Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Année Univ.2016-17
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
SMP-SMC
Département de Mathématiques
Correction du contrôle d’Algèbre 1
durée : 1h30
Exercice 1 :
1) |3 4i| 32 42 9 16 25 5.
Il suffit de prendre 2|3 4i| 3
2 i 2|3 4i| − 3 2 25 3 2 i 25 − 3 2 2 8 2 i 2 2 2 16 2 i 4 2 42 i 22 2 i.
2)Δ −3i2 43 i 3i2 12 4i −9 12 4i 3 4i. Puisque2 3 4i Δ, les solutions de l’équation sont :
z1 3i 2 3i 2 i2 2 4i2 1 2i z2 3i − 2 3i− 2 i 2 3i − 2 − i2 2i − 22 i − 1 3)
1
−4 − 3i 1 11i 12 − 8i −12 − 4i
2
2
−4 − 6i −6 10i 12 4i
1
−2 − 3i −3 5i 6 2i
0
2
2
−6i
−6 − 2i
1
−3i
−3 − i 0
2
2
4
− 6i
1 2
− 3i 1 − 7i
Alors 2 est une racine de A d’ordre de multiplicité 2. Donc n 2. Le quotient de A parX − 2n X − 22 est X2 − 3iX − 3 i.
4) A X − 22X2− 3iX − 3 i X − 22X − 1 2iX − i − 1
X − 22X − 1 − 2iX 1 − i.
Exercice 2 :
1) – 1ière méthode : ∀z ∈ C : z2 − 2z 2 0 z2 − 2z 1 −1 z − 1 i ou z − 1 −i z 1 i ou z 1 − i .Donc les racines du polynôme
X
2−2X 2
dans C sont 1 i et 1 − i.– 2ième méthode :
Δ′ −12− 2 1 − 2 −1 i2. Donc les racines du polynôme
X
2−2X 2
dans C sont :
– 3ième méthode :
Δ −22 − 4 2 4 − 8 −4 2i2.
Donc les racines du polynôme
X
2−2X 2
dans C sont :2 2i 2 21 i 2 1 i et 2 − 2i2 21 − i 2 1 − i. 2) Puisque d0F 2 − 5 −3 0, la partie entière de F est nulle.
Donc la décomposition de la fraction rationnelle F en éléments simples dans RX est de la forme : F a1 X− 1 a2 X − 12 b X 1 X X2 − 2X 2 (car X 2− 2X 2 est irréductible dans RX). a2 X − 12F 1 X 2 1 X 1X2− 2X 21 2 2 1 1. b X 1F−1 X2 1 X − 12X2 − 2X 2−1 2 4 5 1 10 . Puisque 1 i est une racine du polynôme
X
2−2X 2
dans C alors :1 i X2 − 2X 2F1 i X2 1 X − 12X 11 i 1 i2 1 1 i − 121 i 1 2i 1 i22 i 1 2i−2 i − 1 2i2 − i 2 i2 − i − 4 3i5 − 45 − i 35.
Par suite : i − 4
5 − i 35 − 4 5 − 35 − 3 5 − 35 − 45 − 35 35 − 45 − 15 . – 1ière méthode pour chercher le nombre
a
1 :limxxFx limx xx 2 1 x − 12x 1x2 − 2x 2 0. Par suite on a : limxx xa− 1 1 a2 x − 12 b x 1 x x2 − 2x 2 0 limx xa− 1 1x a2x x − 12 bxx 1 x2 x x2 − 2x 2 0 a1 b 0 a1 −b − − 1 10 35 −1 610 510 12 . – 2ième méthode pour chercher le nombre
a
1 :F0 1 −12 1 2 1 1 2 1 2. Par suite on a : a1 −1 −1a2 2 b 2 12 −a1 a2 b 2 12 a1 a2 b 2 − 12 .
Alors : a1 1 1
10 − 1
5
2 − 12 1 110 − 110 − 12 12.
Ce qui montre que la décomposition de la fraction rationnelle F en éléments simples dans RX est : F 1 2 X− 1 1 X − 12 1 10 X 1 − 3 5 X − 15 X2 − 2X 2 1 2X − 1 X − 11 2 1 10X 1 − 5X23X− 2X 2 1 .
3) Puisque d0G 1 − 2 −1 0, la partie entière de G est nulle.
