DEC[MORE C. FOURGEAUO (*), C. GOURIEROUX <**> et J. PRADEL<***) <*) CEPREMAP et PARIS I <***) PARIS IX - CEREMADE SELECTION DE CLIENTELE

N- 9 0 0 4

SELECTION DE CLIENTELE ET

TARIFICATION DE PRET BANCAIRE

DEC[MORE 1989

C. FOURGEAUO (*), C. GOURIEROUX <**> et J. PRADEL<***)

<*) CEPREMAP et PARIS ^I

<**) CEPREMAP et CREST

<***) PARIS IX - CEREMADE

RESUHE

Dans cet art i c 1 e nous nous proposons de décrire un modè;l e si mp 1 e d'optimisation du gain anticipé d'une institution de crédit, où les variables de contrôle sont

à

la fois la décision d'acceptation ou de rejet du dossier, et le taux d'intérêt proposé au client. La résolution de ce problème conduit à une procédure d'acceptation plus complexe que celle habituellement utilisée et fournit les taux d'intérêt optimaux

à

proposer aux diverses catégories de clientèle. De plus il permet d'étudier la modification des conditions de crédit en fonction des diverses composantes exogènes:

taux de refinancement, détérioration de accroissement des renseignements individuels, des clients potentiels par exemple.

modification du taux plafond ou du la qualité de la clientèle ou co 11 ectés par les organismes auprès

CREDIT GRANTING AND DETERMINATION OF INTEREST RATES C. FOURGEAUD, C. GOURIEROUX et J. PRADEL

ABSTRACT

In this paper we present a simple model of optimization of the expected benefit of·a credit institution, where the control variates are both the decision of acceptation or reject ion of the credit seeker and the proposed interest rate. We obtain a scoring method more complex than the usual ones and simultaneously the optimal interest rates corresponding to the different categories of customers.

Moreover we may study the modifications of the credit conditions as functions of some exogenous variates such as the ceiling rate, the refinancing rate, the quality of the customers or the precision of the available information.

HOTS CLEFS : Selection de clientèle, Taux d'intérêt, Credit.

KEY WORDS : Credit granting, Interest rates, Scoring.

J.E.L. : 210, 520.

1

I - INTRODUCTION.

La sélection de clientèle parmi les demandeurs de crédit s'appuie généralement sur des critères numériques. L'idée est d'exprimer la probabilité de défaillance du client à l'aide d'une fonction simple de ses caractéristiques : le score, et de décider de l'acceptation du client si son

score est suffisamment élevé, le seuil étant fixé en fonction de considérations de risque et/ou commerciales. Le score est en pratique déterminé en utilisant soit des approches d'analyse discriminante Cvoir entre autres Bouroche-Saporta {1988), Eisenbeis {1977), Epley-Cronan-Perry {1985), Sireyjol C 1987>1, soit des modèles logit estimés par maximum de vraisemblance Clo {1986), Martin {1977), Ohlson (1980), Robin (1989) ••• J.

Dans toute cette pratique, le score apparait comme la variable de contrôle principale et est examiné de façon essentiellement descriptive, sans référence explicite à un comportement d'optimisation de l'organisme de crédit.

Dans cet article nous nous proposons de décrire un modèle simple

d'optimisation du gain anticipé, où les variables de contrôle sont à la fois

la décision d'acceptation ou de rejet du dossier, et le taux d'intérêt

proposé au c l i en t • La résolution de ce problème conduit à une procédure

d'acceptation plus complexe que celle habituellement utilisée et fournit les

taux d'intérêt optimaux ^à proposer aux diverses catégories de clientèle. De

plus il permet d'étudier la modification des conditions de crédit en fonction

des diverses composantes exogènes : modification du taux plafond ou du taux

de refinancement, détérioration de la qualité de la clientèle ou

accroissement des renseignements individuels, collectés par les organismes

auprès des clients potentiels par exemple. De telles approches plus

structurelles semblent avoir rarement été discutées dans la littérature et

nous n'avons trouvé qu'un petit nombre de références sur ce thème CBierman-

Hausman (1970), Dirickx-Wakeman (1976), Srinivasan-Kim {1987), Boyes-

Hoffman-low (1989)1.

Dans 1 e paragraphe II , nous décrivons 1 e modèle de base essentiellement statique. Cette description commence par celle des gains de l'organisme selon le type de client et le comportement d'attribution de crédit. On en déduit alors le gain global anticipé. Ce gain global anticipé est optimisé dans le paragraphe III en fonction des variables de contrôle.

Sous des conditions de régularité, ceci conduit à une partition de 1 a clientèle potentielle en trois sous-groupes : les demandeurs dont la demande de prêt est refusée, ceux pour laquelle el le est acceptée avec un taux éga 1 au taux d'usure, et finalement ceux qui bénéficient d'un prêt avec un taux strictement inférieur au taux d'usure. Par ail leurs, la résolut ion montre l'importance de la détermination de deux taux d'intérêts imp 1 ic ites sur lesquels s'appuie toute la classification.

Le paragraphe IV est consacré ^à l'examen de deux cas particuliers : celui d'une demande inélastique et celui de coûts fixes identiques pour tous les individus. C'est dans ce deuxième cas que l'un des taux implicites admettra une 1nterprétat ion de type score. Diverses ana lyses de statique comparative sont ensuite menées sur ces exemples.

Dans le paragraphe V, nous complétons l'étude par une détermination numérique des taux implicites pour diverses valeurs des paramètres structurels.

11 - DESCRIPTION DU CDHPORTEHENT OPTJHAL..

11.1 - LE GAIN PAR DOSSIER DE DEMANDE DE PRET.

Le gain relatif à un dossier de demande de prêt dépend de la somme demandée et de la qualité du client. Celui-ci peut-être "bon client", c'est- à-dire rembourser somme prêtée et intérêt. 11 peut aussi se révéler

"défaillant". Nous supposerons alors qu'une certaine proportion de l'encours

ne peut être récupérée. Dans la suite la qualité du client (assimilé au

dossier) est repérée par une variable indicatrice Z prenant la valeur 1 ,

3

si le client n'est pas défaillant, prenant la valeur O dans le cas contraire.

