FORMULATION INTEGRALE DES PROBLEMES AUX LIMITES DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEUX FLUIDES

(1)

Chapitre 7

FORMULATION INTEGRALE DES PROBLEMES AUX LIMITES DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEUX FLUIDES

Formulation différentielle

z Equation de propagation pˆ

( )

r;t 0, r , t t

c 1

2 2 20

∀

∈

∀

 =













∂

− ∂

∆ r r V

z Equation de Helmholtz

( )

ω= ∀ ∈V





















 + ω

∆ Pˆr; 0, r c

2

0

r r

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

( )

r;t fˆ

(

n r c t

) (

gˆnr c t

)

pˆr = r⋅r− 0 + r⋅r+ 0

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

(

x,y,z;t

)

Xˆ

( ) ( ) ( ) ( )

xYˆyZˆzTˆt

pˆ =

(

r, , ;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ˆ Tˆt

pˆ θψ = ΘθΨψ

Solution à variables séparées ≡Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

(

r, ,z;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ZˆzTˆt

pˆ ψ = Ψψ

Modélisation d'un champ acoustique complexe

z Superposition de modes adaptés à une géométrie donnée (ou à l'espace infini) séries modales

z Superposition d'ondes planes représentations de Fourier z Superposition de sources centrées

nombre fini de monopôle, dipôles, ... : série d'harmoniques sphériques z Superposition de rayons provenant de sources réelles ou images

z Formulation intégrale des problèmes aux limites de l'acoustique

amont aval

monopôle dipôle

+ - + - + - + -

+ - + - + -

fonction de Green

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z)

O

(S)

0

0M r r

M Rr= =r−r

M O r= r

0 OM0

r = r

Monopôle et dipôle

( )

⁰ ⁱ^k ^r ⁱ ^t ⁰ ⁱ^k ^r cos eⁱ ^t r

e r 4 e D r e z 4 t D

; r ˆ

0

0 − ω

− ω

 θ















∂

= π

















∂

= π ϕ

( )

⁻ ^ω^τ

















∂

= π

ϕ ⁱ

R k i

0 e

R e n 4 t D

; R

ˆ ⁰

( )

⁻ ^ω^τ

− π

=

ϕ ⁱ

R k i

0 e

R 4 Q e t

;

ˆ R ⁰

( ) ( )

R c R t 4

;

ˆR ⁰ δτ− ⁰

− π

=

ϕ Q

O

(S⁺) M

(S^-)

+

M0

rr

rr0 Rr

u d R Rr⁺=r− r

u dr u d r0 r r +

nr

ez

nr=r

Fonction de Green : introduction

P₀ P₁ P₂

M Le phénomène cherché au point M est la superposition des phénomènes élémentairesqui prennent naissance en P₀, P₁, ... et qui interfèrent en M.

z Exemple

( ) ( ) ( )

i

t

t Gr,r0;t,t0 fˆr0;t0dt0d 0 ,r ,t t t

; r pˆ

i

≥

 ∈

⌡

 ⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ V V

V

r r

r r r

( )

r;ω=

Pˆr somme de champs élémentaires (fonction de Green) émis par chaque élément (quasi ponctuel) de sources

champ de pression recueilli à l'instant t au point M ( r ) qui a été émis au point M0( r0 ) à l'époque antérieure t0

→

champ émis par la source

qui occupe le volume dV0située au point r₀ et qui émet pendant la durée infinitésimale dt₀.

→

(

r0;t0

)

fˆr

produit de convolution

Fonction de Green : définition

(

∆+k2

)

G

( )

rr,rr0 =−δ

(

rr−rr0

) (

0 0

) (

0

) (

0

)

2 2 2 0

t t r r t , t

; r , r t G c

1  =−δ − δ −











∂

− ∂

∆ rr r r

La fonction de Green est la solution du problème élémentaire

(

r,r0;t,t0

) (

gr,r0;t,t0

) (

hr,r0;t,t0

)

Grr = rr + rr

conditions aux frontières AD LIBITUM 3

3

ou

solution particulière, dite fondamentale, solution de

(

0 0

) (

0

) (

0

)

