Travaux dirigés Transferts de chaleur et de matière

1

Filière Master de chimie des matériaux-Semestre 2

Travaux dirigés

Transferts de chaleur et de matière

Prof. M. BOUALLOU

DEPARTEMENT DE CHIMIE

2

3

Exercice 1 :

1) Dans le phénomène de conduction massique à travers un matériau:

a- Définir précisément le régime permanent.

b- En utilisant une des deux lois énoncées ci-dessous, démontrer que, pour un problème plan (mur isotrope et homogène, d'épaisseur L, une face à la concentration c1 et l'autre à la concentration c2), la courbe de la concentration c en fonction de l'abscisse x évaluée sur un axe perpendiculaire aux faces du mur, soit c = f(x), est une droite.

Données : Loi de Fick :

dx Ddc

J =− Loi de Laplace : 0

2

2 =

dx c

d

Solution :

I. Phénomènes de conduction thermiques :

a) Lorsque les concentrations des différents points du système sont constantes, c'est-à-dire indépendantes du temps, on dit que le régime est permanent ou stationnaire. C’est un régime qui se traduit par un flux constant puisque la concentration de part et d’autre de la paroi est constante.

b) isotrope ? homogène ?

? c

1

c

2

J

x i

c1 > c2

4

→ Fick :

−

= i

dx Ddc J

La projection sur l’axe des x donne : dx D dc

J = − 

Le régime est stationnaire  En un plan situé à une distance x de l’origine et de concentration c on a :





c^c

^{= −}

^x

dx D dc J

0

1

 −

₁

= − ( x − 0 ) D

c J

c

 x D c J

c =

₁

− (1) C’est bien l’équation d’une droite de pente

D

− J

et d’ordonné à l‘origine c

1

.

→ Laplace :

2

0

2

=

dx c

d  cste

1

dx dc =

dx cste dc= _





 +

= cste dx cste c

Conditions aux limites (détermination de cste

1

et cste

2

) : - Pour x = 0 c = cste

2

= c

1

 cste

2

= c

1

- Pour x = L c = cste

1

.L + c

1

= c

2

 cste

1

= L

c c

₂

−

₁

D’où :

1 1

2

x c

L c

c = c − +

Ddx dc

= −

J

5

 x L

c c c

c =

₁

+

²

−

¹ (2)

C’est bien l’équation d’une droite.

Lien :

L c D c

L c D c

x D c dx

D dc

J = −

²

−

¹

=

¹

−

²



− 

=

−

=



L c c D

J

₁

−

₂

= L’équation (2) devient alors

x

D c J

c= ₁−

analogue à l’équation (1).

Exercice 2:

Une tôle en aluminium possède une épaisseur de 1 mm. On maintient l’une des faces à 40°C et l’autre à 20°C.

Quelle est la quantité d’énergie traversant la tôle par mètre carré et par heure?

Solution :

T

1

= 40°C T

2

= 20°C

Sens de transfert

T

1

> T

2

e = 1 mm

6

- Le corps est immobile  transfert par conduction.

- T

1

et T

2

sont maintenus constantes  établissement du régime stationnaire après un certains temps.

 Application de la première loi de Fourier :

x A T t

Q



 

−

 =

  aluminium? (voir table en annexe du cours)

e t T A T

Q − 



−

=



^{2 1}

3600 10 .

40 230 20

.

1 −

₋₃

−

=

Q

T (°K) = T (°C) + 273

J Q

= 1 , 656 . 10

¹⁰



Exercice 3 :

On dialyse une solution renfermant 60 mg de NaCl par cm³ dans l’eau pure à 25°C.

On admet que les faces sont en équilibre avec les solutions et la diffusivité du NaCl dans la membrane est 0.4 fois la diffusivité du NaCl dans l’eau.

L’épaisseur de la membrane est 0,3 mm

Quelle est l’allure de dialyse exprimée en kg de NaCl par m² et par 24 heures On donne: MNaCl=58.5 g/mol

Solution :

7

La membrane est un corps immobile et isotrope ; c’est pourquoi les faces sont en équilibre avec les solutions.

1

^ère

loi de Fick :

D x t

A

m

_NaCl

membrane

NaCl





− 

 =



→

.

membrane

DNaCl_→ ?

