Calcul rapide de résolvantes de Lagrange absolues

(1)

Calcul rapide de résolvantes de Lagrange absolues

Romain Lebreton Laboratoire d'Informatique

École Polytechnique Paris

Éric Schost

Computer Science Department University of Western Ontario

London

Deuxième colloque franco-maghrébin de calcul formel Îles de Kerkennah

1 octobre 2011

(2)

Présentation

Fixons

^k

un corps eectif de caractéristique

⁰

ou susamment grande.

Fixons

^f⁼^X

ⁿ

⁺^P

_i ⁿ

⁼¹ ⁽ ¹⁾

ⁱ

^f

_i

^X

^{n i}

²^k[X]

séparable de degré

ⁿ

. Notons

¹^; ^;

_n ses racines.

Relations symétriques :

Dénition :

^P²^k[X¹^; ^;^X

_n

^]

tels que

⁸²^S

_n

^;^P⁽

⁽¹⁾^; ^;

⁽

_n

⁾⁾⁼⁰

;

Elles forment un idéal

^I^k[X¹^; ^;^X

_n

^]

engendré par les

^(E

_i

^(X¹^; ^;^X

_n

⁾ ^f

_i

⁾

_i

⁼¹

_; _;n . L'algèbre de décomposition universelle est

^A⁶ ^k[X¹^; ^;^X

n

^]/I

, son degré est

⁶^n!

.

Pour tout

^P²^A

, notons son polynôme charactéristique

X

P;

^A^(T⁾⁶ ^Y

^2Sⁿ

(T P(

⁽¹⁾^; ^;

⁽

n

⁾⁾⁾²^k[T^]:

(3)

État de l'art : calcul d'une résolvante absolue

Résolvante de Lagrange absolue :

L

P

^(T⁾⁶ ^Y

^2Sⁿ^//Stab

P

(T P(

⁽¹⁾^; ^;

⁽

n

⁾⁾⁾²^k[T^]:

On a la relation

^9r²^N^;^X

P

⁼^(L

P

⁾

r .

Méthodes symboliques pour le calcul de résolvantes absolues :

par les résultants cf. [

^{L agrange}

], [

^{Soich er}

, 1981], [

^Giusti

et al., 1988], [

^{Leho bey}

,1997];

par les fonctions symétriques cf. [

^Lagrange

], [

^V^{a libou ze}

, 1988], [

^Caperson

,

^McKa^y

, 1994];

par les bases standards cf. [

^{Gi usti}

et al., 1988], [

^{Arnau diès}

,

^V^{al ibouz e}

, 1993];

par des invariants cf. [

^Ber^{w ick}

, 1929], [

^{Fou lkes}

, 1931].

Pas d'étude de complexité. Algorithmes non optimaux en

⁽²⁾

.

(4)

État de l'art : calcul dans l'algèbre de décomposition universelle

Représentation triangulaire Représentation à une variable

Modules de Cauchy

^MC

_i

²^k[X¹^; ^;^X

_i

^]

Polynôme minimal

^Q

d'une forme linéaire

pour

¹⁶ⁱ⁶ⁿ

. primitive

. Paramétrisations

^(S

_i

^(T⁾⁾¹⁶

_i

⁶

_n .

A

1

=k[X

1

]/(MC

1 )

A

j

⁼^k[X¹^; ^;^X

j

^]/(MC¹^; ^;^MC

j

⁾

A=A

n

⁼^k[X¹^; ^;^X

n

^]/(MC¹^; ^;^MC

n

⁾

A ' k[T]/(Q)

X

i

^S

i

^(T⁾

T

Coût du calcul de la représentation :

o()

par la formule récursive :

^O^~⁽

^!

⁾

par l'algorithme de base de Gröbner F4

cf. [

^F^{au gèr e}

, 1999].

MC

i+1

= (MC

i (X

1

; ;X

i ) MC

i (X

1

; ;X

i+1 ))

X

i X

i+1

O

~

( 2

)

par l'algorithme de résolution géométrique cf. [

^{Gi ust i}

,

^Lecerf

,

^Sal^vy

, 2001]

cf. [

^{Hein tz}

et al., 2000]

(5)

État de l'art : calcul dans l'algèbre de décomposition universelle

Représentation triangulaire Représentation à une variable

Modules de Cauchy

^MC

_i

²^k[X¹^; ^;^X

_i

^]

Polynôme minimal

^Q

d'une forme linéaire

pour

¹⁶ⁱ⁶ⁿ

. primitive

. Paramétrisations

^(S

_i

^(T⁾⁾¹⁶

_i

⁶

_n .

