COURS CALCUL ANALOGIQUE

• DEPARTEMENT D'ELECTRONIQUE GENERALE

t (

J

COURS

DE

CALCUL ANALOGIQUE

Novembre 1967

- - Service d'Electronique des Réacteurs Section d'Electronique et d'Instrumentation

C.E. N. SACLAY C.E. N. CADARACHE

par J. WEILL

Adjoint au Chef du Département d'Electronique Générale.

Le premier cours de calcul analogique a été donné en

1965 en même temps qu'était distribuée une première édition de cet ouvra- ge. L'expérience acquise et les remarques sollicitées auprès des nom- breux auditeurs qui ont fait preuve d'une assiduité remarquable, nous ont amené 1 améliorer les premières· éditions et à présenter ici une nouvelle rédaction.

Par ailleurs les développements technologiques du calcul analogique et son extrapolation vers le calcul hybride ont conduit l ajouter un chapitre d'introduction à ces nouvelles techniques.

Cet ouvrage est essentiellement l'oeuvre de MM. DEAT.

BORY et Mme NEEL du groupe de calcul analogique au Service d'Electro- nique des Réacteurs 1 Saclay et de MM. CHARETON. DI FALCO a.t TRIMOUILLE du groupe de calcul analogique de la Section d'Electronique et d'Instrumentation nucléaire l Cadarache.

Ce document ainsi que les cours qui seront professés tant A Saclay qu'l Cadarache permettront au lecteur et l l'auditeur de se fami- liariser encore davantage avec les possibilités du calcul analogique et de faciliter en particulier la programmation de leur problème~

ANALOGIE ET CALCUL ANALOGIQUE

PREMIERE PARTIE

ANALOGIE ET CALCUL ANALOGIQUE.

Devant les problèmes de plus en plus complexes et nombreux qui se posent à lui, l'homme dispose seulement des dons de raisonnement et de création. Il est inapte au maniement rapide des nombres ; aussi a-t-il imaginé puis construit des outils de calcul de plus en plus perfectionnés qu'il a appelé ''machines mathématiques''.

D'un point de vue général, on peut classer celles-ci en aeux catégories selon leur mode de fonctionnement.

· - La première englobe les machines à traitement continu et parallèle d'informations elles-mêmes continues ; ce sont les machines ana- logiques.

La seconde concerne les machines à traitement séquentiel d'informations discrètes : ce sont les machines numériques.

Actuellement le développement de ces deux moyens. de calcul .est prodigieux. Les progrès de la technique les rendent en effet de plus en

plus puissants, leur permettant d'étendre leurs domaines d'applications et

..

d'en aborder de nouveaux délaissés jusqu'alors. · Ces moyens ne sont d'ail- leurs pas concurrents, mais complémentaires, la naissance récente du cal- cul hybride en étant une illustration.

e

On verra par la suite que les machines analogiques sont par- ticulièrement bien adaptées à la résolution des équations différentielles et des sytèmes différentiels d'ordre élevé. Aussi comprendra-t-on que letr emploi. sans être limité à cette classe. soit prépondérant dans les études de la dynamique des systèmes physiques. Il s'agit là d'un vaste domaine.

allant des sciences expérimentales aux sciences théoriques, et il ne faut paf:

s'étonner que des Services très différents appartenant au C.E.A. soient des utilisateurs régu.liers de ce type de machine.

1-I - LE CALCUL ANALOGIQUE

Le calcul analogique est une application particulière des mé- thodes analogiques. Le "phénomène analogue" ou "phénomène image" est implanté sur une machine dont on observe l'évolution de caractéristiques re- nrésentant les variables physiques. Les méthodes analogiques ont un champ d'applications très étendu. Elles englobent en effet :

- les méthodes de similitude - Le phénomène réalisé est de même nature que celui à étudier. mais à une échelle différente (modèles réduits. maquettes).

On ne peut parler de calculateur puisque l'on ne résout pas de problème mathé- matique ; par contre on se livre à des observations et à des mesures.

- ~s méthodes de transposition - Le phénomène réalisé est une transpositioP du problème dans un domaine mieux adapté aux mesures. Les méthooes rhéo- électriques. les analogies mécano-électriques en sont des illustrations.

- des méthodes de calcul physique - Il y a mise en équations préalable du phé- :oornAne à f>tudier. c'est à dire élaboration d'un modèle mathématique. Et l'on compose alors sur une machine dite analogique un système physique ré- pondant à ces équations. 11 n'y a analogie véritable que si le modèle IJ1athé- matique est bien représentatif du phénomène à étudier.

-les méthodes de simulation - Lorsque l'on adjoint>à la machine analogique des organes appartenant au système réel dont on désire faire l'étude, le cal- cul physique. tel qu'il est défini précédemment. prend un nouvel aspect : celui de la simulation. Pour l'opérateur humain le calcul devient seconrtAire : il "oublie" la machine et la confond avec le système réel. Les simulateurs de vol, le simulateur Rapsodie à Cadarache en sont des exemples.

1. II. SYSTEMES ANALOGUES

Nous dirons que ceux systèmes sont analogues si leur com- portement est régi par le même type d'équations.

L'analogie consiste donc à remplacer le système physique réel par un système physique analogue. L'intérêt d'une telle substitution rPside rl~H,A 1 a facilité d'observation de ce dernier. La mesure de ses

g-randeurs caractéristiques sera aisée et précise. De leurs évolutions on dé- duira le comportement du système réel.