Le gain relatif à un dossier dépend aussi de l'organisme de prêt, par l'intermédiaire de sa décision d'accepter ou de refuser le dossier et du taux d'intérêt qu'il propose. L'organisme peut en effet refuser le prêt au vu des caractéristiques du demandeur de crédit. 11 en résulte alors un coût de constitution de dossier, c'est-à-dire une perte pour l'organisme. Il pèut aussi accorder le prêt ; le coût de constitution et de suivi de dossier peut alors être couvert par les intérêts reçus pour la somme prêtée

(dans le cas d'un individu non défaillant). La décision acceptation ou refus

:t

du dossier sera également repérée par une variable indicatrice, notée Z Cette variable peut être vue comme une prévision de la qualité du client.

Finalement nous considérons que les prêts ne sont pas délivrés sur la base des fonds propres de l'organisme, mais que celui-ci se refinance immédiatement pour chacun des prêts ^à un taux fixe.

Les divers gains possibles pour un dossier donné peuvent alors être résumés dans le tableau ci-dessous :

où

Décision

^:t

d'acceptation z = ¹ Qualité

Dossier accepté du dossier

z = ¹

0(6) (6 -

1,1]

Bon dossier

z ^- - ^{0 0(6) (6}

^{- 1,1]}

Dossier défaillant ^{- 0(6)} C 1

^{+ 61}

6 est le taux d'intérêt du prêt ; le taux de refinancement ;

-

^C

0

- C

1 v(6)

:t

z = ⁰

Dossier refusé

-

C

*

-

^C

*

IJ

0(6) la somme demandée (qui peut dépendre des niveaux de taux)

w(6) la proportion non remboursée de l'encours pour les défaillants (intérêts compris) ;

c * le coût de constitution de dossier pour un refusé ;

c le coût de constitution et de suivi de dossier pour un accepté,

0

non défaillant ;

c le coût de constitution et de suivi de dossier pour un accepté

1 défaillant (coût incluant notamment les frais de contentieux).

Ces composantes de la fonction de gain sont soumises ^à diverses

contraintes naturelles. Elles sont toutes positives, la proportion

^v(6)

est par définition comprise entre O et et les coûts sont intuitivement ordonnés : c * < c < c

0

1

De plus parmi les caractéristiques précédentes certaines peuvent, au moins en première analyse, être considérées comme indépendantes du dossier ce sont les coûts c * c c et le taux de refinancement

^~

0

1

D'autres sont liés au dossier. Elles peuvent ne dépendre que des caractéris- tiques exogènes du client : ce sont la qualité du dossier Z , la somme demandée 0(6) , la part de non remboursement

^{w(6) •}

Elles peuvent aussi

-

être fixées par l'organisme de crédit comme la décision Z ou le taux du prêt 6 , et apparaissent alors comme des instruments de politique d'octroi de crédit.

II.2 - LE GAIN GLOBAL.

-

L'organisme devrait choisir au mieux les variables de contrôle Z et

6

en fonction du gain global anticipé. Il nous faut donc maintenant déterminer ce dernier.

1) Le gain global.

De façon ^à simplifier la présentation, nous supposons que l'organisme dispose d'une clientèle potentielle fixe comprenant des individus i = 1, ••• ,n.

En particulier nous ne prenons pas en compte les éventuelles substitutions de

clientèle pouvant se produire entre organismes de crédit.

5

Ces clients potentiels ne soumettent pas nécessairement de dossiers de demande de prêt et nous introduisons une variable indicatrice

^A(6)

AU\) si un dossier est soumis,

^{A(6) -}

0 sinon.

Indexant par i chaque individu et donc les caractéristiques corres- pondantes du dossier, prenant en compte le tableau de gain, nous obtenons le gain global :

n

L A.<6,> {[D.<6i) t6.

^{C ]}

st:

*

^st:

( 1 ) _G =

^{- 1,1)}

^{2 2}

^C

^{(1 2 )}

i=1

1 1 1 1 0

i i i

+ [ D. (6

_{1 1}

.>

⁽⁶

_i

^{- µ] - C}

₁ ^{- D (6} _{i i} ^{> [ 1 +}

^{6 ]}

_i

^1r

_i

⁽⁶

_i ^>] (t - 2 ) i z1}.

ii) Le gain global anticipé.

Les diverses fonctions individuelles A D 2 1 ne sont

i i i i

pas parfaitement connues de l'organisme de crédit. 11 dispose cependant de diverses informations sur les demandeurs, informations collectées au moment de la constitution du dossier. Ces informations portent sur diverses caracté- ristiques notées X

On peut alors décomposer le gain global selon les valeurs x de ces caractéristiques :

G = I: I: ^G

X

iE J ⁱ

X

où J désigne l'ensemble des individus de caractéristiques x et G

X

i

les gains individuels.

Le nombre potentiel n de dossiers étant fixé, il revient au même de considérer le gain anticipé global ou le gain anticipé par dossier poten- tiel. Ce dernier est :

(2) E G = E ECG /X)

i i

*

^:t

c

(1-Z) i

+ [D.C6.H6. - ^{µ1 -} c - D (6 )C1+6 l 1r (6 >] ^(1-Z )2} ^{/X] •}

1 1 1

1 i i i i i i i

:t

Les variables de contrôle Z et ⁶ seront fixées en fonction des caracté- ristiques X uniquement. Ceci permet alors de simplifier l'expression du gain anticipé par dossier potentiel. On obtient :

(3) EG = E { C6 -

^µ)

Z ^ECAD/X)

*

^:t

- c (1-2) ECA/X)

:t

- c Z ECAZ/X)

0

C1

^{+ 6)}

Z ^{E (AD} 1rC1-Z> / x)}

expression dans laQuelle nous avons omis l'indice individuel i et la dépendance de D , ^{w , A ,} Z en

⁶

pour alléger les écritures.

On peut noter que ce gain anticipé dépend de diverses fonctions de l'information admettant des interprétations simples. Ce sont :

ECA/XJ la proportion de demandeurs dans la classe de caracté- ristique X ,

EcAD/Xl / ECA/Xl le montant moyen demandé,

EcADnC1-Z)/X1 / EtAC1-Z)/XJ le montant moyen du non remboursement pour

les individus défaillants de caractéristique X •

Ces diverses quantités devraient en général dépendre des exogènes X soit

directement, soit par l'intermédiaire de la variable de contrôle

^{6 •}

Ceci

montre que la fonction objectif a une forme du type :

7

III - DETERHINATION D'UNE POLITIQUE OPTIHALE.

