Chapitre 3 SMA/SMI

(1)

Cours d’alg `ebre 2

(2)

(3)

Soit A un anneau unitaire. Les suites d’ él éments de A sont appel és les s éries formelles à coefficients dans A.

Si f = (ak)_{k ∈ N}= (a0,a1,a2, ...) ∈ANest une s ´erie formelle `a coefficients

dans A alors :

1 _{les ´el ´ements a}

k (tels que k ∈ N) sont appel ´es les coefficients de f . 2 Pour tout entier naturel k , a

k est appel ´e le coefficient de f de degr ´e k . 3 _a

0est appel é le coefficient constant de f . Th éor ème

AN_{, +, · est un anneau unitaire dont l’unit ´e est (δ}

(4)

Th ´eor `eme

L’application ϕ : A −→ AN_{d ´efinie par ϕ (a) = (aδ}

0,k)_{k ∈ N}= (a, 0, 0, ...) est un

homomorphisme d’anneaux unitaire injectif.

Notation

Soit A un anneau unitaire. On note par X la s érie formelle à coefficients dans A d éfinie par :

(5)

Proposition

Soit A un anneau unitaire.

1 _AN_{est nul si seulement si A est nul.}

2 _AN_{est ab ´elien si seulement si A est ab ´elien.}

3 _{Si A est non nul alors X n’est pas inversible dans A}N_. 4 ANn’est pas un corps.

5 ∀n ∈ N : Xn_{= (δ}

n,k)_{k ∈ N}.

6 _{Si B est un sous-anneau unitaire de A alors B}N_{est un sous-anneau}

(6)

D ´efinition

Soit A un anneau unitaire et f = (ak)_{k ∈ N}∈ ANune s ´erie formelle `a

coefficients dans A.

On dit que f est un polyn ôme à coefficients dans A ou f est un polyn ôme s’il existe un entier naturel n tel que : ∀k ∈ N : k n =⇒ ak =0.

(7)

D ´efinition

Soit A un anneau unitaire et f = (ak)_{k ∈ N}∈ ANun polyn ˆome `a coefficients

dans A.

- Si f 6= 0 :

Le plus grand entier naturel k tel que ak 6= 0 est appel ´e le degr ´e de

f et not ´e d0(f ).

- Si f = 0 :

On pose d0_{(0) = −∞ appel ´e le degr ´e de 0.}

Vocabulaire

Sid0₍_{f) = n alors :}

?anest appel ´e le coefficient du plus haut degr ´e de f ou le

(8)

Exemple

1 _{∀a ∈ A}?_{, a est un polyn ˆome `a coefficients dans A et d}0_{(a) = 0. a est le}

coefficient dominant de a.

2 a est unitaire si seulement si a = 1.

3 ∀a ∈ A : a est un polyn ôme à coefficients dans A et d0_{(a) ≤ 0.} 4 _{X est un polyn ôme unitaire à coefficients dans A de deg é 1.}

(9)

A et n un entier naturel quelconque.

Les deux propri ét és suivantes sont équivalentes :

1 _{f est un polyn ôme à coefficients dans A et d}0_{(f ) ≤ n.} 2 ∀i ∈ N : a i = n P k =0 akδk ,i. Th éor ème

Soient A un anneau unitaire , f = (ai)_{i∈ N}une s ´erie formelle `a coefficients

dans A et n un entier naturel quelconque.

Les deux propri ét és suivantes sont équivalentes :

1 _{f est un polyn ˆome `a coefficients dans A et d}0_{(f ) ≤ n.} n

(10)

Propri ´et ´es Soient P = n X k =0 akXk ∈ A[X ] et Q = m X k =0 bkXk ∈ A[X ]. Alors 1 _{P + Q =} s X k =0

(ak+bk)Xk ∈ A[X ] avec s = max{n, m}

2 _{PQ =}

n+m X

k =0

ckXk ∈ A[X ] tel que ∀k ∈ {0, 1, ..., n}

ck = k X i=0 aibk −i= k X i=0 ak −ibi

(11)

Propri ´et ´es Soient P = n X k =0 akXk ∈ A[X ] et Q = m X k =0 bkXk ∈ A[X ]. Alors 1 _{P + Q =} s X k =0

(ak+bk)Xk ∈ A[X ] avec s = max{n, m}

2 _{PQ =} n+m

X

k =0

ckXk ∈ A[X ] tel que ∀k ∈ {0, 1, ..., n}

ck = k X i=0 aibk −i= k X i=0 ak −ibi

(12)

Notation

?L’ensemble des polyn ômes à coefficients dans A est not é A [X ]. ?Pour tout entier naturel n on note par An[X ] l’ensemble :

(13)

1 _{Pour tout entier naturel n, A ⊂ A}

n[X ] ⊂ A [X ]. 2 _{Si B est un sous-anneau unitaire de A alors :}

a) B [X ] ⊂ A [X ].

b) Pour tout entier naturel n, Bn[X ] ⊂ An[X ]. 3

Z [X ] ⊂ Q [X ] ⊂ R [X ] ⊂ C [X ].

4 _{Pour tout entier naturel n, Z}

n[X ] ⊂ Qn[X ] ⊂ Rn[X ] ⊂ Cn[X ]. 5 _{Si A = C alors : ∀ f ∈ C [X ] : f ∈ R [X ] ⇐⇒ f = f .}

6 _{Pour tout entier naturel n, A}

n[X ] est un sous-groupe de AN, +. 7 _{A [X ] est un sous-groupe de A}N_{, + contenant A et X .}

(14)

Proposition

Soient f et g deux polyn ˆomes `a coefficients dans A.

1 _d0_{(f + g) ≤ max d}0_{(f ) , d}0(g).

2 _{Si d}0_{(f ) 6= d}0_{(g) alors : d}0_{(f + g) = max d}0_{(f ) , d}0(g). 3 _{fg ∈ A [X ]} _{et d}0_{(fg) ≤ d}0_{(f ) + d}0_(g).

4 _{Si f et g sont non nuls de coefficient dominants r ´espectivement α et β et}

si αβ est non nul alors : d0(fg) = d0(f ) + d0(g) et fg est non nul de coefficient dominant αβ.

