Module : Vibrations Année Universitaire : 2016-2017
CORRIGE TYPE DU DEVOIR SURVEILLE
Question de cours
1. LE SUPPORT EST FIXE Le Lagrangien du système :
2 2
2 1 2
1mx kx
L
L’équation différentielle :
0
0
mx x kx
x L x L dt
d
D’OU :
0 2
0 2
0
0 0 2
2
m mAvec k x
x
x
La résolution de l’équation du mouvement :
1 0
) 1 ( )
(
0 2
2 2 2
0 2
0 2 0
2 0 0
2
j r
r
Le système a un mouvement oscillatoire amorti.
La solution est de la forme :
) cos(
)
(t Ae0
t
x t
En appliquant les conditions initiales :
0 2 cos 0
x , 0
t
, 2
0
0 0
v avec
A v
x
t
La solution finale sera exprimée comme suit : t v e
t
x
t
sin )
(
0 02. Le support est mobile :
Le mouvement du système est schématisé dans la figure 1 comme suit :
FIGURE 1 : Mouvement force de l’ensemble (support + machine)
le Lagrangien du système s’écrit : L’énergie cinétique s’exprime:
2
c mx
2 E 1
Pour l’énergie potentielle on a :
2
p k(x y)
2
E 1
D’ou le Lagrangien du système s’écrit :
2
2 k(x y)
2 x 1 2m ) 1 x , x (
L
L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :
)]
t ( y ) t ( x [ )]
t ( y ) t ( x [ k ) t ( x m x F
) L x ( L dt
d
ext
D’ou :
) t ( ky ) t ( y ) t ( kx ) t ( x ) t ( x
m
C’est une équation différentielle non homogène.
La solution de l’équation différentielle:
En posant les constantes suivantes :
0 2
0 2
et mm
k
L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :
)( )
( 2 ) ( )
( 2 )
(t 0x t 02x t 0y t 02y t x
m
On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :
Bej tRe t cos B ) t (
y
On chercher des solutions de la forme :
Aej( t )
Re ) t cos(
A ) t (
x
L’équation du mouvement devient alors :
B j
Ae
j2 ) j ( 2 )
(
2
0
02
0
02Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:
2 1
2 0 2
2 0 2
2 0 2
0
( ) ( 2 )
) 2
(
B T A
En posant la constante :
0
r
,
La courbe de la fonction t(r) est décrite comme suit:
2 1
2 2
2 2
) 2 ( ) 1 (
1 ) 2
(
r r
r B
T A
Pour r=1
2 1
2 2
1
2 2
) 2 ( 1 1 )
2 (
1 ) 2
(
T
B T A
Figure 2 : rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la pulsation réduite
Problème :
1- Les relations entre les coordonnées sont :
r
x
, y2r
et y2x2- Energie cinétique : 2
2 2
2
22 2 1
2 1 2 1 2
1 m M x
r r x M x
m
T
3- Energie potentielle : 2 2 1kx U
4- Le Lagrangien :
2 22 2 1
2
1 m M x kx
L
5- Fonction de dissipation : 2 4 2 2 2 2
1 2
1 y x x
D
6- Equation différentielle : m 2 M
x
kx 4 x
0
Ou encore 2 0
4
2
x
M x m
M m
x
k
7- La pulsation propre du système :
srad M
m
k 2
1 1
8
0 2
Le facteur d’amortissement :
m M s
2 1 1 2
1 2 4 2
2
8- Puisque
0 le système est soumis à un amortissement fort. Il va donc exécuter un mouvement amorti apériodique.9- La solution générale est donnée par :
t t A t B t t A t B t
x exp exp
2
02 exp
2
02 exp 2 2 exp 2 exp 2
10- Pour que la masse dépasse sa position d’équilibre il faut quex t 0
, c'est-à-dire :
t exp
2 2t
Aexp
2t
Bexp
2t
0 xOu encore
2 exp 2 0 exp t B t A
En multipliant les deux termes de l’équation par
exp 2 t
on obtient : 4 0
exp
B t A
Ou encore
Bt A 4 exp
Avec
B
t ln A 4 1
La première condition pour que t une valeur est que le rapport B
Asoit positif.
La deuxième condition pour que t soit positif est que
0 B A
.11- En remplaçant les conditions initiales dans l’équation du mouvement, on trouve :
A B m x 0 1
Et
s B m
A B
A
x 0 2 2 2 5
Ou encore
52 2
2
A B
Ce qui donne
2 2 2 5
A B
En combinant l’équation ci-dessus et la première équation, on trouve :
043 . 4 0
2 2 5 2 1 1
2 2 2
2B 5 B
Et
043 . 1 043 . 0
1
A
Les constantes A et B vérifient les conditions ci-dessus ; le système dépassera donc dans ce cas sa position d’équilibre.
t
t
t
B
t
x exp2 2 1.043exp 2 0.043 exp 2
12- Effectivement, les conditions initiales données causent un mouvement apériodique où la masse m dépassera sa position d’équilibre pour aller de l’autre coté, sauf qu’elle ne peut pas dépasser sa position d’équilibre une deuxième fois. C’est pour cette raison que le mouvement est appelé apériodique.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
exp(-2.83*x)*(1.043*exp(-2*x)-0.043*exp(2*x)) 0