A

1

=k[X

1

]/(MC

1 )

A

j

⁼^k[X¹^; ^;^X

j

^]/(MC¹^; ^;^MC

j

⁾

A=A

n

⁼^k[X¹^; ^;^X

n

^]/(MC¹^; ^;^MC

n

⁾

A ' k[T]/(Q)

X

i

^S

i

^(T⁾

T

Coût des opérations de base : - multiplication

O

~

()

[

^{Bo stan}

et al., 2009],

^O^~⁽⁾

, simple et ecace MAIS non implémenté, grande constante

- division (si possible)

pas d'algorithme quasi-optimal

^O^~⁽⁾

, simple et ecace

+ calcul facile de forme normale, trace ...

(6)

Résultats

Théorème. Pour tout

^P²^A

, le polynôme charactéristique

^X

_P

²^k[T^]

peut être calculé en

O(n 2

M())=O

~

()

opérations arithmétiques dans

^k

.

Théorème. Supposons donnée une forme linéaire primitive

. Alors une représentation à une variable

^P⁼^(;^Q;^S¹^; ^;^S

_n

⁾²^k[X¹^; ^;

X

n

^]^k[T^]

n

⁺¹

où

A=k[X

1

; ;X

n

]/I ' k[T]/Q(T)

X

i

S

i (T)

(X

1

; ;X

n

) T

se calcule en complexité arithmétique

^O(n³^M())⁼^O^~⁽⁾

.

Remarque 1. L'article [

^{Co lin}

,

^Giusti

, en cours] nous permet de rendre le choix de

déterministe non-uniforme.

(7)

Applications

Calcul du polynôme charactéristique

^X

_P

Calcul symbolique de résolvantes de Lagrange absolues en complexité

^O^~⁽⁾

Calcul d'une représentation

^A^'^k[T^]/Q(T⁾

à une variable

Algorithmes pour les opérations arithmétiques en

^O^~⁽⁾

opérations dans

^k

. Algorithmes ecaces pour le calcul de trace, polynôme minimum...

Corps de décomposition dynamique, cf. [

^{Del la} ^Dora

et al., 1985]

Calcul d'une représentation de l'idéal galoisien alterné, cf. [

^V^{ali bo uze}

, 2010]

(8)

Algorithme 1 - PolynomeCharacteristique :

Entrée :

un polynôme

^f²^k[T^]

;

un polynôme

^P²^k[X¹^; ^;^X

_n

^]

réduit;

pour tout

¹⁶ⁱ⁶ⁿ

, une représentation à une variable

^P

_i

⁼⁽

_i

^;^Q

_i

^;^S

_i;

¹^; ^;^S

_i;n

⁾

de

^A

_i

⁶^A^\^k[X¹^; ^;^X

_i

^]

tel que

8i2f1; ;ng;9

i

⁺¹²^k^;

i

⁺¹⁼

i

⁺

i

⁺¹^X

i

⁺¹^:

(1) Sortie :

Le polynôme charactéristique

X

P

^(T⁾⁶ ^Y

^2Sⁿ

(T P(

⁽¹⁾^; ^;

⁽

n

⁾^)):

(9)

Algorithme PolynomeCharacteristique - Principe

Basé sur l'approche par résultants du calcul de résolvantes :

R

n

⁺¹⁶ ^T ^P^(X¹^; ^;^X

n

⁾²^k[X¹^; ^;^X

n

^;^T^]

8i2f1; ;ng; R

i

⁶^{Re s}

X

ⁱ⁺¹^(MC

i

⁺¹^;^R

i

⁺¹⁾²^k[X¹^; ^;^X

i

^;^T^]

X

P

⁼^R⁰²^k[T^]

.

Mathématiquement,

Re s

X

ⁱ⁺¹^: ^A

i

^[T^][X

i

⁺¹^]^A

i

^[T^][X

i

⁺¹^]^A

i

^[T^]:

Algorithmiquement,

Re s

X

ⁱ⁺¹^: ^(k[Z

i

^]/Q

i

^)[T^][X

i

⁺¹^]^(k[Z

i

^]/Q

i

^)[T^][X

i

⁺¹^]^(k[Z

i

^]/Q

i

^)[T^]:

Lemme. Chaque calcul de résultant coûte

^O^~⁽⁾

opérations arithmétiques dans

^k

.

(10)

Algorithme PolynomeCharacteristique - Changement de représentation

Rappel :

R

i

⁼^{R es}

X

ⁱ⁺¹^(MC

i

⁺¹^;^R

i

⁺¹⁾

R

i

⁺¹²^A

i

⁺¹^[T^]

R es

X

ⁱ⁺¹^: ^A

i

^[T^][X

i

⁺¹^]^A

i

^[T^][X

i

⁺¹^] ^A

i

^[T^]

Changement de représentation :

A

i

⁺¹ ^A

i

^[X

i

⁺¹^]/(MC

i

⁺¹⁾

# #

des c

i

^: ^k[Z

i

⁺¹^]/(Q

i

⁺¹⁾ ^k[Z

i

^;^X

i

⁺¹^]/(Q

i

^(Z

i

^);^Q

i;i

⁺¹⁾

Z

i

⁺¹ ^Z

i

⁺

i

⁺¹^X

i

⁺¹

:

Lemme. Le calcul de

^{des c}

_i

^(R

_i

⁺¹⁾

se fait en complexité

^O^~⁽⁾

.

Proposition. L'algorithme PolynomeCharacteristique a une complexité arithmétique quasi-optimale

^O^~⁽⁾

.

(11)

Algorithme 2 - EtapeRepresentation :

Entrée :

un polynôme

^f²^k[T^]

;

une forme linéaire primitive

_j de

^A

_j ;

pour tout

¹⁶ⁱ⁶^j ¹

, une représentation à une variable

^P

_i

⁼⁽

_i

^;^Q

_i

^;^S

_i;

¹^; ^;^S

_i;n

⁾

de

^A

_i tel que

8i2f1; ;j 1g;9

i

⁺¹²^k^;

i

⁺¹⁼

i

⁺

i

⁺¹^X

i

⁺¹^:

(2)

Sortie :

une représentation à une variable

^P

j

⁼⁽

j

^;^Q

j

^;^S

j;

¹^; ^;^S

j;n

⁾

de

^A

j .

(12)

Algorithme EtapeRepresentation - Calcul d'une représentation à une variable

Lien entre polynôme charactéristique et représentation à une variable :

polynôme minimal :

^Q

_j

^(T⁾⁼^X^j^(T⁾

;

paramétrisations :

Lemme. Si

^K⁶^k[T¹^; ^;^T

_n

^]

et

⁶^T¹^X¹⁺ ⁺^T

_n

^X

_n

²^K[X¹^; ^;^X

_n

^]

. Ainsi

^X²^k[T^;^T¹^; ^;^T

_n

^]

et

X

i

^@X

@T +

@X

@T

i

⁼⁰

dans

^{A :}

En pratique, on utilise les nombres tangents

^K⁶ k["]/("

2

)

pour calculer les dérivées.

Proposition. Étant donné un élément primitif

²^A

, le coût du calcul d'une représentation à une variable de

^A

est

^O(n^C)

où

^C

est

le coût d'un polynôme charactéristique.

(13)

Algorithme EtapeRepresentation - Formule récursive

Dénition. Soient

^f^;^g²^k[T^]

qui s'écrivent

^f⁼^Q

_i

⁼¹

_; _;n

^(T

_i

⁾

,

^g⁼^Q

_j

⁼¹

_; _;m

^(T

_j

⁾

dans

^k

. Alors on dénit

^f ^g²^k[T^]

(resp.

^f^g²^k[T^]

) par

f g6

Y

16

i

⁶

n;

¹⁶

j

⁶

m

(T (

i

⁺

j

^));

(re sp :) f g6

Y

16

i

⁶

n;

¹⁶

j

⁶

m

(T (

i

j

^)):

Proposition. (Formule récursive) Nous avons la relation

X

j

;A

j

(T)= X

j 1

;A

j 1

(T)(f (T

j ))

Q

i=1 j 1

X

j 1 +

j X

i

;A

j 1 (T)

:

(3)

Proposition. L'algorithme EtapeRepresentation a une complexité quasi-optimale

^O^~⁽⁾

.

(14)

Algorithme 3 - Representation :

Entrée :

un polynôme

^f²^k[T^]

;

une forme linéaire primitive

⁶^X¹⁺²^X²⁺⁺

_n

^X

_n de

^A

;

Sortie :

une représentation à une variable

^P

i

⁼⁽

i

^;^Q

i

^;^S

i;

¹^; ^;^S

i;n

⁾

de

^A

.

Algorithme :

Représentation

^P¹⁼^(X¹^;^f^(T^);^T⁾

de

^A¹

;

f or i= 2.. n do

P

i

E ta peR ep res en ta tio n(f;X 1

+

2 X

2

++

i

^X

i

^;^P

i

¹⁾

r etu rn P

n

Complexité

^O^~⁽⁾

(15)

Calcul rapide de résolvantes de Lagrange absolues