En outre, sur certains modèles analogiques, on pourra sans risque se livrer à des essais qui auraient conduit à la détérioration ou à la destruction du système réel.

Les analogies sont variées ainsi que leurs méthodes. Nous

!1~·~!'1 born..,rons ' rlécrire celle qui est à la base des calculateurs analogiques à courant <..:onünu .. De tels calculateurs équipent nos Centres.

1. III- CALCULATEUR ANALOGIQUE A COURANT CONT..Œ.P

1. III. 1. Propriétés générales.

-A. L'analogie utilisée est électrique.

Le calculateur analogique est un assemblage d'éléments constitutifs dont chacun effectue une ou plusieurs opérations mathématiques

~SUr aet:5 tens1ons continues représentant les variables du problème.

Dans cette analogie, les tensions ont été choisies car elles .se prêtent bien aux mesures de précision. Cependant, à l'intérieur même

des éléments fonctionnels, les opérations de calcul s'effectuent sur des inten- sités qui sont proportionnelles aux tensions ci-dessus. La transformation tension-courant suit la loi d'Ohm :

V = Z. I

- .l:S. La traduction d'une équation dans le système analogue (c'est à dire sur la machine analogique à courant continu) a lieu par applica- tion de la loi de KIRCHHOFF en un noeud de courants.

En effet toute équation décrivant le système réel peut être .mise sous la forme symbolique :

L

^T.

⁼

⁰

. J

où le premier membre est une somme de termes quelconques. Si l'on réus- sifàfaire correspondre à chaque terme 'I. du système réel un courant I.

J - J

dans le système analogue, il suffira de créer un noeud dans ce système pour avoir la relation :

LI. ^{= o.}

J

Cette correspondance ne pourra se faire que pour les systè- mes à une seule variable indépendante.

Chaque courant Ij est alors obtenu au moyen d'un élément fonc- tionnel réalisant une opération particulière à partir d'un certain nombre de tensions.

Nous verrons plus loin, en traitant des exemples, se préci- ser ce principe !onoe:unental. D'une façon générale, il y aura autant de noeuds de.courants que d'équations.

- C. Une autre caractéristique importante de ces calculateurs est à signaler ; la présence de l'amplificÇtteur à courant continu.

Une même grandeur physique peut intervenir dans plusieurs termes ou équations ; en langage machine. celà signifie que l'élément ou1

fournit la tension représentative de cette grandeur peut être connecté a plu- sieurs autres éléments. Cette liaison ne doit pas perturber la tension re- présentative sous peine de fausser les opérations. En termes d'électroni- que on peut dire que la tension délivrée par l'élément doit être indépenrlf!ntp de la charge sur laquelle il débite ; il doit donc être une source de tension d'impédance interne nulle.

L'isolement des blocs opérationnels les uns par rapport aux autres est obtenu par l'introduction d'un amplificateur à courant continu contre réactionné.

1. III. 2. Caractéristiques fondamentales

A ... ~~ ~~1~~1~!_:~ ~~a_!~~9_~-e~.!_~~~e_o~~j~_!>.!:_o~~.E~~.!.e..?E.~

élémentaires.

Les blocs sont assemblés nar l'intermédiaire d'un panneau de câblage pour donner une représentation conforme du modèle mathématique.

Chaque opération s'effectue par rapport à une seule variable indépendante : le temps. Ces opérations sont variées: addition, intégration, multiplication, génération de fonction./~. etc.

Il en résulte que le modèle mathématique doit lui aussi ne dé- pendre que d'une variable indépendante. Si cette condition n'est pas remplie, il sera nécessaire de faire des transformations ou des approximations mathé- matiques préalables pour s'y ramener.

Les différentes opérations s'effectuent simultanément et ins- tantanément.

Il en résulte que le temps nécessaire à la résolution d'un pro- blème est indépendant du nombre d'équations à simuler. Ce nombre r1inter-

vient que sur la quantité de blocs opérateurs à mettre en oeuvre : c'est pour- quoi la puissance d'un calculateur est caractérisée par son no.w._.;.; .... ~ u·e!éments

Précisons ce que nous entendons par temps nécessru.re à la résolution d'un problème : c'est le temps fixé à l'avance, penClant lequel la machine, partant de conditions initiales déterminées, fournira l'évo!mlOn dy-• namique des grandeurs physiques ; plus brièvement c'est la durée d'un essai.

Au cours d'un essai, la résolution s'effectue de façon continue c'est à dire que chaque tension représentative d'une variable du système peut être notée X (t). Le temps t varie de façon continue de 0 à T, fin df' l'assai.

Cette caractéristique permet de dire que le calcul analogique fournit unf> re- présentation ''vivante'' des phénomènes.

!.' es blocs opérateurs ne réalisent pas des opérations parfaites.

Celles-ci sont limitées par les performances électriques, mécaniques, etc •••

.i...a précision des blocs opérateurs est de l'ordre de 10-4 pour nur.re matériel. Sans développer. retenons que cette limitation est cependant très s<:nJ.l::iialsante pour la plupart des problèmes physiques à résoudre.

En résume~

Le calcul analogique permet d'aborder l'étude des phénomènes physiques dont le formalisme mathématique se traduit par un système d'équa- tions ne dépendant que d'une variable.

Le calculateur est formé de blocs opérateurs élémentaires pou·, ant être assPmblés à la manière d'un "meccano" pour résoudre le système.

