Formalisme Lagrange - Cours pdf

MECANIQUE ANALYTIQUE MECANIQUE ANALYTIQUE

SMP5 SMP5

Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 département de physique Faculté des sciences

Agadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma

Rachid MESRAR

Rachid MESRAR

MECANIQUE ANALYTIQUE MECANIQUE ANALYTIQUE

I. Newton (1643-1727) Anglais

A. Einstein (1879-1955) Allemand

MECANICIENS CELEBRES

J.L.Lagrange (1736-1813) Franco-italien

A PROPOS DU COURS A PROPOS DU COURS

1 1

^erer

support : support : cours polycopi cours polycopié é

2 2

^èè

support : support :

cours diapositives cours diapositives

Amphi Amphi A acheter (chez al maarifa)

Cours dispensé durant le semestre

Fascicule

A acheter (chez Al maarifa)

« Les dossiers pédagogiques de la mécanique analytique »

A PROPOS DES TD A PROPOS DES TD

Ce fascicule comporte un résumé de cours, les formules à retenir, des applications pédagogiques et les travaux dirigés de l’année.

CHAPITRE 1

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN: FORMALISME LAGRANGIEN Equations d

Equations d’Euler’Euler-Lagrange (EEL)-Lagrange (EEL) CHAPITRE 2

CHAPITRE 2: PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES: PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES Equations de Lagrange simples (ELS)

Equations de Lagrange simples (ELS)

Equations de Lagrange avec multiplicateurs

Equations de Lagrange avec multiplicateurs (ELM)(ELM) CHAPITRE 3

CHAPITRE 3: INTEGRALES PREMIERES: INTEGRALES PREMIERES CHAPITRE 4

CHAPITRE 4: EQUILIBRE ET STABILITE: EQUILIBRE ET STABILITE

CHAPITRE 5

CHAPITRE 5: FORMALISME HAMILTONIEN: FORMALISME HAMILTONIEN

Equations canoniques de Hamilton Equations canoniques de Hamilton CHAPITRE 6

CHAPITRE 6: VIBRATIONS: VIBRATIONS

PROGRAMME

PROGRAMME

Objectifs p

Objectifs pé édagogiques dagogiques

Introduire la notion d’ Introduire la notion d ’ action action

Comprendre le principe de moindre action Comprendre le principe de moindre action

Etablir les Etablir les é é quations d’ quations d ’Euler Euler- -Lagrange Lagrange

Etudier les propri Etudier les propri ét é t és physiques du lagrangien é s physiques du lagrangien CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions abord

Notions abord é é es es

^{Coordonn Coordonn é é es g es g é é n n é é ralis ralis é é es es}

Espace de configuration Espace de configuration

^{Vitesse gé Vitesse g é n n é é ralis ralis é é e e}

Lagrangien ou fonction de Lagrange Lagrangien ou fonction de Lagrange

^{Action Action}

Principe de moindre action (PMA) Principe de moindre action (PMA)

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions abord

Notions abord é é es es - - suite suite

^{Propri Propri é é t t é é} s physiques du lagrangien s physiques du lagrangien

Variable cyclique Variable cyclique

^{Int Int} égrale premi ^é grale premiè ère du mouvement re du mouvement

^{Thé Th éor orè} ème de Noether me de Noether

Impulsion gé Impulsion g én né éralis ralisé ée e

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

PLAN DU CHAPITRE 1 PLAN DU CHAPITRE 1

1- 1 - Coordonné Coordonn é es g es g é é n n é é ralis ralis é é es es 2- 2 - Espace de configuration Espace de configuration 3 3 - - Lagrangien d Lagrangien d ’ ’ un syst un syst è è me me 4- 4 - Calcul variationnel Calcul variationnel

5 5 - - Action Action - - Principe de moindre action Principe de moindre action 6- 6 - Equations d’ Equations d ’ Euler- Euler -Lagrange Lagrange

7 7 - - Propri Propri é é t t é é s physiques du Lagrangien s physiques du Lagrangien 8- 8 - Symé Sym é tries et lois de conservation tries et lois de conservation

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions de base

- Coordonnées généralisées - Vitesses généralisées

- Degrés de liberté - Equations de liaison

- Espace de configuration - Lagrangien d’un système

§- 1 -

« Ces notions représentent la pierre angulaire du formalisme lagrangien.

D’où l’intérêt de les bien assimiler »

Coordonn

Coordonn é é es g es g é é n n é é ralis ralis é é es es

Degr Degr é é s de libert s de libert é é d d ’ ’ un syst un syst è è me me

§- 1 - 1

En mécanique analytique, on ne fait pas de distinction entre les coordonnées de position ((x, y, z) pour un point matériel) et les coordonnées d’orientation ( pour un solide).