111.1 - LE PROBLEME D'OPTIMISATION.

Notons 6 un taux d'usure, indépendant des.individus, que_ les organismes prêteurs ne peuvent dépasser. Admettant une situation de ty~e

0

monopolistique, il est naturel que l'offreur de prêt cherche ^à maximiser son gain anticipé par client potentiel en utilisant les variables de contrôle ^à

lt

sa disposition, c'est-à-dire Z et

^{6 •}

On aboutit alors au problème : (5) Max

-

Z,6<6

0

-

la maximisation portant sur les fonctions ^Z de X ne prenant que les valeurs 0 ou ¹ et sur les fonctions 6 de X positives inférieures ^{à 6 •}

0

11 est clair qu'une telle optimisation peut être menée caractéristique par caractéristique et que nous sommes conduits ^à résoudre pour chaque valeur de

X le problème : (6)

^sw

Max [G

1 C6,X)Î

+

G

2 C6,X>]

ZE<O, 1 >

o<6<6

0

Cette optimisation peut être effectuée en deux étapes.

st

On commence par optimiser Z à

6

fixé. On obtient la solution (7) ZC6,X) =

0

> 0

si G (6,X) < 0

1

lt

On peut alors remplacer dans la fonction objectif Z par cette valeur optimale. Ceci conduit ^à un problème d'optimisation qui porte maintenant sur le seul taux d'intérêt 6

(8)

Max

o<6<6

0

[ G (6 X> 1l

⁺

G (6 ,X> ] 1 ' G C6,X)>o 2

1

où 1 désigne une fonction indicatrice.

La solution de ce problème est un taux ôCX), qui dépend de l'individu. On est ainsi conduit ^à l'optimum ^à proposer des taux différenciés.

~ ~

Le critère de sélection des individus est : ZCX) = ZCô{X),X) , et dépend lui aussi des caractéristiques.

111.2 - LA FORME DE LA SOLUTION SOUS QUELQUES HYPOTHESES SUPPLEMENTAIRES.

Pour résoudre sous forme explicite le problème précédent, il faudrait évidemment connaître la façon dont les diverses fonctions ECA/X)

ECAD/X) / ECA/X) ••• dépendent du taux 6 , En fait la solution présente une forme simple si les deux fonctions résumées G {6,X) et G {6,X) satisfont

1 2

certaines propriétés. Nous verrons ^à partir d'exemples que les hypothèses que nous allons poser concernant ces fonctions apparaissent raisonnables.

Hypothèse H1 Les fonctions G

1 C6,X) et G

2 C6,X) sont continues en 6

Hypothèse H2 La condition ^G

1 C6,X) > ^{0 ,} peut s'écrire de façon équivalente 6 > 6

1 CX) , pour une unique valeur 6

1 CX> positive.

Cette hypothèse s'interprète facilement. A chaque individu, c'est-à-dire

à chaque valeur de la caractéristique X , correspond un taux implicite 6 1 CX) • Si le taux sur le marché est supérieur ^à ce seuil, il est rentable pour l'organisme d'accepter la demande de prêt. Si le taux est trop faible,

le dossier sera refusé.

Hypothèse H3 La fonction G

2 C6,X) est croissante en 6

On déduit de l'équation ^(3), que G Ci,X> =

2

c ECA/X) *

9

Comme c * et A sont tous deux positifs, la condition est équivalente à la décroissance de la proportion ECA/X) de demandeurs en fonction du taux d'intérêt. Il s'agit donc de l'hypothèse usuelle de décroissance de la demande en fonction du prix.

Hypothèse H4 La fonction G (6,X) 1

⁺

^G ₂ C6,X) admet un maximum 1 6>6 CX>

en un point unique

⁶

^(X) 1 2

On peut immédiatement noter d'après les hypothèses H4 , H2, H3 que cette valeur

⁶

2 CX) est forcément strictement supérieure à la valeur ⁶ 1 CX)

Hypothèse H5 La fonction G (6,X) + G (6,X) est strictement croissante en

1 2

6 pour ⁶

1 CX) , ^{6 , 6} 2 CX)

~

Sous les diverses hypothèses précédentes le gain moyen concentré en Z

(c'est-à-dire préalablement optimisé en Z à 6 fixé) a une forme du type ci-dessous:

Gain

~

concentré en Z

6

CX) 2

Taux d'intérêt

6

La politique optimale peut alors être explicitée en fonction des deux familles de taux de base

^ô

CX) et

ô

CX)

1 2

Si

ô

>

^ô

^CX) le dossier est accepté et le taux proposé

0

2

ô

CX) inférieur au taux d'usure,;

2

est

Si

ô

<X> >

^ô

>

^ô

^CX) le dossier est accepté et le taux proposé

2

⁰

1

coïncide avec le taux d'usure ; Si

^ô

CX) > ⁶ le dossier est refusé.

1

⁰

La forme de cette politique optimale permet immédiatement de discuter certains effets d'une augmentation du taux plafond ^{6 •} Si ce taux

^ô

0 0

augmente, il y aura une proportion plus faible de dossiers refusés et une proportion plus forte de dossiers acceptés pour lesquels le taux est stric- tement inférieur au taux de l'usure. En revanche on ne sait a priori si la proportion de dossiers pour lesquels le taux coîncide avec 6 va augmenter

0

ou diminuer.

Le taux proposé à ceux qui étaient déjà en dessous du taux plafond restera inchangé, et le taux de ceux qui étaient au taux plafond augmentera d'une quantité inféiruere ou égale à l'augmentation de ce taux plafond.

IV - EXEHPLES

IV.1 - DESCRIPTION DU MODELE.

Afin d'obtenir des expressions explicites des taux seuils

^ô

CX) et 1

6 CX) et d'étudier la façon dont la politique optimale dépend de l'information disponible, nous considérons dans ce paragraphe un cas particulier du modèle 2 général décrit dans le paragraphe Il. Cet exemple devrait par la suite servir de base à l'examen de formulations plus complexes.

