190 Méthodes combinatoires, problèmes de dé- nombrement.

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190 Méthodes combinatoires, problèmes de dé- nombrement.

Sauf mention contraire, les lettres capitalesE,F,G... désigneront des ensembles finis. Lecardinal deE est noté|E|.

1 Outils de base, cardinaux usuels

1.1 Principes fondamentaux

Principe 1 (de récurrence). Soit H(n) une proposition dépendant de l’entiern∈N. Si les propositionsH(0)et∀n∈N, H(n) =⇒ H(n+ 1) sont vraies alorsH(n)est vraie pour toutn∈N.

Exemple 2. 1 + 2 +· · ·+n=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ et1 +q+· · ·+qⁿ= ^1−q_1−qⁿ⁺¹ pour tous n∈N^∗ et q6= 1.

Principe 3 (d’égalité). (Il existe f:E→F bijective)⇐⇒ |E|=|F|.

Remarque 4. Toute partie stricte deEest finie, de cardinal<|E|. Un ensemble fini ne peut pas être mis en bijection avec une partie stricte.

Exemple 5. Pour toutn∈N^∗,|A_n|=|S_n\A_n|.

Exemple 6. Une partition de l’entier n ∈ N^∗ est une suite finie dé- croissante d’entiers (appelésparts)(ni)16i6k∈(N^∗)^k de sommen. Par exemple9 = 4+2+2+1. Le nombre de partitions denen parts impaires est égal au nombre de partitions de nen parts distinctes.

Principe 7 (d’inclusion). Si E∩F =∅alors|E∪F|=|E|+|F|.

Principe 8 (d’exclusion). Si F ⊂E alors|E\F|=|E| − |F|.

Principe 9 (d’inclusion–exclusion, formule du crible).

|E1∪E2|=|E1|+|E2| − |E1∩E2|, et plus généralement

p

[

i=1

Ei

=

p

X

k=1

(−1)^k+1 X

16i1<...<i_k6p

|Ei1∩ · · · ∩Eik|.

Principe 10 (de multiplication). |E×F|=|E| × |F|et|F^E|=|F|^|E|. Exemple 11. L’ensembleP(E)des parties deEest fini :|P(E)|= 2^|E|. Principe 12 (des bergers). Soit f:E → F surjective telle queF est fini et tout élément y ∈F admet un nombre constantr∈N d’antécé- dents parf. AlorsE est fini, et|E|=r|F|.

Exemple 13. Soitppremier. Le nombre de carrés dansF_p est ^p+1₂ . Définition 14. Soit n:= |E|. Un k-arrangement de E est un k-uplet (x1, . . . , xk) d’éléments de E deux à deux distincts. L’ensemble A^k(E) desk-arrangements deE est fini et |A^k(E)|=n(n−1)· · ·(n−k+ 1), noté A^k_n. C’est aussi le nombre d’injections de E vers un ensemble àk éléments. En particulier|S(E)|=|S_n|=Aⁿ_n =n!.

Définition 15. Soitn :=|E|. L’ensemblePk(E)des parties de E à k éléments est fini et|Pk(E)|=n(n−1)···(n−k+1)

k! =: ⁿ_k

(lu «kparmin»).

Exemple 16. Il y avait ⁴¹₂

= 820paires de leçons d’algèbre en 2013.

Formule 17 (Triangle de Pascal). ∀(k, n)∈N², ⁿ⁺¹_k+1

= ⁿ_k

+ _k+1ⁿ . Principe 18 (de double décompte). SoitS⊂E×F. Avec pourx∈E, Fx:={y∈F |(x, y)∈S} et poury∈F,Ey :={x∈E|(x, y)∈S},

|S|=X

x∈E

|Fx|=X

y∈F

|Ey|.

Exemple 19. En notantd(x)le degré du sommetxdans le graphe non orienté G= (V, E), alors2|E|=P

x∈V d(x).

Principe 20 (des tiroirs de Dirichlet). Si f:E → F avec |F| < |E|, alorsf n’est pas injective.

Exemple 21. Parmi n+ 1 nombres dans {1, . . . ,2n}, au moins deux sont premiers entre eux, et au moins deux sont tels que l’un divise l’autre.

