Pré-requis : - Définition vectorielle d’une droite D du plan P :

Leçon 22

Equation cartésienne d’une droite du plan. Problèmes d’intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes.

Pré-requis : - Définition vectorielle d’une droite D du plan P :

∃ A ∈ P , ∃

^→

u ≠

^→

0 , D = {M ∈ P | ∃ k ∈ IR, AM = k

^{→ →}

u } - Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs par le déterminant :

→

u (x,y) et

^→

v (x’,y’) colinéaires ⇔ det(

^→

u ,

^→

v ) = 0 ⇔ xy’ – x’y = 0

- Définition du parallélisme de deux droites : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

- Calcul de déterminant 2×2 et 3×3 ; et relation avec les systèmes linéaires On se place dans un plan affine P muni d’un repère (O;

^→

i ;

^→

j ).

La notation M(x,y) signifie que les coordonnées de M dans le repère sont (x,y).

1 – Equation cartésienne d’une droite du plan

Théorème 1 : Soit

^DDDD

une droite de

^PPPP

. Il existe (a, b, c) ∈ ∈ ∈ ∈ IR

³

((a, b) ≠≠≠≠ (0, 0)) tel que : M(x,y) ∈ ∈ ∈ ∈

^DDDD

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ax + by + c = 0.

Réciproquement, si (a, b, c) ∈ ∈ ∈ ∈ IR

³

et (a, b) ≠≠≠≠ (0, 0), alors l’ensemble {M(x,y) ∈ ∈ ∈ ∈

^PPPP

| ax + by + c = 0} est une droite de vecteur directeur

^{→}

u(-b, a).

^→→→

Preuve : Soit ^{D D D D} la droite passant par A(x₀,y₀) et de vecteur directeur ^{→}u (^→→→αααα^,ββββ) non nul avec (αααα^,ββββ⁾ ∈∈∈∈ IR² et M(x,y) ∈∈∈∈^{PPPP. Alors :} M ∈∈∈∈^DDDD ⇔⇔⇔⇔ ^{AM et →→→→ →}u sont colinéaires ^→→→ ⇔⇔⇔⇔ ⁰

β y y -

α x - x

0

0 = ⇔⇔⇔⇔ ββββ^{(x – x}0) – αααα^{(y – y}0) = 0 ⇔⇔⇔⇔ββββ^{x –} αααα ^{y +} αααα ^y0 – ββββ ^x0 = 0.

On pose alors a = ββββ^{, b = –}αααα ^{et c =} αααα ^y0 – ββββ ^x0 de sorte que M ∈∈∈∈^DDDD ⇔⇔⇔⇔ ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠≠≠≠ (0, 0) car ^{→}u ^→→→≠≠≠≠^{→0 . →→→}

Réciproquement, posons ^DDDD = {M ∈∈∈∈ P | ax + by + c = 0}. Puisque (a, b) ≠≠≠≠ (0, 0) on peut trouver un point A qui soit dans ^DDDD donc D

D D

D≠≠≠≠∅∅∅∅. En effet, on peut trouver un point A ∈∈∈∈^{DDDD, si b} ≠≠≠≠ 0, A(0,–c/b) et si b = 0, A(–c/a,0).

Soit A(x0, y0) ce point et M(x,y) ∈∈∈∈^DDDD. Alors : M ∈∈∈∈^DDDD ⇔⇔⇔⇔ ax + by + c = 0 ⇔⇔⇔⇔

{

ax + by + c = 0

ax0 + by0 + c = 0 ⇔⇔⇔⇔ ^{a(x – x}0) + b(y – y0) = 0 ⇔⇔⇔⇔ ^{AM et →→→→ →}u (-b, a) sont colinéaires ^→→→

⇔⇔

⇔⇔ ^M ∈∈∈∈^{DDDD (A, →u ). →→→} Donc ^{D D D D} = ^{D D D D} (A, ^{→}u ). ■ ^→→→

Définition : La relation ax + by + c = 0 avec (a, b, c) ∈ IR

³

et (a, b) ≠ (0, 0) est alors appelée une équation cartésienne de la droite

^D

que l’on note

^D

(ax + by + c = 0).

Exemple :

^D

(A,

^→

u ) où A(x

A

,y

A

) et

^→

u (α,β), admet pour équation cartésienne β α y y

x x

. . A

−

A

− = 0.

Remarque : ♣ Un telle équation exprime une condition simple (condition nécessaire et suffisante) sur les coordonnées d’un point pour que celui-ci appartienne ou non à la droite. Ce test d’appartenance à une droite se fait sans avoir à rechercher un paramètre (équation paramétrique).