2 2 2 0

t t r r t , t

; r , r t g c

1  =−δ − δ −











∂

− ∂

∆ rr r r

(

∆+k2

)

g

( )

rr,rr0 =−δ

(

rr−rr0

)

conditions de Sommerfeld 3

3

ou

solution générale de l'équation homogène de façon à satisfaire à des conditions aux frontières autres que Sommerfeld

Σ

V Σ

n0 r n0 r

(2)

Fonction de Green : solution fondamentale

La solution fondamentaleest solution de

(

0 0

) (

0

) (

0

)

2 2 2 0

t t r r t , t

; r , r t g c

1  =−δ − δ −











∂

− ∂

∆ rr r r

(

∆+k2

)

g

( )

rr,rr0 =−δ

(

rr−rr0

)

conditions de Sommerfeld 3

3

ou

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z)

O

(S)

0

0M r r

M Rr= =r−r

M O r= r

0

0 OM

r = r

solution

( ) ( )

R c R t 4

; R

ˆ ⁰δτ− ⁰

− π

=

ϕ Q

( ) ( )

0 0 0 0 0

0 4 r r

c r r t t t , t

; r , r

g r r

r r r

r

− π

−

=δ

( )

⁻ ^ω^τ

− π

=

ϕ ₀ ⁱ^k^R eⁱ R 4 Q e t

; R

ˆ ⁰

( )

0 r r k i

0 4 r r

r e , r g

0

r r r

r ^r^r

−

= π⁻ ⁻

champ crééau point r (M)par une source ponctuelle située au point r^→₀(M₀)

→

ϕ

−

= ˆ g

1 Q0=

0=1 Q

Fonction de Green en espace semi-infini (1/6)

nr

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z) (Σ): paroi rigide

O

(S) : source ponctuelleV

nr

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

O

M'₀(x₀,y₀,-z₀)

V

Le problème :

( ) ( )











=

∀

≥

∀

∗

∂ =

∗∂

− δ

−

= +

∆

∗

0 z

; y , x

0 z

; y , x

Sommerfeld n 0 G

r r G

k² r r₀

nr

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

O

(S) : source ponctuelle

( ) ( )











=

∀

≥

∀

∗

∂ =

∗∂

− δ

−

= +

∆

∗

0 z

; y , x

0 z

; y , x

Sommerfeld n 0 G

r r G

k2 r r0

Dans tout l'espace (sans Σ) :

( ) ( ) ( )











=

∀

∗

∂ = Γ

∗∂

− δ

−

− δ

−

= Γ +

∆

∗

, 0 z

; y , x

, z , y , x

. Sommerfeld

n 0

' r r r r

k2 r r0 r r0

( ) ( )





∗

− δ

−

= +

∆

∗

Sommerfeld r r G

k² r r₀

solution élémentaire :

( )

, z

' R 4 e R 4 r e , r

' R k i R k i

0 ∀

+ π

= π

Γrr ⁻ ⁻

( )

r,r ^e₄ _R g

R k i 0 = ⁻π r

r ^G

( )

^r^,^r0 ^e₄ⁱ^k_R^R ^e₄ⁱ^k_R^R_'^'^,∀^z≥⁰ + π

= ⁻π ⁻ r

r

MAIS

Problème A Problème B

A B Fonction de Green en espace

semi-infini (2/6)

ce problème n'est pasun problème de Green dans tout l'espace

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z)

O

(S) (S')

source image M'₀(x₀,y₀,-z₀)

r₀ r'₀ →

→

→R'

→R

espace physique

→r V Plus de paroi rigide mais∂_nG=0

V )_im

Fonction de Green en espace semi-infini (3/6)

z Vérification de la condition aux frontières 0 n G=

∂

∂ avec nr=−er_z

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z) (S) M'₀(x₀,y₀,-z₀)

r₀ r'₀ →

→

→R' R→

espace physique

→r V V )_im

nr0

O

( ) ( ) (

0

)