L'hypothèse fondamentale du modèle est que :

11

H 1 * Pour chaque individu, le besoin de financement 0(6) et la capacité de remboursement R sont indépendants du taux d'intérêt

⁶

Ils peuvent en revanche dépendre des caractéristiques individuelles.

Sous ces conditions, le tableau des gains devient :

Décision

^{St: St:}

z ₌ ¹ z ₌ ⁰

d'acceptation Qualité

Dossier accepté Dosier refusé du dossier

z ₌ ¹ Bon dossier - ^DC1+µ)

+

0(1+6)

-

^C

*

DC

1+6)

< ^R -

^C

0

z ₌ ⁰ Dossier défaillant - ^0(1+µ)

-

^C

*

R < ^{DC 1 +6 > + R} -

^C

1

Dans ce modèle, le comportement du client, caractérisé par A, Z, D et

U ,

dépend donc des trois seules variables indépendantes A, R, D

De plus l'information disponible sur l'individu comporte en pratique la valeur du besoin de financement D , puisque la question relative ^à cette variable est posée au moment de la demande de prêt :

H 2 * D appartient à l'information disponible.

Finalement nous ferons l'hypothèse simplificatrice suivante

H 3 * Les variables A et R sont indépendantes conditionnellement ^à l'information X

Le gain moyen pour un client de caractéristique X s'écrit alors

ECG/X) - ECAIX>{ Z [- DC1+µ) + ECMinCDC1+6),R> / Xl c PCDC1+6) < R/X)

0

- c

1 PCDC1+6) > R/XJ + c*] - c*}

Ce gain peut être explicité ^à partir de la loi conditionnelle de la capacité de remboursement. Nous écrivons cette loi en faisant apparaître les deux premiers moments conditionnels

R = ^rn

⁺

^{o u}

avec : m = ECR/X)

⁰

2

= ^VCR/X)

De plus, nous supposons que la loi conditionnelle de ^u est continue de densité f(.) , de fonction de survie: SCa) = PC(u>a) 1 Xl et nous notons HCa) = ECMinCu,a)/XJ

Ces diverses fonctions sont liées entre elles par dHCa)

da = SCa> dSCa>

da = -

^f(a)

Le gain conditionnel devient

ECG/X) (9)

= ECA/X) { 2 [m - ^{OC 1+µ) + o H} ₍ ^{DC 1+6)}

0

+ Cc - c > S ( - - - - DC 1 +6

> -

m ) + c *

1

0 0

·13

IV.2 - DETERMINATION DES SEUILS ^ô CX) ET ô CX)

1 2 LORSQUE ECA/X) EST

INDEPENDANT DE

^ô

tDEMANDE GLOBALE INELASTIQUEJ.

La décision d'acceptation ou de rejet du dossier dépend du signe de

=

0 {

m -

~(1+µ)

+

^{(c - C)}

1

0

- C

1

La dérivée de cette fonction par rapport au taux d'intérêt

⁶

est aG Cô,X) *

1

{ ( DC 1 +6 > - m ) f ( D( 1 +6

0

) -

m ) } •

= ^D S - - - -

⁺

Cc - c )

0 0

1

Il nous reste à spécifier une forme simple pour la loi de u permettant la poursuite des calculs. Nous avons parmi les lois classiQues pour ce type de problème le choix entre une loi normale centrée réduite ou une loi logistique centrée, mais non réduite Cil faut alors interpréter ^o comme un paramètre d'échelle~ la loi logistique n'étant pas réduite, mais admettant comme va- riance n / 3 ).

C'est ce second choix que nous adoptons. On a alors :

SCa) exp-a

=

+

exp-a

f(a) = ^SCa) =

1

+

exp-a f(a) = S(a) f(a)

On en déduit

_ ( DC 1+6) - m ) { ( DC 1 +6) - m ) }

- D • S - - - - 1

+

Cc -c ) f - - - - •

0 0

1

0

Comme D et S sont positifs, le signe de la dérivée dépend uniquement

de la position de c - c 1

0

(le coût additionnel de gestion des dossiers défaillants) par rapport ^à F (~Ct+ô:- m).

Deux cas doivent être distingués :

est croissante.

2ème cas Si c > 1

+

c la fonction G est croissante, puis

--- 1

⁰

1

décroissante : elle atteint son maximum en

* 1 ~ -1 ( 1 ) l

6 -= .,_, ... ^m

⁺

^{o F . J}

2 D c - c

1

0

r···.

Finalement la détermination des seuils est obtenue en distinguant quatre cas.

Cas I

Cas II

Cas III

Si c < c < 1

+

c , si G (+•,X> *

0

1

0

1 = m - DC1+1,.1)

on a ⁶ CX) = ^{+ •} et le dossier est refusé.

1

*

·+

C

*

- C (

0 1

Si c < c < 1 + c et si G

(+•,X>

> 0 , il existe une

0

1

0

1

unique solution 6

1 (X) à l'équation G

1 (6,X) = 0 , et on a .

6 (X)

= + -

2

si

⁶

CX) 1

si

6

1

CX)

>

• On en déduit que

>

⁶

<

⁶

+ ^C

0 0 0

le dossier est refusé,

le dossier est accepté et le taux proposé coïncide avec le taux d'usure.

* *

et si G (6 ,X> < 0 1 2

on a

6

1 (X) = ^{+ •} et le dossier est refusé.

* *

Cas IV Si

^C

> ⁺

^C

^{et si} G (6 ,X> > ⁰

1

0

1 2

on a ^{6 CX)} qui est solution de ^{G (6,X)} * ^.. 0 et

1 1

6

CX) = . *

^{6 ~}

^{6 CX)}

2 2 1

Si

6

>

⁶

^CX) le dossier e~t accepté et le taux prop6sé

0

2

est

6

2 ^CX>

si

6

<X> >

⁶

>

⁶

^CX) , le dossier est accepté et le taux

2

0

1

proposé coîncide avec le taux d'usure;

si

⁶

CX) >

⁶

le dossier est refusé.

1

0

Dans cet exemple simple, la possibilité dans certains régimes de pouvoir fixer le taux d'intérêt à une valeur différenciée non égale au taux d'usure provient de l'existence de coQts fixes différents selon le client. Nous allons maintenant voir un cas différent, où les coQts sont tous égaux et où

l'existence d'une valeur

6

2 ^CX> résulte d'une demande globale fonction du taux d'intérêt.