(15)

Proposition

1 A [X ] est un sous-anneau unitaire de AN_{contenant A et X .}

2 _{A [X ] est le petit (pour l’inclusion) sous-anneau de A}N_{contenant A et X .} 3 _{A [X ] est nul si seulement si A est nul. C’est `a dire : A [X ] 6= 0 ⇐⇒ A 6= 0.} 4 _{A [X ] n’est pas un corps.}

5 _{A [X ] est ab élien si seulement si A est ab élien.} 6 _{A [X ] est int ègre si seulement si A est int ègre .} 7 _{Si A est int ègre alors : U (A [X ]) = U (A).}

(16)

Contre exemple

Si A = Z4Z et f = 2 X + 1 alors : f f = f 2₌ _{2 X + 1}2

=1 =⇒ f ∈ U ([X ]) − U (A). Donc U (A [X ]) 6= U (A).

(17)

D ´efinition

Soient f = a0+a1X + a2X2+ ... +anXnun polyn ôme à co éficients

a0,a1, ...,andans A et B un sur anneau de A.

Alors pour tout x ∈ B

f (x ) = n X k =0 akxk =a0+a1x + a2x2+ ... +anxn est la valeur de f en x . D ´efinition

Soient f = a0+a1X + a2X2+ ... +anXnun polyn ôme à co éficients

(18)

Remarque

Si A = C.

1 ∀f ∈ C [X ] et ∀a ∈: C : f (a) = f (a). 2 _{∀f ∈ R [X ] et ∀a ∈: C : f (a) = f (a).}

3 _{Si f est un polyn ˆome `a coefficients complexes et si a est une racine}

complexe de f , alors a est une racine complexe de f .

4 _{Si f est un polyn ôme à coefficients r éels et si a est une racine complexe}

(19)

Remarque

Soit A un anneau unitaire .

1 _{Pour tout polyn ˆome f =}n

k =0αkXk, f (0) = α0 est le coefficient constant

de f .

2 _{Pour tout pollyn ˆome f `a coefficients dans A, f (X ) = f .}

3 _{Si B un sur anneau quelconque de A et si b ∈ B un ´el ´ement quelconque}

de B alors : ∀a ∈ A : a (b) = a X (b) = b

(20)

Remarque 1 _{∀f ∈ A [X ] :}

∀a ∈ A : a (f ) = a X (f ) = f

∀n ∈ N : Xn_{(f ) = f}n_.

(21)

Proposition

Soit A un anneau unitaire. f un polyn ˆome `a coefficients dans A. Si f =Pn

k =0akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ A[X ] Alors 1 f(0)₌f

2 _f0 ₌Pn

k =1kakXk −1=a1+2a2X + ... + nanXn−1 ∈ A[X ]

(22)

Proposition

Soit A un anneau unitaire. f un polyn ˆome `a coefficients dans A. Si f =Pn

k =0akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ A[X ] Alors 1 f(0)₌f

2 _f0 ₌Pn

k =1kakXk −1=a1+2a2X + ... + nanXn−1 ∈ A[X ]

(23)

Proposition

Soit A un anneau unitaire. f un polyn ˆome `a coefficients dans A. Si f =Pn k =0akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ A[X ] Alors 1 f(0)₌f 2 _f0 ₌Pn k =1kakXk −1=a1+2a2X + ... + nanXn−1 ∈ A[X ] 3 _f(k )_{= (f}(k −1)₎0

(24)

Proposition

Soit A un anneau unitaire. f un polyn ˆome `a coefficients dans A. Si f =Pn k =0akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ A[X ] Alors 1 f(0)₌f 2 _f0 ₌Pn k =1kakXk −1=a1+2a2X + ... + nanXn−1 ∈ A[X ] 3 _f(k )_{= (f}(k −1)₎0

(25)

Exemples 1 _{Soit f = 1 + 2X − iX}3₊_X4_{. Alors} • f0 =2 − 3iX2₊_4X3 • f00= −6iX + 12X2 • f(3)_{= −6i + 24X} • f(4)₌₂₄ • f(5)₌₀ • ∀k ≥ 5, f(k )₌₀

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Propri ´et ´es

Soient A un anneau unitaire.

1 ∀a ∈ K , a0 ₌0

2 • _X0 ₌₁

• ∀k ≥ 2, X(k )₌₀

• pour tout entier naturel n :    (Xn₎(k )₌ n! (n − k )!X n−k _{si : n ≥ k} (Xn₎(k ) =0 si : n ≺ k .

(35)

Propri ´et ´es

1 ∀a ∈ K , a0 ₌0

2 • _X0 ₌₁

• ∀k ≥ 2, X(k )₌₀

(36)

Propri ´et ´es

1 ∀a ∈ K , a0 ₌0

2 • _X0 ₌₁

• ∀k ≥ 2, X(k )₌₀

(37)

Propri ´et ´es

1 ∀a ∈ K , a0 ₌0

2 • _X0 ₌₁

• ∀k ≥ 2, X(k )₌₀

• pour tout entier naturel n :

   (Xn₎(k )₌ n! (n − k )!X n−k _{si : n ≥ k} (Xn₎(k ) =0 si : n ≺ k .

(38)

Propri ´et ´es

Soient A un anneau unitaire et f, g deux polyn ˆome `a coefficient dans A.

1 (f + g)0 ₌f0₊g0 2 _(fg)0 ₌_f0_{g + fg}0

3 _{Si A est ab ´elien alors ∀n ∈ N}?_(fn₎0 ₌_nfn−1_f0

4 _{[f (g)]}0 ₌_f0_(g)g0

(39)

Propri ´et ´es

1 (f + g)0 ₌f0₊g0 2 _(fg)0 ₌_f0_{g + fg}0

3 _{Si A est ab ´elien alors ∀n ∈ N}?_(fn₎0 ₌_nfn−1_f0 4 _{[f (g)]}0 ₌_f0_(g)g0

(40)

Propri ´et ´es

1 (f + g)0 ₌f0₊g0 2 _(fg)0 ₌_f0_{g + fg}0

(41)

Propri ´et ´es

1 (f + g)0 ₌f0₊g0 2 _(fg)0 ₌_f0_{g + fg}0

(42)

Propri ´et ´es

1 (f + g)0 ₌f0₊g0 2 _(fg)0 ₌_f0_{g + fg}0

(43)

Soit f = n X i=0 aiXi. ∀k ∈ N on a :      f(k )₌ n X i=k i!ai (i − k )!X i−k₌ n−k X j=0 (j + k )!aj+k j! X j _{Sik ≤ n} f(k )₌₀ _{si k > n} En particulier : f(n)=n!an Corollaire

Tous les d ériv ées successives d’un polyn ôme de A[X ] sont des polyn ômes de A[X ] :

(44)

(45)

(46)

(47)

Lemme

Soit A un anneau unitaire. f =Pn

k =0akXk un polyn ˆome `a coefficients dans A.