²

2 0 2 0

0 x x y y z z

r r

R= r−r = − + − + −

( ) ( ) (

2 0

)

²

0 2 0

0 x x y y z z

' r r '

R= r−r = − + − + +

( )

^r^,^r ^e₄ _R ^e₄ _R_'

G

' R k i R k i

0 + π

= ⁻π ⁻ r

r

z R∂

∂

( )





 



 +



 



 +

− +



 



 +

− π

∂ =

∂ ⁻ ⁻

' R z z ' R e ' R k 1 R i

z z R e R k 1 4 i z 1 , y , x

; z , y , z x

G ikR' 0

R 0 k i 0

0 0

z ' R ∂

∂

(

x,y,z 0;x ,y ,z

)

0 z

G

0 0

0 =

∂ =

∂ ou

(

x,y,z;x ,y,z 0

)

0

z G

0 0 0 0

=

∂ =

∂

Fonction de Green en espace semi-infini (4/6)

z Expression sur la paroi (R = R')

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z) (S) M'₀(x₀,y₀,-z₀)

r₀ r'₀ →

→

→R' R→

espace physique

→r V V )_im

nr0

O

( ) ( ) (

0

)

²

2 0 2 0

0 x x y y z z

r r

R= r−r = − + − + −

( ) ( ) (

2 0

)

²

0 2 0

0 x x y y z z

' r r '

R= r−r = − + − + +

( )

4 R'

e R 4 r e , r G

' R k i R k i

0 + π

= ⁻π ⁻ r

r

( )

⁽ ^{) (} ⁾

( ) ( )

2 ²0 0 2 0

z y y x x k i 0 0

0 2 x x y y z

z e , y , x

; 0 z , y , x G

2 0 2 0 2 0

+

− +

−

= π

=

+

− +

−

ou

( )

⁽ ^{) (} ⁾

( ) (

2 0

)

² ²

0

z y y x x k i 0

0

0 2 x x y y z

0 e z , y , x

; z , y , x G

2 2 0 2 0

+

− +

−

= π

=

+

− +

−

Fonction de Green en espace semi-infini (5/6)

z Autres conditions aux frontières (condition de Dirichlet)

z

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z) (S) M'₀(x₀,y₀,-z₀)

r₀ r'₀ →

→

→R' R→

espace physique

→r V V )_im

nr0

O

( ) ( ) (

0

)

²

2 0 2 0

0 x x y y z z

r r

R= r−r = − + − + −

( ) ( ) (

2 0

)

²

0 2 0

0 x x y y z z

' r r '

R= r−r = − + − + +

( )

, x,y, z 0

' r r 4 e r r 4 r e , r G

0 ' r r k i

0 r r k i 0

0 0

≥

∀

− ∀

− π

−

= π ⁻ ⁻

−

r r r

r r

r ^r^r ^r^r

( )

^r^,^r ⁰^, ^x^,^y^;^z ⁰^ou ^z ⁰

Grr₀ = ∀ = ₀=

G = 0

avec

(3)

Fonction de Green en espace semi-infini (6/6)

z Condition de Neumann sur la paroi : 0 n G=

∂

répartition continue de monopôles

répartition continue de dipôles + - + -

+ - + -

+ - + - + -

+ - z Condition de Dirichlet sur la paroi : G = 0 + -

Fonction de Green en espace clos (1/3)

z Problème aux valeurs propres (après extinction des sources)

x y

O L z

( ) ( )



( )





Σ

∈

= Ψ

∂

∈

= Ψ +

∆

. r

; 0 r

, r

; 0 r k

m n

m 2

mr r

r

r V

Solution non nulle sauf si k_mprend une suite de nombres (valeurs propres) Ψ_m: fonctions propres, base de l'espace considéré

l x

0

paroi parfaitement rigide paroi parfaitement rigide z Exemple : espace fini 1D

l

=mπ

km , m ∈²

( ) ( )