IV.3 - DETERMINATION DES SEUILS, LORSQUE LES COUTS FIXES SONT EGAUX.

a)

Décision d'acceptation.

On suppose dans ce paragraphe les coûts fixes égaux la fonction de gain conditionnelle est:

{

11: [ (

D ^< 1 +6

0

) -

m ) ]

~CG/X) = ECA/X) Z ^{m -} DC1+µ) + ^a H

et la décision d'acceptation ou de rejet dépend du signe de

* = a{m-~(1+µ) + H(DC1+6

0

)-m)}

G 1 C6,X)

C : C : C

*

0

1

D'après l'étude du paragraphe précédent, cette fonction est croissante en

6

et sa valeur en 6 =

^{+ •}

est m - 0(1+µ) • La politique de sélection des

dossiers est alors la suivante:

il y a rejet du dossier, d'une part si m < DC1+µ) , d'autre part, si

m > D(1+µ) et 6 < 6 (X) 6 CX) étant la solution de l'équation

o 1 1

DC1+µ) - ^m

a

Ce taux seuil vaut

< 10)

⁶

^{1 (X)} = D { ^m + o H-1 ( D C 1 +µ; - ^{m ) }}

Il y a acceptation du dossier si m > 0(1+µ) b) Etude du seuil ⁶

1

et <

6

0

i) La quantité H(a) = E CMin(u,a)/XJ est toujours inférieure ^à a • On déduit alors de l'équation (10) que le taux seuil ⁶ CX) est toujours

1 supérieur au taux de refinancement

^µ

ii) Le seuil

⁶

1 CX) peut être étudié comme fonction de la capacité moyenne de remboursement m • On a: 36::Xl ⁼ ii [ 1 - S [H-1( D(:+µ: - ^{m )] ]}

et cette dérivée est toujours négative. Ainsi le seuil est une fonction dé- croissante de m : plus la capacité moyenne de remboursement est élevée, moins

il y a lieu d'être sévère au moment de la sélection.

Ce résultat peut être réécrit sous une forme plus classique dans le cas où

~ ~

la loi jointe de CX,R> conditionnelle ^à D est normale, en notant X "les caractéristiques autres que D figurant dans l'information. Nous allons en fait vérifier que la comparaison du taux implicite ⁶ Cx) au taux d'usure ⁶

1

⁰

équivaut ^à la comparaison ^à un seuil de la probabilité de défaillance. La

sélection fondée sur le taux implicite correspond donc ^à une approche du score

traditionnel le.

"17

Sous l'hypothèse de normalité la capacité moyenne de remboursement condi-

:t

tionnelle ^à D est du type c(D) ⁺ X b(D) • Par ailleurs, la variance ^o

:t

et la distribution H dépendent de D , mais pas de X ; on voit que

:t

l'inégalité ^ô {X) < ô est équivalente ^à une inégalité X b(D) > ^a

1

0

où le seuil a dépend de D • Cette dernière égalité peut aussi s'écrire ^à l'aide de la probabilité de défaillance.

On notera cependant que par rapport ^à la pratique de score usuelle le coeffi- cient b est ici fonction de la somme demandée et que par ailleurs le seuil

a est déterminé sans ambiguïté en fonction de D , du taux de refinance- ment, de la variabilité de la capacité de remboursement •••

iii) Considéré comme fonction de la variance ^o , le seuil

6

1 est tel que 36

_1 = ~ f H -1 ( D { 1

+JJ

> - m )

3o D \' o

= - - - CA SCA)

D SCA) HCA) l

- 1 ( D C 1

^+JJ > -

m )

avec A = H

0

La dérivée de A S{A) - HCA) est égale ^{à -} A f(A) ; elle est donc positive, puis négative, de sorte que la fonction A SCA) - HCA> atteint son minimum

36 1

pour A = 0 Pour cette valeur

3o D SCo) c - H(o)l > 0 et nous en déduisons que le seuil 6

1 est une fonction croissante de la variabilité.

Plus il y a de risque, plus l'organisme de prêt est "prudent" dans sa sélection de clientèle.

iv) Finalement on remarque que le seuil

⁶

1 est une fonction croissante

convexe du taux de refinancement

^{JJ •}

Plus ce taux augmente, plus la sélec-

tion est sévère

c) Influence de la qualité de l'information sur· le processus de - - - · ~-·#-·---~--- sélection.

Une question importante concerne l'intérêt d'accroître l'information

disponible ou d'améliorer sa qualité. Nous allons aborder ce problème dans le cas simple d'une seule caractéristique individuelle X autre que le besoin de financement, cette caractéristique pouvant être observée avec erreur. Nous étudierons alors comment se modifie le seuil, lorsque l'erreur supposée petite s'accroît. Nous constaterons une tendance plus marquée ^à rejeter des bons dossiers et ^à en accepter de mauvais.

Plus précisément, on introduit la variable remboursement R , une variable explicative X non observée, et une erreur d'observation u on désigne

:t

par X = X+ u l'observation avec erreur de X • On suppose que,

conditionnellement au besoin de financement D , la loi jointe de X R u est normale

X ^m

⁰

2

⁰

⁰

X X XR

2

R

^:t

^{N m}

^{0 0}

⁰

R RX R

u ^{0 0 0}

⁰

2

avec les hypothèses usuelles concernant une erreur de mesure.