Il dispose également d'organes de commande. de lecture, d'enregistrement

qui en font un outil de travail très vivant.

La conversation avec la machine est aisée, grâce à la grande souplesse des organes d'entrée et de sortie de l'information.

COMPOSANTS ESSENTIELS D'UN CALCULATEUR ANALOGIQUE A COURANT CONTINU

DEUXIEME PARTIE

COMPOSANTS ESSENTIELS D'UN CALCULATEUR ANALOGIQUE A COURANT CONTINU

Les calculateurs analogiques à courant continu sont encore appelés analyseurs différentiels, Ils tirent leur nom de l'élément fondamen- tal qui les compose : l'amplificateur à courant continu à grand gain. Les caractéristiques fondamentales de celui-ci sont :

- très grand gain A, que souvent l'on considèrera comme infini, ..

-très grande impédance d'entrée (Zg

=

^~).

. - courant de grille ig pratiquement nul,

... impédance de sortie quasi nulle (quand l'amplificateur est contre-réactionné).

Cette propriété permet d'isoler les amplificateurs les uns par rapport aux autres et de les considérer comme des sources de tensions.

-.débit de sortie limité,

- inversion de signe : les tensions d'entrée & et de sortie VS définies par rap- port à la masse, sont donc reliées par : VS

= -

^{& •} A avec A

>>

^{0 ; le}

schéma de principe est le suivant :

Grille G é.

l

On omet dans les représentations de faire apparaî'tre la mas- se par souci de clarté. Le synibole devient alors un élément orienté avec entrée et sortie.

2. I. - ELEMENTS LINEAIRES

'f·.

L'amplificateur devient un opérateur (amplificateur opération- nel) dès qu'on lui associe des impédances d'entrée et de contre réaction.

Remarque - Les impédances d'entrée de l'opérateur sont des composants réels (résistances -capacités -réseaux) qui interviennent pour définir l'opération réalisée. Il ne faut pas les confondre avec l'impédance d'entrée ne grille de l'amplificateur qui est fictive et seulement introduite pour caractériser ce dernier.

2.!.1. Equation générale d'un amplificateur opérationnel

1 1

• 1

Lt'l t

1 _ _ . ,

Ven~

l.

1---·

FiG. 2.1

vs

z

en sont les impédances d'entrée de calcul l'impédance de contre-réaction.

Le gain de l'amplificateur est supposé grand mais non infini.

Il existe un courant grille i . g V el · • • V en

(2. 1. ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

au noeud N.

. (2. 2. )

sont les tensions de sortie (fonctions du temps) d'autres blocs opérateurs.

Nous avons les relations;

ve1-

e

·il = -~z~­

el

...

i _n

=

i

s =

v

_en

- e z

en

La dernière relation est obtenue à partir de la loi de KIRCHHOFF

Par élimination de

e

et des courants ii et i

8 on trouve : n

z

₈

[

i

=

¹

z . .

el

1 +

.!.

^{(1 +}

A

8 .. -10

<

A étant de l'ardre de 10 • i. de 10 Ampère et n. 10.

g on pourra généralement supposer que

A>>l+

_i

r

n

:1: 1

e1 négliger i g

z

₈ ^;.

l'expl"eSs1on (2.. !. ) ~t : · n {2. 3.)

vs <t>-- L.

i

=

¹

z _s

-z- ^vri

^(t)

ei

Cette relation est fondamentale. Le choix de

z

₈ et des. Zei ëâ.ractérise la fonction du bloe-·opérateur

ainsi

réalisé.

2 • I. 2 • Som ma te ur (ou additionneur) ·

Les impédances d'entrée de calcul et de contre-réaction sont des résistances R . et R

8 de précision (mieux que 10-4

dans la plupart des e1

cas). Pour le calculateur PACE 231 R les valeurs sont lOO kQ ou 1 MQ •

(2. 4. )

La relation entre tensions de sortie et d'entrée s'écrit :

v

(t) ::: -

s

n i

L =

¹

Rs

- R • V . (t)

. e1

e1

La tension de sortie. est la somme pandêrée des tensions d'en- trée avec changement de signe. Pour chaque tension d'entrée le coefficient.

de proportionnalité est égal au rapport de la résistance de contre-réaction

n

8 à la ré.sistance d'entrée correspondante:R

61 (la valeur de ce rapport est géné- ralement de 1 ou 10 dans la plupart des calculateurs).

Pour n = 1 et R

8

=

R e• on réalise un inverseur :

(2. 5. )

Symbolisme -

Relations n

V {t) a -

s

_i

r ₌

₁ ^{ki • . e1}

^{v .}

^(t)

InverseUY' :._

~: ]~'Jo

v.:

^Re

^r1V

2 .1. 3. - IntégTateur

Les impédances d'entl"êe <N calcul sont des résistances R ei (1 MQ et 100 kQ ). L'impédance de contre..réa<.:tion est une capacité· G ( 1

~JF

ou 0, 1 1J.F) cp.1i pe-ut se noter

z

₅

=

C1

p , relation dans laquelle p est liopérateur deI~-.

La relation génê:t ale devient :

<a ..

^{&.) vs{p) = - [ n}

i ^a: 1 R .

~

^{p • V ei (p)}

e1 ·

que nous pouvons êcrlr'e, en se ramenant à la variable indépendante t : (2 ·-·--7 )

.

^.