∀k = 0, 1, ..., n : fk_{(0) = k !a} k Lemme

Soit K un corp commutatif de caract ´eristique 0. f =Pn

k =0akXk un polyn ˆome

`a coefficients dans K.

∀k = 0, 1, ..., n : ak =

fk(0) k !

(48)

Th éor èm é(Formule de Mac-laurin)

Soit K un corp commutatif de caract éristique 0 et f un polyn ôme à coefficients dans K tel que d◦(f ) ≤ n. Alors :

f = n X k =0 f(k )₍₀₎ k ! X k =f (0) + f0(0)X +f 00 (0) 2! X2+ ... + f(n)(0) n! Xn

Cette formule est appel é la formule de Mac-laurin appliqu ée à f

Exercice

Trouver le polyn ˆome P ∈ R[X ] qui v ´erifie les proprietes suivantes : P(0) = −3, P0(0) = 25, P(2)(0) = 22, P(3)(0) = −72, P(4)(0) = 48 et

(49)

Th éor èm é(Formule de Mac-laurin)

Soit K un corp commutatif de caract éristique 0 et f un polyn ôme à coefficients dans K tel que d◦(f ) ≤ n. Alors :

f = n X k =0 f(k )₍₀₎ k ! X k =f (0) + f0(0)X +f 00 (0) 2! X2+ ... + f(n)(0) n! Xn

Cette formule est appel é la formule de Mac-laurin appliqu ée à f

Exercice

Trouver le polyn ˆome P ∈ R[X ] qui v ´erifie les proprietes suivantes : P(0) = −3, P0(0) = 25, P(2)(0) = 22, P(3)(0) = −72, P(4)(0) = 48 et

(50)

Th ´eor `eme (Formule de Taylor)

Soient K un corp commutatif de caract éristique 0 et f un polyn ôme à coefficients dans K tel que d◦(f ) ≤ n et α ∈ K .. Alors :

f = n X k =0 fk(α) k ! (X − α) k =f (α) + f0(α)(X − α) + f 00 (α) 2! (X − α) 2_{+ ... +}f(n)(α) n! (X − α) n

cette formule appel ée la formule de Taylor appliqu ée aux polyn ôme f et α

Exemple

(51)

Th ´eor `eme (Formule de Taylor)

Soient K un corp commutatif de caract éristique 0 et f un polyn ôme à coefficients dans K tel que d◦(f ) ≤ n et α ∈ K .. Alors :

f = n X k =0 fk(α) k ! (X − α) k =f (α) + f0(α)(X − α) + f 00 (α) 2! (X − α) 2_{+ ... +}f(n)(α) n! (X − α) n

cette formule appel ée la formule de Taylor appliqu ée aux polyn ôme f et α

Exemple

(52)

Th éor ème et d éfinition

Soit K un anneau commutatif unitaire. Soient A et B deux polyn ômes à coefficients dans K. Si B est non nul et si le coefficient dominant de B est inversible dans K, alors il existe ununiquecouple (Q, R) de polyn ômes tel que

A = QB + R et degR < degB

Q est appel ´ele quotientde la division euclidienne de A par B R estle restede la division euclidienne de A par B.

La recherche de Q et R est appel ´e la division euclidienne de A par B ou la division de A par B

Cas particulier

(53)

Soit K un anneau commutatif unitaire. Soient A et B deux polyn ômes à coefficients dans K. Si B est non nul et si le coefficient dominant de B est inversible dans K, alors il existe ununiquecouple (Q, R) de polyn ômes tel que

A = QB + R et degR < degB

Q est appel ´ele quotientde la division euclidienne de A par B R estle restede la division euclidienne de A par B.

La recherche de Q et R est appel ´e la division euclidienne de A par B ou la division de A par B

Cas particulier

(54)

Corollaire

1 _{Si B est unitaire alors le quotient et le reste de la division euclidienne de}

A par B existent

2 _{Si B est non nul et si K est un corps commutatif alors le quotient et le}

(55)

Exemple Soient A = 6X5₊_5X4_{− 4X}3_{− 5X}2_{− 2 et B = 2X}3₊_3X2_{− 5.} A = 6X5₊_5X4_{− 4X}3_{− 5X}2 _{− 2} −6X5_{− 9X}4 ₊_15X2 − 4X4_{− 4X}3₊_10X2 _{− 2} 4X4+6X3 − 10X 2X3+10X2− 10X − 2 −2X3_{− 3X}2 ₊₅ R = 7X2_{− 10X + 3} B = 2X3+3X2− 5 Q = 3X2_{− 2X + 1} .

Donc : Q = 3X2_{− 2X + 1 est le quotient de la division euclidienne de A par B} et R = 7X2_{− 10X + 3 est le reste de la division euclidienne de A par B.}

(56)

Exemple Soient A = 6X5₊_5X4_{− 4X}3_{− 5X}2_{− 2 et B = 2X}3₊_3X2_{− 5.} A = 6X5₊_5X4_{− 4X}3_{− 5X}2 _{− 2} −6X5_{− 9X}4 ₊_15X2 − 4X4_{− 4X}3₊_10X2 _{− 2} 4X4+6X3 − 10X 2X3+10X2− 10X − 2 −2X3_{− 3X}2 ₊₅ R = 7X2_{− 10X + 3} B = 2X3+3X2− 5 Q = 3X2_{− 2X + 1} .