La table II donne D = f(molarité)

Or, la molarité

mole/l 02 , 5 1 , 58

60 60

molaire masse

massique ion

concentrat = = 

=

M

NaCl

M

1 l = 1 dm

³

= 10

³

cm

³

 1cm

³

= 10

^-3

l.

0,3 mm

eau pure /

3

60 mg cm

NaCl

=



Sens de transfert x

(

NaCl

)

1

(

NaCl

)

2

8

Car

^l

mol g

l g mol

g 1,02mol/

/ 5 , 58

10 .10 60 /

5 , 58

mg/cm

60 ³

3

3 = ⁻ =

−

s

m D

_NaCl→eau

= 1 , 484 . 10

^{−9 2}

/

eau NaCl membrane

NaCl

D

D

_→

= 0 , 4

_→ = 0,4.1,484.10^-9 = 0,59.10^-9 m²/s

kg m

m

NaCl NaCl

=



− −

=



⁻ ₋

2 , 10

3600 . 24 10 . . 3 , 0

60 1 0

. 10 . 59 ,

0

⁹ ₃

Exercice 4 :

1)- On considère une maison assimilée à un parallélépipède rectangle de dimensions moyennes L, l. h. Les murs, en pierre mélangée à de la terre, ont une épaisseur moyenne e1 et une conductivité thermique 1.

On suppose négligeables les pertes de chaleur par le sol, le plafond, et les ouvertures.

La valeur moyenne, sur la durée des quatre mois d'hiver, de la différence entre la température de la face intérieure et celle de la face extérieure du mur est notée T.

On donne : e1 = 0,5 m 1 = 1,2 Wm^-1K^-1 L =15 m l = l0 m h = 6 m

T= 12 °C

a-Exprimer littéralement puis calculer la résistance thermique par m², Rth, de ces murs.

b-Exprimer littéralement puis calculer le flux thermique transmis à travers l'ensemble des murs.

c-Le prix moyen du kWh est 0,5 F. Calculer le coût du fonctionnement d'un chauffage électrique permettant de compenser les pertes thermiques qui se produisent pendant les l20 jours de froid.

2)- Dans le cadre d'une réfection de la maison, on envisage de recouvrir les façades extérieures d'un enduit et de doubler intérieurement les murs par du placoplâtre séparé du mur par du polystyrène.

On donne dans le tableau ci-dessous les épaisseurs e et les conductivités thermiques  des divers matériaux.

9

Intérieur

L

l

h

e

1

= 0,5 m



1

= 1,2 Wm

^-1

K

^-1

L = 15 m

l = 10 m h = 6 m

T = 12°C

Matériau Pierre + terre Enduit extérieur

Polystyrène Plâtre

e en cm e1=50 e2=1 e3=5 e4=0,35

 en Wm^-1K^-1  1=1,2  2=1,1  3=0,041 4=0,35

a-Exprimer littéralement puis calculer la résistance thermique par m², notée Rth du mur isolé.

b-Calculer le nouveau flux thermique transmis à travers l’ensemble des murs isolés.

Conclure

c-Calculer l’économie ainsi réalisée pendant les 120 jours de froid.

Solution :

Représentation schématique de la maison :

Une coupe transversale du mur de la maison donne :

10

a)- Résistance thermique pour 1 m

²

de ces murs : K/W 417 , 1 0 . 2 , 1

5 , 0

1

1

= =

=  A R

_th

e

b)-

2 . )

1(

1 1

1

h l L

e T A

e T dt

dQ

+

= 

= 





dt kW

F dQ

=

+

=

= 8 , 64

2 . 6 ) 10 15 ( 2 , 1

5 , 0 12

c)- La puissance du chauffage est égale à la puissance perdue thermiquement, c’est-à-dire le flux thermique ; et donc l’énergie consommée sera alors:

E = Pt = Ft = 8,64.120.24 = 2,49.10

⁴

kWh Prix :

Pièrre + terre 

1

Intérieur Extérieur

T

int

T

ext

e

1

0,5 Fr x Fr ?