On utilise une notation identique pour les deux types de coordonnées, c’est-à-dire, on généralise et on note:

) , , ( ψ θ ϕ

) ,...,

,

( q ₁ q ₂ q _N

où N est le nombre de coordonnées généralisées.

N.B

Quelques exemples classiques

§- 1 - 2

Nddl = N-r = 6 – 1 = 5

ϕ

= q

2 2

1

1

q

q = ϕ , = ϕ

Nddl = 3 – 2 = 1

Nddl = 6 – 4 = 2

O x y

x’

y’

M

Coordonnées physiques (x, y, z)

Equations de liaison z= 0

a x

y = ( − tan θ ) +

Nombre de de degré de liberté 3 - 2 = 1

Coordonnée généralisée q = x’

θ

a ^X’

Espace de configuration Espace de configuration

Un système matériel est repéré par les N coordonnées généralisées indépendantes

(q

₁

, q

₂

,…, q

_N

). Ces coordonnées déterminent la position du système matériel dans un espace vectoriel de dimension N appelé espace de

configuration. Chaque position du système est

représenté par un point P (q

₁

, q

₂

,…, q

_N

).

Lagrangien d’un système

V T

L = −

Energie cinétique Energie potentielle Lagrangien

Z = T - V Pour la petite histoire Lagrange notait :

L’ élément central du formalisme lagrangien est

la fonction de Lagrange notée L et définie par :

Attention

) , ,

( q q t L

L = _i & _i

i

i

q

q , &

Les et le temps t sont des variables indépendantes.

Le lagrangien est une fonction d’état

t i q t

i q

i i

q et L

q L

,

,

&

&

∂

∂

∂

∂

N.B.

Pour pouvoir déterminer le lagrangien d’un système mécanique quel qu'il soit , Il est impératif de maitriser le calcul de l’énergie cinétique et celui de l’énergie potentielle.

Faisons le point sur ces deux grandeurs ô combien importantes

en mécanique analytique.

Energie cinétique

1

Organigramme de calcul de l’énergie cinétique

Exemple 1: session de rattrapage de mars 2015

Barre de longueur 2a, de masse m et de centre d’inertie G

Calcul effectué en G car le solide n’admet pas de point fixe.

Exemple 2: un ancien examen de mécanique du solide

(Janvier 2012)

Calcul effectué en O qui est un point fixe.

Energie potentielle

2

L'énergie potentielle mécanique est une énergie qui est échangée par un corps lorsqu'il se déplace tout en étant soumis à une force conservative.

Elle est exprimée en joules (c'est-à-dire en newton mètre).

Cette énergie potentielle, définie à une constante arbitraire près, ne dépend que de la position du corps dans l'espace. Cette énergie est appelée potentielle car elle peut être emmagasinée par un corps et

peut ensuite être transformée par exemple en énergie cinétique lorsque le corps est mis en mouvement.

De manière plus précise, la variation d'énergie potentielle d'un corps lorsqu'il se déplace entre deux points est l'opposé du travail fourni par la force à laquelle il est soumis entre ces deux points. Ainsi le travail d'une force conservative vérifie la relation:

Définition et calcul de l’énergie potentielle

dV

dW = −

Chaque force conservative donne naissance à une énergie potentielle.

On peut ainsi distinguer :

Énergie potentielle de pesanteur, Énergie potentielle gravitationnelle, Énergie potentielle élastique,

Énergie potentielle électrostatique, Énergie potentielle magnétique,

Énergie potentielle de pression

1- Calcul de l’énergie potentielle de pesanteur



 



↓

−

↑

= +

+

±

=

descendant est

projection de

axe l

si mgz

ascendant est

projection de

axe l

si mgz

cte mgz

V

_pes

' '

θ

^P

P O

O y

y

z

z

l

l

Exemple

θ

cos mgl

V = − ^θ

2- Calcul de l’énergie potentielle élastique

cte l

l 2 k

V

_éla

= 1 ( −

₀

)

²

+

Pour calculer l’énergie cinétique élastique, il suffit de déterminer la longueur l du ressort à un instant t donné.

Organigramme de calcul de l’énergie potentielle

Exemple: session de rattrapage de mars 2015

Remarque importante concernant la constante

L'énergie potentielle est définie à une constante additive près.

Celle-ci n'a aucune influence sur les résultats puisque l'énergie potentielle est utilisée dans des opérations de dérivation (calcul d'une force conservative) ou de variation (calcul d'un travail). Ces deux opérations faisant disparaître la constante, le choix de cette dernière est donc purement arbitraire et sa détermination se fait généralement de façon à simplifier les calculs.

N.B.

En mécanique analytique, on ne se préoccupe pas de la constante sauf mention contraire.

Lagrangien de quelques systèmes simples

§- 1 - 3

Calcul variationnel Equation d’Euler

§- 2 -

Introduction

§- 2 - 1

Les principes variationnels permettent de considérer l’évolution des phénomènes naturels comme des

problèmes d’optimisation.