On a vu que les racines du polynôme
X
2−2X 2
dans C sont 1 i et 1 − i.Par suite la décomposition de la fraction rationnelle G en éléments simples dans CX est de la forme : G 3X 1 X − 1 − iX − 1 i X− 1 − i a b X− 1 i. a X − 1 − iG1 i 3X 1 X− 1 i 1 i 31 i 1 1 i − 1 i 3 3i 1 2i − i4 3i −i2i 3 − 4i2 b X − 1 iG1 − i 3X 1 X− 1 − i 1− i 31 − i 1 1− i − 1 − i 3− 3i 1 −2i 4− 3ii −2ii 3 4i2 Donc la décomposition de la fraction rationnelle G en éléments simples dans CX est :
G 3− 4i 2 X− 1 − i 3 4i 2 X− 1 i 2X − 1 − i3− 4i 2X − 1 i3 4i . 4) F 1 2X − 1 X − 11 2 1 10X 1 − 5X23X− 2X 2 1 1 2X − 1 X − 11 2 10X 11 − 15G 1 2X − 1 X − 11 2 1 10X 1 − 15 3− 4i 2X − 1 − i 2X − 1 i3 4i 1 2X − 1 X − 11 2 10X 11 − 10X − 1 − i3− 4i − 10X − 1 i3 4i 1 2X − 1 X − 11 2 1 10X 1 10X − 1 − i4i− 3 − 10X − 1 i4i 3 .
Exercice 3 :
1) E , , 2 , 2╱, ∈ R ,,2, ,,,2╱, ∈ R 1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2╱, ∈ R vect1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2.Donc B1 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2 est une base de E et dimE 2.
2) – 1ière méthode :
w 3, 4, 3, 3 2, 2, 2, 2 1, 2, 1, 1 21, 1, 1, 1 1, 2, 1, 1 2u v.
– 2ième méthode : ∀, ∈ R : w u v 1,1,1,1 1,2,1,1 3,4,3,3 , , , , 2, , 3, 4, 3, 3 , 2, , 3, 4, 3, 3 3 2 4 4 − 3 1 2 4 2 1 . 3) ∀, ∈ R : u v 04 1, 1, 1, 1 1, 2, 1, 1 0, 0, 0, 0 , , , , 2, , 0, 0, 0, 0 , 2, , 0, 0, 0, 0 0 2 0 4 − 3 1 2 4 0 Donc B2 est une partie libre de F.
∀a ∈ F : ∃, , ∈ R tq : a u v w
Alors : a u v 2u v u v 2u v 2u v.
Donc B2 est une partie génératrice de F.
Ce qui montre que B2 est une base de F.
4) Puisque1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2 ∉ B2 alors : B1 ∩ B2 ∅. B1 B2 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, u, v. ∀, , , ∈ R : 1,1,2,1 1,1,1,2 u v 04 1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 1, 1, 1, 1 1, 2, 1, 1 0, 0, 0, 0 , , 2, , , , 2 , , , , 2, , 0, 0, 0, 0 , 2, 2 , 2 0, 0, 0, 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0
Donc B1 B2 est une partie libre de R4 qui contient 4 vecteurs.
Ce qui montre que B1 B2 est une base de R4.
5) – 1ière méthode :
Puisque B1 est une base de E, B2 est une base de F, B1 ∩ B2 ∅ et B1 B2 est une
base de R4
– 2 méthode :
∀a ∈ E ∩ F : a ∈ E et a ∈ F.
Alors il existe des nombres réels, , , tels que :
a 1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 u v.
Donc :1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 − u − v a − a 0 − − 0. Par suite : a 01, 1, 2, 1 01, 1, 1, 2 04.
On a montrer que E∩ F 04, ce qui montre que la somme de E et F est directe.
Puisque B1 B2 est une base de R4 alors :
∀a ∈ R4 : ∃, , , ∈ R tq : a 1,1,2,1 1,1,1,2 u v.
1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 ∈ E
u v ∈ F a 1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 u v ∈ E ⊕ F.
Donc : E⊕ F R4.
Ce qui montre E et F sont supplémentaires dans R4.
– 3ième méthode : ∀a ∈ E ∩ F : a ∈ E et a ∈ F. a ∈ E ∃, ∈ R tq : a , ,2 , 2 a ∈ F ∃, ∈ R tq : a u v 1,1,1,1 1,2,1,1 , 2, , .. Par suite on a : , , 2 , 2 , 2, , 2 2 0 a 0, 0, 0, 0 04.
On a montré que E∩ F 04, ce qui montre que la somme de E et F est directe.
Puisque B2 est une base de F qui contient deux éléments alors dim F 2.
Par suite on a : dimE ⊕ F dimE dimF 2 2 4 dimR4 E ⊕ F R4.
Ce qui montre E et F sont supplémentaires dans R4.
6)∀, , , ∈ R : 1,1,2,1 1,1,1,2 u v a 1, 1, 2, 1 1, 1, 1, 2 1, 1, 1, 1 1, 2, 1, 1 x, y, z, t , , 2, , , , 2 , , , , 2, , x, y, z, t , 2, 2 , 2 x, y, z, t x 2 y 2 z 2 t x y − x z − x t − x z − x t − x y − x z− x t − x y − x x z − x t − x 4x − y − z − t y − x .
Donc les composantes d’un vecteur a x, y, z, t de R4 dans la base B
1 B2 sont :
z− x, t − x, 4x − y − z − t et y − x.