1 kWh

2,49.10⁴ kWh

11

 x = 12442 Fr. c’est très chère 2)

a) Les résistances des trois murs sont en séries, donc :

W A K

e A e A R e

R R

R

_th

1 , 7 /

35 , 0

0035 , 0 041 , 0

05 , 0 1 , 1

001 , 0 2 , 1

5 , 0

3 3 2

2 1

1 3 2

1

+ + = + + = + + + =

=   

W K R_th

= 1 , 7 / b) Pour 1 m

²

le flux est :

W 06 , 7 7 , 1

12 ) 1

(

²

= =

 m R

T

th

Le nouveau flux de chaleur F’ à travers l’ensemble des murs isolés de la maison . L’ensemble des murs isolés de la maison possède une surface de 300 m

²

donc :

300.7,06 = 2118 W = 2,118 kW pour une surface de 300 m

²

Placoplâtre Polystyrène Pierres enduit +

Pl. Poly. terre e



1

e

1

2 3

4

Intérieur Extérieur

e

3

e

2

e

4

12

Conclusion :

Le flux a passé de 8, 64 kW à 2,118 kW. Donc à une valeur de 08

, 118 4 , 2

64 ,

8 = fois plus petite après isolation de la maison.

 Le flux est réduit de 4,08 fois après isolation.

c) Donc le coût sera 4,08 fois plus petit, c’est-à-dire : Fr

08 3049

, 4

12442 =

On a donc économisé 9393 Fr.

Autre méthode :

La résistance pour 1 m

²

a passée de 0,417 K/W à 1,7 K/W, donc à une valeur 4,08 fois plus grande, donc le coût est 4,08 fois plus petit, c'est-à- dire 3049 Fr.

⇒ On a donc économisé 9393 Fr.

Exercice 5:

Un tube en polyéthylène possède un diamètre intérieur de 0,02 m et un diamètre extérieur de 0,1 m.

La température est maintenue à 3°C à l’intérieur et à 60°C à l’extérieur.

La conductibilité thermique du polyéthylène est de 0,32 W.m^-1.K^-1. On demande :

1) L’allure de transfert de chaleur par mètre de longueur.

2) La température à une distance de 2 cm de la surface intérieure.

3) Le profil de température le long de la paroi du tube.

13

Solution :

Ti > Te

Les températures Ti et Te sont maintenues constantes : on a donc un régime stationnaire.

On a un transfert radial. On peut appliquer la première loi de Fourrier.

dR dT Adt

dQ =−

dR dT Rldt

dQ =− 

2

dR RdT ldt

dQ =− 

2

dT ldt R dQ dR



 









= − 2









 









= − ^Te

Ti

Ri dT

ldt R dQ

dR 2

Re



 



 =

cste ldt

car dQ

) 2 (

lnRe Te Ti

ldt

Ri dQ −



 









= −

Ti Te

sens de transfert de chaleur

14 01

, 0

05 , ln0 32 , 0 . 14 , 3 . 2

1 60 3 ln Re

2 1

= −



= −

Ri Te Ti ldt

dQ

m ldt W

dQ =−71,2 /

Le signe (-) provient du fait qu’on a intégré de Ri à Re (sens inverse de transfert de chaleur), si on a intégré dans le sens de transfert de chaleur on aura une valeur positive.

2) Calcul de la température à x = 2cm de la surface intérieur.

R’ = 0,01 + 0,02 = 0,03 m On reprend la loi de Fourrier :

dR dT Adt

dQ =−

dR dT Rldt

dQ =− 

2









 









= − ^'

' 2 ^T

Ti R

Ri dT

ldt R dQ dR

) ' 2 (

ln ' T Ti

ldt Ri dQ

R −



 









= −

Ri R ldt Ti dQ

T '

2 ln ' 1

− 

=

( )

01 , 0

03 , ln0 32 71

, 0 2 3 1

' −

− 

= T

C

T'=41,9 Logique 3) Profil de température :

^Ri

R ldt Ti dQ

T_x ln ^x

2 1

− 

=

( )

01 , ln0 32 71

, 0 2

3 1 ^x

x

T − R

− 

=

15 01

, ln0 32 , 0 2

3 71 ^x

x

T R + 

=

En donnant des valeurs à Rx on peut déterminer Tx.

Le profil de température est le graphe donnant l’évolution de la température en fonction du rayon du cylindre : voir papier millimétré.

