Inéquations du premier degré à une inconnue

Inéquations du premier degré à une inconnue

Inéquation

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité.

Définition

Exemples : a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d

L’ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l’ensemble-solution.

Inéquation

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité.

Voici une égalité.

4 X 2 = 8

Voici une inégalité.

4 X 3 > 8 12 > 8

Voici une équation.

3 x = 12

Voici une inéquation.

3 x > 12

Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne qu’une seule valeur possible pour la variable.

Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

Remarques

3 x = 12

3 x > 12 3 3 x = 4

3 3 x > 4 En intervalles, ^{] 4 , +}

∞

Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

3 x > 12 x > 4

Vérifions avec quelques valeurs possibles :

Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12

Inégalité vraie.

15 > 12 Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12 21 > 12 Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12 27 > 12 Pour x égal 10 : 3 X 10 > 12

30 > 12

En intervalles : ^{] 4 , +}

∞

3 x > 12 x > 4

Inégalité vraie.

Inégalité vraie.

Inégalité vraie.

Règles de transformation des inéquations

Les règles de résolution des inéquations sont les mêmes que pour les équations, excepté lorsqu’on retrouve des facteurs négatifs.

3 x = 12 3 x > 12

3 3 x = 4

3 3 x > 4

Équations Inéquations

C’est la solution qui est différente.

Pour que ce terme soit égal à 12, x ne peut pas valoir autre chose que 4.

Pour que ce terme soit plus grand que 12, x peut prendre plusieurs valeurs.

Exemple :

3

x

3

x

x

3 3

x

5 , ⁺

∞

x

3

x

3

x

x

3 3

x

Remarque : Cette expression

^x

∞

toutes les valeurs de

x

∞

4

x

x

+ 17 + 17

5

x

x x

x

4

x

x

x

4

x

x

4

x

x

+ 17 + 17 5

x

x

4

x

x

x

4

x

x

-

x

x

Résous les équations et les inéquations suivantes.

Règles de transformation des inéquations

Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve le sens de cette inéquation.

2a + 5 > 6 2a + 5 > 6 2a > 1

– 5 – 5

5a – 6 ≤ 16 5a – 6 ≤ 16 5a ≤ 22

+ 6 + 6

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif conserve le sens de cette inéquation.

a – 2 ≥ -5 8 – 5a > 14

3a – 6 ≥ -15 ÷ 3

( )

4 – 2,5a > 7 × 2

( )

3a – 6 ≥ -15 3 3 3

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple algébrique.

-2x > 6

Ce terme doit être plus grand que 6.

-2x > 6

x > -3

Vérifions : - 2x > 6

- 2 X -2 > 6

Faux.

4 > 6 - 2 X 0 > 6

Faux.

0 > 6 - 2 X 3 > 6

Faux.

-6 > 6 -2 -2

Règles de transformation des inéquations

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

-2x > 6

Ce terme doit être plus grand que 6.

-2x > 6

x < -3

Vérifions : - 2x > 6

- 2 X -4 > 6

Vrai.

8 > 6 - 2 X -5 > 6

Vrai.

10 > 6 - 2 X -9 > 6

Vrai.

18 > 6 -2 -2

Il faut donc inverser le signe.

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif, on doit inverser le sens de cette inéquation.

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

-3a > 21

a < -7 4 – 8a ≥ 26

-8 + 16a ≤ - 52

÷ -3

( )

× -2

( )

Remarque : Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans l’inéquation.

-3a > 21 -3 -3

- a ≤ 4 donc - a ≤ 4 -1 -1 a ≥ -4

ou -1 X - a ≤ 4 X -1

a ≥ -4 Exemple :

Règles de transformation des inéquations

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles.

2x + 50 ≥ 250

2x + 50 – 50 ≥ 250 – 50 2x ≥ 200

2 2

x ≥ 100 ^x 100 , ⁺

∞

-5x + 100 > 100

-5x + 100 – 100 > 100 – 100 -5x > 0

-5 -5

x < 0 ^{x -}

∞

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles.

5x + 18 ≥ 3

5x + 0 ≥ -15 5x ≥ -15 5 5

x ≥ -3 - 18 - 18 5x + 18 ≥ 3

-9

x

-9

x

x

-9 -9

x

-9

x

[ -3 , ⁺

∞

x ^{x -}

∞

Résolution d’une inéquation

Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, c’est résoudre cette inéquation.

Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution.

Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On s’intéresse aux dimensions possibles du terrain.

Exemple :

1. Les inconnues sont :

•la largeur du terrain;

•la longueur du terrain.

2. Largeur du terrain (en m) :

x

Longueur du terrain (en m) : 3

x

3. L’expression 2 (3

x

x

4. Résoudre l’inéquation :

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m.

Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

On a donc 2(

x

x

x

x

8

x

8

x

x ≥ 21 Périmètre : 2 (L + l)

8

x

8 8

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m.

Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

22 m 3 X 22 + 5 = 71 m 25 m 3 X 25 + 5 = 80 m

30 m 3 X 30 + 5 = 95 m

186 m 210 m

250 m Possibilités : largeur longueur périmètre

x

x

21 m 3 X 21 + 5 = 68 m 2 (68 + 21) = 178 m 2 (71 + 22) =

2 (80 + 25) =

2 (95 + 30) =

… … … …

Le périmètre du terrain rectangulaire est d’au moins 178 m.

Il y a, donc beaucoup de valeurs possibles pour la variable.

c Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm³ ? Volume _cube = c³

c < ³ 343 Volume < 343 cm³

c³ < 343 cm³ Donc,

c < 7 cm

Mais

- positive, car une mesure négative en géométrie est impossible;

- plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il n’y aurait pas de cube.

Remarque : Avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions.

Réponse : 0 cm < c < 7 cm Il faut donc restreindre les valeurs de c.

soit

0 7