Exemple 22 ([FGN, 2.15 p. 79]). Soitα∈R\Q. Il existe une infinité de couples (p, q)∈Z×N^∗ tels que|α−^p_q|< _q¹2.

[email protected] – v20140910 1/4

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1.2 Quelques résultats combinatoires en algèbre

Formules 23 (du binôme, du multinôme). Soient Aun anneau etn∈ N. Si x, y ∈ A commutent, alors (x+y)ⁿ = Pn

k=0 n k

x^ky^n−k. Plus généralement six1, . . . , xp∈Acommutent deux à deux, alors

(x1+· · ·+xp)ⁿ= X

k1,...,kp∈N k1+···+kp=n

n!

k1!· · ·kp!x^k₁¹· · ·x^k_p^p.

Formule 24 (d’inversion de Pascal). Soient A un anneau commutatif et x0, . . . , xn, y0, . . . , yn dans A tels que yk = Pk

i=0 k i

xi pour tout 06k6n. Alorsxk=Pk

i=0(−1)^{k−i k}_i

yi pour tout06k6n.

Proposition 25. Soient G un groupe fini agissant surE et Ω un sys- tème de représentants des orbites sous cette action.

(i) Formule des classes.|E|=P

x∈Ω

|G|

|Stab(x)|.

(ii) Formule de Burnside.AvecE^g:={x∈E|g·x=x}pour g∈G,

|Ω|= 1

|G|

X

g∈G

|E^g|.

Exemple 26. Il y a57dés cubiques de faces rouges, jaunes ou bleues.

Théorème 27 (3^ème théorème de Sylow). Soient G un groupe fini d’ordre n := p^αm où p est un diviseur premier de n ne divisant pas m. Le nombrenp dep-Sylow deGvérifienp≡1 [p]et np|m.

Théorème 28 (de Cauchy). Soient G un groupe fini et p un diviseur premier de|G|. Le nombre deg∈Gtels que g^p= 1est divisible parp.

Définition 29. On noteϕ(n)le nombre d’entiers0 6k < n premiers avecn∈N^∗.ϕest appeléefonction indicatrice d’Euler.

Proposition 30. Tout groupe cyclique d’ordrenpossèdeϕ(n)généra- teurs, et pour tout diviseurdden, un unique sous-groupe d’ordred, qui est également cyclique.

Proposition 31. ∀n∈N^∗, n=P

d|n

ϕ(d)etϕ(n) =nQ

p∈P p|n

(1−¹_p).

Proposition 32. SoitAun anneau intègre. Tout polynômeP ∈A[X] de degrén∈N admet au plusnracines dansA.

Proposition 33. SoitGun sous-groupe fini du groupe des inversibles d’un corps (commutatif). Alors Gest cyclique.

Proposition 34. Soientp∈P,n∈N^∗ etm=⌊log_p(n)⌋. La valuation p-adique den! estνp(n!) =Pm

k=0⌊_pⁿk⌋.

2 Utilisation des séries génératrices [FS]

Définition 35. Uneclasse combinatoireest un ensembleCmuni d’une fonction de taille | · |:C → N telle que pour tout n ∈ N, l’ensemble Cn:={c∈ C | |c|=n} est fini, de cardinal notéCn.

Définition 36. La série génératrice (ordinaire) deCest la série formelle notéeC(X)(lettre droite) et définie par

C(X) :=X

c∈C

X^|c|=

+∞

X

n=0

CnXⁿ.

Exemple 37. N := N (avec |n| = n pour tout n ∈ N) a pour série génératrice N(X) =P+∞

k=1X^k= _1−X¹ .

Proposition 38 (Constructions admissibles). SoientA,Bdeux classes combinatoires. Sont encore des classes combinatoires :

1. lasomme disjointenotéeA+B(avec|x|=|x|pourx∈ A ∪B), de série génératriceA(X) +B(X),

2. leproduit cartésienA×B(avec|(a, b)|=|a|+|b|pour(a, b)∈ A×B), de série génératriceA(X)B(X),

3. laséquence Seq(A) :=P+∞

k=0A^k (à condition queA0 =∅, et avec

|(a1, . . . , an)|=Pn

k=1|ak|pour tous n∈N,(a1, . . . , an)∈ Aⁿ), de série génératrice _1−A(X)¹ .