♣ Si (a,b) = (0,0), alors si c = 0, l’ensemble est le plan en entier et si c ≠ 0, c’est l’ensemble vide.

♣ L’équation d’une droite n’est pas unique puisqu’il suffit de la multiplier par un réel non nul pour obtenir une autre équation de la même droite. D’où le résultat suivant :

Proposition 1 : Soit (a, b, c), (a’, b’, c’) ∈ ∈ ∈ ∈ IR

³

avec (a,b) et (a’,b’) ≠≠≠≠ (0,0).

Deux équations ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0 représentent la même droite si, et seulement si, elles sont proportionnelles, autrement dit s’il existe k ∈ ∈ ∈ ∈ IR

^*

tel que (a,b,c) = k(a’,b’,c’).

Cela équivaut à : c' 0

c b'

b c'

c a'

a b'

b a'

a = = = .

Preuve : La condition est clairement suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire. Si ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0 représentent la même droite ^DDDD, les vecteurs ^{→}u (-b,a) et ^{→→→ →}u ’(-b’,a’) dirigent ^{→→→ DDDD}, donc sont colinéaires. Il existe k ∈∈∈∈ IR tel que (a’,b’) = k(a,b). Si par exemple b ≠≠≠≠ 0, le point (0,-c/b) appartient à ^DDDD, par conséquent a’.0 + b’(-c/b) + c’ = 0, donc c’ = kc.

Remarque : ♣ k ≠ 0 n’est pas nécessaire, mais plus pédagogique.

♣ La nullité de 2 déterminants ne suffit pas. Exemple : (0,1,1) et (0,1,-1), qui représente les droites y + 1 = 0 et y – 1 = 0. Elles sont strictement parallèles or les deux déterminants avec (a,a’) sont nuls.

Proposition 2 : Si une droite

^DDDD

n’est pas parallèle à l’axe des ordonnés, alors

^DDDD

possède une unique équation de la forme y = mx + p ; avec (m,p) ∈ ∈ ∈ ∈ IR

²

(*).

Preuve : Existence : b ≠≠≠≠ 0, donc y = – a b x – c

b ; on pose m = – a

b et p = – c b.

Unicité : Si a’x + b’y + c’ = 0 une autre équation de ^DDDD, il existe k ∈∈∈∈ ^IR* tel que (a’, b’, c’) = k(a, b, c), et on a : y = – a’

b’ x – c’

b’ = – ka kb – kc

kb = – a b x – c

b. ■

Définition : L’équation (*) est appelée équation réduite de D . m est le coefficient directeur (ou la pente) de D , et p l’ordonnée à l’origine.

Remarque : ♣ Cette équation réduite est unique et permet de tracer rapidement n’importe quelle droite non parallèle à l’axe des y en utilisant le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

On en déduit que l’équation d’une droite est soit de la forme y = ax + b, soit x = Cste (dans le cas où b = 0).

En effet, si

^D

est parallèle à (O,

^→

j ) alors

^→

u (-b,a) = (0,m) dirige

^D

, alors M(x,y) ∈

^D

⇔ ax + by + c = 0 avec b = 0 donc x = –c/a = C (a ≠ 0 car (a,b) ≠ (0,0) et b = 0)

Exercice : Trouver une équation cartésienne d’une droite qui : 1) passe par le point A(2, -3) et de vecteur directeur

^→

u (-1,2).

2) passe par les points distincts A(a, 0) et B(0, b), avec (a,b) ∈ IR².

Solution : Nous cherchons (α,β,γ)∈ IR³ tel que αx + βy + γ = 0.

1) Comme ^→u (-1,2), on obtient ∆ : 2x + y + γ = 0.

Or A ∈ ∆, donc 2 × 2 – 3 + γ = 0 donc γ = -1. Finalement ∆ : 2x + y – 1 = 0 2) On obtient : αa = –γ et βb = – γ.

On a alors trois cas :

* Si a = 0, alors b ≠ 0 car A et B sont distincts, γ = 0 et β = 0 d’où l’équation αx = 0.

* Si b = 0, on a de même βy = 0.

* Si a et b sont non nuls, alors αa = βb c’est-à-dire α = βb

a d’où l’équation cartésienne : βb

a x + βy – βb = 0 ⇔ x a + y

b = 1

2 – Intersection et parallélisme

Dans toute la suite D désignera la droite D (ax + by + c = 0), D’ la droite D ’(a’x + b’y + c’ = 0) et D’’ la droite D’’ (a’’x + b’’y + c’’ = 0), avec (a, b, c) ∈ IR

³

et (a, b) ≠ (0, 0) et de même pour (a’, b’, c’) et (a’’, b’’, c’’).

a) Cas de deux droites

Définition : ♠ Deux droites sont dites sécantes si elles ont exactement un point commun.