^{,,. v} _s

^{(t) = ..} _R ¹ _C

ei

f

0 ^{t V ei (t) dt + V 8 (0)}

C'est certainement le bloc -opérateur le plus intéressant, puisqu'il permet d'obtenir une tension qui est {au signe près) l'intégrale par

rapport au temps de la somme de tensions également fonction du temps.

La constante de temps R . C {exprimée en seconde) peut

> e1

prendre les valeurs 1. 1/10, 1/100.

Symbolisme

Intégrateur à une entrée Relations

Ys

Intégrateur à entrées multiples

Vs

k=_i_

L RejC

La condition initiale VS (0) s'introduit en chargeant prélable ...

ment la capacité C.

alors :

La représentation symbolique complète d'un intégrateur est ^>

-V₅(o)

n t

VS (t)

= - L

^ki

^f

V ei (t) dt+V 8(0) i = 1

Jo

€)

Pour régler les potentiomètres en .charge (cf. 2.1.4.) la machine est

N 1 ,

mise dans le moŒPS (afflchage des potentiomètres). La palette H (fig. 2.2.) est dans la position 1 de même que la palette IC. Les tensions sont nulles ou s'annulent.

0.1 M.Q 0.1 Mn -V₅(o)

~ ^c

IC

Vs

Ve; {

velf ₁ ^Re-~

1

ven ^{; Ren}

Fig. 2.2.

, 1'/

(§)

Dans le mode IC (conditions initiales) les palettes conservent la position 1.

Les tensions constantes V ei (0) et - VS (0) sont appliquées. Le condensateur C se charge avec une constante de temps de

o.

1 seconde (C

=

1 f.'F) ou 0,01 se- conde (C

=

^{0, 1 j.tF).}

(2. 8. )

VS passe de 0 à V c:. (0) suivant la loi : t

VS (t)

=

^{VS (0). (1- e 0•1 C)} C en f.'F.

p 1'/

®

Dans le mode OP (calcul) H et IC sont en position 2 ; le réseau d'entrée est connecté à la grille de l'amplificateur. La tension VS (t) satisfait à la relation (2. 7. ).

IC est en 2 : le condensate.ur seul en contre-réaction sur l'amplificateur garde sa charge.

(2. 9. }

T instant de passage en mémoire.

Remarque-

L'inverse du montage intégrateur, c'est-à-dire un condensa- teur comme impédance d'entrée et une résistance en contre-réaction (fig. 2. 3.) .constitue un dérivateur.

Ve

Fig. 2.3.

(2. 10) V =- RC dVe

s

^dt

Ce bloc n'est qu'exceptionnellement utilisé car il fournit un rapport signal sur bruit trop faible.

2 .I. 4. Potentiomètre

Le potentiomètre ou atténuateur linéaire est le plus simple des éléments constitutifs. Son rôle est cependant primordial puisqu'il permet d'in- troduire les coefficient~~ paramètres, constantes et conditions initiales qui sont les données numériques du problème.

En qualité de bloc opérateur. il réalise la multiplication d'une

tension par une constante positive irûérieure à !•unité et, dan~es cas excep- tionnels, l'addition pondérée.

mm-

1

Fig. 2. 4.

Dans le pl;'emier cas, qui est général, l'entrée 2 est reliée à la masse. Le potentiomètre devient alors un élément orienté à une entrée et une sortie. L'entrée est ali- mentée soit par une source de tension, soit par la sortie d'un amplificateur opérationnel. La sortie (curseur) est connectée soit à la résistance d'un réseau d'entrée, soit à l'entrée d'un autre potentiomètre.

])ans le second cas, l'entrée 2 est accessible permettant en particUlier de réaliser ¹ 'expression : ^{(1 -} x) ^V

2 + x V

1 , où ^V

1 et ^V

2

sont les tensions aux entrées 1 et 2 et x le coefficient d'atténuation. (ceci n'est valable que si le curseur est chargé par une résistance irûinie).