Donc : Q = 3X2_{− 2X + 1 est le quotient de la division euclidienne de A par B}

(57)

Exemple Divison A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{par 3X}3₊_{2X :} A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 _{B = 3X}3₊_2X −6X7_{− 4X}5 _{Q = 2X}4_{− X}3₊₂ −3X6_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 3X6₊_2X4 6X3₊_X2 −6X3_{− 4X} R = X2_{− 4X} 6X7− 3X6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{= (2X}4_{− X}3₊₂₎ | {z } quotient (3X3+2X ) + (X2− 4X ) | {z } reste

(58)

Exemple Divison A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{par 3X}3₊_{2X :} A = 6X7_{− 3X}6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 _{B = 3X}3₊_2X −6X7_{− 4X}5 _{Q = 2X}4_{− X}3₊₂ −3X6_{− 2X}4₊_6X3₊_X2 3X6₊_2X4 6X3₊_X2 −6X3_{− 4X} R = X2_{− 4X} 6X7− 3X6₊_4X5_{− 2X}4₊_6X3₊_X2_{= (2X}4_{− X}3₊₂₎ | {z } quotient (3X3+2X ) + (X2− 4X ) | {z } reste

(59)

Exercice

Soit P un polyn ˆome de R[X ]. Soient a et b deux r ´eels distincts. Trouver le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P(a) et P(b).

Exercice

1 _{Dans Z/4Z[X ], on ne peut pas trouver (Q, R) ∈ (Z/4Z[X ])}2_{tel que}

X 3 + 1 = Q.(2X ) + R avec degR ≤ 1.

2 _{Effectuer la division de A = X}4₊_3X3₊_{2X par B = 3X}3₊_{1 dans}

(60)

D ´efinition

Soient A, A0, ...,An,P des polyn ˆomes `a coefficients dans K . Si on a les deux

propri ´et ´es suivantes :

1 A = n P k =0 AkPk =A0+A1P + ... + AnPn. 2 ∀k = 0, ..., n : d0_A k ≺ d0P. On dit que A = n P k =0

AkPk est un d ´eveloppement de A suivant les puissances

(61)

Exemple

Soit A = X7_{− 5X}6₊_15X5_{− 26X}4₊_33X3_{− 20X}2₊_{6X + 7 et}

P = X2_{− 2X + 3. Alors :}

A = X − 8 + (2X + 5) P + (4X − 9) P2+ (X + 3) P3 est le d ´eveloppement du polyn ˆome A suivant les puissances de P.

(62)

Proposition

Soient A un polyn ôme à coefficients dans K et α un él ément de K . Pour tout entier naturel n ≥ d0_{A, le d éveloppement suivant les puissances de X − α est}

de la forme A =

n

P

k =0

(63)

Soient A =

n

X

k =0

akXk =a0+a1X + ... + anXn∈ K [X ] avec an6= 0 et α ∈ K .

Q le quotient de A par X − α et R le reste de A par X − α. Supposons que n ≥ 2. Alors, il existe b0,b1, ...,bn−1∈ K tels que

Q = n−1 X k =0 bkXk =b0+b1X + ... + bn−1Xn−1 avec b0,b1, ...,bn−1et R v ´erifiant       bn−1 =an bn−2 =an−1+ αbn−1 bn−3 =an−2+ αbn−2

(64)

M ´ethode de calcule

Pratiquement pour calculer les nombres b0, ...,bn−1et R on peut utiliser le

tableau suivant appel éle proc éd é de H örner

an an−1 ... a1 a0

α αbn−1 ... αb1 αb0

(65)

Exercice

Soit A = 2X5+ −7X4+5X2+13X + 6

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par X − 3 en utilisant le proc éd é de H örner :

R ´eponse a5=2 a4= −7 a3=0 a2=5 a1=13 a0=6 3 6 −3 −9 −12 3 b4=2 b3= −1 b2= −3 b1= −4 b0=1 R = 9 Donc A = (2X4+ −X3− 3X2_{− 4X + 1)(X − 3) + 9}

(66)

Exercice

Soit A = 2X5+ −7X4+5X2+13X + 6

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par X − 3 en utilisant le proc éd é de H örner :

R ´eponse a5=2 a4= −7 a3=0 a2=5 a1=13 a0=6 3 6 −3 −9 −12 3 b4=2 b3= −1 b2= −3 b1= −4 b0=1 R = 9 Donc A = (2X4+ −X3− 3X2_{− 4X + 1)(X − 3) + 9}

(67)

Exercice

Soit B = X4+ −6X3+12X2− 10X + 3

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de B par X − 1 en utilisant le proc éd é de H örner

(68)

3 6 3 2 −1 −3 −4 1 9 3 6 15 36 96 2 5 12 32 97 3 6 33 135 2 11 45 167 3 6 51 2 17 96 3 6 2 23 3 2 Donc : A = 9 + 97 (X − 3) + 167 (X − 3)2+96 (X − 3)3+23 (X − 3)4+2 (X − 3)5

(69)

D ´efinition

Soient A et B deux polyn ˆomes de K [X ]. On dit que            BdiviseA ou B estun diviseurde A ou A est unmultiplede B et on noteB|A

s’il existe un poly ˆome Q ∈ K [X ] tel que A = BQ. C’est `a dire

(70)

Soient A, B ∈ K [X ]? _{et R le reste de la division euclidienne de A par B alors} 1 _{B|A ⇐⇒ R = 0}

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

3 _{On suppose que K est int ègre et que A est un polyn ôme à coefficients}

dans K.

Si α1, ..., αnsont des racines distinctes de A alors :Qi=ni=1(X − αi)

divise A.

Le nombre des racines d’un polyn ˆome non nul A est fini et si r est le nombre des racines de A alors r ≤ d◦(A).

Si A est un polyn ôme à coefficients dans K qui admet une infinit é de racines dans K, alors A est nul.

(71)

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

dans K.

Si α1, ..., αnsont des racines distinctes de A alors :Qi=ni=1(X − αi) divise A.

(72)

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

dans K.

Si α1, ..., αnsont des racines distinctes de A alors :Qi=ni=1(X − αi) divise A.

(73)

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

dans K.

divise A.

(74)

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

dans K.

divise A.

(75)

2 ∀α ∈ K , (X − α)|A ⇐⇒ A(α) = 0.

dans K.

divise A.

(76)

D ´efinition

Soient A, B ∈ K [X ]. On dit que A est associ é à B ou que A et B sont associ és et on noteA ∼ Bsi A divise B et B divise A :

A ∼ B ⇐⇒

A|B B|A

Propri ´et ´es

Soient A, B, C ∈ K [X ].