( )

m ⁱ ^t m

t i x k i x k i m m

m m m m

e x k cos Aˆ 2

e e e Aˆ t

; x pˆ

ω ω

−

=

+

=

( )

r

m r pΨ

Fonction de Green en espace clos (2/3)

l x

0 l

=mπ

km , m ∈²

( ) ( )

m ^m⁰

(

ⁱ^k ^x ⁱ^k ^x

)

0 m

m 2 e ^m e ^m

2 x 1 k 2 cos

x −δ +

δ =

= −

Ψ ⁻

l l

( ) ( )

mp

0 mx pxdx =δ

⌡

⌠^lΨ Ψ

z Espace fini 1D - suite

fonctions orthonormées

l x 0

(k x t)

i

0e ^m ^m

a ⁻ ⁺^ω i(k ⁽x ⁾ t)

0e ^m ^m

b ^−l⁺^ω

( )

[^k ^x² ^t]

i

0e ^m ^m

a ⁻ ⁺^l⁺^ω i[k ⁽x3⁾ t]

0e ^m ^m

b ⁻^l⁺^ω

( )

[^k ^x²ⁿ ^t]

i

0e ^m ^m

a ⁻ ⁺ ^l⁺^ω i[k ⁽x⁽2n1⁾⁾ t]

0e ^m ^m

b ⁻ ⁺^l⁺^ω

avec

(k x t)

i k i 2

0 m m

m e

e 1

a − +ω

− − ^l i(k x t)

k i 2

0 m m

m m

e e 1

e

a +ω

−

− ^l

l

l km i 0

0 a e

b = ⁻

avec

( )

[

l

]

l l

− ⁻ −

ω +

−

x k e cos

1 e e a 2

k m i 2

t i k i 0

m m m

Fonction de Green en espace clos (3/3)

z Problème avec sources

( )

∑^+∞

[ ( ) ( ) ]

= π + π

=

0

m aˆmcosm x bˆmsinm x

x

Pˆ l l

1D : Série de Fourier

( )

∑

( )

∑^+∞

( )

= +∞

= Ψ = π

=

0

m m

0

m aˆ'm mx aˆ cosm x

x

Pˆ l

l x 0

z Problème élémentaire

( ) ( ) ( )



( )





Σ

∈

=

∂

∈

− δ

−

= +

∆

, r

; 0 r / r G

, r

; r r r / r G k

0 n

0 0 2

r r r

r r r r

r V

( ) ( ) ( )

( )

∑

( ) ( )

∑ ^∞

=

∞

= = Ψ

− π

π π

δ

= −

0

m m 0 m

0

m 2 2

0 0 m

0 A x x

k m

x m cos x m cos x 2

, x

G l

l l

l

z Problème aux valeurs propres

( ) ( )



( )





Σ

∈

= Ψ

∂

∈

= Ψ +

∆

. r

; 0 r

, r

; 0 r k

m n

m 2

mr r

r

r V

( ) _∑

^∞

( ) _{( )}

=

− Ψ

= Ψ

0

m 2 2 m

m 0 m

0 r

k k r r , r

G r r

r Généralisation : r

(1D)

n0

r n0

r source S Σ

V

Σ₀

P₀∈ Σ₀ P₀∈ Σ

M Le problème de Green est un problème

auxiliairedont la solution est nécessaire pour trouver la solution d'un problème général : quel est le champ P( r ; ω) créé au point r par un ensemble de sources distribuées dans V et sur ΣT=Σ+Σ0(qui délimite le domaine) ?

→

^ →

( )

⌡

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

∈ ∈Σ

⌠

⌡

⌠ ∂ ω− ω∂ σ

= ω

Σ Gr0,r n Pˆr0; Pˆr0; n Gr0,r d 0 ; r ,r0

; r Pˆ

T

0 0

r r r

r r

r r r

r V

( )

r,r0

G r r

( )

r,r0

Gr r

Rôle de la fonction de Green

( ) ( ) ( )



