Devoir surveillé n
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I L’espace est muni d’un repère orthonormal (O;#ı ,# ,# k).
Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
Soita,b,cetddes réels tels que(a;b;c)6= (0; 0; 0), etP le plan d’équationax+by+cz+d= 0.
On considère le pointAde coordonnées(xA;yA;zA)et le vecteur #n de coordonnées(a;b;c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distanced(A, P)deA au planP est égale à d(A, P) = |axA+byA+czA+d|
√a2+b2+c2
On note encoreA0 le projeté orthogonal deA sur P, dont les coordonnées sont (α;β;γ).
1) Pourquoi la distance de A à P est-elle égale à la distance AA0 ? 2) Montrer que
# A0A.#n
=d(A, P).k#nk.
En déduire que :
d(A, P) = |axA+byA+czA−aα−bβ−cγ|
√a2+b2+c2
3) Utiliser le fait que A0 ∈P pour en déduire le résultat cherché.
Partie B Application
Le plan Q d’équation x−y+z−11 = 0 est tangent à une sphère S de centre Ω dont les coordonnées sont(1;−1; 3).
1) Déterminer le rayon de la sphère S, ainsi qu’une équation de S.
2) Trouver le point de contact de S et de Q. (Cette question est considérée comme une question ouverte. Tout début de méthode, quand bien-même il ne conduirait pas à une conclusion positive, sera évalué.)
II L’espace est muni d’un repère orthonormal(O;#ı ,# ,#
k). Dans ce repère, Aa pour coordonnées (1; 0; 0), B pour coordonnées (0; 1; 0), C(1; 1; 0) et D pour coordonnées (0; 0;α), où α est un réel non nul.
(a) Donner une équation de chacun des plans médiateurs des segments [AC], [BC]et [AD].
(b) Montrer que les coordonnées du centre de la sphère Sα passant par les quatre points A,B, C et D sont 12;12;α2
.
(c) Calculer le rayon rα de la sphère Sα. Quelle est la valeur minimale de ce rayon ? III Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3−9x−12.
1◦) Montrer que l’équationf(x) = 0admet une unique solution αsurR, et donner un encadre- ment d’amplitude 10−3 deα.
2◦) Discuter, en fonction du réel m, le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.
IV On considère la fonction f deR dans R définie par :
f(x) =x2(2−x) six∈[0; 2[, et f(x+ 2) =f(x) pour toutx∈R.
1◦) Étudier la restrictionf0 def à l’intervalle [0; 2]et construire la courbe représentative de f0. Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n,2n+ 2], où n est élément de Z.
2◦) Démontrer que : six∈[2n,2n+ 2], alors f(x) = (x−2n)2(2n+ 2−x).
3◦) Est-ce que f est continue sur R ?
4◦) Facultatif : la fonction f est-elle dérivable sur R ?