2. I. 4. A. Es._~tio~!:_~~~~~i_c~!~!_!~_!!l_E!_t_!El~!ti~~P~_ll_E!

~~~.!_a_Ete)

Ve

---®---

^Vs

~

Symbole

Fig. 2. 5.

Soit R la résistance du po-

··tentiomètre entre les bornes 1 et ^21:' et x la position relative du curseur par rapport à la borne 2. La résis- tance entre la borne 2 et le curseur

e~t x R, celle entre le curseur et la borne 1 est (1 - x) R. La tension de sortie étant appliquée à l'entrée d'un réseau de résistance R (résistance de

c

charge}, elle est liée à la tension d'en- trée par la relation :

(2. 11) x

=

_H

-

R 1 +x (1 - x)

c

On voit que l'on a seulement

v

8 =x • V lorsque R est infinie.

e c

Dans la pratique, on désire obtenir en présence d'une résistance de charge quelconque :

(2. 12)

façon que

(2. 13)

vs

(t)

v

(t) e

:: K avec

Pour celà, il est nécessaire de positionner le curseur de telle

_ _ _ _ _ x_~R=--- = K 1 +x (1 - x) R

c

Cette relation n'est pas simple, mais il est inutile de calculer x à partir de K : sur les calculateurs analogiques actuels, il suffit en effet de tourner le bouton du potentiomètre en charge (c'est-à-dire defaire varier x) jus- qu'à ce qu'apparaisse la valeur désirée de K sur un voltmètre numérique.

Comme nous le verrons dans la tro.isième partie, les trois blocs opérateurs que nous venons de décrire : sommateur .• intégrateu·r et potentio- mètre (avec les tensions de référence) sont à la base des études analogiques d'un système différentiel.

Ils permettent en effet la résolution de tout système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants dont les seconds membres sont constants -ou solutions d'une équation différentielle du même type.

2. I. 5. - Sources de tension

Le calculateur fournit deux tensions de référence : + lOO volts et - 100 volts stabilisées à mieux que 10-4

que l'on note + Ref et -Ref.

Elles permettent. en liaison avec les potentiomètrel?,d'introduire les constantes et les conditions initiales des intégrateurs.

2. I. 6. - Précision des éléments linéaires

Nous avons supposé pour écrire les relations (2. 3.). (2. 4.).

2. 5.). (2. 7.). (2 .12.) que les opérations réalisées étaient parfaites. En réalité des limitations s'introduisent que l'on classe en erreurs statiques et dynamiques.

Les erreurs statiques proviennent des imprécisions sur les composants : valeurs des résistances et des capacités, définitions des potentio- mètres, gain limité des amplificateurs, etc... Les erreurs dynamiques sont liées à la .bande passante des éléments opérationnels.

L'objet de ce cours n'est pas de faire un analyse systèmatique des erreurs. Toutefois nous allons rapidement énumérer ces dernières pour que reste présente à l'esprit la notion de limite de validité des hypothèses faites.

En raison des capacités parasites qui apparaissent aux fréquen- ces élevées. le gain A de l'amplificateur ne reste constant que dans une certaine bande de fréquences. On le notera A (p) (p

=

jw .pour les excitations sinusoïdales)

(2. 14) VS (p) = - A (p) • & (p)

é: (p) -·

----t-~>---• ^Vs

^(f»)

A (p) est un opérateur de transfert.

En négligeant le courant grille qui n'intervient pas sur la sta- bilité, on obtient l'expression suivante pour 1 'équation générale de l'amplifi- cateur opérationnel (cf. équation 2. 2.) :

n

zs

A (p)

L

2 ^{V ei (p)} ei

i

=

¹

(2. 15)

vs

^(p)

= --

n

z::,

1 +

L _{z ;}

^{+A (p)}

i

=

^{1 e}

Un tel système sera stable si et seulement si toutes les. racines caractéristiques de l'équation différentielle·.qui l·e représente, ont des parties réelles négatives.

L'amplificateur est construit pour satisfaire à cette condition, tout au moins pour les impédances

z

8 et Z . rencontrées dans les opérateurs

e1

usuels.

La dérive - Généralement négligée dans les systèmes bouclés, elle peut cepen- dant introduire des erreurs notables dans une intégration en bout de chaine ou- verte.

Le bruit - Il est de fréquence élevée et tombe en dehors de la bande passante de l'amplificateur. Il n'est donc pas gênant. Cependant il peut intervenir sur la stabilité de montages très particuliers. Il est aussi une source d'ennuis dans l'opération de dérivation, opération très rarement réalisée.

Le courant grille- Il introduit une tension de décalage à la sortie qui est né- gligeable.

Aux fréquences élevées, un schéma équivalent est le suivant :

Fig. 2. 6.

On tient compte des capacités parasites entre les fils de connexion.

Aux fréquences de ·calcul) ces capacités sont négligeables.

En résumé, aux fréquences de travail du calculateur qui ne dépassent pas quelques dizaines de Hertz, les éléments linéaires effectuent des opérations avec une précision de l'ordre de 10-4

•

Cette valeur est largement suffisante pour l'étude des phéno- mènes physiques.

2.II. -ELEMENTS NON LINEAIRES

Pour pouvoir aborder les systèmes différentiels non linéaires, le calculateur doit comporter en plus des opérateurs déjà vus, des multiplieurs,

·des générateurs de fonctions, des organes à décision logique. etc .••

Ce sont eux que nous présentons dans ce chaprtrt;.

2.II.l. Multiplieurs

Les potentiomètres permettent la multiplication d'une tension variable par un facteur constant positif inférieur à l'unité.

Les multiplieurs réalisent la multiplication d'une tension variable,

par une autre tension variable, le résultat de 1 'opération étant toujours une. ten- sion.