{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌡

⌠

⌡

⌠ ∂ ω− ω∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ω

= ω

ΣT

0

0 0 0 n 0 0

n 0 0

0

0Fˆr; d Gr,r Pˆr; Pˆr; Gr,r d

r , r G

; r

Pˆr rr r rr r r rr

V

Nous envisageons ici le cas particulier où les sources de volume n'existent pas, et par la suite, où les seules sources existantes sont réparties sur la surface interne ΣT

(4)

LA FORMULATION INTEGRALE

Problème acoustique bien posé (forme différentielle)

z Domaine fréquentiel Equation de Helmholtz

(

M;

) (

PˆM;

)

Uˆ

(

M;

)

, M , fixé k ˆ

n i ⁰  ω= ω ∀ ∈Σ ω



 



 + β ω

∂ Conditions aux frontières ∂

Conditions de rayonnement à l'infini (éventuellement) z Domaine temporel

Equation de propagation Conditions aux frontières Conditions initiales

( )

[

∂n+ik0βˆM;t ∗

]

pˆ

(

M;t

) (

=uˆM;t

)

, ∀M∈Σ,∀t>ti

( ) ( )

i

2 t c t

12 pˆM;t fˆM;t , M , t t

0

>

∀

∈

∀

−

 =



 



∆− ∂ V

(

i

) (

i

) (

i

) (

i

)

i

tpˆM;t =AˆM;t ;pˆM;t =BˆM;t ,∀M∈ , t=t

∂ V

fonctions connues dans tout le domaine V, à l'époque initiales t = t_i

(

∆+k²0

)

Pˆ

(

M;ω

)

=−Fˆ

(

M;ω

)

,∀M∈V

z

( ) ( ) ( )







⋅ +

∆

=

⋅ +

∆

=

G grad Pˆ grad Pˆ G Pˆ grad G div

Pˆ grad G grad G Pˆ G grad Pˆ

div z

z Théorème d'Ostrogradsky

z Rappel

(

^Pˆ^grad^G ^G^grad^Pˆ

)

^Pˆ ^G ^G ^Pˆ

div − = ∆ − ∆

→V

( ) ( )

0 0

0

n G Pˆ n Pˆ G

n Pˆ grad G n G grad Pˆ n V

∂

− ∂

∂

= ∂

⋅

−

⋅

=

⋅r r r

r

( )



⌡

⌠

⌡

⌠  σ







∂

− ∂

∂

= ∂

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ∆ − ∆

Σ

0 0 0

0 d

n G Pˆ n Pˆ G d

Pˆ G G Pˆ

V

( )

_

( )

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

Σ 0 0

0 Vn d

d V

divr r r

V

M y x

z u

x₁

O y

x z

→n

αγ β

Soient f(x,y,z) et n un vecteur unitaire→ γ β α

B nr 0

0 u

z y x OM

B1

B

=

u z

; u y

; u

x=α =β =γ

{ { {

γ β α

∂

∂ +∂

∂

∂ +∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

u z z f u y y f u x x f u f n

f f

f f f grad

z y x

∂

B

n f n grad

f= ⋅r

∂

Formules mathématiques préliminaires

( ) ( ) ( )

⌡

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ ω

Σ 0 n 0 0 n 0 0

0 0

0Fˆr d Gr,r Pˆr Pˆr Gr,r d

r , r G

; r

Pˆ 0 0

r r r r r r r

r r r

V

V z Problème

z Problème élémentaire

Formulation intégrale (domaine de Fourier) : démonstration ( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ^{( )} ^{( )}







Σ

∈ ω

= ω ω β +

∂

∈ ω

−

= ω +

∆

r ,

; r Uˆ

; r Pˆ

; ˆr k i

r ,

; r Fˆ

; r Pˆ k

0 n

2

0

r r r r

r r

r V

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ^{( )}







Σ

∈

= ω ζ +

∂

∈

− δ

−

= +

∆

c 0

0 n

c 0 2 0

r , 0 r , r G

; ˆr k i

r , r r r , r G k

c

r r r r

r V

conditions aux frontières ad libitum (1)

(2)

(3) (4)

z Théorème d'Ostrogradsky

( )

⌡

( )