:t

La variable observée X+ u = X et la variable ^à prévoir R sont alors telles que :

:t

2 2

X ^m

⁰

+

^{0 0}

X X ^u XR

li:

N

2

R ^m

^{0 0}

R XR R

:t

La loi conditionnelle de R sachant X, D est normale, de moyenne

t9

0

li:

XR

m = ^m _R ^{+ CX - m >}

2 2 X

0 + ⁰

X u

de variance

2

1112 2

0

XR

a = _OR

2 2

0 +

a

X u

Le seuil calculable est lui, donné par

li:

1 {

^:i:

111 -1 ( D C 1

+µ

> - m ) }

= - m

+

o H

D

:t

0

Lorsque l'erreur de mesure est petite, ce seuil ⁶

1 est peu différent de

où m et a sont les moyenne et variance conditionnelles de R sachant X , D •

Un développement limité à l'ordre supérieur conduit à

[ I - S:A> ] [ -

a

l

li:

2 1 XR

6 ## 6 + ^a

- CX - ^{m )}

1 1 u D 4 X

0

X

a

2

1 1 XR

+

- - CA SCA) - HCA)J -

D SCA> 2 3 4

a a

X

On peu.t sans perte de généralité (quitte ^à changer X en - X ) supposer que X et R sont corrélées positivement. Comme ~ ^{[ 1 - - 1 - ] < 0 et}

D SCA)

A SCA> - HCA> > 0 on voit que si X est très supérieur ^à m

X (c'est-

à-dire si le dossier est très bon puisque R est alors en moyenne très

~

supérieur à m ) , 6 va être supérieur à 6 • 11 y a donc tendance

1 1

au rejet de certains bons dossiers, qui auraient été acceptés si l'information avait été plus précise. La remarque symétrique correspondant aux mauvais

dossiers (cas où X est inférieur ^à m ) peut également être faite.

X

V - ETUDE NUHERIQUE

V.1 - CONDITIONS DE L'ETUDE.

De façon ^à ilustrer la démarche présentée dans les paragraphes précédents et ^à montrer comment elle pourrait être utilisée pratiquement, nous allons dans ce chapitre faire une détermination numérique des divers taux d'intérêt implicites et discuter les conséquences des choix optimaux.

L'étude est effectuée sous les hypothèses du paragraphe IV.1. La

distribution de la capacité de remboursement est prise sous forme logistique, de sorte que

S(a) =

1+expa H(a) = a - Log(1+expa) Rappelons que cette loi est centrée, de variance 2

V /

3

Pour sortir des cas, où le modèle a été traité sous forme analytique (voir IV.2 et IV.3), nous considérons des exemples où la demande dépend du taux d'inté- rêt et où les coûts sont différenciés.

La fonction de demande Qui donne la probabilité de soumission de dossier en fonction du taux a été choisie de la forme :

E(A/X) =

1 + exp a(6-b)

où a et b sont deux paramètres, le premier étant positif pour assurer la décroissance de la fonction. La valeur b correspond au point d'inflexion et

la cou~be admet la forme suivante :

E CA/X) t

Les quantiles à 2 et 98 t de cette distribution sont approximativement donnés par b

^~

- 4 • Les paramètres de b et a ont été fixées de façon ^à donner des valeurs réalistes a à ces quantiles qui s'interprètent en terme de taux d'intérêt. Ces valeurs retenues sont

b

a 4 a

7 i 40

10 t

10 t 60

6,66 i

13 i 80

Ces valeurs ont été croisées, ce qui conduit à neuf fonctions de demandes différentes. Ceci permettra d'analyser la sensibilité des résultats aux variations du comportement de demande. Plus le paramètre a est grand, plus

la demande est sensible aux variations de taux. Plus b est grand, plus il est possible de proposer des taux élevés sans baisse importante de la demande. Les modifications de la demande en fonction des paramètres est décrite ci-dessous.

100 80 60

Demande%

40 20 0

0

Fonctions de demande pour a = 40

1 0 20

delta%

a=40 b=0,07 a=40 b=0,10 a=40 b=0,13

30

80 60 40 20

40 ₀

Fonctions de demande pour b = 10%

1 0 20

delta%

a=40 b=0,10 a=60 b=0,10 a=80 b=0,10

30

Les coûts ont été fixés proportionnellement au besoin de financement D.

Les valeurs retenues sont dossier refusé

dossier accepté non défaillant

dossier accepté défaillant

Cil:

D

C 0

D

C

1

- D

= ^{1 1}

= ^{1 1}

= ^{2 1}

Seul le dernier coût a été différencié, avec l'idée de prendre en compte partiellement les coûts de recouvrement et de contentieux.

Les paramètres

^µ

tivement fixés ^à

µ

= ⁷ i

taux de refinancement et ⁶ taux d'usure ont été respec-

o

et ⁶ = 18 i

0

Finalement il sera fait un balayage sur les paramètres liés ^à la capacité de remboursement. Ceux-ci seront aussi considérés en proportion du besoin de financement, de sorte que le balayage sera sur :

m = capacité (relative) moyenne de remboursement D

0

= variabil'ité (relative) de la capacité de remboursement.

0

Il y a alors approximativement 95 ides demandeurs potentiels ayant une

R ^{m o m}

capacité relative de remboursement - supérieure ^{à - -} 3 - • Diminuer -

D D D D

ou accroître -

0

conduit intuitivement ^à augmenter le risque de défaillance.

D

23

V.2 - EXEMPLES DE FONCTIONS DE GAIN.

Les modèles retenus étant difficiles ^à étudier sous forme analytique, il est intéressant de tracer quelques fonctions de gain (en fait ici des gains relatifs c'est-à-dire rapportés au besoin de financement D ). Ce~i permet notamment de voir empiriquement si les hypothèses H2 - H5 sont sati~faites.

Un tel graphique est donné ci-dessous, pour une même fonction de demande

m

a = 60 , b = 10 i> et une même valeur de - = 1.12. Quatre valeurs de D

-

0

ont été retenues :

D Q01, 0.04, 0.08, 0.12. Ces courbes présentent un point de non dérivabilité pour le taux implicite

^{6 •}

Ce taux est donné par 7.0 ^1, 8.8 1, 14.4 1, 22.1 1 respectivement pour chacune des courbes. Les courbes sont 1 évidemment confondues lorsque le taux est inférieur au plus petit de ces taux

imp lie i tes.

Les valeurs maximales des fonctions sont atteintes pour les taux implicites 6 égaux ^à 10.4 1, 12.3 1, 18.8 ^1, 27.6 ¹ respectivement. 2

Asymptotiquement pour

⁶

tendant vers l'infini, les courbes tendent vers zéro du fait de la disparition de la demande.

Gain Moyen pour 100

GainMoyen ⁰

0 1 0

20

30

delta%

mu=O,CJl

c0=(!f'=0,01 cl= 0,02

a= 60, b= 10%

m

s

1,12 0,12 1,12 0,08 1,12 0,04 1,12 0,01

V.3 - ANALYSE DES TAUX.