Le principe dérive du potentiomètre, puisque l'une-des··tensions à multiplier alimente un potentiomètre, l'autre asservit la position du curseur.

Des potentiomètres couplés sur le même ax·e ont leurs cur- seurs entratnés simultanément par un moteur grâce à un jeu d'engrenages.

Sur le curseur du premier potentiomètre, dit d' asservl~sement,

alimenté à ses extrémités par + Ref et - Ref. on recueille une tension Z pro- portionnelle au facteur d'atténuation commun à toutes les pistes ; on la compa ...

re à la tension d'entrée X à l'aide d'un amplificateur différentiel.

L'écart {après amplification) sert de signal d'erreur popr la commande du moteur. Quand Pécart est nul (pratiquement) le moteur est posi- tionné ; le coefficient d'atténuation est alors égal à

l ^R~f

^{} •}

x

R résistance de char ge c

R résistance d'utilisation.

u

'----...--- '

- F?ef.

- -- -._..---

' _'

Fig. 2.7.

Le deuxième potentiomètre, alimenté par les tensions + Y et - Y. est appelé piste de multiplication. Si l'on prend soin de charger les deux curseurs par la même impédance (R = R ), on recueille sur le premler la

x

^{c u}

x

fraction - R f de la tension de référence, et sur le second, la .fraction -

e R~

de la tension Y.

Sur notre matériel oà la référence est de lOO volts, la tension qui apparart sur le curseur de multiplication est donc

(2. 16) X XY

Ret ., y =

ïOO

Cette relation est algébrique, comme on peut le constater sur le schéma.

Si X

>

⁰ , on pren ^{d 1} a ^f rac 10n ^{t .}

^J..&

Ref ^{d 1} e a ens10n ^{t ' Y} so1 ^{'t XY} 100 • Si X< 0, on prend la fraction

L.:J

de la tension - Y, soit

encore ^{1 X 1 -}

l

^X

1 __

^_XY

~

• ( - Y)

=

R.e{ . • Y lOO •

- XY

lOO

Plusieurs pistes de multiplication analogues à celle déjà décrite (5 au total) permettent d'obtenir simultanément :

XY3 Ref

XY4 __

Ref.

à condition que les 6 pistes soient chargées par des résistances égales.

Symbole

.borne d'entrée de la t'Qnsion X d ¹ asservisse menr

indr'coh'oh d1.1

fonc~ionnemen~

adresse

irnp~dan ce de cho.~<ge

el"' M.Cl.

Asservisserne-nr

coefficient de , , multiplicotion

e

^Remarque-

Dans les relations précédentes

x.

^Y. + Ref et - Ref sont ex- primées en volts.

Si on les évalue en fractions de la référence (ce qui revient à considérer cette dernière comme unitaire) on obtient des grandeurs sans di- mension de modules inférieurs à l'unité.

L'expression (2.16) s'écrit alors plus simplement:

(2. 17) z = x. y le coefficient lOO ayant disparu.

Dans la suite du cours. nous adopterons cette notation, ne re- venant aux tensions que pour le développement de certaines démonstrations.

®

^Précision

L'erreur absolue ~ introduite sur le produit xy peut se xy

noter :

(2. 18) ~ xy

=

y • ~ x (x)

e

{x) est l'erreur due à fois à la non linéarité du potentiomètre et au décala- x

ge des pistes.

/

Pour un même x. plus la grandeur y est petite plus ~ xy lt sBra.

L'erreur relative en régime statique reste bonne quand on fait le produit de deux grandeurs faibles.

La limitation en fréquence du multiplieur étant essentiellement de nature mécanique. la bande passante est très bonne quand x est fixe (ou presque) et y sinusofdale.

Par contre pour x sinusoïdale la bande passante à - 3 db se trouve à quelques dizaines de Hertz. ce qui donne un domaine d'utilisation encore plus faible (quelques Hertz).

Dans un tel domaine et quand le servomécanisme travaille de fa- çon linéaire, le déphasage pour une entrée x sinusoïdale est linéaire en fonc- tion de la fréquence.

Si pour la pulsation <J

1• le déphasage est de N

1 radians, une forme approchée de la fonction de transfert de l'asservissement en position du

moteur est :

(2. 19) Nl

F (p) = 1 - p

(Jl ^avec

(.)1

P<<r;r

1

®

Montages classiques dérivés des servo-multiplieurs

@

^Division

Premier montage

Deuxième montage

.x~ ~

®

Racine carrée

y

z

x

Montages stables seulement pour x ~0

l. x

x supposé positif (x~ 1)

Il existe des montages permettant d'avoir une division stable pour les deux signes de x, un montage permettant d'obtenir - signe x •

~

^•

On peut à l'aide d'un seul servo-multiplieur former les puis- t::Hlnces. successives de x : x2

; x3

; x4

; x5

; x6

à partir de x

q xl <

^1).

D e rn me, ê à partlr ex on o tlent x . d b .

o.

8 ; x 0, 6 ; x

o.

4 ; x 0, 2 sur le même servomultiplieur ; là puissance 0, 8 intervient souvent dans la thermique des réacteurs.

Devant les limitations introduites par les servo-multiplieurs, essentiellement précision et réponse fréquentielle, les constructeurs ont songé à d'autres moyens pour effectuer une multiplication. Un des principes est basé slli' 1' identité :

(2. 20)

@)

Principe de fonctionnement

Nous raisonnerons sur les tensions représentatives des gran- deurs ~r faciliter la compréhension du texte.

Deux inverseurs, sommateurs à une entrée de gain 1, fournis- sent - X et - Y à partir des tensions d'entrée X et y,.

X

(x)~

y

(:9) ^..,.._-1

-X

(-x)_---1

y

^{(~) ---.1}

Généra~vr

potoobo\i9ue

Générateur para.bolr9ue

k (X+Y)²

~

N

:k(X-Yf

Rs

x y

Z = - -

R~f

(z

⁼

- xy)

Fig. 2. 8. Multiplieur électronique "à paraboles"

k (X+ Y)

2 ^{'1 12 23 2}

Fig. 2. 9. Approximation d'une parabole par segments de droite.