1 _{Si K est int `egre alors A ∼ B ⇐⇒ ∃α ∈ U(K), B = αA} 2 Si K est int `egre alors A ∼ B =⇒ d0A = d0B

(77)

D ´efinition

A ∼ B ⇐⇒

A|B B|A

Propri ´et ´es

(78)

D ´efinition

A ∼ B ⇐⇒

A|B B|A

Propri ´et ´es

(79)

Soit K un corp commutatif. Soient A, B, D ∈K[X ]?_{. On dit que D est} _{le pgcd}

de A et B si on a les deux propri ´et ´es suivantes :

1 _{D est unitaire.}

2 _{D est un diviseur commun de A et B. C’est `a dire}

D|A D|B

3 _{Tous les diviseurs communs `a A et B sont des diviseurs de D. C’est `a}

dire ∀∆ ∈ K[X ] : ∆|A =⇒ ∆|D

(80)

D ´efinition

Soient A, B ∈ K [X ]?_.

(81)

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ (K [X ])?_{,Il existe un unique polyn ˆome unitaire D de plus grand}

degr ´e qui divise `a la fois A et B. En plus : A ∧ B = D ⇔ (A) + (B) = (D)

(82)

A = BQ1+R1et degR1≤ degB B = R1Q2+R2et degR2≤ degR1 R1=R2Q3+R3et degR3≤ degR2 ... Rk −2=Rk −1Qk +Rk et degRk <degRk −1 Rk −1=RkQk +1

Soit ak le coefficient dominant du dernier reste non nul Rk. Alors

1 ak

Rk =A ∧ B

(83)

Exercice Soient A = 8X5₊_4X4₊_10X3_{− 5X}2₊_{X − 1 et} B = 4X4₊_4X3₊_5X2_{− 2X − 1. Calculer le pgcd de A et B.} R ´eponse Alors        A = BQ1+R1 avec Q1=2X − 1 etR1=4X3+4X2+X − 2 B = R1Q2+R2 avec Q2=X etR2=4X2− 1 R1=R2Q3+R3 avec Q3=X + 1 etR3=2X − 1 R2=R3Q4+R4 avec Q4=2X − 1 etR4=0 1 2R3=X −12 est le pgcd de A et B

(84)

(85)

(86)

Exercice

SoientA = 4X3₊_2X2₊_{X + 1 etB = X}3₊_4X2_{de Z/5Z. Calculer le pgcd de}

A et B. R ´eponse        A = BQ1+R1 avec Q1=4 etR1=X2+X + 1 B = R1Q2+R2 avec Q2=X + 3 etR2=X + 2 R1=R2Q3+R3 avec Q3=X + 4 etR3=3 R2=R3Q4+R4 avec Q4=2X + 4 etR4=0 A ∧ B = 1(3 est inversible).

(87)

Exercice

(88)

Exercice

(89)

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ K [X ]? _{et D le pgcd de A et B. Si d}0_{A ≥ 1 et d}0_{B ≥ 1 alors il}

existe deux polyn ˆomes, de K [X ], U et V tels que

(90)

Soient A = 8X5₊_4X4_+10X3_{− 5X}2₊_{X − 1 et B = 4X}4₊_4X3₊_5X2_{− 2X − 1}

D’apr és l’exercice pr éc édent, en utilisant l’algorithme d’euclide, on a montr é queD = X −1₂ est le pgcd de A et B.

En utilisant le m ˆeme algorithme, on a    2D =R1− R2Q3 R2 =B − R1Q2 R1 =A − BQ1 Donc        2D =R1− (B − R1Q2)Q3 =R1(1 + Q2Q3) −BQ3 = (A − BQ1)(1 + Q2Q3) −BQ3 =A(1 + Q2Q3) −B(Q1(1 + Q2Q3) +Q3)

(91)

Th ´eor `eme(Bezout)

A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polyn ˆome U et V `a coefficient dans K tels que

UA + VB = 1

Corollaire

Soient a, b ∈ K . Alors

(92)

Th ´eor `eme(Bezout)

A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polyn ˆome U et V `a coefficient dans K tels que

UA + VB = 1

Corollaire

Soient a, b ∈ K . Alors

(93)

Corollaire

Soient A, B, D ∈ K [X ]?_.

D est un pgcd de A et B si et seulement s’il existe A0,B0∈ K [X ] tels que

   A = A0D B = B0D A0∧ B0=1

(94)

Th éor ème(L’identit é de Gauss) Soient A, B ∈ K [X ]?_. A ∧ B = 1 ⇐⇒ [∀C ∈ K [X ], A|BC ⇒ A|C] Corollaire Soient A, B, C ∈ K [X ]?_. A ∧ B = 1 A ∧ C = 1 =⇒A ∧ BC = 1

(95)

Corollaire

1 _{Si A, B ∈ K [X ]}?_alors _{A ∧ B = 1 =⇒ [∀m ∈ IN, A ∧ B}m₌_1] 2 _{Si A, B ∈ K [X ]}?_alors _{A ∧ B = 1 =⇒ [∀n, m ∈ IN, A}n∧ Bm₌_1]_. 3 _{Si a, b ∈ K avec a 6= b alors} ∀n, m ∈ IN, (X − a)n∧ (X − b)m₌₁

(96)

Corollaire Soient A, P, Q ∈ K [X ]?.    P|A Q|A P ∧ Q = 1 =⇒PQ|A En g ´en ´erale : Corollaire Soient A, P1,P2, ...,Pn∈ K [X ]?_. Si Pk|A ∀k ∈ {1, ..., n} Pk∧ Pl =1 ∀k , l ∈ {1, ..., n} avec k 6= l alors P1P2....Pn |A

(97)

Corollaire Soient A, P, Q ∈ K [X ]?.    P|A Q|A P ∧ Q = 1 =⇒PQ|A En g ´en ´erale : Corollaire Soient A, P1,P2, ...,Pn∈ K [X ]?. Si Pk|A ∀k ∈ {1, ..., n} Pk∧ Pl =1 ∀k , l ∈ {1, ..., n} avec k 6= l alors P1P2....Pn |A

(98)

Corollaire

Soit A ∈ K [X ]?_.

Si a1,a2, ...,ansontdes racines distintesde A alors le produit

(X − a1)(X − a2)...(X − an)est un diviseur de A.

(99)

D ´efinition

Soient A, B, M ∈ K [X ]?_.