Etude de la position relative de deux droites

L’intersection des droites

^D

et

^D’

revient à résoudre le système linéaire (S)

_^

ax + by + c = 0

a’x + b’y + c’ = 0 .

(S) ⇔



  ax + by + c = 0





 b’ – a’ 

a b y + c’– a’

a c = 0 ⇔

_^

ax + by + c = 0

(ab’ – a’b) y = a’c – ac’ , d’où la discussion :

• Si ab’ – a’b ≠ 0, le système (S) admet un unique couple solution, et les deux droites sont sécantes.

• Si ab’ – a’b = 0, alors (S) ⇔

_^

ax + by + c = 0 a’c – ac’ = 0 .

Si a’c – ac’ = 0, (S) admet une infinité de solutions : tous les points vérifiant ax + by + c = 0.

Donc les droites sont confondues (proposition 1).

Si a’c – ac’ ≠ 0, (S) n’admet pas de solution.

On peut donc énoncer le théorème fondamental suivant : Théorème 2 : Les deux droites

^DDDD

et

^DDDD

’ sont :

1/ sécantes si, et seulement si, b' 0 b a'

a ≠ .

2/ parallèles si, et seulement si b' b 0 a' a = .

3/ confondues si, et seulement si c' 0

c b'

b c'

c a'

a b'

b a'

a = = = (i.e

^DDDD

=

^{D’D’D’D’}

)

Preuve : L’étude précédente montre que ces conditions sont suffisantes. on vérifie maintenant qu’elles sont nécessaires.

1/ Si ^DDDD et ^{D’D’D’D’} sont sécantes, l’étude précédente montre que l’on ne peut pas avoir 0 b' a'

b

a =

2/ Si ^DDDD et ^{D’D’D’D’} sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c’est-à-dire 0 a' a

b' - b

- = ⇔⇔⇔⇔ ab’ – a’b = 0.

3/ D’après la proposition 1, Si ^DDDD et ^{D’D’D’D’} sont confondues alors on a l’égalité des trois déterminants. ■

Remarque : ♣ Les conditions ab’ – a’b = a’c – ac’ = 0, alliées à l’hypothèse a ≠ 0 montrent que : c' c 0

a' a c' c b' b b' b a'

a = = = . En effet, ab’ – a’b = a’c – ac’ ⇔ a(b’ + c’) = a’(b + c).

Donc c' 0

c c' b'

c b c' c b'

b = + + = . On retrouve bien le résultat de la proposition 1.

♣ Les deux droites

^D

et

^D’

sont strictement parallèles si, et seulement si,

b' b 0 a'

a = et



  c' c ⁰ a' a ≠

ou c' 0

c b'

b ≠ (i.e

^D

∩

^D’

= ∅).

Le déterminant c' c 0

a' a ≠ ne suffit pas. En effet : y = 1 et y = –1.

Corollaire 1 : Une équation cartésienne d’une droite parallèle à

^DDDD

(ax + by + c = 0) s’écrit toujours : ax + by + λλλλ = 0 où λλλλ est un réel.

Preuve : C’est une conséquence directe du théorème 2. ■

Exercice : Soit ABC un triangle. Soit M

0

∈ (AB).

On trace M

1

∈ (BC) tel que (M

0

M

1

) // (AC) M

2

∈ (AC) tel que (M

1

M

2

) // (AB) M

3

∈ (AB) tel que (M

2

M

3

) // (BC) M

4

∈ (BC) tel que (M

3

M

4

) // (AC) M

5

∈ (AC) tel que (M

4

M

5

) // (AB) M

6

∈ (AB) tel que (M

5

M

6

) // (BC).

Montrer que M

6

= M

0

.