Exercice 6:

Deux panneaux composites (collés) pour l’isolation thermique sont constitués par une plaque de plâtre d'épaisseur e1 = 10 mm associée a une plaque de polystyrène d'épaisseur e2.

Le fabriquant donne la résistance thermique de 1 m² de panneau pour différentes valeur de e2.

e2(mm) 20 30 40 50

R(m².K/W) 0.5 0.73 0.97 1.21

Déduire de ces données la conductibilité thermique du plâtre, 1, et celle de polyéthylène, 

Solution :

e1 e2

Platre Polystyrène



T1 T2 T3

16

1) Soient T

1

, T

2

et T

3

les températures des plans limitant chaque matériau : T

1

, T

2

et T

3

sont constantes  transfert par conduction.

Le transfert est

¹

D car il est normale aux parois : alors, on applique la première loi de Fourier, soit :

dx dT Adt

dQ

= − 

=





plâtre

= 

polystyrène =









²

3 2

1 1

2 1

e T T e

T

T

−

− =

=

 (1m

²

de surface)





¹₁ ²

2 1

/

2

e e

R R

m

R = + + = +

Le tracé de R = f(e

2

(mm)) (voir papier millimétré) est une droite de pente p et d’ordonné à l’origine I:

 



 



=

=

=





 =

=



=

=



− 

= −

= 

−

− −





−

−

−

1 1 3

1 1

1 1 3

4 , 025 0 , 0

10 . 025 10

, 0

042 , 1 0 10

).

20 30 (

5 , 0 73 , 0 1

K I Wm

e e

K p Wm

p

Exercice 7 :

Une couche de cristaux de NaCl est déposée au fond d’un récipient cylindrique contenant une hauteur de 1 m d’eau à 20°C.

On considère que les cristaux s’entourent immédiatement d’une couche de solution saturée. Si le système est maintenu rigoureusement immobile, on demande la concentration en NaCl à des hauteurs de 0,02 m et 0,05 m après une heure, après 24 heures et après 30 jours.

On donne :

La concentration de saturation est 318 kg.m^-3.

17 Solution :

 Modèle géométrique : Corps semi-infini

Modèle mathématique : on cherche la variation de la concentration en fonction du temps en un endroit donné  2

^ème

loi de Fick :

2 2

2 x

t D

NaCl O

H NaCl NaCl





= 







→

La solution est donnée par :

)

2

¹

(

¹

1 1

o o

A A

Dt

erf x

   −  =  − 



 



= 



−





−





) (

₁

1

−

A

 − 

o



=



▪ Calcul pour x = 0,02 m :

Dt u x

= 2

et D ?

l mol

c 5,43 /

10 ).

23 5 , 35 (

10 . 318

3

3 =

= +

 D

NaCl

→

^eau

^=1,484.10

^-9

^m

²

^s

^-1

^.

h = 1 m



o

(t = 0) = 0 H

2

O à 20 °C

0,05 m

0,02 m

Cristaux de NaCl

Solution saturée de NaCl



1

>> 

o

x

18

 t t t

u 259 , 587 260

10 . 484 , 1 2

02 , 0

9

= 

=

−

t(s)

_t

u 260t

=

erfu 

1h = 3600 s 24h = 3600.24 30j=24.30.3600

60 294 1610

4,4 0,88 0,16

1 0,7867 0,1790

 = 

1

( − erfu) = 

 kg/m

³

261,08 kg/m

³

▪ Calcul pour x = 0,05 :

t t t

u

648 , 967 649

10 . 484 , 1 2

05 , 0

9

= 

=

−

t(s)

_t

t u 649

=

erfu 

1h = 3600 s 24h = 3600.24 30j=24.30.3600

60 294 1610

10,816 2,20 0,40

1 0,9981 0,4284

 = 

1

( − erfu) = 

 kg/m

³

181,76  182 kg/m

³

Exercice 8 :

Une feuille de légume possède une épaisseur de 0.8 mm. Elle se trouve initialement à la température de 20°C.

On la plonge dans de l'eau à 194°F et on considère qu'à partir du moment de l'immersion, la surface se trouve effectivement porté à la température de l'eau.

On demande:

1) La température atteinte après une seconde dans la partie médiane de la feuille.