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ∆ − ∆

Σ n n 0

0 Pˆ G G Pˆ d

d Pˆ G G

Pˆ ₀ ₀

V

V (5)

(

V ⊂Vc

)

V c V

z Démonstration (1) ∆Pˆ=−Fˆ−k²Pˆ (3) ∆G=−k2G−δ

(

rr−rr0

)

(6) dans (5) :

( )

( ) ( )

[ ] [

( )

]

( ) ⌡

[ ]

⌠

⌡

⌠

⌡ +⌠ ω

−

=

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ − δ − +

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ − −δ − − − −

V V V

0 0 0 0

2 0 2

d Fˆ G

; r Pˆ

d Fˆ G r r Pˆ d

Pˆ k Fˆ G r r G k Pˆ

r r r r

r

∆G ∆^P

(7)

( )

[ ]

⌡

( )

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡ +⌠ ω

−

Σ n n 0

0 Pˆ G G Pˆd

d Fˆ G

; r

Pˆ ₀ ₀

V r V

(6)

Condition de Sommerfeld à l'infini

nr0

n0

r

source S Σ

V

Σ_R M

R

( )

r,r ^e₄ _R G

R k i 0 = ⁻π r r

( ) ( ) ( )

⌡

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ ω

Σ 0 n 0 0 n 0 0

0 0

0 Fˆr d G r,r Pˆr Pˆr Gr,r d

r , r G

; r

Pˆ 0 0

r r r r r r r

r r r

V

{ }  { }

⌡

⌠

⌡

⌠ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠ σ

Σ

Σ _R

0

0 d

d L

L

r0

r R= r−r

( ) ( )



⌡

⌠



⌡

⌠ σ











 



 





∂ π

− π ∂

Σ

−

R

0

0 0

R k i n 0 0 n R k i

R d 4 r e Pˆ r R Pˆ 4

e r r

( ) ( )

⌡

⌠

⌡

⌠ θ θ ψ







 



 

 + +

∂

=

Σ

−

R

0 Pˆr Re sin d d

R k 1 i r

Pˆ ₀ ₀ ⁱ^k^R

n r r

∞

→

R négligeable borné

{ }d 0

R

0 →

⌡

⌠

⌡

⌠ σ

Σ

L si ^lim

{

^R

(

n₀^Pˆ ⁱ^k^Pˆ

) }

⁰

R ∂ + =

∞

→

( ) ( ) ( )

_

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌡

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ ω

Σ 0 n 0 0 n 0 0

0 0

r , r G

; r

Pˆ 0 0

r r r r r r r

r r r

V V

nr0 n0 r source S Σ

V Σ

( )r;t fˆr sources volumiques

sources surfaciques^uˆ( )^r^r^;^t^:

V Σ

sources surfaciques^uˆ( )^r^r^;^t^:

( ) [ ] ( ) ( )

r; TF

[

uˆ

( )

r;t

]

Uˆ

t

; r fˆ TF

; r Fˆ

t / t

/ r

r

r r

= ω

[

∂_n +ik₀βˆ

( )

r;ω

]

Pˆ

( )

r;ω=Uˆ

( )

r;ω ,r∈Σ

0

r r r

r Condition aux frontières _



 



 ρ

=

β Z

ˆ ⁰c⁰ Champ "direct" des sources

réelles (+ éventuellement champ de sources images)

Champ provenant des sources de frontières, effets réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus

dans G)

monopôles dipôles

répartition de

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( ) ( )











Σ

∈ ω

= ω ω β +

∂

∈ ω

−

= ω +

∆

, éventuelle Sommerfeld de Condition

, r ,

; r Uˆ

; r Pˆ

; ˆr k i

, r ,

; r Fˆ

; r Pˆ k

0 n

2

0

r r r r

r r

r V

V

∈ rr

Formulation intégrale (domaine de Fourier)

( )

{

^R ^Pˆ ⁱ^k^Pˆ

}

⁰

lim n0

R ∂ + =

∞

→ Condition de Sommerfeld éventuelle

(5)

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z)

O

(S)

