLUTIONS DE M. MOREAU, Capitaine d'Artillerie.

Considérons le développement f[m,x)

, m'm — T ] .— 1 — mo[x) -\

m (m — 1 ' . . . : m — k -+- 1 ) , ,

—- '- — - - ' w .vl 9 x -f- 1 ). , . o x -\- k — 1 I . 1 . . . h ' '

On a aussi

f [m — i,x)

.[m—i)[/n — i)...[m — k) , , .

±^l - , . 2 . . . / . - ? M ^ et l'on en tire, par soustraction, f{m,x) —f [m — i, .r)

ou bien

Comme, d'ailleurs, on a évidemment

/ ( o , J:) = I,

la relation précédente permettra, dans certains cas, d'obtenir, sous une forme simple, la valeur de ƒ (w, x) lorsque m est un nombre entier positif.

Soit, par exemple,

T l y ax-+-q on a

avec la condition initiale ƒ (o, .r) — 1.

De la, on déduit successivement

a r -f- q ax ~\~

JL

ax -f- q a[x -\- i^ -f- q __ f ? — P)'\ci— P

(<7.r -f- 7)

K ' (ara? -f- 7 ) [a.T -\- q -f-

-\- p [q — p) ( q — p 4- a)

ax ~\- q {ax -h q -\- a) [ar -f- q -\- ia"\

[ax -\- q) (ax -+- 7 -f- a) [aar -+- q -«- 9*)

La loi de formation des valeurs d e / ( m , o:) est évi- dente*, il est facile de voir, en outre, que, si elle est vraie pour m^ elle est vraie aussi pour m -f- 1 5 on peut donc écrire

f m > r \ — i l — P ) l t I — P + « ) — [ < ! — P + i m — » ) * ]

y Z 1 [ax-h q) Kax 4 - q -\-a) ...[ax -+- q -f- [m— i)a\

Pour simplifier, faisons maintenant x = o, ce qui ne diminue en rien la généralité de la formule obtenue, et nous pourrons dire que l'expression

( n — p) ( <7 — D -{- a) . . . \q — p -4- ( m — ï ^ ] q(q-ï-a) ..[q -h [m — lja\

nans laquelle m est un entier positif et p , <ƒ, a sont des nombres quelconques, se développe dans la suite ter- minée

P p(p~\-a)m(rn — is

i — - m -h — ( —^

q qKq-Va) 1.2

p[p + a) [p -+- ia) m [m — \) ( m — 2) q(q -ha) [q -f- 2fl) 1.2. 3

Les trois questions proposées sont des conséquences

de cette propriété. Il faut prendre respectivement

Première question a z=. i p =z i q z=z n - h i Deuxième question.... a = i p = n q — n H- i Troisième question.... a ~ i p = n q = n -f- 2 TVoftf. — Autres solutions de MM. ftourguet, de Virieu, Moret- Blanc.