Solution : Soit le repère (A ,^→AB ,^→AC ). A(0,0) B(1,0) C(0,1) M0(x0, 0) (AB) : y = 0 et (AC) : x = 0

(BC) : ax + by + c = 0 avec

{

^{a + c = 0 b + c = 0} ie – cx – cy + c = 0 donc (comme c ≠ 0) (BC) : x + y = 1 ou (BC) : y = - x + 1

• (M0M1) // (AC) d’où (M0M1) : x = λ or M0(x0,0) ∈ (M0M1) donc (M0M1) : x = x0 M1(x,y) ∈ (BC) ∩ (M0M1) ie

{

^{x + y = 1x = x}0 donc M1(x0, 1 – x0)

• (M1M2) // (AB) d’où (M1M2) : y = λ or M1 ∈ (M1M2) donc (M0M1) : y = 1 – x0 M₂∈ (AC) ∩ (M₁M₂) donc M₂(0, 1 – x₀)

• (M₂M₃) // (BC) d’où (M₂M₃) : y = –x + λ or M₂∈ (M₂M₃) ie (1 – x₀) = –0 + λ soit λ = 1 – x₀ donc (M₂M₃) : y = –x + 1 – x₀ M3 ∈ (AB) ∩ (M2M3) donc M3(1 – x0, 0)

• (M₃M₄) // (AC) d’où (M₃M₄) : x = λ or M₃∈ (M₃M₄) donc (M₃M₄) : x = 1 – x₀ M₄(x,y) ∈ (BC) ∩ (M₃M₄) ie

{

^{x + y = 1x = 1 – x}0 donc M₄(1 – x₀ ,x₀)

• (M4M5) // (AB) d’où (M4M5) : y = λ or M4 ∈ (M4M5) donc (M4M5) : y = x0 M₅∈ (AC) ∩ (M₄M₅) donc M₅(0,x₀)

• (M5M6) // (BC) d’où (M5M6) : y = -x + λ or M5∈ (M5M6) ie x0 = –0 + λ soit λ = x0 donc (M2M3) : y = –x + x0 M6 ∈ (AB) ∩ (M5M6) donc M6(x0,0) = M0. ♦

b) Condition pour que trois droites soient concourantes

Définition : Des droites sont dites concourantes si elles passent toutes par exactement un point.

Proposition 3 : Soit

^DDDD

,

^{D’D’D’D’}

et

^{D’’D’’D’’D’’}

trois droites telles que

^DDDD

et

^{D’D’D’D’}

sécantes en un point A. Alors :

D’’D’’D’’

D’’

passe par A si, et seulement si, il existe (λλλλ,λλλλ’) ∈ ∈ ∈ IR ² \ {(0,0)} tel que ∈

^{D’’D’’D’’D’’}

a pour équation : λλλλ (ax + by + c) + λλλλ ’(a’x + b’y + c’) = 0.

Preuve : ⇐⇐⇐⇐^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’ = {A(x}A,yA)} alors axA + byA + c = a’xA + b’yA + c’ = 0 d’où λλλλ^(axA + byA + c) + λλλλ^’(a’xA + b’yA + c’ ) = 0 et donc A ∈∈∈∈^{D’’D’’D’’D’’.}

⇒

⇒

⇒

⇒ On suppose que ^{D D D D} ∩∩∩∩^{D’D’D’D’} = {A}. Soit ^{D’’D’’D’’D’’} une droite du plan. Supposons A(xA,yA) ∈∈∈∈^{D’’D’’D’’D’’.} Soit N(xN,yN) ∈∈∈∈^{D’’ D’’ D’’ D’’} \{A}. On considère E(x,y) =

43 42 1

λ c) by

(ax^N+ ^N+ . (a’x + b’y + c’) – (ax + by + c).

4 4 3 4

4 2 1

λ' ) c' y b' x

(a' ^N+ ^N+

E(x,y) est bien définie car (λλλλ,λλλλ’) ≠≠≠≠ (0,0) (si l’on avait λλλλ = λλλλ’ = 0, le point N appartiendrait à ^DDDD et à ^{D’D’D’D’} , et ces deux droites passant par A et N seraient confondues), et contient A et N, donc est confondue avec ^{D’’D’’D’’D’’}.

En effet, E(xA,yA) = 0 car axA + byA + c = a’xA + b’yA + c’ = 0 et E(xN,yN) = 0, d’où ∆∆∆∆ = (AN) (car A ∈∈∈∈∆∆∆∆ et N ∈∈∈∈∆∆∆∆), ie ∆∆∆∆ = ^{D’’D’’D’’D’’}. Finalement ^{D’’D’’D’’D’’} : λλλλ(ax + by + c) + λλλλ’(a’x + b’y + c’) = 0. ■

Théorème 3 : Les trois droites

^DDDD

,

^{D’D’D’D’}

et

^{D’’D’’D’’D’’}

sont concourantes si, et seulement si :

∆∆∆∆ =

' c' ' b' ' a'

c' b' a'

c b a

= 0 et l’un au moins des déterminants b'' b' a'' , a' b''

b a'' , a b' b a'

a n’est pas nul.

