Maths

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T

ABLE DES MATIÈRES

I. Rappels et compléments 2

1 Le radian . . . 2 2 Angle au centre – Angle inscrit . . . 2 3 Quadrilatères inscriptibles . . . 6

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I. R

APPELS ET COMPLÉMENTS

1 Le radian

O

A _B

Définition 1

La mesure en radians d’un angle dAOBest le rapport de la longueur de l’arc intercepté dans un cercle de centre O sur le rayon de ce cercle.

Propriété 1.1

La longueur ` d’un arc intercepté par un angle de mesure α en radian dans un cercle de rayon R est donnée par : ` = Rα.

exercice 1.1

On considère un cercle de rayon 3. Déterminer la longueur d’un arc intercepté par un angle de mesure 60.

2 Angle au centre – Angle inscrit

Notion d’angle au centre - d’angle inscrit

(3)

O

A _B

M T

activité 2.1

Dans chaque cas, on veut comparer la mesure de l’angle inscrit à celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc d’extrémités A et B

1. On considère le cas où A et M sont diamétralement opposés.

O

A _B

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c. Exprimer la mesure de dAOBen fonction de celle de [MOBpuis de [AMB. 2. Exprimer la mesure de dAOBen fonction de celle de [AMB.

O A _B M M0 f O A B M M0 f

(5)

O A

B M

T

a. Quelle est la nature de l’angle au centre qui intercepte le même arc ? b. Comparer alors la mesure des angles [AMBet dAOB.

c. Comparer la mesure des angles dTABet dAOB.

L’angle dTABest un angle inscrit dansC formé par une corde [AB] et une demi-tangente [AT). exemple 2.1

Si les points A et B sont diamétralement opposés, alors le triangle AMB est rectangle en M. On retrouve une propriété caractéristique du triangle rectangle.

Propriété 2.1

# Des angles inscrits dans le même cercle et qui interceptent le même arc sont ...

# Des angles inscrits dans le même cercle (ou des cercles de même rayon) qui interceptent des arcs de même longueur sont de même mesure.

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3 Quadrilatères inscriptibles

Définition 2

Un polygone est dit inscriptible lorsqu’il existe un cercle qui lui est circonscrit. Des points qui sont situés sur un même cercle sont dits cocycliques.

Quadrilatère croisé

A

B

C

D

ABCDest un quadrilatère croisé. dBADet dBCDsont des angles opposés.De même que dABCet dADC. Quadrilatère convexe

A

B

C

D

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Quadrilatère ni convexe ni croisé A B C D activité 3.1

1. Soit et ABCD un quadrilatère croisé inscrit dans un cercle $C . Comparer la mesure de ses angles opposés.

2. Soit ABCD un quadrilatère croisé tel que dABCet dADCsont de même mesure. On désigne parC le cercle circonscrit au triangle ABC.

Que remarque-t-on ?

Propriété 3.1

Un quadrilatère croisé est inscriptible si, et seulement si, ...

activité 3.2

1. Soit et ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercleC . Comparer la mesure de ses angles opposés.

2. Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que dABCet dADCsont supplémentaires. On désigne parC le cercle circonscrit au triangle ABC.

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1. Montrer que les points A, B,C et D sont cocycliques. 2. Comparer la mesure des angles dBADet dBCD.