Master 2 Math´ematiques appliqu´ees- Module “Calcul d’Itˆo”
Partiel du 6 avril 2016
Notes de cours autoris´ees. La pr´esentation et la propret´e de la copie entreront en compte dans l’´evaluation.
Dans tous les exercices, {Bt, t ≥ 0} d´esignera un mouvement brownien r´eel issu de z´ero.
Exercice 1. Soit ϕ : [0, T] → R une fonction d´eterministe int´egrable et de carr´e int´egrable. On pose
Xt = Z t
0
ϕ(s)dBs, t∈[0, T].
(a) Calculer E[Xt] et Var [Xt] pour tout t∈[0, T].
(b) Montrer que
Mt = exp
Xt − 1 2
Z t
0
ϕ(s)2ds
est une vraie martingale.
(c) En d´eduire l’in´egalit´e suivante : pour tout λ >0,
P
sup
0≤t≤T
Xs≥λ
≤ exp− λ2
2Φ(T)
o`u Φ(t) = Z t
0
ϕ2(s)ds.
Exercice 2. On consid`ere le processus d´efini par
Zt = 1
√1−t exp−
Bt2 2(1−t)
, t ∈[0,1).
(a) Montrer que Z est une martingale locale strictement positive et que Zt → 0 quand t→1.
(b) Montrer que Z est une vraie martingale. Cette martingale est-elle ferm´ee ? (c) Calculer E[Zt] de deux mani`eres : par un calcul gaussien, et sans calcul.
(d) Ecrire Zt sous la forme
Zt = exp Z t
0
ΦsdBs −1 2
Z t
0
Φ2sds
o`u Φ est un processus simple que l’on d´eterminera.
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Exercice 3. (a) Calculer
E Z t
0
eαBsds
et E
eβBt Z t
0
eγBsds
pour tousα, β, γ ∈R. (b) On pose maintenant
A(t, ν) = Z t
0
eBs+νsds.
Calculer E[A(t, ν)] de deux mani`eres : par un calcul gaussien, et en se ramenant au casν = 0.
Exercice 4. Soit{Wt, t≥0}un mouvement brownien r´eel issu de z´ero et ind´ependant de{Bt, t≥0}.
(a) Ecrire les d´ecompositions comme somme d’une martingale locale et d’un proces- sus `a variations finies des deux processus
Xt = eBt Z t
0
e−BsdWs et Yt = sinhBt.
(b) V´erifier que
Mt = Wt + Z t
0
XsdBs est une martingale. Identifier le processus{γt, t≥0} tel que
Mt = Z t
0
γsdB˜s, t ≥0,
o`u {B˜t, t≥0} est un autre mouvement brownien standard.
(c) En comparant les deux d´ecompositions du (a), en d´eduire que les processus X etY ont la mˆeme loi.
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