(Ce qui revient à dire que les suites (a,a’,a’’) et (b, b’,b’’) ne sont pas proportionnelles).

Preuve : Considérons les trois droites ^DDDD, ^{D’D’D’D’} et ^{D’’ D’’ D’’ D’’} . D’après la proposition précédente trois sont concourantes si et seulement si deux d’entres elles sont sécantes en un point A et si la 3^ième passe par A.

Cela nous permet d’envisager trois cas, et dans chacun de ces cas, de résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, puis d’écrire la condition de compatibilité. En nous plaçant, par exemple, dans le cas où ^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’} = {A} et A ∈∈∈∈^{D’’D’’D’’D’’} , on obtient :

∃∃∃∃ ^A ∈∈∈∈^PPPP, _^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’ = {A}}

A ∈∈∈∈^{D’’D’’D’’D’’} ⇔⇔⇔⇔



 

^{a'a b'b}

^≠

⁰

a’’

b' b a'

a b'

b c' -

c -

+ b’’

b' b a'

a c' -

c - a'

a

+ c’’ = 0 ⇔⇔⇔⇔



 

b' ⁰ b a'

a

≠

a’’ c' c b'

b – b’’ c'

c a'

a + c’’

b' b a'

a = 0

⇔⇔⇔⇔



 

₀

b' b a'

a

≠

∆∆∆∆ ^{= 0}

; où ∆∆∆∆ représente le déterminant 3 ×××× 3. ■

Remarque : On a besoin de l’un au moins des 3 déterminants, ex : y = 1, y = 2, y = 3, n’est pas équivalent à

Corollaire 2 : Les droites

^DDDD

,

^{D’D’D’D’}

et

^{D’’D’’D’’D’’}

sont concourantes ou parallèles si, seulement si ∆∆∆∆ = 0.

Preuve : Si ^DDDD, ^{D’D’D’D’} et ^{D’’ D’’ D’’ D’’} sont concourantes, le théorème 3 montre ∆∆∆∆ = 0. Si elles sont parallèles, b'b'' 0 ' a'a' ' b'b ' a'a b'b

a'a = = =

(*)

et ∆∆∆∆ = 0 en développant suivant la troisième colonne.

Réciproquement, si ∆∆∆∆ = 0, ou bien (*) a lieu et les trois droites sont parallèles, ou bien l’un des trois déterminant intervenant dans (*) n’est pas nul, et les trois droites sont concourantes d’après le théorème 3. ■

Exercice : Soit ABCD un parallélogramme et un point M du plan. La parallèle à (AB) passant par M coupe (AD) et (BC) respectivement en E et F et la parallèle à (BC) passant par M coupe (AB) et (CD) respectivement en G et H. Lorsque E, F, G et H sont distincts des sommets de ABCD, montrer que (AC), (EH) et (FG) sont concourantes ou parallèles.

Solution :

On se place dans le repère (A,^→AB ,^→AD ). Soit alors M (x_M,y_M).

La droite (AC) passe par A(0,0) et C(1,1) ; soit ax + by + c = 0 une équation cartésienne de (AC), elle vérifie c = 0 et a + b = 0 c’est à dire a = – b d’où l’équation : x – y = 0.

La droite (GF) passe par G(x_M,0) et F(1,y_M) ; soit a’x + b’y + c’ = 0 une équation cartésienne de (GF), elle vérifie a’xM + c’ = 0 d’où c’ = – a’xM et a’ + b’yM + c’ = 0 ⇔ a’(1 – xM) = – b’yM ⇔ b’ = xM – 1

yM

a’ (yM ≠ 0 car F ≠ B).

Donc une équation cartésienne de (GF) s’écrit : yM x + (xM – 1) y – yM xM = 0.

La droite (EH) passe par E(0,y_M) et H(x_M,1) ; soit a’’x + b’’y + c’’ = 0 une équation cartésienne de (EH), elle vérifie b’’y_M + c’’ = 0 d’où c’’ = – b’’y_M et a’’x_M + b’’ + c’’ = 0 ⇔ b’’(1 – y_M) = – a’’x_M ⇔ a’’ = y_M – 1

x_M b’’ (x_M≠ 0 car H ≠ D) Donc une équation cartésienne de (EH) s’écrit : (y_M – 1)x + x_M y – y_M x_M = 0.

Or

M M M M

M M M M

x y x y

x y x y

−

−

−

−

− 1

1

0 1 1

= –yMxM

1 1 0 1 1

1 1

M M

M M

x y

x y

−

−

−

= yMxM(xM + yM – 1 – xM + 1 – yM) = 0. ♦

4 – Applications

a) Exercice de synthèse

Montrer de trois manières différentes que les médianes d’un triangle ABC non aplati sont concourantes.

