Partie 1 : approximations de π

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BCPST 951/952/953 Pour le 24 février 2015

D12M

Problème

Le but de ce problème est d'utiliser des intervalles de conance pour obtenir des approximations numériques de certaines intégrales.

Partie 1 : approximations de π

1. On s'intéresse dans cette question à une fonction f continue et non constante sur l'intervalle [0,1]. on note I =

Z 1

0

f(t) dt.

1.a SoitXune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[0,1]. On poseY =f(X). Justier queY admet une espérance et queE(Y) = I. Justier également queY admet une variance non nulle σ².

1.b La fonctionfétant supposée dénie comme une fonction Python, écrire une fonction Python qui simule la variable aléatoire Y.

1.c Soit(Y_k) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi queY. On introduit :

M_n = 1 n

n

X

k=1

Y_k

et :

S_n = v u u t 1 n

n

X

k=1

(Y_k−M_n)²

Donner, en fonction de M_n, S_n etn, un intervalle de conance de niveau de conance 95%

pour I.

2. On va ici utiliser le résultat précédent pour chercher des approximations deπ. 2.a Montrer que Z 1

0

4√

1−x²dx=π (on pourra utiliser un changement de variable).

2.b On prend alors f(x) = 4√

1−x². Ecrire une fonction Python qui prend en paramètre d'entrée un entier n et qui retourne les bornes d'un intervalle de conance pourπ de niveau de conance 95%

2.c Utiliser cette fonction pour les valeursn = 10^k aveck ∈ {2,3,4,5,6,7} et donner à chaque fois l'encadrement de π obtenu. Commenter ces résultats.

3. On va à présent tenter d'améliorer la précision de nos encadrements en utilisant une autre variable aléatoire. On reprend la fonction f de la question 2.b et les notations de la question 1 et on pose Z = ¹₂ f(X) +f(1−X)

. 3.a Quelle est la loi de 1−X? 3.b En déduire que E(Z) = π.

3.c Reprendre la méthode de la question 2 et l'appliquer à la fonctiong(x) = ¹₂ f(x) +f(1−x) pour obtenir de nouveaux intervalles de conance avec les mêmes valeurs de n. Commenter.

3.d Tracer les graphes des fonctions f et g et expliquer pourquoi la méthode est plus ecace avec g qu'avecf (s'intéresser qualitativement aux variances respectives deY etZ)

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Partie 2 : approximation d'une intégrale généralisée

On souhaite dans cette partie obtenir des valeurs approchées de J = Z +∞

0

e^−x³dx. 1. Justier que l'intégrale J est convergente.

2. Soit λ > 0 et soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Quelle fonctionh_λ faut-il choisir pour queE(h_λ(X)) =J? Justier qu'alorsh_λ(X)admet une variance.

3. Ecrire une fonction Python qui prend en entrée un réel strictement positiflamet qui simule une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre lam.

4. En prenant λ = 1et en simulant n = 10 000 000 variables aléatoires indépendantes de même loi que h_λ(X), donner un intervalle de conance pourJ à un niveau de conance 0.95%.

5. On se demande à présent quel paramètreλ va donner l'intervalle de conance le plus ecace.

5.a Avec n = 10 000, représenter graphiquement l'amplitude de l'intervalle de conance en fonction de la valeur de λ, pour des valeurs de λ entre0.5 et5.

5.b En fonction des résultats obtenus, aner l'intervalle de recherche pour trouver une valeur de λ qui semble optimale à 0.1 près.

5.c Utiliser cette valeur de λ pour déterminer un intervalle de conance pour J avec n = 10 000 000. Commenter.

6. La bibliothèque scipy.integrate de Python propose la fonction quad qui fournit une valeur ap- prochée de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle donné, ainsi qu'une majoration de l'erreur commise lors de cette approximation. Exécuter le code suivant :

>>> from scipy . integrate import quad

>>> from numpy import inf

>>> from math import exp

>>> quad (lambda x:exp(-x**3) ,0 , inf) Confronter le résultat avec votre intervalle de conance.

7. On souhaite ici estimer la probabilité que l'intervalle de conance ne contienne pas la valeur exacte de J (on prendra la valeur numérique obtenue à la question précédente comme valeur exacte de J, l'erreur de l'approximation fournie par Python étant très inférieure aux amplitudes de nos intervalles de conance). Ecrire une fonction Python qui produit 10 000 intervalles de conance pour n = 1000 et avec la valeur de λ trouvée au 5.b, et qui évalue la probabilité que l'intervalle de conance ne contienne pas J. Quelle valeur s'attend-on à trouver ? Le résultat est-il conforme à cette prévision ?

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