FO F ON N CT C TI IO ON NS S C CO ON NV VE EX XE ES S D D' 'U UN N E E V V A A RI R IA A BL B LE E R RE EE EL LL LE E

(1)

FO F ON N CT C TI IO ON NS S C CO ON NV VE EX XE ES S D D' 'U UN N E E V V A A RI R IA A BL B LE E R RE EE EL LL LE E

1 Notion de fonction convexe

1.1 Théorème fondamental

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de \. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) ∀x y, ∈ ∀ ∈I, t [ 0;1], f tx( + −(1 t y) )≤t f x( ) (1+ −t f y) ( ).

(ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , ( ) f y f x f z f x f z f y

x y z I x y z

y x z x z y

− − −

∀ ∈ < < ⇒ ≤ ≤

− − − .

(iii) ( ) ( )

, f t f a

a I t

t a

∀ ∈ −

6 − est croissante sur ^I^\

{ }

^a ^.

(iv)

1 1 1

, , , ( ) 0

( ) ( ) ( )

x y z I x y z x y z

f x f y f z

∀ ∈ < < ⇒ ≥ .

(v) L'ensemble ^A⁼

{

^{( ; )}^{x y} ^∈^\²^/^x^∈^{I et f x}^{( )}^≤^y

}

(appelé épigraphe de f ) est une partie convexe de \².

Démonstration ( )i ⇒( )ii

Soient , ,x y z∈I tels que x< <y z. Il existe t₀∈]0;1[ tel que y=t x₀ + −(1 t z₀) . Alors ₀ y z

t x z

= −

− et 1 ₀ x z y z x y

t x z x z x z

− − −

− = − =

− − − .

D'après (i) :

0 0

( ) ( ) (1 ) ( )

f y ≤t f x + −t f z ( ) y z ( ) x y ( )

f y f x f z

x z x z

− −

≤ +

− − (1.1)

( ) ( ) y z 1 ( ) x y ( )

f y f x f x f z

x z x z

− −

⎛ ⎞

− ≤⎜⎝ − − ⎟⎠ + −

( ) ( ) y x ( ) x y ( )

f y f x f x f z

x z x z

− −

− ≤ +

− −

( ) ( ) y x ( ) y x ( )

f y f x f x f z

z x z x

− −

− ≤ − +

− −

Donc f y( ) f x( ) f z( ) f x( )

y x z x

− ≤ −

− − .

En reprenant la relation (1.1), on a :

( )− ( )≤ −− ( )+⎛⎜⎜⎜⎝ −− − ⎟1⎞⎟⎟⎟⎠ ( )

y z x y

f y f z f x f z

x z x z

(2)

( ) ( ) y z ( ) y z ( )

f y f z f x f z

x z x z

− −

− ≤ −

− −

( ) ( ) ( ) ( )

f y f z f x f z

y z x z

− ≥ −

− − (division par y−z<0) donc f z( ) f x( ) f z( ) f y( )

z x z y

− ≤ −

− −

( )ii ⇒( )iii

Soient t t₁, ₂∈I \

{ }

a , avec t₁<t₂.

Si t₁< <t₂ 0, on applique le (ii) avec ( , , )x y z =( , , )t t a₁ ₂ . Si t₁< <a t₂, on applique le (ii) avec ( , , )x y z =( , , )t a t₁ ₂ . Si a< <t₁ t₂, on applique le (ii) avec ( , , )x y z =( , , )a t t₁ ₂ .

( )iii ⇒( )iv

Soient x y z, , ∈I tels que x< <y z.

1 1 1 1 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y z x y x z x

f x f y f z f x f y f x f z f x

= − −

− −

=⁽^y−^x⁾

(

^{f z}^{( )}−^{f x}^{( )}

)

− −⁽^z ^x⁾

(

^{f y}^{( )}−^{f x}^{( )}

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) f z f x ( )( ) f y f x

y x z x z x y x

z x y x

− −

= − − − − −

− −

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) f z f x f y f x

y x z x

z x y x

⎡ − − ⎤

⎢ ⎥

= − − ⎢⎣ − − − ⎥⎦

Le crochet est positif d'après (iii). Le déterminant est un produit de quantités positives donc est positif.

( )iv ⇒( )i

Soient ,x y∈I. Supposons x≤y. Soit t∈[ 0;1]. D'après (iv),

1 1 1

(1 ) 0

( ) ( (1 ) ) ( )

x t x t y y

f x f tx t y f y

+ − ≥

+ −

Nous allons effectuer les opérations sur les colonnes : c₂← −c₂ t c₁− −(1 t c) ₃, ce qui ne changera pas la valeur du déterminant :

1 0 1

0 0

( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( )

x y

f x f tx t y t f x t f y f y

≥

+ − − − −

( )

(y x) f tx( (1 t y) ) t f x( ) (1 t f y) ( ) 0

− − + − − − − ≥

donc (f t x+(1−t y) )−t f x( )− −(1 t f y) ( )≤0 donc (f tx+ −(1 t y) )≤t f x( ) (1+ −t f y) ( ) donc f vérifie (i).

Si y≤x, on change t en (1−t) pour obtenir le résultat.

(3)

( )i ⇒( )v

Soient ( ;x y₁ ₁) et (x₂;y₂) deux éléments de \² tels que x x₁, ₂∈I et f x( )₁ ≤y₁ et f x( ₂)≤y₂. Notons A l'ensemble ^A⁼

{

^{( ; )}^{x y} ^∈^\²^/^x^∈^{I et f x}^{( )}^≤^y

}

^.

Soit t∈[0;1]. Montrons que

(

t x1+(1−t x t y) 2; 1+(1−t y) 2

)

∈A.

1 (1 ) 2

t x + −t x ∈I car x₁∈I, x₂∈I et I est un intervalle de \.

(

₁ (1 ) ₂

)

( )₁ (1 ) ( ₂) f t x + −t x ≤t f x + −t f x ≤t y₁+(1−t y) ₂

donc

(

t x1+(1−t x t y) 2; 1+(1−t y) 2

)

∈A. ( )v ⇒( )i

Soient ,x y∈Iet [0;1]t∈ .

(

^{x f x}^{; ( )}

)

^∈^A^et

(

^{y f y}^{; ( )}

)

^∈^A. A étant une partie convexe de \², on a :

(

^{t x}⁺⁽¹⁻^{t y t f x}^{) ;} ^{( )}⁺⁽¹⁻^{t y}⁾

)

^∈^A^donc ^{f t x}

(

⁺⁽¹⁻^{t y}⁾

)

^≤^{t f x}^{( )}⁺⁽¹⁻^{t f y}^{) ( )}^.

1.2 Fonction convexe

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de \. Si f vérifie l'une des assertions du théorème précédent, on dit que f est convexe sur I. On dit que f est concave si

(

−^f

)

est convexe.

Conséquences

Une combinaison linéaire de fonctions convexes est convexe (conséquence immédiate de (i)).

Si f est convexe sur un intervalle I de \, et si g est une fonction croissante sur I, alors gD f est convexe (conséquence de (ii)).

1.3 Proposition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \.Alors f est convexe si et seulement si pour tout système de points ( )x_i ₁_{≤ ≤}_{i n} de I et tout système ( )a_i ₁_{≤ ≤}_{i n} de réels positifs vérifiant

1

n k k

a

=

∑

= ^{, on a :}

1 1

( )

n n

k k k k

k k

f a x a f x

= =

⎛ ⎞≤

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

^.

Démonstration

La condition est suffisante car pour n=2, on retrouve le (i) du théorème fondamental. Montrons que la condition est nécessaire.

Notons ( )P n la propriété "pour tout système de points ( )x_i ₁_{≤ ≤}_{i n} de I et tout système ( )a_i ₁_{≤ ≤}_{i n} de réels positifs vérifiant

1

n k k

a

=

∑

= ^{, on a :}

1 1

( )

n n

k k k k

k k

f a x a f x

= =

⎛ ⎞≤

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

^".

(1)

P est vraie (2)

P est vraie (condition (i) du théorème fondamental)

(4)

Supposons ( )P n vraie pour n≥2.

Soient (x_k)₁_{≤ ≤ +}_{k n} ₁ un système de points de I et (a_k)₁_{≤ ≤ +}_{k n} ₁ un système de réels positifs vérifiant

1

n k k

a

+

=

∑

= ^. Si

1

0

n k k

a

=

∑

= ^{, alors}^a^k ⁼⁰ pour tout k tel que 1≤ ≤k n et l'inégalité est vérifiée car P(1) est vraie.

Si

1

0

n k k

a

=

∑

≠ ^{, posons}

1 n

k k

λ a

=

∑

^et

1

1 ⁿ

k k k

y a x

λ ₌

=

∑

^.

( )

1

1 1

1 n

k k n n

k

f ⁺ a x f λy a ₊x ₊

=

⎛ ⎞

= +

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

≤λ f y( )+a_n₊₁f x( _n₊₁) (car P(2) est vraie)

₁ ₁

1

( ) ( )

n k

k n n

k

a f x a f x

λ ₌ λ ⁺ ⁺

≤

∑

+ (car ( )P n est vraie)

1

( )

n

k k

k

a f x

+

=

≤

∑

Donc P n( +1)est vraie.

Donc P n( ) est vraie pour tout entier n∈`^*.

2 Continuité et dérivabilité des fonctions convexes

2.1 Théorème

Soit f une fonction convexe sur un intervalle I de \. Alors f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche en tout point a intérieur à I et f a_g^'( )≤ f a_d^'( ). f est continue sur I

D

. D'autre part, si ,

a b∈I^D et a<b, alors ^' ( ) ( ) ^'

( ) ( )

d g

f b f a

f a f b

b a

≤ − ≤

− . Enfin, f_g^' et f_d^' sont des fonctions croissantes sur I

D

.

Démonstration

Soit a∈I^D. Soit t₀∈I tel que t₀ >a. D'après le (iii) du théorème 1.1, on a :

0 0

( ) ( )

( ) ( ) f t f a

f t f a

t a t a

−

− ≤

− − pour t≤t₀. d'après le théorème de la limite monotone, l'application ( ) ( )

a:

f t f a

t t a

φ ⁻

6 − admet une limite à gauche en a donc f est dérivable à gauche en a et

' 0

0

( ) ( )

g( )

f t f a

f a t a

≤ −

− . Cette dernière inégalité étant vraie pour tout t₀ >a, t₀∈I, on en déduit, par application du théorème de la limite monotone que φ_a admet une limite à droite en a et donc

' '

( ) ( )

g d

f a ≤ f a .

(5)

f étant dérivable à gauche et à droite en a, on en déduit que f est continue à gauche et à droite en a.

Donc f est continue en a.

Soient ,a b∈I^D, avec a<b. d'après ce qui précède :

' ( ) ( )

( ) inf

d t I

t a

f t f a f a ^∈_> t a

= −

− donc ^' ( ) ( )

d( )

f b f a

f a b a

≤ −

−

' ( ) ( ) ( ) ( )

( ) sup sup

g

t I t I

t b t b

f t f b f b f t

f b ∈ t b ∈ b t

< <

− −

= =

− − donc ( ) ( ) ^'

g( ) f b f a

b a f b

− ≤

−

Donc ^' ^' ( ) ( ) ^' ^'

( ) ( ) ( ) ( )

g d g d

f b f a

f a f a f b f b

b a

≤ ≤ − ≤ ≤

− .

Remarque : Il existe des fonctions convexes et non continues, par exemple : :[ 0;1]

0 0 1

0 1

1 1

f

x si x

→

< <

\ 6 6 6

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \. Alors f est convexe sur I si et seulement si f ' est croissante sur I.

Démonstration

Supposons f convexe sur I. Soient ,a b∈I avec a<b. le théorème 2.1 indique que f a_d^'( )≤ f b_g^'( ). Or f est dérivable en a et b donc f a_d^'( )= f a'( ) et f b_g^'( )= f b'( ). f ' est donc croissante sur I.