2) La température atteinte après une seconde à 10 microns de la surface.

19 3) Que devient ces températures quand l'épaisseur de la feuille passe de 0.8mm à 8mm?

On donne: /Cp=1.5 10^-7 m²s^-1; T°F=1.8T°C + 32.

Solution :

Une feuille de légume plongée dans de l’eau.

Feuille a deux plans parallèles séparés par une épaisseur de 0,8 mm  modèle géométrique : Plaque. L’effet des bords est négligeable.

T

o

= 20°C T

1

= 90°C t = 1s  T ?

▪ T au centre :

( )

16 , 0 937

, 0 10

. 4 , 0

1 . 10 . 5 , . 1

10 . 4 , 2 0

10 . 8 , 0 0 2

3 2 7 2

3 3

 

  









=

 =



= 

=

=

=





 =

−

−

− −

o p

o

T diagramme T

x t F C

e m x x

x

.0,16 ) (

16 ,

0 _{1 1}

1 1

o o

o

T T T T T

T T T T

T   − = −

−

= −





.0,16 ) ( ₁

1 T To

T

T = − −

T  78,8 °C  79°C

▪ T à 10 m de la surface : e = 0, 8 mm

x

0, T ?

20

( )









 

 

=

 =



= 

=

 =





=





=

−

=

−

− 0,04

937 , 0 10

. 4 , 0 . 1 10 . 5 , 1 .

975 , 4 0 , 0

39 , 39 0

, 0 01 , 0 4 , 0

3 2 7

2 o

p

o T

T x

t F C

x mm x

x mm x

C 87,2 .0,04

) ( ₁

1− −  

=T T T_o T

Exercice 9 :

Un petit pois de diamètre 6 mm possède une température initiale de 10°C. Il est plongé dans de la vapeur d’eau sous la pression atmosphérique et l’on admet que sa surface se met instantanément en équilibre de température avec la vapeur.

Après combien de temps le centre atteint-il la température de 90°C ?

La diffusivité du petit pois est égale à celle de l’eau soit en moyenne 0,16.10^-6 m^-2.s^-1.

Solution :

T

1

= 100°C T

o

= 10°C

La température dépend du temps, on a alors un régime transitoire.

Appliquons la seconde loi de Fourier :



 



= 





o o

R F f R T

T ,

max

avec

₂

max

.R t F C

p

o 

= 

Vapeur

T

o

R

max

21

Pour calculer t (auquel le centre atteint la température T), on doit chercher F

o

.

On a :

 

 



= 

−

= −





o o

o

R F f R T T

T T T

T

,

max 1

1

avec T = 90°C

) , 0 ( 11 , 0 0

0 R centre, Au

11 , 10 0 100

90 100

max 1

1

o o

o

o f F

T T R

R T

T T T T

T

=

 =

 

 



 



=



=

− =

= −

−

= −





Graphiquement (diagramme A), on a : F

o

= 0,29.

On a ₂

max

. R t F C

p

o



= 





















=

Cp R t F^o

2 max

A.N :

s t

s Cp m

D m R

31 , 10 16

. 16 , 0

) 10 . 3 . ( 29 , 0 /

10 . 16 , 0

10

. 2 3

6 2 3 2

6 3

max

 = =

 

 



 =



=

=

−

−

−

−

t = 16,31 sec

Exercice 10:

Une boite de conserve cylindrique possède un diamètre de 0,1 m et une hauteur de 0,1185 m. Elle contient une viande maigre tassée additionnée d’un bouillon à la gélatine. Ce système reste immobile et sa diffusivité thermique moyenne est de 1,75.10^-7 m².s^-1.

La température initiale est de 60°C et on l’introduit au temps zéro dans un autoclave renfermant de la vapeur d’eau en condensation à 120°C. On admet que la surface se met instantanément à la température de 120°C.

Quelle est la température au centre géométrique après 10 minutes et 40 minutes de séjour à l’autoclave.

22

Solution :

T

o

= 60°C T

1

= 120°C D = 0,1 m

s Cp=1,75.10⁻⁷m²/



T ? au centre du cylindre.

On décompose le problème en deux parties : 1) Considérer le cylindre comme infini : Or, ceci n’est vrai que si :  5

D h

Déterminons ce rapport dans notre cas.