Solution : On se place dans le repère (A,^→AB ,^→AC ). On a donc A(0,0) ; B(1,0) ; C(0,1) ; A’(1/2,1/2) ; B’(0,1/2) et C’(1/2,0). De plus : (AB) : y = 0 ; (AC) : x = 0 ; (AA’) : x – y = 0.

Equation de (CC’) : ax + by + c = 0, or (C,C’) ∈ (CC’) donc :

{

a.0 + b + c = 0

a.1/2 + b.0 + c = 0 ⇔

{

^{b = –ca = –2c}. Donc (CC’) : –2x – y + 1 = 0.

Equation de (BB’) : ax + by + c = 0, or (B,B’) ∈ (BB’) donc :

{

a.1 + b.0 + c = 0

a.0 + b.1/2 + c = 0 ⇔

{

^{b = –2ca = –c} . Donc (BB’) : –x – 2y + 1 = 0.

1^ère méthode : Soit {I(x’,y’)} = (AA’) ∩ (CC’), i.e

{

x’ – y’ = 0

–2x’ – y’ + 1 = 0 ⇔ x’ = 1 3 = y’.

On vérifie bien que I ∈ (BB’) car – 1 3 – 2

3 + 1 = 0, donc (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en I.

2^ième méthode : (AA’) et (BB’) sont sécantes car 1.(-1) – (-2).(-1) = –3 ≠ 0.

En utilisant la proposition 3 : Cherchons λ et λ’ tel que (CC’) passe par I ⇔ λ(x – y) + λ’(–x – 2y + 1) = 0 avec (λ,λ’) ∈ IR^*².

On résout –2x – y + 1 = λ(x – y) + λ’(–x – 2y + 1) ⇔ x(-2 – λ + λ’) + y(-1 + λ + 2λ’) + 1 - λ’ = 0 par identification : λ’ = 1 et λ = -1. Donc les médianes sont sécantes en I.

3^ième méthode : Utilisons le théorème 4 :

1 1 0 1 2

2 1

1 1

−

−− −−

= 1

1 1

−2

− + 1 1 2

−−1 = (–2 + 1) + (–1 + 2) = 0. Donc les droites sont concourantes ou parallèles.

Etudions les déterminants 2 × 2 : 2 1 1 1 −−

− = –2 – 1 = – 3. Cela suffit à montrer que les médianes sont concourantes.

La 2^ième méthode est la plus longue et ne nous fournit même pas les coordonnées du point d’intersection. La 3^ième est plus rapide mais ne fournit pas les coordonnées du point d’intersection. La 1^ère est la seule à nous donner les coordonnées cherchées. ♦

b) Etude d’une configuration plane : le trapèze complet

Dans un repère, placer les points A(-2, 3), B(0, 1), C(-2, -9), D(-8, -3). Soit K le point d’intersection de (AD) et (BC), L le point d’intersection de (AC) et (BD), I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. Montrer que I, J, K, L sont alignés.

Solution : ^→AB (2, -2) et ^→DC (6, -6) colinéaires ⇒ (AB)//(CD). Donc ABCD trapèze.

 



(AD) non parallèle à (Oy) ⇒ y = mx + p, où m = yD – yA

xD – xA

= 1 A ∈ (AD) ⇒ p = 5

⇒ (AD) : y = x + 5.

(BC) : M ∈ (BC) ⇔ ^→MB et ^→BC colinéaires ⇔ ∃λ∈ IR,



–x = –2λ 1 – y = –10λ ⇔ –x

–2 = 1 – y

–10 ⇔ y = 5x + 1.

K ∈ (AD) ∩ (BC) ⇔



y = 5x + 1 y = x + 5 ⇔

y = 6 x = 1. On obtient de même : (AC) : x = –2 ; (BD) : y = 1

2 x + 1 ⇒ L(-2, 0).

I(-1, 2) et J(-5, -6) ⇒ (IJ) : y = 2x + 4.

K et L vérifient l’équation de (IJ). ♦

c) Théorème de Céva

Soit ABC un triangle non aplati, A’, B’, C’ trois points situés respectivement sur les droites (BC), (AC), (AB), distincts des sommets de ce triangle.

Les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes ou parallèles si et seulement si A’B

A’C × B’C

B’A × C’A C’B

= –1.

Solution : On se place dans le repère ^R = (A,^→AB ,^→AC ). On a A(0 ,0), B(1,0) et C(0,1). Cherchons les coordonnées de A’, B’ et C’.