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Exemple 39. L’ensemble des arbres binairesT est défini récursivement parT =E+R × T² où l’arbre videE a taille0 (E(X) = 1) et l’arbre- racineRa taille1(R(X) =X). D’oùT(X) = 1 +XT(X)².

Exemple 40. Les partitions d’entiers sont l’ensembleP des suitesp= (ℓi)∈N⁽^N^∗⁾donnant pour touti∈N^∗, le nombreℓi ∈Nde parts égales ài:|p|=P

i∈N^∗iℓi. AinsiP =Q+∞

k=1B^k oùBest un « bâton » de taille 1 (B(X) = X), et P(X) = Q+∞

k=1 1

(1−X)^k. Le nombre de partitions de n∈N^∗ est le coefficient enXⁿ deP(X).

Question 41. À chaque seconde, un singe appuie au hasard sur une touche du clavier. Combien de temps se passera-t-il en moyenne pour que le motABRACADABRAapparaisse à l’écran ? Dév. 1 Formule 42 (d’inversion de Lagrange). Soity=P+∞

n=1ynXⁿ∈C[[X]]

satisfaisant y=Xφ(y)avecφ∈C[[X]]tel queφ(0)6= 0. Alors

∀n∈N^∗, yn= 1

n[Xⁿ⁻¹]φ(X)ⁿ.

Exemple 43. En reprenant l’exemple 39, avec S(X) := T(X)−1, S satisfait S =Xφ(S)où φ(X) = (1 +X)², donc le nombre Tn d’arbres binaires àn>1 nœuds est

Tn= [Xⁿ]S(X) = 1

n[Xⁿ⁻¹](1 +X)²ⁿ = 1 n

Ç 2n n−1

å

= 1

n+ 1 Ç2n

n å

(ce nombre est appelén-ième nombre de Catalan).

Question 44. SoientF un ensemble fini et(Xn)n∈N^∗ une suite de v.a.

i.i.d. selon U(F). À partir de quelle valeur den∈N^∗, en moyenne, 1. (X1, . . . , Xn)contient deux éléments identiques ? Dév. 2 2. (X1, . . . , Xn)contient une occurrence de chaque élément deF?

3 Autres exemples de dénombrements

Exemple 45 (dérangements). Le nombre d’éléments deS_n sans point fixe estn!Pn

k=0 (−1)^k

k! ∼

n→+∞n!e⁻¹.

Exemple 46. Le nombre de surjections d’un ensemble ànélements sur un ensemble à06r6péléments estPr

k=0(−1)^{r−k r}_k kⁿ.

Dénombrements dans les corps finis

Soient Kun corps fini de cardinalq.

Proposition 47. Le nombre de carrés dansK est ^q+1₂ . Proposition 48. (q−1)|SLn(K)|=|GLn(K)|=Qn−1

i=0(qⁿ−qⁱ).

Définition 49. Lafonction de Möbiusµest définie, pour n∈N^∗ etk le nombre de facteurs premiers den, par

µ(n) =

®0 sina un facteur carré, (−1)^k sinon.

Formule 50 (d’inversion de Möbius). Soientf, g:N^∗→C. Alors

∀n∈N^∗, g(n) =P

d|n

f(d)⇔ ∀n∈N^∗, f(n) =P

d|n

µ(d)g(ⁿ/d). [FG, p. 93]

Proposition 51 ([FG, p. 190]). Le nombre I(n, q) de polynômes uni- taires irréductibles de degré nà coefficients dansKest

I(n, q) := 1 n

X

d|n

µ(d)qⁿ^/^d ∼

n→+∞

qⁿ n.

Proposition 52 ([Tos]). Soit N(Kⁿ) l’ensemble des endomorphismes nilpotents deKⁿ. Alors|N(Kⁿ)|=qⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾. Dév. 3

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Références

[FG] SergeFrancinouet HervéGianella: Exercices de mathéma- tiques pour l’agrégation : Algèbre 1.

[FGN] SergeFrancinou, Hervé Gianellaet Serge Nicolas: Oraux X–ENS : Analyse 1.

[FS] PhilippeFlajoletet RobertSedgewick: Analytic Combina- torics.

[Tos] Nicolas Tosel : Quelques dénombrements dans Mn(Fq). In Revue de la Filière Mathématiques, numéro 117–1.