Exemple: principe de Fermat (1606-1665)

Fermat a étudié l’optimisation du chemin optique emprunté par

un rayon lumineux.

§- 2 - 2

Calcul variationnel

Equation d’Euler

Démonstration

dx y y

y f y dx f

y y x f dx

y y x f

I

²

1 2

1

2

1

x x x

x

x

x

∫

∫ ∫ ^



 





∂ + ∂

∂

= ∂

=

= &

&

&

& δ δ δ

δ

δ ^{( , , ) ( , , )}

) dx ( y

d dx

y δ dy δ

δ   =

 

=

&

2

1 x

x

x x x

x

x x y y

dx f y y

f dx

y d y f

y dx f dx

y d y f dx

y d y dx f

dx y d y y f

y I f

2

1

2

1 2

1

 

 





∂ + ∂

 

 





 

 





∂

− ∂

∂

= ∂

 

 





 

 





∂

− ∂

 

 





∂ + ∂

∂

= ∂

 

 





∂ + ∂

∂

= ∂

⇒

∫

∫

∫

δ δ

δ

δ δ

δ δ

δ

&

&

&

&

& ( )

(Commutativité de delta avec l’intégration)

(Commutativité de delta avec la dérivation)

Faites bien attention à faire la distinction entre dy et : dy est une variation de y = y(x) due à une variation de x, tandis que est une variation de y au sens où l’on change de fonction: on passe de y(x) à (y + )(x) pour toutes les valeurs de x: cette opération sur y se fait à x constant (voir figure).

) δ ( y

) δ ( y

δ y

CQFD y 0

f dx

d y

f

0 y

y dx f dx

d y

I f

0 x

y x

y car

0 x

x y y

or f

2

1

x x

2 1

2

1

 =



 





∂

− ∂

∂

⇒ ∂

 =

 





 



 





 





 

 





 

 





∂

− ∂

∂

= ∂

⇒

=

=

 =



 





∂

∂

∫

&

&

&

δ δ

δ δ

δ ^{( ) ( )}

Equation d’Euler généralisée

Remarque importante

q 0 L dt

d q

L

i i

 =





 



∂

− ∂

∂

∂

&

∫

∫ ^{⇒ =}

=

²

1 2

1

t

t i i

x

x

f y

i

y

i

x S L q q t

I ( , & , ) ( , & , )

alors, la fonctionnelle I devient:

La nouvelle grandeur notée « S » est appelée « action » ou « action hamiltonienne ». Dans ce cas l’équation d’Euler s’écrit:

Ces équations sont appelées les équations d’Euler-Lagrange

Supposons qu’on fait le choix des variables suivant:

 

 



=

→

=

=

→

=

→

) ( )

(

) ( )

(

t q q

x y y

t q q

x y y

t x

&

&

&

&

) , , ( )

, ,

( y y x L q q t

f

_i

&

_i

=

_i

&

_i

Démonstration de la formule de Beltrami

La relation de Beltrami va être utiliser lorsque nous aborderons le chapitre 3 sur les intégrales premières, en particulier lorsque nous étudierons l’intégrale première de Jacobi.

Remarque

2 exemples classiques

§- 2 - 3

Distance minimale entre deux points sur un plan.

Géodésique

1

Exemple historique La brachistochrone

2

Le mot brachistochrone vient du grec

brakhistos « le plus court » et s'écrit avec un i et non un y, et de chronos

« temps ».

Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli en 1718 et Euler en 1736.

Un peu d’ étymologie et d’ histoire

Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan

vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un

champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et

sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal

parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle

de problème de la courbe brachistochrone .

Principe de moindre action Equations d’ Euler-Lagrange

§- 3 -

« Au commencement était l’action»

Johann Wolfgang Von Goethe

« La nature agit toujours par les voies les plus courtes»

Pierre de Fermat

Bref historique

Ce principe s’est développé pendant un siècle sur la base de l’optique et de la mécanique, commençant avec Fermat puis

Maupertuis et continuant sur un plan mathématique avec Euler, Lagrange, puis Hamilton (1740-1840).

Il s’est étendu dans la seconde moitié du 19ème siècle à

l’hydrodynamique, l’électromagnétisme et la thermodynamique.