Divers taux peuvent être déterminés. Le taux ⁶ dont la comparaison au taux d'usure entraine l'acceptation ou le refus du dossier, le taux 6 1 qui

2 serait choisi en absence de taux d'usure, le taux optimal

⁶

= Min

(6 ,6)

2

0

Un autre taux mérite aussi d'être calculé. En effet nous avons supposé

jusqu'à maintenant que l'institution de crédit pouvait fixer ses taux ce qui correspond à une situation monopolistique. On peut exhiber un taux 6*

correspondant à un marché concurrentiel, où l'espérance de gain serait nu 11 e .•

Ce taux est supérieur au taux 6 et est la solution de:

* *

G

(6 /

X) =

^c

1

Remarquons que les taux 6 et 6 * ne dépendent pas de la fonction de

demande, c'est-à-dire des paramètres a et b • Pour les clients peu risqués 1 le taux 6 doit être proche du taux de refinancement, c'est-à-dire 7 i ; pour ces mêmes clients, le taux concurrentiel devrait en plus permettre de 1 couvrir les coûts et donc être proche de 8 i .

Les taux 6

2 et

⁶

dépendent des fonctions de demande. Cependant ils se stabilisent, lorsque m tend vers l'infini, c'est-à-dire lorsque le risque devient nul. Considérons ainsi le taux 6

2 • Ce taux est solution de l'équation:

[ C

^{1 o} -c ^1+6-m l

[1 + exp - a(6-b)l 1 + ( 1 -

0

)

exp ( -

0 )

a [6 - o Log [1 + exp (1+:-·)]] ^{+ c1}

^{- C 0}

=

^{IJ - C -}

1 1+exp c+:-m)

où D a été mis égal à pour allèger les notations.

Si m tend vers l'infini, l'équation devient 1 + .exp - a(6 - b) = aC-6 -

^{µ - C )}

0

25

et la solution o appara1t indépendante de o 2

Nous donnons ci-dessous les tableaux donnant les valeurs de

^ô

1 et *

ô

en fonction de

a 60

m D

et -

0

et un tableau correspondant à D

b = ¹⁰ 1.

Les chiffres en italiques dans les tableaux

ô

1 et *

ô

pour les valeurs

correspondent aux individus dont le dossier sera refusé, car leur taux implicite

ô

1 est

supérieur aux taux d'usure. Ces mêmes individus sont repérés par des "blancs'' dans le tableau donnant o • Les chiffres enîtaliques dans ce dernier

2 tableau donnant les valeurs de appliquera le taux d'usure

o 2 pour les individus acceptés auxquels on

>

^{ô ) •}

0

Les tableaux donnant ô pour les autres fonctions de demande figurent en Annexe. 2

nu= 0,07 c•=dJ= 0,01 cl= 0,02 TAUX MINIMUM "DELTA 1"%

m\s 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,110 1,10 7,00 7,11 7,39 7,84 8,41 9,08 9,83 10,65 11,54 12,48 14,50 16,69 19,02 21,47 24,03 26,70

-

^{1,12 7,00 7,01 7,09 7).6 7,53 7,88 8,30 8,79 9,34} 9,94 11,28 12,78 14,42 16,19 18,06 20,03

-

1,14 7,00 7,00 7,02 7,09 7,22 7,42 7,67 7,98 8,35 8,76 9,72 10,84 12,09 13,45 14,93 16,50 1,16 7,00 7,00 7,01 7,03 7,10 7 ).1 7,36 7,57 7,82 8,11 8,82 9,6'i 10,65 11,74 12,94 14,24

-

^{1,18 7,00 7,00 7,00 7,01 7,04 7,10 7,20 7,33 7,51 7,71 8,24 8,90} 9,68 10,58 11,57 12,65

-

^{1,20 7,00 7,00 7,00 7,00 7,02 7,05 7,11 7,20 7,32 7,47 7,86 8,38 9,01} 9,74 10,57 11,49 1,22 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,06 7,12 7,20 7,31 7,60 8,01 8,52 9,12 9,82 10,60 ,__

1,24 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,04 7,071 7,13 7,20 7,43 7,74 8,16 8,66 9,25 9,91 1,26 7,001 7,00 7,00 7,00 7,00 7,!11 7/321 ^{7,04 7,08 7,14 7,30 7,55 7,88 8,30 8,80 9,37} ,____

11,~8 7,oo, 7,00 7,00 7,00 7,00 7,i:O,

7.e·:~

^{'7 ,1':(I} 7,05 7,09 7,22 7,41 7,68 8,03 8,45 8,94

7:011

^{•' ,'--!}

J.:.~

^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,021 7,03 7,06 7,15 7,31 7,52 7,81 8,17 8,59}

1.32 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 "01' ^{7,02 7,04 7,11 7,23 7,41 7,64 7,95 8,31}

~-

_{1,34 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00} ^{I l} _7,01 ¹ _{7',01 7,03 7,08 7,1'.i 7,31 7,51 7,77 8,08}

,.._

1,36 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7.00 7,01 7,02 7,06 7,13 7,24 7,41 7,62 7,90 ,__,_

1,38 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,01 7,04 7,10 7,19 7,33 7,51 7,74

-

^{1,40 7,00 7,00 7,00}

7,??i

^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,0? 7,15 7,26 7,41 7,61}

-

^{1,42 7,00 7,00 7,00 7Ft_;,,,; 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,05 7,11 7,21 7,34 7,51}

,___

1,44 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,04 7,09 7,17 7,28 7,42

-

^{_,_ 1,46} _1,48 ^7,00 _7,00 ^7,00 _7,00 ^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,07 7,13 7,23 7,35}

7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,05 7,11 7,18 7,29

-

^1,50 _1,52 ^7,00 _7,00 ^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,04 7,08 7,15 7,24}

7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,07 7,12 7,20

-

^1,54 _1,56 ^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,05 7,10 7,17}

7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,04 7,08 7,14

-

^{1,58 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,03 7,07 7,12}

1,60 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,03 7,06 7,10

-

^{1,70 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02 7,04}

-

^1,80 _1,90 ^7,00 _7,00 ^{7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01 7,02}