0

0M r r

M Rr= =r−r

M O r= r

0 OM0

r = r

Monopôle et dipôle

( )

⁰ ⁱ^k ^r ⁱ^t ⁰ ⁱ^k^r cos eⁱ^t r

e r 4 e D r e z 4 t D

; r

ˆ ⁰ ⁰ ^ω

ω −

−

 θ















∂

= π

















∂

= π ϕ

( )

⁻ ^ω^τ

















∂

= π

ϕ ⁱ

R k i

0 e

R e n 4 t D

; R

ˆ ⁰

( )

⁻ ^ω^τ

− π

=

ϕ ⁱ

R k i

0 e

R 4 Q e t

;

ˆ R ⁰

( ) ( )

R c R t 4

;

ˆ R ⁰ δτ− ⁰

− π

=

ϕ Q

O

(S⁺) M

(S^-)

+

M0

rr

rr0 Rr

u d R Rr⁺=r− r

u dr u d rr0+ r

nr

ez

nr=r

z Problème

z Problème élémentaire

Cas où la fonction de Green satisfait aux mêmes conditions aux frontières que P

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ^{( )} ^{( )}







Σ

∈ ω

= ω ω β +

∂

∈ ω

−

= ω +

∆

r ,

; r Uˆ

; r Pˆ

; r k i

r ,

; r Fˆ

; r Pˆ k

0 n

2

0

r r r r

r r

r V

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ^{( )}







Σ

∈

= ω β +

∂

∈

− δ

−

= +

∆

r , 0 r / r G

; ˆr k i

r , r r r / r G k

0 0

n

0 2 0

0

r r r r

r V

(1) (2) (8) (9) z Formulation intégrale

(

V ≡Vc

)

V c V

^

G (2) ^G∂n0^Pˆ=^G

(

^Uˆ−ⁱ^k0β^Pˆ

)

(7)

(

ik G

)

Pˆ G Pˆ∂n0 = − 0β P (9)

^

Uˆ G G Pˆ Pˆ G∂_n₀ − ∂_n₀ =

( )

∫∫

∫∫ΣG∂_n₀Pˆ−Pˆ∂_n₀Gdσ₀= ΣGUˆdσ₀ (9)

(9) dans (7) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⌡

⌠

⌡

⌠ ω σ

+

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ω

= ω

Σ 0 0 0

0 0 0

d

; r Uˆ r , r G

d

; r Fˆ r , r G

; r Pˆ

r r r

r r r r

V

n0 r n0 r source S Σ

V Σ

sources surfaciquesuˆ( )rr;t_:

simple ajout des sources

( ) ( ) ( )

⌡

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ ω

Σ 0 n 0 0 n 0 0

0 0

0Fˆr d Gr,r Pˆr Pˆr Gr,r d

r , r G

; r

Pˆr rr r rr ₀ r r ₀ rr

V

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )









=

∈

=

∂

>

Σ

∈

=

∗ β +

∂

>

∈

−

=

∂

−

∆

i i

i i i t

i 0

n 2 i 2 0

t t

t t , r , t

; r Bˆ t

; r pˆ

; t

; r Aˆ t

; r pˆ

t t , r , t

; r uˆ t

; r pˆ t

; r k i

t t , r , t

; r fˆ t

; r pˆ c

0

V V

r r r r r

r r r r

r r r

( )

=

[

β

( )

ω

]

βr;t TFωik r; k

i ₀ r _/ ₀ r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ( ) ]

{ }

(

r,r;t,t

) (

pˆr;t

) ( )

pˆr

[

G

(

r,r;t,t

) ]

d , c G

1

d t , t

; r , r G t

; r pˆ t

; r pˆ t , t

; r , r G t d

t t

; r

; d

t

; r fˆ t , t

; r , r G t d t

; r pˆ

t 0 0 t 0 t 0 0 0 t 0 2 0

0

0 0 0 n 0 0 0 0 n 0 0 t

t 0

i 0

0 0 0 0 t

t 0

i 0 0

0

0 0

i i

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠



 ∂ − ∂

+

⌡

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

⌡ +⌠

>

 ∈

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

 ⌠

⌡

=⌠

= Σ

V V

V V V

r r r r r

r

r r r

r r

r

r r

r r r

Condition aux frontières 

 