Introduction

Principe de moindre action-énoncé

Principe de moindre action-hypothèses

Principe de moindre action - calculs

Ce sont les équations d’Euler-Lagrange

Principe de moindre action - calculs

{ { q 0

L q

L dt

d

F i p

i

∂ =

− ∂

 







 







∂

∂

&

Equations d’Euler-Lagrange (EEL)

i = 1,…,n

Voir applications pédagogiques

Généralement les équation d’Euler-Lagrange sont

mises sous la forme suivante:

Il y a équivalence entre le «PMA » et les «EEL »

PMA EEL

0 S =

δ ^ _ ^ _∂ ^{∂ } _ ^{ −} _∂ ^{∂ = 0}

i

i

q

L q

L dt

d

&

Attention

2 exemples classiques

§- 3 - 1

§- 3 - 2

Propriétés physiques du lagrangien

Propriétés physiques du lagrangien

1

Les équations du mouvement ne changent pas si L est multiplié par une constante

2

La forme de L doit obéir aux symétries du système physique (invariance par translation dans le temps et dans l’espace)

3

Les équations du mouvement restent inchangées si l’on ajoute au lagrangien une dérivée totale d’une fonction des coordonnées et du temps :

4

Le lagrangien de deux systèmes indépendants est égal à la somme de chacun des deux systèmes : L = L₁ + L₂

dt t q L dF

L (

ⁱ

, )

+

′ =

§- 3 - 3

Applications pédagogiques

Montrons que si

dt t q L dF

L (

ⁱ

, )

+

′ =

Alors

i i

i

i

q

L q

L dt

d q

L q

L dt

d

∂

− ∂

 



 



∂

= ∂

∂

∂ ′

 −





 



∂

∂ ′

&

&

Non unicité du Lagrangien

Application pédagogique 1

Démonstration

q 0 L q

L dt

d q

L q

L dt

d

vient t il

q t q F q

t

t q Puisquet F

q t q F q t

q t q F q

L dt

d

q t q F dt

d q

L dt

d q

L dt

d q

t q F q

L q

et L

t t q F q q

q F q

L q

L

t t q q F

q t q t F

q q dt L

t q t dF

q q L t

q q L

i i

i i

i 2

i 2

i i 2 i

i i 2

i

i i i

i i

i i

i

i i

2 i i 2

i i

i i

i i i

i i

i i i

i

∂ =

− ∂

 



 



∂

= ∂

∂

∂ ′

 −





 



∂

∂ ′

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

 



 



∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

 



 



∂

= ∂

 



 



∂ + ∂

 



 



∂

= ∂

 



 



∂

∂ ′

∂ ⇒ + ∂

∂

= ∂

∂

∂ ′

 

 





∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂ ′

⇒

∂ + ∂

∂ + ∂

= +

′ =

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

: ) ,

, ( )

, (

) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , (

) , ( )

, ) (

, , ) (

, ) (

, , ( )

,

,

(

Application pédagogique 2

Symétries et lois de conservation Théorème de Noether

§- 4 -

Impulsion généralisée-moment conjugué

§- 4 - 1

§- 4 - 2

Variable cyclique – variable cachée

§- 4 - 3

Lagrangien indépendant du temps

Système fermé

t 0 L =

∂

∂ (système fermé)

Si le lagrangien d’un système est indépendant du temps, alors:

§- 4 - 4

Signification physique de l’hamiltonien H

Théorème de Noether

Naissance 23 mars 1882 — Erlangen (Allemagne).

Décès, 14 avril 1935 (à 53 ans)

§- 5

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation

et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations

(typiquement appelées symétries ).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Nöether, ce théorème fut qualifié par Albert

Einstein de « monument de la pensée

mathématique » dans une lettre envoyée à

David Hilbert en vue de soutenir la carrière de

la mathématicienne.

Théorème de Noether

Démonstration

L indépendant de s :

CQFD

Moment cinétique

(3 quantités conservées)

Quantité de mouvement

(3 quantités conservées)

Energie totale

(1 quantité conservée)

En résumé

Fiches de synthèse

Ce qu’il faut absolument savoir

Fiche 1

= 0

∂

− ∂

 



 



∂

∂

i

i

q

L q

L dt

d

&

V T

L = −

∫

=

²

1

) , ,

(

t

t

i

i

q t dt

q L

S &

= 0

δ S

Lagrangien

Action

Principe de moindre action (PMA)

Equations d’Euler-Lagrange

(EEL)

Fiche 2

Méthodologie à suivre pour résoudre un problème en utilisant les équations d’Euler-Lagrange (EEL)

(voir TD1)

1- Calculer T 2- Calculer V 3- Construire L 4- Ecrire les EEL

{ q 0

L q

L dt

d

1 i

3 2

i

∂ =

− ∂

 



 



∂

∂

4 3 42

1

3 2 1 &

Les calculs se font de droite à gauche

Voir applications pédagogiques

Euler Lagrange

= 0

∂

− ∂

 



 



∂

∂

i

i q

L q

L dt

d

&

EEL

Mise en œuvre

TD1

Et maintenant, c’est à vous de jouer

A vos dossiers pédagogiques

MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE

ATTENTION ATTENTION

FIN DU CHAPITRE 1 FIN DU CHAPITRE 1

Rachid MESRAR Rachid MESRAR

Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences

Agadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma