Epreuve de Math´ ´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

Soit l’´equation diff´erentielle :

y⁰(t) +y(t) =f⁰(t) (1)

On note y(a⁻) = lim

t→at<a

y(t) et y(a⁺) = lim

t→at>a

y(t)

Partie A

On donne :







f(t) = 0 si t <0 f(t) = 3 si t>0

Dans cette partie, on n’utilise pas la transform´ee de Laplace.

1) R´esoudre sans utiliser la transform´ee de Laplace l’´equation (1) sur l’intervalle ]− ∞; 0 [ D´eterminer ensuite la solution particuli`ere qui v´erifie : y(0⁻) = 0

2) R´esoudre sans utiliser la transform´ee de Laplace l’´equation (1) sur l’intervalle ] 0 ; +∞[ D´eterminer ensuite la solution particuli`ere qui v´erifie : y(0⁺) = 3

3) Pr´eciser les variations dey et tracer sa courbe repr´esentative sur R. Partie B

On donne : f(t) = 3

U(t)− U(t−2)

L’´equation (1)peut alors s’´ecrire sous la forme (2)

y(t) + Z t

0

y(u)du=f(t) (2)

1) Repr´esenter graphiquement le signal t7→f(t)

D´eterminer la transform´ee de Laplace p7→F(p) de la fonctionf. 2) R´esoudre l’´equation (2) `a l’aide de la transform´ee de Laplace.

On pr´ecisera la forme dey(t) sur les intervalles ] − ∞; 0 [ , [ 0 ; 2 [ et [ 2 ; +∞[ 3) Etudier les variations de´ ysur les intervalles [ 0 ; 2 [ et [ 2 ; +∞[

4) Calculer y(2⁻)−y(2⁺)

5) Tracer la courbe repr´esentative de t 7→ y(t), solution de l’´equation (2), dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal

O;−→ i ,−→

j

d’unit´e graphique 2 cm.

Exercice 2

2 On consid`ereH, la fonction de transfert suivante :

H(p) = G k p(θp+ 1)²

dans laquelle G, k, θ sont des constantes positives caract´eristiques d’un syst`eme et p le nombre complexe d´efini par : p=jω avec ω∈] 0 ; +∞[

On s’int´eresse, dans cet exercice, `a la repr´esentation de l’ensemble (C) des points M du plan complexe dont l’affixe estH(jω)

1) a) Montrer que le module r(ω) du nombre complexe H(jω) est : r(ω) =

H(ω)

= G k ω(1 +θ²ω²)

b) Montrer que l’argument de H(jω) admet une mesure en radian ϕ(ω) qui est donn´ee par : ϕ(ω) =−π

2 −2 arctan(θω)

2) a) Etudier les variations de la fonction´ ω7→r(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

On pr´ecisera les limites lorsque ωtend vers 0 par valeurs positives et lorsque ωtend vers +∞.

b) Etudier les variations de la fonction´ ω7→ϕ(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

On pr´ecisera les limites lorsque ωtend vers 0 par valeurs positives et lorsque ωtend vers +∞.

c) Dresser un tableau des variations des fonctions ω7→r(ω) et ω7→ϕ(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

3) a) D´eterminer la partie r´eelle X(ω) et la partie imaginaire Y(ω) du nombre complexe H(jω) b) Calculer X(0⁺) = lim

ω→0⁺X(ω) et Y(0⁺) = lim

ω→0⁺Y(ω).

En d´eduire que la courbe (C) poss`ede une asymptote verticale d’´equation x=−2θGk

4) On se place dans le cas o`u : k= 0,08 ; θ= 20 et G= 1

a) D´eterminer la valeur ω0 de ω telle que ϕ(ω0) =−π. En d´eduirela valeur de r(ω0)

b) Tracer sur la feuille jointe au sujet (que vous rendrez avec votre copie) l’allure de la courbe (C). On n’oubliera pas, pour ce trac´e, d’utiliser le r´esultat de la question1) b), et on utilisera le tableau suivant dans lequel les donn´ees num´eriques sont des valeurs d´ecimales approch´ees `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

ϕ(ω) −2π

3 −3π 4 −5π

6 −π −7π

6 −4π 3 r(ω) 5,57 3,30 2,08 0,80 0,23 0,03

FEUILLE `A RENDRE AVEC LA COPIE

0 1

−1

1

1

−1 2

1 2

−1 2

Epreuve de Math´ ´ ematiques (Solution)

Exercice 1

Soit l’´equation diff´erentielle :

y⁰(t) +y(t) =f⁰(t) (1)

Partie A On donne :

f(t) = 0 si t <0 f(t) = 3 si t>0

1) R´esoudre sans utiliser la transform´ee de Laplace l’´equation (1) sur l’intervalle ]− ∞; 0 [ D´eterminer ensuite la solution particuli`ere qui v´erifie : y(0⁻) = 0

y⁰(t) +y(t) = 0 y(t) =k e^−t y(0⁻) = 0 y(t) = 0

2) R´esoudre sans utiliser la transform´ee de Laplace l’´equation (1) sur l’intervalle ] 0 ; +∞[ D´eterminer ensuite la solution particuli`ere qui v´erifie : y(0⁺) = 3

y⁰(t) +y(t) = 0 y(t) =k e^−t y(0⁺) = 3 y(t) = 3e^−t 3) Pr´eciser les variations dey et tracer sa courbe repr´esentative sur R.

y & sur l’intervalle ] 0 ; +∞[

t y(t)

O ~i

~j 3

Partie B On donne : f(t) = 3

U(t)− U(t−2)

L’´equation (1)peut alors s’´ecrire sous la forme (2)

y(t) + Z t

0

y(u)du=f(t) (2)

1) Repr´esenter graphiquement le signal t7→f(t)

t f(t)

O ~i 2

~j 3

D´eterminer la transform´ee de Laplace p7→F(p) de la fonctionf. F(p) = 3 p−3

pe^−2p

2) R´esoudre l’´equation (2) `a l’aide de la transform´ee de Laplace.