7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,01

-

^{2,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00}

0,120 29,45 22,10 18,17 15,62 13,82 12,49 11,46 10,66 10,02 9,50 9,08 8,74 8,46 8,22 8,02 7,86 7,73 7,61 7,52 7,43 7,37 7,31 7,26 7,22 7,19 7,16 7,07 7,03 7,01 7,01

m\s 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,110 0,120 1,10 8,03 8,33 8,92 9,71 10,63 11,65 12,76 13,93 15,16 16,45 19,17 22,05 25,07 28,22 31,47 34,83 38,28

-

^{1,12 8,00 8,04 8,19 8,46 8,84 9,32} 9,88 10,50 11,18 11,92 13,54 15,33 17,26 19,30 21,46 23,72 26,07 1,14 8,00 8,00 8,05 8,16 8,34 8,60 8,93 9,32 9,76 10,26 11,39 12,67 14,10 15,64 17,30 19,05 20,89

-

^{1,16 8,00 8,00 8,01 8,06 8,15 8,29 8,49 8,74 9,05} 9,39 10,21 11,19 12,29 13,51 14,84 16,26 17,77 1,18 8,00 8,00 8,00 8,02 8,07 8,15 8,27 3,43 8,64 8,89 9,50 10,25 11,12 12,11 13,20 14,38 15,65

-

1,20 ^{8,00 8,00} 8,00 ^{8,01 8,03 8,07 3,15 8,26 8,40 8,58 9,03} 9,62 10,32 11,12 12,03 13,03 14,11 1,22 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,04 8,08 8,15 8,25 8,38 8,72 9,18 9,74 10,41 11,17 12,02 12,94 1,24 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,05 8,09 8,16 8,25 8,51 8,8'.i 9,32 9,87 10,51 11,24 12,04

-

^{1,26 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,06 8,10 8,17 8,36 8,64 9,01} 9,47 10,01 10,63 11,32 1,28 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,01 8,03 8,07 8,11 8,26 8,48 8,78 9,16 9,61 10,15 10,75

~

8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,04 8,07 8,18 8,35 8,60 8,91 9,30 9,76 10,28

1,30 8,00

-

^{1,32 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,05 8,13 8,26 8,46 8,72 9,05 9,45 9,90}

1,34 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,03 3,09 8,20 8,36 8,57 8,85 9,19 9,59 1,36 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,07 8,15 8,28 8,46 8,69 8,98 9,33

-

^{1,38 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,01 8,05 8,11 8,21 8,36 8,56 8,81 9,12}

-

^{1,40 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,08 8,17 8,29 8,46 8,67 8,94}

1,42 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,06 8,13 8,23 8,37 8,56 8,79

i...,.

8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8)10 8,02 8,05 8,10 8,19 8,31 8,46 8,67 1,44

-

^1,46 _1,48 ^8,00 _8,00 ^8,00 _8,00 ^8,00 _8,00 ^{8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,04 8,08 8,15 8,25 8,39 8,56}

8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,06 8,12 8,20 8,32 8,47

-

^1,50 _1,52 ^{8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,05 8,09 8,17 8,27 8,40}

8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,04 8,08 8,14 8,22 8,34 1,54 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,06 8,11 8,18 8,28

-

^{1,56 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,05 8,09 8,15 8,24}

1,58 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,04 8,07 8,13 8,20 1,60 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,03 8,06 8,11 8,17

-

^{1,70 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,04 8,07}

1,80 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,02 8,03

---

^{1,90 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01 8,01}

-

^{2,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,00 8,01}

nu= 0,07 c"=cO= 0,01 cl= 0,02

TAUX OPTIMUM "DELTA 2''% Demande: a= 60 b= 0,1

m\s 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,110 0,120

~

9,57 10,02 10,66 11,40 12,24 13,20 14,26 15,41 16,64 17,93 20,66 23,56 26,60 29,76 33,03 36,39 39,84 1,12 10,53 10,41 10,49 10,69 10,98 11,35 11,80 12,33 12,93 13,60 15,14 16,90 18,82 20,87 23,03 25,30 27,65

-

1,14 10,73 10,67 10,63 10,66 10,77 10,94 11,1, 11,46 11,80 12,20 13,17 14,35 15,72 17,24 18,89 20,64 22,48

'"T,î6""

10,74 10,73 10,70 10,70 10,73 10,81 10,93 11,10 11,31 11,56 12,20 13,02 14,02 15,1, 16,4, 17,88 19,38

'T,îs

10,74 10,74 10,73 10,72 10,73 10,77 10,83 10,93 11,06 11,23 11,67 12,25 12,98 13,87 14,89 16,03 17,28

-

1,20 10,74 10,74 10,73 10,73 10,73 10,75 10,79 10,85 10,93 11,04 11,35 11,77 12,32 13,00 13,81 14,74 15,78 1,22 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,76 10,80 10,86 10,93 11,15 11,47 11,88 12,41 13,05 13,80 14,67

-

^1,24 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,81 10,86 11,02 11,26 11,58 11,99 12,50 13,12 13,83

-

^1,26 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,78 10,82 10,93 11,11 11,36 11,69 12,10 12,60 13,20 1,28 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,79 10,88 11,01 11,21 11,47 11,80 12,21 12,71

-

^1,30 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,77 10,83 10,94 11,09 11,31 11,58 11,92 12,33 1,32 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,81 10,89 11,01 11,18 11,40 11,69 12,03

-

1,34 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 ^10,74 10,74 10,74 10,74 ^10,75 10,79 10,85 10,95 11,08 11,2'.i 11,51 11,80 1,36 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,82 10,90 11,01 11,16 11,36 11,61

-

^1,38 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,76 10,80 10,86 10,95 11,08 11,25 11,46

-

^1,40 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,76 10,78 10,83 10,91 11,01 11,16 11,33 1,42 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,81 10,87 10,96 11,08 11,23

-

^1,44 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,79 10,85 10,92 11,02 11,15 1,46 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,76 10,78 10,82 10,89 10,97 11,08

-

^1,48 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,81 10,86 10,93 11,03 1,50 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,79 10,84 10,90 10,98

-

^1,52 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,78 10,82 10,87 10,94 1,54 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,77 10,80 10,85 10,91

-

^1,56 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 ^10,77 10,79 10,83 10,88 1,58 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,78 10,81 10,86 1,60 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,7'.i 10,80 10,84 1,70 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76 10,78 1,80 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75 10,76

-

^1,90 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,75

-

^2,00 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74 10,74