On dit que M estle ppcmde A et B s’il v érifie les propri ét és suivantes :

1 _{M est unitaire.}

2 _{M est un multiple de A et B : c’est `a dire}_{A|M et B|M}_.

3 _{Tous les multiples de A et B sont des multiples de M : c’est `a dire}

∀N ∈ K [X ] :

A|N

B|N =⇒M|N

(100)

Proposition

1 _{Soit M ∈ K [X ]}?_{. M est un ppcm de A et B si et seulement si}

(A) ∩ (B) = (M)

2 _{A et B ont au moins un ppcm.}

3 _{Si N est un autre ppcm de A et B, alors M et N sont associ ´es} Proposition

Siaest le coefficient dominant de A etble coefficient dominant de B alors

(101)

On a d ´eja montrer que X −1₂ est le pgcd de A et B. En divisant A par D on trouve :

A = 2A0D avec A0=4X4+4X3+7X2+X + 1

de m ˆeme, on divise B par D :

B = 2B0D avec B0=2X3+3X2+4X + 1 Donc, d’apr és le Th éor ème

M = 1 16A(2X 3₊_3X2₊_{4X + 1) =} 1 16(4X 4₊_4X3₊_7X2₊_{X + 1)B} est le ppcm de A et B

(102)

On a d ´eja montrer que X −1₂ est le pgcd de A et B. En divisant A par D on trouve :

A = 2A0D avec A0=4X4+4X3+7X2+X + 1

de m ˆeme, on divise B par D :

B = 2B0D avec B0=2X3+3X2+4X + 1

Donc, d’apr és le Th éor ème

M = 1 16A(2X 3₊_3X2₊_{4X + 1) =} 1 16(4X 4₊_4X3₊_7X2₊_{X + 1)B} est le ppcm de A et B

(103)

D ´efinition

Soient P ∈ K [X ].

On dit que P est irr ´eductible dans K [X ] (ou P est irr ´eductible) Si

1 _d0_{P ≥ 1}

2 _{Les seules diviseurs de P dans K [X ] sont les constantes non nuls de K}

et les associ ´es de P dans K [X ] c’est `a dire :

P est irr ´eductible dans K[X] ⇔

d0P ≥ 1

∀Q ∈ K [X ] : Q|P ⇒ [Q ∈ K?

(104)

1 ∀P ∈ K [X ] : d0_{P = 1 =⇒ P irr ´eductible dans K [X ]}

2 _{Tous les associ és d’un polyn ôme irr éductible sont irr éductibles dans}

K [X ].

c’est `a dire ∀P, Q ∈ K [X ] :

P irr ´eductibles dans K [X ]

Q ∼ P =⇒Q irr ´eductible dans K[X]

3 _{Soit A ∈ K [X ] et P un polyn ˆome irr ´eductible de K [X ].}

• P|A ⇐⇒ P ∧ A = _α1P 6= 1 (avec α le coefficient dominant de P)

(105)

K [X ].

(106)

K [X ].

(107)

K [X ].

(108)

Proposition

Soit P un polyn ˆome irr ´eductible dans K [X ].

1 ∀A, B ∈ K [X ], P|AB ⇒ P|A ou P|B.

2 ∀A

1,A2, ...,An∈ K [X ] : P|(A1A2...An) ⇒ [∃k ∈ {1, 2, ..., n} tq P|Ak]

(109)

Proposition

1 ∀A, B ∈ K [X ], P|AB ⇒ P|A ou P|B. 2 ∀A

1,A2, ...,An∈ K [X ] : P|(A1A2...An) ⇒ [∃k ∈ {1, 2, ..., n} tq P|Ak]

(110)

Proposition

1 ∀A, B ∈ K [X ], P|AB ⇒ P|A ou P|B. 2 ∀A

1,A2, ...,An∈ K [X ] : P|(A1A2...An) ⇒ [∃k ∈ {1, 2, ..., n} tq P|Ak] 3 ∀A ∈ K [X ], ∀n ∈ IN?_: _P|An⇒ P|A

(111)

Propri ´et ´es

Soient A ∈ K [X ] et P1,P2, ...Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles dans K [X ]. 1 _{Si P1}|A, P

2|A, ..., Pn|A avec P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1P2...Pn|A

2 _{Si P1}k1_{|A, P}

2k2|A, ..., Pnkn|A et P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1k1_P2k2_...Pnkn_|A

(112)

Propri ´et ´es

Soient A ∈ K [X ] et P1,P2, ...Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles dans K [X ]. 1 _{Si P}

1|A, P2|A, ..., Pn|A avec P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1P2...Pn|A

2 _{Si P1}k1_{|A, P}

2k2|A, ..., Pnkn|A et P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1k1_P2k2_...Pnkn_|A

(113)

Propri ´et ´es

Soient A ∈ K [X ] et P1,P2, ...Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles dans K [X ]. 1 _{Si P}

1|A, P2|A, ..., Pn|A avec P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1P2...Pn|A

2 _{Si P}

1k1|A, P2k2|A, ..., Pnkn|A et P1,P2, ...,Pnsont unitaires distincts deux `a

deuxalors

P1k1P2k2...Pnkn|A

(114)

Th ´eor `eme d’Alembert

Un polyn ˆome P est irr ´eductible dans IC[X ] si et seulement si d0_{P = 1.}

c’est `a dire : P est irr ´eductible ⇐⇒ P = aX + b avec a, b ∈ IC.

Th ´eor `eme

Les polyn ˆomes irr ´eductibles dans IR[X ] sont :

1 _{Les polynomes de degr ´e 1.}

2 _{Les polyn ômes de degr é 2 à discriminant strictemant n égatif :}

(115)

Soit A ∈ K [X ]?_{et P ∈ K [X ] − K (c’est `a dire d}0_{P ≥ 1).}

Il existe n ∈ IN unique appel ´eordre de multipicit ´e de P dans A ou ordre de P dans Atel que :

Pn_|A

Pn+1

(116)

Proposition

Soient A ∈ K [X ]?_{et P ∈ K [X ] − K .}

P est d’ordre de multiplicit ´e n ⇐⇒ ∃A0∈ K [X ] tq

A = Pn_A 0

P - A0

(117)

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, a ∈ K et n ∈ IN.}

(X − a) est d’ordre n (ou a est une racine de A d’ordre n) s’il existe A0∈ K [X ]

tel que

A = (X − a)n_A 0

a n’est pas une racine deA0

Si l’ordre de a ´egale `a 1 on dit que a est une racine simple de A.