Dans notre cas : 1 , 185 5

1 , 0 1185 ,

0 = 

D = h

•

R

max

R

T ?

T

o

T

1

h

23

On ne peut pas donc appliquer les résultats du cylindre infini. Par contre la méthode de Newman est bien appropriée.

2) Méthode de Newman :

Plaque cyl

réelle ^{o o}

o

T

T T

T T

T  

 







 



 







= 

 

 











.

.

▪ Le terme







 









. cyl

T

o

T

On cherche T au centre, donc R = 0.



2

max max

.

et

0

R

t F C

RR

p

o



= 

=

Pour t = 10 min  0 , 042 )

05 , 0 (

60 . 10 10

. 75 , 1

F

_o

=

⁻⁷ ₂

=

042 , 0

F_o =

 1

.

 



 









 cyl

T

o

T

▪ Le terme

Plaque

T

o

T  

 









x

x = 0 +x

-x

R

max

24

= 0

x

x et .

2

x t F C

p

o

 

= 

Or, ^{0 , 05925 0 , 06}

2 1185 , 0

2 = = 

=



h

x

- t = 10 min :

0 , 03

) 6 , 0 (

10 . 600 . 75 , 1

2

7



=

⁻

F

o

et   1



 









plaque

T

o

T



   1

 









réelle

T

o

T

Cela veut dire que la température est inchangée après 10 min et T = To au centre géométrique du cylindre.

- t = 40 min :

➢ Cylindre infini :

 

 



=

=

 =

 



 









−



0 168 , ) 0

05 , 0 (

10 . 60 . 40 . 75 , F 1

7 , 0

max

2 7 o

. RR

T T

cylind

o

➢ Plaque :







 =



 =

 



 









−

0

12 , ) 0

06 , 0 (

10 . 60 . 40 . 75 , F 1

9 ,

0 ²

7 o

x x T

T

Plaque

o

 _ ^{= 0 , 7 . 0 , 9 = 0,63}



 









réelle

To

T

60 0,63

120 60

120 120

1

1

= − =

−

= −

−

−

T T

T T

T T

o

25

 T = 120 – 60.0,63 = 82,2°C

On remarque que : la transfert radial l’emporte sur le transfert linéaire.

Exercice 11 :

Un double vitrage comporte deux vitres d'épaisseur L, séparées par une couche d'air d'épaisseur 2 L.

La température de l'air de la maison est Tm1 celle de l'air extérieur est Tm2 (Tm1>Tm2).

La conductivité du verre est v, celle de l'air est a. Le coefficient d'échange superficiel sur chacune des faces des vitres en contact avec l'air libre est . On rappelle qu'il y a convection entre vitres et air libre (dans la maison et à l'extérieur) mais pas entre vitres et air emprisonné.

a)-Exprimer littéralement la résistance thermique globale R (pour 1m²), en fonction des données utiles (le résultat numérique n'est pas demandé).

b)-Calculer la densité de flux thermique à travers l'ensemble.

Données:

Tm1 = 20,0°C Tm2 = -10,0 °C = 12 W.m^-2.K^-1 L= 3,0 mm

v = 1,20 W.m^-1.K^-1 a = 0,0240 W.m^-1.K^-1

c)-Calculer les températures des quatre faces des vitres (elles seront obligatoirement notées T1, T1,' T2, T2').

d) Déterminer l’épaisseur des couches limites équivalentes.

Air emprisonné Air

maison

vitre vitre

L L

2L

Air

extérieur

26 e)-Tracer précisément le diagramme des températures T = f(x) , de Tm1 à Tm2 en plaçant les 6 températures connues. Commenter le diagramme obtenu..

f)-Sachant que le kWh est vendu au prix de 0.70 Dh TTC, combien coûte l’énergie qui s’échappe par 1 m² de ce type de vitrage pour une période de 24 h (les conditions sont considérées comme constantes).