* A’ ∈ (BC)\{B,C}, alors il existe a ∈ IR\{0,1} tel que A’ = a B + (1 – a) C.

D’où AA’ = A’ – A = a B + (1 – a)C – (a + (1 – a))A = a(B – A) + (1 – a)(C – A) = a^{→ →}AB + (1 – a)^→AC . Donc A’(a , 1 – a)

* B’ ∈ (AC)\{A,C}, alors il existe b ∈ IR\{0,1} tel que B’ = b A + (1 – b) C.

D’où AB’ = B’ – A = b A + (1 – b)C – (b + (1 – b))A = (1 – b)(C – A) = (1 – b)^{→ →}AC . Donc B’ (0 , 1 – b)

* C’ ∈ (AB)\{A,B}, alors il existe c ∈ IR\{0,1} tel que C’ = c A + (1 – c) B.

D’où AC’ = C’ – A = c A + (1 – c)B – (c + (1 – c))A = (1 – c)(B – A) = (1 – c)^{→ →}AB . Donc C’(1 – c ; 0) On en déduit, les équations des droites (AA’), (BB’) et (CC’) :

(AA’) : 1aa00 0 y 0 x −−−

−− = 0 ⇔ (1 – a)x – ay = 0. De même (BB’) : (1 – b)x + y +(b – 1) = 0 et (CC’) : x + (1 – c)y + (c – 1) = 0.

On obtient ∆ =

1 c 1 b

0 c 11

a 1b 1

a 1

−−

−

−− −

= (1 – a) [(c – 1) – (1 – c)(b – 1)] + a [(1 – b)(c – 1) – (b – 1)] = (1 – a)(c – 1)b + ac(1 – b).

Déterminons maintenant les rapports.

1/

A’B A’C

= k ⇔ A’B = k ^→ A’C ^→ ⇔ A’A +^{→ →}AB = k (A’A +^{→ →}AC ) ⇔ (k – 1)AA’ = –^{→ →}AB + k^→AC ⇔ AA’ = ^→ -1

k – 1

→AB + k k – 1

→AC (car k ≠ 0 puisque A’ et B sont distincts). Donc dans ^R, A’

 

 

1 1 – k , k

k – 1 .

Or A’(a, 1 – a) donc par unicité, on obtient que k vérifie



 

_{k – 1}^{-1 = a}

k

k – 1 = 1 – a

⇔ k = a – 1 a .

2/

B’C B’A

= k’ ⇔ B’C = k’ ^→ B’A ^→ ⇔ B’A + ^{→ →}AC = k’ B’A ^→ ⇔ (k’ – 1)AB’ = –^{→ →}AC

⇔ AB’ = ^→ 1 1 – k’

→AC (car k’ ≠ 0 puisque B’ et C sont distincts). Donc dans ^R, B’

 

 

0 , 1 1 – k’ . Or B’(0, 1 – b) donc par unicité, on obtient (1 – k’)(1 – b) = 1 ⇔ k’ = 1

b – 1 + 1 = b b – 1. 3/

C’A C’B

= k’’ ⇔ C’A = k’’ ^→ C’B ^→ ⇔ –AC’ = k’’ (^→ C’A + ^{→ →}AB ) ⇔ (k’’ – 1)AC’ = k’’^{→ →}AB ⇔ AC’ = ^→ k’’

k’’ – 1

→AB (car k’’ ≠ 0 puisque A et C’ sont distincts). Donc dans ^R, C’

 

 

k’’

k’’ – 1 , 0 Or C’(1 – c ; 0) donc par unicité, on obtient k’’ = (k’’ – 1)(1 – c) ⇔ c k’’ = c – 1 ⇔ k’’ = c – 1

c . On obtient

A’B A’C

× B’C B’A

× C’A C’B

= k × k’ × k’’ = a – 1 a × b

b – 1 × c – 1

c = – (1 – a)(c – 1)b ac(b – 1) . Conclusion : (AA’), (BB’) et (CC’) sont confondues ou parallèles ssi ∆ = 0

ssi (1 – a)(c – 1)b = ac(b – 1) ssi

A’B A’C × B’C

B’A × C’A C’B

= –1. ♦

4 – Compléments

Remarque générale

Il n’est absolument pas nécessaire dans cet exposé de se placer dans un repère orthonormé (un repère quelconque du plan suffit), i.e on se place dans un plan affine (pas euclidien).

Position relative de deux droites à l’aide des vecteurs

Théorème : L’intersection de deux droites

^DDDD

=

^DDDD

(A,

^→

u) et

^{→→→ D’D’D’D’}

=

^DDDD’

(B,

^{→}

v ) est soit vide, soit un singleton,

^→→→

soit une droite. De façon plus précise :

1) AA’ ∉

^{→→→→}

∉ ∉ Vect( ∉

^→

u,

^{→→→→}

v )

^→→→

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^DDDD

∩ ∩ ∩ ∩

^{D’ D’ D’ D’}

= ∅ ∅ ∅ ∅

2) AA’

^{→→→→}

∈ ∈ ∈ ∈ Vect(

^→

u,

^{→→→→}

v )

^→→→

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^DDDD

=

^{D’ D’ D’ D’}

ou

^DDDD

∩ ∩ ∩ ∩

^{D’ D’ D’ D’}

est un singleton 3) Les deux implications précédentes sont des équivalences.

Preuve : 1) Si AA’ ^{→→→→}∉∉∉∉ ^{Vect(→u ,→→→→}u ’) et M ^→→→ ∈∈∈∈^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’} , il existe des réels αααα^, ββββ tels que ^AM = ^{→→→→} αααα^{→u et →→→ A’M = →→→→} ββββ^{’→}u ’. Dans ce cas ^→→→







→→→→

AA’ = αααα^{→u – →→→} ββββ^{→}u ’ appartiendra à Vect(^{→→→ →}u ,^{→→→→}u ’), ce qui est absurde. ^→→→

2) Par hypothèse AA’ = ^{→→→→} αααα^{→u + →→→} ββββ^{→}u ’. Soit I tel que ^{→→→ }AI = ^{→→→→} αααα^{→u . Alors →→→ IA’ = →→→→} ββββ^{→u ’ et I →→→} ∈∈∈∈^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’} . De deux choses l’une : - Si(^{→}u ,^{→→→→}u ’) est lié, alors ^{→→→ DDDD} =^DDDD (I,^{→}u ) =^{→→→ DDDD} (I,^{→}u ’) = ^{→→→ D’ D’ D’ D’} .

- Si (^{→}u ,^{→→→→}u ’) est libre alors ^{→→→ DDDD}≠≠≠≠^{D’ D’ D’ D’} . Si M est un point quelconque de ^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’ , alors AM = →→→→} αααα^{’→u et →→→ A’M = →→→→} ββββ^{’→}u ’. On en ^→→→ déduit : AA’ = ^{→→→→} αααα’^{→}u – ^→→→ ββββ’^{→}u ’ = ^→→→ αααα^{→}u + ^→→→ ββββ^{→}u ’ ^→→→ ⇒⇒⇒⇒ ₍αααα’, ββββ’) = (αααα, –ββββ ) ⇒⇒⇒⇒ M = I, donc ^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’} = { I }.

3) Utiliser 1) et 2). ■

Théorème : Les droites

^DDDD

(A,

^{→}

u) et

^{→→→ DDDD}’

(B,

^→

v ) sont parallèles si, et seulement si :

^{→→→}

- ou bien

^DDDD

=

^{D’D’D’D’}

- ou bien

^DDDD

et

^{D’D’D’D’}

sont coplanaires et

^DDDD

∩ ∩ ∩ ∩

^{D’ D’ D’ D’}

= ∅ ∅ ∅ ∅

Preuve : ⇐⇐⇐⇐ ^{Si DDDD = D’D’D’D’ alors (→u ,→→→→}u ’) est lié. Si ^{→→→ DDDD} et ^{D’D’D’D’} sont coplanaires et d’intersection vide, (^{→}u ,^{→→→→}u ’) sera lié d’après l’étude de ^→→→ la position relative des droites dans un plan.

⇒⇒

⇒⇒ _Si DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’} ≠≠≠≠∅∅∅∅ , il existe B ∈∈∈∈^DDDD∩∩∩∩^{D’D’D’D’ et DDDD =DDDD (B,→u ) =→→→ DDDD (B,→u ’) = →→→ D’ D’ D’ D’ .} Sinon ^DDDD et ^{D’ D’ D’ D’} sont incluses dans ^PPPP (A,^{→}u ,^→→→AA’ ). ■ ^{→→→→}

Remarque : ♣

^D

et

^D’

concourantes au sens strict ⇔

^D

∩

^D’

est un singleton.

♣

^D

et

^D’

parallèles ⇔

^D

∩

^D’

= ∅ ou

^D

∩

^D’

=

^D

=

^D’

. Dans le 1

^er

cas,

^D

et

^D’

sont dites strictement

parallèles, donc dans le second, elles sont confondues.