L'ensemble de ces 4 tensions sert de signaux d'entrée à des générateurs de fonctions paraboliques (fig. 2. 8. ). Ceux-ci sont constitués d'un jeu de diodes dont les potentiels de conduction sont ajustés par une série de résistances.

Considérons par exemple le générateur sur lequel sont envoyées les tensions X et Y que nous supposerons positives pour simplifier le raisonne- ment.

Quand X +Y reste compris entre 0 et une valeur

s

₁, seuil de conduction de la première diode du générateur, celui-ci débite un courant nul à sa sortie.

Quand S

1 <X +Y<

s

₂^,

s

₂ seuil de conduction de la deuxième diode; un courant est fourni par le générateur. Il est une fonction linéaire de (X +Y), le coefficient k

12 de proportionnalité étant ajusté de manière que la droite k

12 (X+ Y-

s

₁) soi(Wle· bqnne approximation de la parabole k (X+ Y)2 dans l'intervalle sl

<

x+ y < 82 {fig. ~~ 9. ).

Quand s2

<

^{x +} y < 83. s3 seuil de conduction de la troisième diode, on obtient un courant que l'on peut noter k

12(X +Y- S 1) + k

23(X +Y- S 2).

Sur la figure 2. 9 ceci correspond à une nouvelle droite qui est une approximation au premier ordre de la parabole k (X + Y)2

dans l'intervalle

s

₂

<.x+Y< s3.

De proche en proche, quand X + Y croit, de nouvelles diodes en- trent dans le circuit permettant d'obtenir un courant de sortie qui est une appro- ximation par segments de droite de la parabole k (X + Y)2

• Au premier ordre près, on peut dire que le courant délivré par le générateur est proportionnel à

k (X+ Y)~

Utilisons un second générateur dont les tensions d'entrée sont - X et + Y. Son courant de sortie est - k (X - Y)2

.

Considérons alors le montage de la figure 2. 8. et écrivons la loi de KIRCHHOFF au noeud N, soit :

(2. 21)

(2. 22)

k (X + Y)2

- k (X - Y)2 +

Si 1¹ on choisit RS

=

₄ k • ¹ Ref on retrouve la relation :

z = -

^XY _Ref soit,en revenant aux grandeurs sans dimension :

1

z

= ~

^{·x. y}

¹

Les tensions X et Y ~ouvant être de signes quelconques, il est nécessaire de disposer de 4 générateurs de demi-paraboles analogues à celle de la figure 2. 9.

Cependant à un instant donné, X et Y ayant des signes imposés, seuls deux des quatre générateurs fonctionnent, aucun courant n'étant délivré par les deux autres.

A un autre moment les signes ayant changé, c'est une autre combinaison de deux générateurs qui intervient.

Pour éviter cette inactivité momentanée et par souci d'économ~e

(les ensembles de diodes et de résistances formant l'essentiel du dispositif) certains constructeurs n'utilisent que deux générateurs. Ils y parviennent en adjoignant un dispositif de détection des signes de X et Y qui aiguillent les ten- sions désirées vers les générateurs et affectent la sortie du signe correct.

®

^Précision

Si X ou Y est nulle, le multiplieur présente à sa sortie une ten·

sion de

z

^{0, 01 volt à}

z

^{0, 1} volt suivant les modèles.

Quand X et Y sont maximales {lOO volts) l'erreur statique est + 0, 04 volt à + 0, 4 volt.

- ^-

La bande passante de tels multiplieurs est de 2 à 40 kHz et même plus.

Si X est une tension constante et Y une tension sinusoi'dale et si de plus pour une pulsation <.>

1, le déphasage introduit est N

1 radians, la fonc- tion de transfert du multiplieur peut s'écrire =

(2. 23) Nl

F (p)

= (

^{1 - p ~ ) • X 1.vec} _p

<<tr·

^(J ₁ ¹

La représentation reste valable en inversant les rôles de X' et Y, puisque les entrées sont symétriques.

Pour X et Y simultanément variables, la représentation dyna- mique est beaucoup plus compliquée.

2 .n.

2. - Générateurs de fonctions variables

L'introduction des données pour la simulation de certains modèles

m~thématiques, nécessite la génération de fonctions du temps ou d'une variable.

Ce sont des générateurs qui réalisent cette opération.

Dans les systèmes différentiels, ils génèrent les fonctions for- êées.

Ils sont associés aux servo-multiplieurs.

Une (ou plusieurs) des pistes de multiplication comporte un cer- tain nombre de points d'accès en plus de ses extrémités et de son point milieu.

L'intervalle entre les segments est imposé et constant. Le nombre de segments est de : 16.

A l'aide d'un

dispositif auxiliaire, on peut

Y(X)

imposer des tensions _. Y. ₁ en chacune des prises ^(à condi- tion que la différence de po-

tentiel entre deux prises con- Yi-If sécutives n'excède pas une

certaine valeur).

YL

positionné

X(~)

x

Entre deux prises consécutives la··variation du potentielle long du potentiomètre est linéaire :

(2. 24) y (X)

=

^{yi- yi- 1}

xi -xi -

¹

y- yi-1

avec ·

=

. yi - yi-1

(X - X. 1) + y. 1

1 - 1 -

X- X. · 1-1 X.- X.

1 1-1

Donc si l'on prend soin d'imposer les potentiels Yi (X

1) en pré- · sence des charges qui existeront quand le curseur balayera le potentiomètre, on recueille sur ce dernier une tension f (X) qui est une approximation par seg- ments de droites de la fonction désirée ; X (t) est la tension d'asservissement du servo-mécanisme.

Les imprécisions du servo-multiplieur se retrouvent ici avec de plus l'erreur d'approximation. -

Ils s'appuient sur le même principe que les préct"~ents, c'est à dire approcher la fonction à générer par une série de segments,

paralla)(e

y(><)

/

/

,

..-

/

,

^....

/

...

-"'.,"""

,,_

---

Yt --- ...

--~

1 1 1

.___.._, ~ ..., 1 1

.... ~- 1

-"1---

\

\

1 '1.... 1 1 1 1 1

1 1 ' 1 1 1 1 1

x