 ρ

=

β Z

c0 0

Champ "direct" des sources réelles (+ éventuellement des sources images)

Réaction de la frontière

[

n ik0

( )

r;t

]

pˆ

( ) ( )

r;t uˆr;t ,r ,t ti

0+ β ∗ = ∈Σ >

∂ r r rEffet des conditions initialesr

n0 r nr0 source S Σ

V Σ

sources surfaciques

( )r;t uˆr :

Formulation intégrale (domaine temporel) Intégrale de Rayleigh (1/14)

( )

0

( )

ⁱ ^t

0x,y;t Wˆ x,ye

wˆr =r ^ω

z Le problème

( )

x,y Wˆ₀ n0

r ez

r (Σ) Ω

x y

z r M r Paroi

z>0 x

y

z O

z=0 pˆ

( ) ( )

rr;t=Pˆrreⁱ^ω^t Ω

(Σ)

V

Intégrale de Rayleigh (2/14)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )





















= Ω

∉

∀

=

∂

= Ω

∈

∀

⋅ ω ρ

−

=

∂

≥

∀

= +

∆

, Sommerfeld de Condition

, 0 z , y , x

; 0 z , y , x Pˆ

, 0 z , y , x , n y , x Wˆ i z , y , x Pˆ

, 0 z , y , x , 0 z , y , x Pˆ k

0 0

n

0 0 0 n

2

r r z Problème sous forme différentielle

z Problème sous forme intégrale

( ) { ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

( ) ( ) ( )

( ) ( )

















= Ω

∉

∀

=

∂

= Ω

∈

∀ ω

ρ

−

=

∂

≥

∀

 ∀

⌡

⌠

⌡

⌠ − ∂ + ∂ σ

=

Σ

, Sommerfeld de Condition

, 0 z , y , x , 0 z , y , x Pˆ

, 0 z , y , x , y , x Wˆ i z , y , x Pˆ

, 0 z , y , x , d r , r G r Pˆ r Pˆ r , r G r Pˆ

0 0

z

0 0 z

0 0 z 0 0 z

0 r r rr

r r r

z

0 e

n r

r =−

( )

x,y Wˆ₀ n0

r ez

r (Σ)

Ω

x y

z r M r

( ) ( ) ( )

_

{ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] }

⌡

⌠

⌡

⌠ ∂ − ∂ σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

=⌠ ω

Σ 0 n 0 0 n 0 0

0 0

r , r G

; r

Pˆ 0 0

r r r r r r r

r r r

V V

V Σ

sources surfaciquesuˆ( )rr;t:

V Σ

sources surfaciquesuˆ( )rr;t:

( ) [ ] ( ) ( )

r; TF

[

uˆ

( )

r;t

]

Uˆ

t

; r fˆ TF

; r Fˆ

t / t

/ r

r

r r

= ω

[

∂_n +ik₀βˆ

( )

r;ω

]

Pˆ

( )

r;ω=Uˆ

( )

r;ω ,r∈Σ

0

r r r

r Condition aux frontières _



 



 ρ

=

β Z

ˆ ⁰c⁰ Champ "direct" des sources

réelles (+ éventuellement champ de sources images)

Champ provenant des sources de frontières, effets réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus

dans G)

monopôles dipôles

répartition de

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( ) ( )











Σ

∈ ω

= ω ω β +

∂

∈ ω

−

= ω +

∆

, éventuelle Sommerfeld de Condition

, r ,

; r Uˆ

; r Pˆ

; ˆr k i

, r ,

; r Fˆ

; r Pˆ k

0 n

2

0

r r r r

r r

r V

V

∈ rr

Rappel : Formulation intégrale (domaine de Fourier)

( )

{

^R ^Pˆ ⁱ^k^Pˆ

}

⁰

lim n0

R ∂ + =

∞

→ Condition de Sommerfeld éventuelle