Supposons maintenant f ' croissante sur I.

Soient x x₁, ₂∈I, avec x₁<x₂ et t∈]0;1[ (le cas t=0 et t=1 est toujours vrai dans le (i) du théorème fondamental).

Posons x=t x₁+ −(1 t x) ₂ (on a x₁< <x x₂).

D'après le théorème des accroissements finis :

Il existe c₁∈]x x₁; [ tel que f x( )− f x( )₁ =(x−x f₁) '( )c₁ Il existe c₂∈] ;x x₂[ tel que f x( ₂)− f x( )=(x₂−x f) '( )c₂ .

Alors ₁ ¹

1

( ) ( )

'( ) f x f x f c

x x

= −

− et ₂ ²

2

( ) ( )

'( ) f x f x

f c

x x

= −

− .

f ' étant croissante sur I, on a f '( )c₁ ≤ f '( )c₂ , c'est-à-dire ¹ ²

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f x f x

x x x x

− ≤ −

− − .

1 (1 )( 2 1)

x− = −x t x −x

2 ( 2 1)

x − =x t x −x

Alors ¹ ² ¹

2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

(1 )( ) ( )

f x f x f x f x

t x x t x x

− −

− − ≤ −

(6)

(

( ) ( )1

)

(1 )

(

( 2) ( )

)

t f x − f x ≤ −t f x − f x

1 2

( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

t f x −t f x ≤ −t f x − −t f x

1 2

( ) ( ) (1 ) ( )

f x ≤t f x + −t f x

f vérifie donc le (i) du théorème fondamental donc f est convexe sur I.

Conséquence : Si f est deux fois dérivable sur I, et si f '' est positive sur I, alors f est convexe.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \. Alors f est convexe si et seulement si sa courbe représentative (C) est au dessus de toutes ses tangentes.

Démonstration

Supposons que f soit dérivable et convexe.

Soit a∈I.

Pour x<a : ( ) ( ) f x f a '( )

f a x a

− ≤

− donc ( )f x ≥(x a f− ) '( )a + f a( ) (car x− <a 0).

pour x>a : ( ) ( ) f x f a '( )

f a x a

− ≥

− donc ( )f x ≥(x a f− ) '( )a + f a( ).

Or la tangente à (C) au point d'abscisse a a pour équation y=(x a f− ) '( )a + f a( ) donc (C) est au- dessus de toutes ses tangentes.

Supposons que f soit dérivable et que sa courbe représentative (C) soit au-dessus de toutes ses tangentes.

, a x I

∀ ∈ , ( )f x ≥(x a f− ) '( )a + f a( ) Soient ,a b∈I. Pour tout x∈I, on a :

( ) ( ) '( ) ( )

f x ≥ x a f− a + f a (2.1)

( ) ( ) '( ) ( )

f x ≥ x b f− b + f b (2.2)

En prenant x=b dans la relation (2.1), on a : ( )f b ≥ −(b a f) '( )a + f a( ). En prenant x=a dans la relation (2.2), on a : f a( )≥(a b f− ) '( )b + f b( ).

En ajoutant membre à membre les deux dernières inégalités, on a : ⁽^{b a}⁻ ⁾

(

^f ^{'( )}^b ⁻ ^f ^{'( )}^a

)

^≥⁰^.

Si a≤b, alors f '( )b − f '( )a ≥0, c'est-à-dire f '( )a ≤ f '( )b . Si a≥b, alors f '( )b − f '( )a ≤0, c'est-à-dire f '( )b ≤ f '( )a . Dans tous les cas, f ' est croissante donc f est convexe.

2.4 Une application du théorème 2.3 : Résolution approchée de f(x)=0

On se place toujours sous l'hypothèse : f de classe C² sur [a;b] telle que 'f et ''f aient un signe constant sur [a;b].

(7)

Partant d'une approximation x₀ de α, on "remplace" maintenant la courbe représentative de f par la tangente à cette courbe au point d'abscisse x₀.