Solution :

a)

A

L A L A L A R A

v a

v e

i +

+ +

+ 

= 1 1 2

 

 



=



=



=



m

2

1 A

e i



v a v

L L m L

R

+ 

+  +  + 

=  1 1 2 /

²

v a

L m L

R

+ 

+ 

=  2 2 2 /

²

b) R

T T R

T dt

F dQ ^m1− ^m2

 =

=

=

2 1 - 3

3

KW 42 , 024 0 , 0

10 . 3 . 2 2

, 1

10 . 3 . 2 12

2

m

R

= +

⁻

+

⁻

=

W 1 , 42 71

, 0

10 20 42

, 0

) 10 (

20 + =

− =

= −

= dt F dQ



71 , 1 Wm

^-2

1 1 , 71 =

=

=

=

A

F Adt J dQ

Air emprisonné Air

extérieur Air

maison

vitre vitre

L L

2L

Tm1 Tm2

T1 T2 T’2

 

a v a v a

T’1

27

c) Régime stationnaire  le flux est constant, c’est-à-dire :

F cste T

L T T A

L T T A

L T T A

T A dt

dQ

m _{v a}



_v

− = =

=

 −

=

 −

− =

= 



 



 





 



 





 



 

 









(1) (2) (3) (4)

) (

) 2 (

) ) (

(

_'

2 2 2

' 1 '

1 1 1

1

Or, A = 1 m

²

, d’où

(1)  F C

T

T _m

= − = 

− 

= 14 , 1

12 1 , 20 71

1 1

(2)  FL C

T T

v



=

−

 =

−

=

⁻

13 , 9

2 , 1

10 . 3 . 1 , 1 71 , 14

3 1

' 1

(3)  F L C

T T

a



−

=

−

 =

−

= ⁻ 3,9

024 , 0

10 . 3 . 1 , 9 71 ,

2 13 ³

' 1 2

(4)  FL C

T T

v



−

=

−

−

 =

−

=

⁻

4 , 1

2 , 1

10 . 3 . 1 , 9 71 , 3

3 2

' 2

d) Epaisseur des couches limites équivalentes, CLE : CLE

1

:

x

a

a



= 

 _ 2 mm

12 024 ,

0 =

 =

= 

 x

^a

e) Diagramme des températures : Soient les six températures :

T

m1

= 20°C T

1

= 14,1°C

C T₁^'

= 13 , 9  T

2

= -3,90°C

C

T

₂^'

= − 4 , 1 

28

T

m2

= -10°C

Commentaire sur le diagramme obtenu :

La chute de température est importante dans les CLE et dans l’air emprisonné entre les deux vitres.

Exercice 12 :

Soit une pièce qui a la forme d’une demie sphère de rayon intérieur Ri = 7 cm et extérieur Re = 10 cm.

On désir maintenir l’intérieur de la pièce à une température Ti = 20°C.

Le matériau constituant cette pièce a une conductibilité thermique  = 10^-2 cal/cm.s.K.

14,1 20

13,9

-3,9

-4,1

L 2L L -10

CLE1 CLE2

T(°C)

x

29 1) Calculer le flux de chaleur a travers le mur de la pièce si on suppose de la température à l’extérieur de la pièce Te= 0°C et que i =10^-4 cal/cm².s.K; e= 2 10^-4 cal/cm².s.K.

2) On dédouble le mur de la pièce d’un isolant de l’extérieur d’épaisseur e =2 cm et de conductibilité thermique c = 10^-4 cal/cm.s.K

Calculer le nouveau flux de chaleur en présence l'isolant (on suppose que  ne change pas)

3) Conclusion ?

4) Calculer le pourcentage de réduction des pertes thermiques.

Solution :

R

i

= 7 cm R

e

= 10 cm T

i

= 20°C T

e

= 0°C



Ri Re

Ti Te



i



e

CLEe CLEi

T1 T2

Sens de transfert

30



i

= 10

^-4

cal/cm

²

.s.K 

e

= 2.10

^-4

cal/cm

²

.s.K

A

i

=

²

2

2 2 4

i

i

R

R = 



2

_e2

e

R

A = 

1) Régime stationnaire 

t Q dt

dQ



= 



A

⁽

T T1

⁾

dt dQ

i i

i

−



= (1)

^

−

= − 2

1 1

2 1

2 1

R R

T T

(2)

C’est l’équation de transfert dans une couche sphérique = 

_e

A

_e

( T

₂

− T

_e

) ₍₃₎

 

 





 

 







= 

−

 −

=

−

= 

−

(3) 1

2) ( 1 )