Si l’ordre de a est sup ´erieure `a 1 on dit que a est une racine multiple de A

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

(118)

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, a ∈ K et n ∈ IN.}

(X − a) est d’ordre n (ou a est une racine de A d’ordre n) s’il existe A0∈ K [X ]

tel que

A = (X − a)n_A 0

a n’est pas une racine deA0

Si l’ordre de a ´egale `a 1 on dit que a est une racine simple de A.

Si l’ordre de a est sup ´erieure `a 1 on dit que a est une racine multiple de A

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

(119)

R ´eponce 2 5 7 9 7 3 1 −1 −1 −1 −2 −3 −4 -5 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 −1 R = 0 −1 −2 −1 −3 −2 0 −1 1 2 1 3 2 0 1 −1 R = 0 −1 −2 1 −4 2 −2 1 2 −1 4 −2 2 −1 R = 0 −1 −2 3 −7 9 −11 2 −3 7 −9 11 R = −12 Ainsi     

−1 est une racine de A d’ordre 3

A = (X + 1)3_(2X5_{− X}4₊_4X3_{− 2X}2₊_{2X − 1)}

(120)

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, n ∈ IN et a, b ∈ K avec a 6= b.}

Si n est l’ordre de multiplicit ´e de a dans A

et A0est le quotient de la division de A par (X − a)n

alors

l’ordre de multiplicit é deb dans A égale à l’ordre de multiplicit é deb dans A0

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

Utiliser le proc éd é de H ôrner pour montrer que l’ordre de multiplicit é de 1₂ égale à 1 et l’ordre de multiplicit é de i égale à 2.

(121)

Corollaire

Soient A ∈ K [X ]?_{, n ∈ IN et a, b ∈ K avec a 6= b.}

Si n est l’ordre de multiplicit ´e de a dans A

et A0est le quotient de la division de A par (X − a)n

alors

l’ordre de multiplicit é deb dans A égale à l’ordre de multiplicit é deb dans A0

Exercice

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1}

Utiliser le proc éd é de H ôrner pour montrer que l’ordre de multiplicit é de 1₂ égale à 1 et l’ordre de multiplicit é de i égale à 2.

(122)

Exercice(Suite) On a A = (X + 1)3(2X5− X4₊_4X3_{− 2X}2₊_{2X − 1)} 2 −1 4 −2 2 −1 1 2 1 0 2 0 1 2 0 4 0 2 R = 0 i 2i −2 2i −2 2 2i 2 2i R = 0 i 2i −4 −2i 2 4i −2 R = 0 i 2i −6 −2i 2 6i R = −8

(123)

1 _{Soient A, P ∈ K[X ] et n ∈ N}?_. Pn|A ⇒ Pn−1_|A0 2 _{Soient A, P ∈ K[X ] et n ∈ N}?_. Pn|A ⇒ ∀k = 0, 1, ..., n − 1, Pn−k_|A(k ) 3 _{Soient A, P ∈ K[X ] et n ∈ N}?_. Pn_{|A ⇒ ∀k = 0, 1, ..., n − 1, P|A}(k ) Proposition Soient A ∈ K [X ]?_{, a ∈ K et n ∈ IN}?_.

a est une racine de A d’ordre de multiplicit ´e n si et seulement si

(124)

Soit A = 2X8₊_5X7₊_7X6₊_9X5₊_7X4₊_3X3₊_X2_{− X − 1. Calculler l’ordre} de multiplicit ´e de 1,1 2 et i. 1 _{A(−1) = A(}1 2) =A(i) = 0 Donc−1,1

2,i sont des racines de A.

2 _A0 ₌_16X7₊_35X6₊_42X5₊_{45X 4 + 28X}3₊_9X2₊_{2X − 1}

donc A0(−1) = A0(i) = 0 et A0(1₂) 6=0 D’ou 1

2est une racine simple de A.

3 _A00₌_112X6₊_210X5₊_210X4₊_180X3₊_84X2₊_{18X + 2}

donc A(2)_{(−1) = 0 et A}(2)_{(i) 6= 0}

D’oui est une racine multiple de A

(125)

2 _A0 ₌_16X7₊_35X6₊_42X5₊_{45X 4 + 28X}3₊_9X2₊_{2X − 1}

donc A0(−1) = A0(i) = 0 et A0(1₂) 6=0 D’ou 1

3 _A00₌_112X6₊_210X5₊_210X4₊_180X3₊_84X2₊_{18X + 2}

donc A(2)_{(−1) = 0 et A}(2)_{(i) 6= 0}

(126)

2 _A0 ₌_16X7₊_35X6₊_42X5₊_{45X 4 + 28X}3₊_9X2₊_{2X − 1}

donc A0(−1) = A0(i) = 0 et A0(1₂) 6=0 D’ou 1

3 _A00₌_112X6₊_210X5₊_210X4₊_180X3₊_84X2₊_{18X + 2}

donc A(2)_{(−1) = 0 et A}(2)_{(i) 6= 0}

(127)

2 _A0 ₌_16X7₊_35X6₊_42X5₊_{45X 4 + 28X}3₊_9X2₊_{2X − 1}

donc A0(−1) = A0(i) = 0 et A0(1₂) 6=0 D’ou 1

3 _A00₌_112X6₊_210X5₊_210X4₊_180X3₊_84X2₊_{18X + 2}

donc A(2)_{(−1) = 0 et A}(2)_{(i) 6= 0}

(128)

D ´efinition

Soient A ∈ K [X ], P1,P2, ...,Pndes polyn ˆomes irr ´eductiblesunitaires dans

K [X ] distincts deux `a deux, α1, α2, ..., αn∈ IN?et a ∈ K?

Si A = aPα1 1 P α2 2 ...P αn n on dit que aPα1 1 P α2 2 ...P αn

n est une d ´ecomposition de A en facteurs irr ´eductibles unitaires

dans K [X ] ou

aP₁α1P₂α2...Pnαn est une factorisation de A en facteurs irr ´eductibles unitaires

(129)

Th ´eor `eme

Tout polyn ôme non constant A (c’est à dire d0A ≥ 1) à coefficient dans K admet une d écomposition en facteurs irr éductibles unitaires aPα1

1 P α2 2 ...P αn n et une seule.

• a est le coefficient dominant de A

• P1,P2, ...,Pnsont les diviseurs irr ´eductibles unitaires de A dans

K [X ] distincts deux `a deux.