O a b

J

A

B

x1

Equation de cette tangente : ) )(

( ' ) (

:y= f x₀ + f x₀ x−x₀

τ .

0 ) ( ' x₀ ≠

f donc τ n'est pas parallèle à l'axe des abscisses. τ coupe donc l'axe des abscisses en un point d'abscisse

) ( '

) (

0 0 0

1 f x

x x f

x = − . On itère le procédé et on considère les deux cas suivants : Cas 1

si 0f'>0et f">

ou si f'<0et f"<0

on considère la suite (x_n)définie par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

∈

∀ α

∈

+ '( )

) , (

]

; [

1 0

n n n

n f x

x x f

x N n

b x

Cas 2

si 0f'>0et f"<

ou si f'<0et f">0

on considère la suite (x_n) définie par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

∈

∀

α

∈

+ '( )

) , (

]

; [

1 0

n n n

n f x

x x f

x N n

a x

Théorème

On se place sous l'hypothèse (H).

(i) Dans le cas 1 (resp. cas 2), la suite (x_n) est décroissante (resp. croissante) et converge vers α.

(ii)

(

^q^x

)

ⁿ

x q N

n _n 1 ₀ ²

, −α ≤ −α

∈

∀ , avec

1 2

2m q= M .

Démonstration

Comme dans le paragraphe 3, on peut se ramener au cas où f'>0 et f">0 sur [a;b] (alors )

( 0 )

(a f b

f < < ).

(8)

(i)

Soit g la fonction définie sur [a;b] par

) ( '

) (

x f

x x f

x6 − .

) ( '

) ( ) ( ' ) ( )

( '

) ) (

( f x

x f x f x x

f x x f x

g −α −

= α

−

= α

− .

f est de classe C² sur [a;b] donc on peut appliquer la formule de Taylor à l'ordre 1 à la fonction f sur ][x;α (ou [α;x] suivant l'ordre) :

[

; ] α

∈

∃c_x x (ou ]α;x[), "( )

2 ) ) (

( ' ) ( ) ( ) (

2

cx

x f x

f x x

f

f α = + α− + α−

Alors : [1]

) ( '

) (

"

2 ) ) (

(

2

x x

c f

c x f

x

g −α= α− ×

donc 0g(x)−α≥ c'est-à-dire g(x)≥α. ) 0

( '

) ) (

( − =− ≤

x f

x x f

x

g donc g(x)≤x.

Donc pour tout x∈[α;b], ][α;x est un intervalle de stabilité pour g.

Donc )(x_n est bien définie, décroissante et minorée par α donc (x_n) converge. Notons l sa limite.

On a l∈[α;x₀] g étant continue sur [a;b] donc en l, on a g(l)=l l l

f l l f l l

g = ⇔ − =

) ( '

) ) (

(

0 ) ( '

)

( =

⇔ f l l f

⇔ f(l)=0

⇔l=α car est l'unique zéro de f sur [a;b] Donc )(x_n est décroissante et converge vers α

(ii)

[1] donne :

2 1

2

) 2 ( ],

;

[ −α ≤ −α

∈

∀ x

m x M

g b a x

Donc ∀n∈N, x_n₊₁−α = g(x_n)−α ≤q x_n −α². Par une récurrence immédiate, on montre que :

(

^q ^x

)

ⁿ

x q N

n _n 1 ₀ ²

, −α ≤ −α

∈

∀

(9)

Remarque : rien n'assure que q x₀ −α <1

Exemple

On considère la fonction f définie sur [1;2] par x6x²−2. Soit (x_n) la suite définie par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

=

−

=

∈

∀

=

+

n n n

n n

n x x

x f

x x f

x N n x

2 2

1 ) ( '

) , (

2

1 0

.

2

=1

q et x₀− 2 ≤1 donc pour tout entier n, x_n _n 22

2 1 2 ≤ ×

− .

Cherchons une valeur approchée de 2 à 10⁻³ près. On cherche donc n₀ tel que ³

2 10

2

2× 1_n₀ ≤ ⁻ . On obtient 4n₀ ≥ . Valeur obtenue à la machine : x₄ ≈1,41421356237.