( 1 2

(1)

2

2 1 2

1 1

dt dQ T A

T

R R dt dQ T

T

A dt dQ T

T

e e e

i i i

 (1) + (2) + (3) 

 

 



 + − +

=

−

e e i

i e

i

dt A R R A

T dQ

T   

) 1 1 ( 1

2 1 1

2

1

31



e e i

i

e i

A R

R A

T T dt

dQ







) 1 1 ( 1

2 1 1

2 1

+

− +

= −

cal/s 04 ,

= 1 dt dQ

2)

Une même démonstration montre :

e e c e c i

i

e i

A R

R R

R A

T T dt

dQ

+ 



 



 −

+ 



 



 −

+ 



= −

1 1

1 2

1 1

1 2

1 1

2 1 '

cal/s 74 , 0

'

=

dt dQ

3) Conclusion

Sens de transfert



Ri Re Ti

Te



i



e

CLEe CLEi

T1 T2

c

T

3

e

Rc

32

En ajoutant la couche d’isolant, le flux de chaleur transféré vers l’extérieur a chuté de 1,04 cal/s à 0,74 cal/s, soit une diminution avec un pourcentage de :

% 85 , 04 28

, 1

74 , 0 04 ,

1 − =

33

Devoir de Transfert de chaleur et de matière Filière Master de chimie des matériaux - Semestre 2

I. Soient le mur composite suivant constitué de surfaces planes en parallèle :

Montrer que si R1, R2 et R3 sont les résistances thermiques de ces murs, on peut écrire la relation suivante:



 



 + +

=

3 2 1

1 1 1 1

R R R R

Où R est la résistance équivalente du mur composite.

II. Calculer le flux traversant la façade de 50 m² d'une maison. Le mur est constitué de briques de 26 cm d'épaisseur. La façade est percée de 4 vitres de 2 m² de surface et 3,5 mm d'épaisseur et d'une porte en bois de 2m² et de 42 mm d'épaisseur.

On suppose que la température de paroi interne est égale à 10°C pour tous les matériaux constituant la façade, de même, la température de paroi externe est de 5°C.

On donne:

Conductivité thermique du verre : λv = 0,7 W.m^-1.K ^-1 Conductivité thermique des briques : λb = 0,52 W.m^-1.K ^-1 Conductivité thermique du bois : λbois = 0,21 W.m^-1.K ^-1

34 III. Les deux parties de ce problème sont indépendante

A- Soit un tube d'acier 20/27 dont la température de la paroi interne est: Өi = 119,75°C et celle de la paroi externe, Өe = 119,64°C. Conductivité thermique de l'acier : = 46 W.m^-1.°C^-1

Calculer :

1. la résistance thermique du tube pour une longueur de 1 m.

2. le flux de chaleur, correspondant.

B- L'intérieur du tube 20/27 étudié dans l'exemple précédent est entartré sur une épaisseur de 2 mm.

On suppose que les températures intérieures et extérieures restent inchangées : la température de la paroi interne est Ө1= 119,75°C et celle de la paroi externe Ө2 = 119,64°C.

Calculer :

1. la résistance thermique de la couche de tartre (pour une longueur de 1 m) 2. la résistance équivalente du tube entartré.

3. le flux thermique correspondant.

On donne la conductivité thermique du tartre : λC = 2,2 W.m^-1.°C^-1

IV. Barreau constitué de deux métaux

On dispose d'un barreau cylindrique de section S constitué d'une longueur l1

d'aluminium et l2 de cuivre.

On donne :

 (Al ) = 200 W.K^-1.m^-1 ;  ( Cu ) = 380 W.K^-1.m^-1 ; l1 = 80 cm ; l2 = 50 cm ; S = 2 cm².

L'extrémité libre du barreau d'aluminium est maintenue à T1 = 180°C, celle du barreau de cuivre à T2 = 0°C. Une gaine isole latéralement le barreau.

T1 T2

35 Déterminer, en régime stationnaire :

1. la température au niveau de la soudure ;

2. le gradient de température le long de chacune des deux parties du barreau ; 3. la densité de flux de chaleur et la quantité de chaleur qui traverse la jonction chaque minute.

4. La résistance thermique de l’ensemble.

Bonne chance et bon courage …..