• α₁, α₂, ..., α_nsont les ordres de multiplicit ´e de P1,P2, ...,Pndans

(130)

Corollaire

∀A ∈ IC[X ].

La d écomposition en facteurs irr éductibles unitaires de A dans IC[X ] est égale à

a(X − a1)α1(X − a2)α2...(X − an)αn

avec

• a est le coefficient dominant de A

• a1,a2, ...,ansont les racines dictinctes de A dans IC. • α₁, α₂, ..., α_nsont les ordres de multiplicit ´e des racines

(131)

Soit A = 2X8+5X7+7X6+9X5+7X4+3X3+X2− X − 1. D ´ecomposer A en facteurs irr ´eductibles unitaires.

En utilisant le proc éd é de Horner, on a d éja montr é que

1 −1 est une racines de A d’ordre 3 et que

A = (X + 1)3_A

1 avec A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1

2 1

2est une racine simple de A et que

A = (X + 1)3_{(X −}1 2)(2X 4₊_4X2₊_{2) =} 2(X + 1)3_{(X −}1 2)(X 4₊_2X2₊_{1) = 2(X + 1)}3_{(X −}1 2)(X 2₊₁₎2

(132)

A = (X + 1)3_A

1 avec A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1

2 1

A = (X + 1)3_{(X −}1 2)(2X 4₊_4X2₊_{2) =} 2(X + 1)3_{(X −}1 2)(X 4₊_2X2₊_{1) = 2(X + 1)}3_{(X −}1 2)(X 2₊₁₎2

(133)

A = (X + 1)3_A

1 avec A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1

2 1

A = (X + 1)3_{(X −}1 2)(2X 4₊_4X2₊_{2) =} 2(X + 1)3_{(X −}1 2)(X 4₊_2X2₊_{1) = 2(X + 1)}3_{(X −}1 2)(X 2₊₁₎2

(134)

A = (X + 1)3_A

1 avec A1=2X5− X4+4X3− 2X2+2X − 1

2 1

A = (X + 1)3_{(X −}1 2)(2X 4₊_4X2₊_{2) =} 2(X + 1)3_{(X −}1 2)(X 4₊_2X2₊_{1) = 2(X + 1)}3_{(X −}1 2)(X 2₊₁₎2 3 _{i est une racines de A d’ordre 2 avec}

(135)

Exemple(Suite)

Alors

A = 2(X + 1)3(X −1

2)(X − i)

2_{(X + i)}2

est la decomposition de A en facteurs irr ´eductibles dans IC[X ] et

A = 2(X + 1)3(X −1 2)(X

2₊₁₎2

(136)

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ K [X ], P1,P2, ...,Pndes polyn ˆomes irr ´eductibles unitaires dans

K [X ] non associ ´es deux `a deux, α1, α2, ..., αn, β1, β2, ..., βn∈ IN et a, b ∈ K?.

Si A = aP₁α1P₂α2...Pnαn et B = bP β1 1 P β2 2 ...P βn

n alors on a les trois propri ´et ´es

suivantes : 1 _{A|B ⇔ [∀k = 1, 2, ..., n α} k ≤ βk] 2 _PMin(α1,β1) 1 P Min(α2,β2) 2 ...P Min(αn,βn) n est le pgcd de A et B. 3 _PMax (α1,β1) 1 P Max (α2,β2) 2 ...P Max (αn,βn) n est le ppcm de A et B. c’est `a dire ∗ A ∧ B = PMin(α1,β1) 1 P Min(α2,β2) 2 ...P Min(αn,βn) n

(137)

Th ´eor `eme

(138)

Th ´eor `eme

(139)

Th ´eor `eme

(140)

Soit A = 3(X + 5)4_{(X − 3)(2X − 4)}2_(2X2₊₁₎3 B = 5(X + 5)2(2X − 4)3(X2+1)5(2X2+1) alors A = 3(X + 5)4_{(X − 3)(2X − 4)}2_(X2₊₁₎0_(2X2₊₁₎3 B = 5(X + 5)2_{(X − 3)}0_{(2X − 4)}3_(X2₊₁₎5_(2X2₊₁₎ Donc (X + 5)2(X − 3)0(2X − 4)2(X2+1)0(2X2+1) est un pgcd de A et B et (X + 5)4(X − 3)(2X − 4)3(X2+1)5(2X2+1)3est un ppcm de A et B Ainsi A ∧ B = (X + 5)2(X − 2)2(X2+1 2) A ∨ B = (X + 5)4(X − 3)(X − 2)3(X2+1)5(X2+1)3

(141)

(142)

(143)

Soient A, B ∈ K [X ]. Si B 6= 0 alors

pour tout entier n ∈ IN il existe d’une fac¸on unique deux polyn ˆomes Q, R ∈ K [X ] tels que :

A = BQ + Xn+1_R

d0_{Q ≤ n}

Q est appel é le quotient de la division de A par B à l’ordre n. Xn+1_{R le reste de la division de A par B à l’ordre n.}

(144)

Exercice

Soient A = 7X − 18, B = 3X2− X + 2 et n = 3. Calculer le quotient et le reste de la division de A par B `a l’ordre 3.

A = −18 + 7X B = 2 − X + 3X2 18 − 9X + 27X2 _{Q = −9 − X + 13X}2₊_8X3 −2X + 27X2 2X − X2₊_3X3 26X2+3X3 −26X2₊_13X3_{− 39X}4 16X3_{− 39X}4 −16X3₊_8X4_{− 24X}5 −31X4_{− 24X}5 = −X4_{(24X + 31)}

(145)

Exercice

Soient A = 7X − 18, B = 3X2− X + 2 et n = 3. Calculer le quotient et le reste de la division de A par B `a l’ordre 3.

A = −18 + 7X B = 2 − X + 3X2 18 − 9X + 27X2 _{Q = −9 − X + 13X}2₊_8X3 −2X + 27X2 2X − X2₊_3X3 26X2+3X3 −26X2₊_13X3_{− 39X}4 16X3_{− 39X}4 −16X3₊_8X4_{− 24X}5 −31X4_{− 24X}5 = −X4_{(24X + 31)}