3 Inégalités de convexité

3.1 Première inégalité

Soient x₁,...,x_n des réels strictement positifs et λ₁,...,λ_n des réels positifs dont la somme est égale à 1. Alors

1 1

i

n n

i i i

k k

x^λ λ x

=

≤

∑

∏

Démonstration

( )

1 1

exp ln

i

n n

i k k

k k

x^λ λ x

= =

∏

=

∏

1

exp ln

n

k k

k

λ x

=

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

( )

1

exp ln

n

k k

k

λ x

=

≤

∑

(car la fonction exp est convexe, sa dérivée étant une fonction croissante)

1 n

k k k

λ x

=

≤

∑

3.2 Deuxième inégalité

Soient p et q deux réels strictement positifs tels que 1 1

p+ =q 1. Soient u et v deux réels strictement positifs. Alors 1 p 1 q

uv u v

p q

≤ + .

(10)

Démonstration

Posons x₁=u^p, ₁ 1 ₂ ₂ 1 , x v^q,

p q

λ = = λ = . on applique alors l'inégalité 3.1 :

( ) ( )

^p ¹^p ^q ¹^q

uv= u v =x₁^λ¹x₂^λ² ≤λ_{1 1}x +λ₂x₂

donc 1 p 1 q

uv u v

p q

≤ + .

3.3 Inégalité de Holder

Si p et q sont deux réels strictement positifs tels que 1 1

p+ =q 1, si a₁,...,a b_n, ,...,₁ b_n sont des réels strictement positifs, alors :

1 1

1 1 1

n n p n q

p q

k k k k

k k k

a b a b

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

^.

Démonstration

Pour k∈`, 1≤ ≤k n :

Soient ₁

1 k

n p

p k k

u a

a

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

et ₁

1 k

n q

q k k

v b

b

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

. On applique l'inégalité 3.2 :

1 1

1 ^p 1 ^q

k k k k

n n

p q

n p n q

p q k k

k k k k

k k

a b a b

p q

a b

a b ₌ ₌

= =

≤ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

En sommant de 1 à n sur k :

1

1 1

n k k k

n p n q

p q

k k

a b

p q

a b

=

= =

≤ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑ ∑

.

Or, 1 1

p+ =q 1, d'où le résultat.

3.4 Inégalité de Minkowski

Si p>1 et si x₁,...,x y_n, ₁,...,y_n sont des réels strictement positifs, alors :

1 1 1

( )

n p n p n p

p p p

k k k k

k k k

x y x y

= = =

⎛ + ⎞ ≤⎛ ⎞ +⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ^.

(11)

Démonstration

Appliquons deux fois l'inégalité de Holder :

1 1 1

1 ( 1)

1 1 1

( ) ( )

n p n p n q

p p p q

k k k k k k

k k k

x x y ⁻ x x y ⁻

= = =

⎛ + ⎞ ≤⎛ ⎞ ⎛ + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ^{, où}¹_p^{+ =}¹_q ¹^.

1 1 1

1 ( 1)

1 1 1

( ) ( )

n p n p n q

p p p q

k k k k k k

k k k

y x y ⁻ y x y ⁻

= = =

⎛ + ⎞ ≤⎛ ⎞ ⎛ + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠

En additionnant membre à membre les inégalités ci-dessus et en remarquant que (p−1)q= p:

1 1 1

1 1 1 1

( ) ( )

n n q n p n p

p p p p

k k k k k k

k k k k

x y x y x y

= = = =

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟

+ ≤⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝⎜⎜⎝ ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎟⎠

∑ ∑ ∑ ∑

Donc

1 1 1

1

1 1 1

( )

n q n p n p

p p p

k k k k

k k k

x y x y

−

= = =

⎛ + ⎞ ≤⎛ ⎞ +⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ^.

Donc

1 1 1

( )

n p n p n p

p p p

k k k k

k k k

x y x y

= = =

⎛ + ⎞ ≤⎛ ⎞ +⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ^.