On pr´ecisera la forme dey(t) sur les intervalles ] − ∞; 0 [ , [ 0 ; 2 [ et [ 2 ; +∞[ Y(p) +Y(p)

p =3 p−3

pe^−2p p+ 1

p Y(p) =3 p−3

pe^−2p Y(p) = 3

p+ 1 − 3

p+ 1e^−2p y(t) =e^−tU(t)−e^−(t−2)U(t−2)

y:







t < 0 y(t) = 0 0 6 t < 2 y(t) = 3e^−t 2 6 t y(t) = (3−3e²)e^−t 3) Etudier les variations de´ ysur les intervalles [ 0 ; 2 [ et [ 2 ; +∞[

Sur ]0; 2[ on a y⁰(t) =−3e^−t donc : y &

Sur ]2; +∞[ on a y⁰(t) =−(3−3e²)e^−t donc : y %

4) Calculer y(2⁻)−y(2⁺) y(2⁻)3e⁻² et y(2⁺) = 3e⁻²−3 donc : y(2⁻)−y(2⁺) = 3 5) Tracer la courbe repr´esentative de t 7→ y(t), solution de l’´equation (2), dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal

O;−→ i ,−→

j

d’unit´e graphique 2 cm.

t y(t)

O ~i 2

~j 3

Exercice 2

Dans tout cet exercice, j d´esigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut π 2 On consid`ereH, la fonction de transfert suivante :

H(p) = G k p(θp+ 1)²

dans laquelle G, k, θ sont des constantes positives caract´eristiques d’un syst`eme et p le nombre complexe d´efini par : p=jω avec ω∈] 0 ; +∞[

On s’int´eresse, dans cet exercice, `a la repr´esentation de l’ensemble (C) des points M du plan complexe dont l’affixe estH(jω)

1) a) Montrer que le module r(ω) du nombre complexe H(jω) est : H(p) = G k

p(θp+ 1)² = G k

jω(θjω+ 1)² donc : H(ω)

= |G k|

|jω|(1 +θ²ω²) et r(ω) == G k ω(1 +θ²ω²) b) Montrer que l’argument de H(jω) admet une mesure en radian ϕ(ω) qui est donn´ee par : arg(H(jω)) = arg(G k)−arg(jω)−2 arg(θjω+ 1) = 0−π

2 −2 arctan(θω) ϕ(ω) =−π

2 −2 arctan(θω) 2) a) Etudier les variations de la fonction´ ω7→r(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

On pr´ecisera les limites lorsque ωtend vers 0 par valeurs positives et lorsque ωtend vers +∞.

r⁰(ω) =−Gk(3G²ω²+ 1)

ω(1 +θ²ω²)2 <0 donc : r & et r(0⁺) = +∞ r(+∞) = 0⁺ b) Etudier les variations de la fonction´ ω7→ϕ(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

ϕ⁰(ω) = −2θ

1 +θ²ω² <0 donc : ϕ & et ϕ(0⁺) =−π

2 ϕ(+∞) =−3π 2

c) Dresser un tableau des variations des fonctions ω7→r(ω) et ω7→ϕ(ω) pour ω∈] 0 ; +∞[

ω 0 +∞

+∞

r(ω) &

0⁺

r⁰(ω) −

ϕ⁰(ω) −

−^π₂

ϕ(ω) &

−^3π₂

3) a) D´eterminer la partie r´eelle X(ω) et la partie imaginaire Y(ω) du nombre complexe H(jω) X(ω) =r(ω) cos ϕ(ω)

Y(ω) =r(ω) sin ϕ(ω) b) Calculer X(0⁺) = lim

ω→0⁺X(ω) et Y(0⁺) = lim

ω→0⁺Y(ω).

X(ω) =r(ω) cos −π

2 −2 arctan(θω)

= G k

jω(θjω+ 1)²sin −π

2 −2 arctan(θω)

∼

ω→0⁺

−2θGkω ω X(0⁺) = lim

ω→0⁺X(ω) =−2θGk et Y(0⁺) = lim

ω→0⁺Y(ω) = +∞

Donc la courbe (C) poss`ede une asymptote verticale d’´equation x=−2θGk 4) On se place dans le cas o`u : k= 0,08 ; θ= 20 et G= 1

a) D´eterminer la valeur ω0 de ω telle que ϕ(ω0) =−π. En d´eduirela valeur de r(ω0) ϕ(ω₀) =−π −π

2 −2 arctan(θω₀) =−π arctan(θω) =−π

4 θω₀= 1 ω₀= 1

θ = 1

20 et r(ω₀) = 0,8 Asymptote : x=−3.2

b) Tracer sur la feuille jointe au sujet (que vous rendrez avec votre copie) l’allure de la courbe (C). On n’oubliera pas, pour ce trac´e, d’utiliser le r´esultat de la question1) b), et on utilisera le tableau suivant dans lequel les donn´ees num´eriques sont des valeurs d´ecimales approch´ees `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

ϕ(ω) −2π

3 −3π 4 −5π

6 −π −7π

6 −4π 3 r(ω) 5,57 3,30 2,08 0,80 0,23 0,03

FEUILLE `A RENDRE AVEC LA COPIE

0 1

−1

1

1

−1 2

1 2

−1 2 x=−2θGk

•

•(C)

•

• •