~~~~~~~--~~---~~~~~~--~

Xi

\

\

\

Chaque segment est obtenu à partir d'un circuit à diodes, dont les potentiels de conduction sont ajustables.

L'ensemble des circuits t::st raccordé à la grille d'un amplifi- cateur contre-réactionné.

On dispose de deux paramètres permettant de définir l'origine du segment (en réalité demi-droite) et sa pente. Son extrémité sera imposée par le potentiel de conduction du circuit suivant.

On répartit les différents segments (20 maximum) de manière à obtenir une erreur d'approximation moyenne égale pour chacun. De façon plus imagée il faut d'autant plus resserrer les points que le rayon de courbure est plus petit.

Schéma

-f(x)

x

-..JVVVW'IIV\'W!.--1 ~--.-:;.

X>O

La position du curseur C

1 permet de régler la valeur Xi à par- tir de laquelle la diode conduira. On définit ainsi un "point de coupure".

Pour X

>X.,

une fraction k de la tension X est appliquée à

1

l'amplificateur, la valeur de k étant réglée par la position de c2.

Par un choix convenable portant sur l'entrée (X ou -X) sur le signe de la référence, sur le sens d' orientatwn de la diode et sur les position- nements des cm-seurs, on approxim~ la courbe. La résistance Rp permet d'.a- jouter un terme constant, pour le réglage de parallaxe.

Remarque-

Il existli des générateurs fixes à diodes où les potentiomètres du montage pl"écédent ont été remplacés par des résistances fixes.

2. II. 2. C. Générateurs de fonctions par suiveurs de courbe

---

Ils font appel aux tables traçantes XY dont nous disposons.

Lorsqu'elles sont utilisées comme enregistreurs, deux asservissements en position sont réalisés. 1 'un horizontal en fonction de la tension X (t), l'autre vertical en fonction de la tension Y (t). Grâce à ce dispositif on peut position- ner une plume dans le plan XY, dont le déplacement au cours du temps fournit la courbe Y

=

^{f (X).}

Réciproquement traçons une courbe dans le plan XY. Si l'on conserve l'asservissement en

x.

ct si l'on oblige la t~te (plume) à suivre la courbe tracée, à chaque instant on recueille sur le curseur qui servait à l'as- servissement en Y, une tension proportionnelle à la position Y.

On remplace la plume par un capteur sensible à un signal haute fréquence, et on dessine la courbe en peinture conductrice : le capteur est

astreint à rester sur la courbe.

Capteur et curseur' étant solidaires, on recueille sur ce dernier une tension Y

=

f (X).

Générateur de bruit.

Générateur de retard variable.

A partir de la tension f (t) échantillonnée par un dispositif à lOO capacités, on fournit une tension de sortief (t-T) ou "t peut être une fonc- tion du temps t.

f

(t-G)

2. II. 3. - Divers autres éléments

Les éléments suivants, de mise en oeuvre simple, permettent la réalisation de non linéarités ou de décisions logiques.

Ils sont utilisés pour introduire des discontinuités sur les varia- bles ou les fonctions, mettre ¹¹en¹¹ ou ¹¹hors" service des circuits, prendre des décisions de calcul.

---

Circuit de 1 1

commande 1 V_,

1

1

v2.

1

1 1

- - - _J

r- - - -- - - -- - - - -,

1 1 ^{LL n}

v---

C.OY\tOCi" (-) 1

1 pa e11e r., . l

1 1\ • conrad(+)

1

1 palette~ v • conïqcr(-) 1 ^A o con~acl-(+)

1

L - - - -•

Circuit de calcul

Un amplüicateur différentiel ^A dispose de deux entrées ana- logiques. Quand la somme des tensions V

1 +V

2 est positive, le relais est exci-

té et les palettes P

1 et P

2 viennent sur les contacts (+).

Si V 1 + V

2 est négative, les palettes P

1 et P

2 viennent sur les contacts (-).

Les relais ne sont pas orientés et peuvent être utilisés indifférem- ment dans le sens palette - contacts ou dans le sens contacts " palette suivant l'opération désirée.

L'amplificateur est transistorisé. La commutation s'effectue en 1 ms.

Grâce à ces éléments on peut introduire des seuils~ des satura- tions. obtenir la valeur absolue d'une grandeur, simuler ^un frottement solide (zone neutre).

2. II. 3. B. - 12_io~~~

1

Dans certains cas. elles peuvent remplacer les amplificateuys à relais pour introduire dans les calculs des conditions d'anisotropie~ des limites physiques, pour simuler des zones mortes, des jeux dans des engrenages. de 1 'hystérésis.

Donnonstrois montages très couramment utilisés.

@

Limiteur en pont -

100k..a

Ve .source à basse im pédonc

_ Ref

Ve

@

Limiteur à contre-réaction

-Ref

Entre les limites fixées par le réglage des potentiomètres, l'amplificateur fonctionne normalement :

@

Valeur absolue

x

v _s =-

R

v

_e

R

R

TROISIEME PARTIE

POSSIBILITES DES CALCULATEURS ANALOGIQUES A COURANT CONTINU

TROISIEME PARTIE

POSSIBILITES DES CALCULATEURS ANALOGIQUES A COURANT CONTINU

3,.1 • EQUATIONS ET SYSTEMES ALGEBRIQUES

Il semble à priori que les calculateurs analogiques floient aptes à résoudre les systèmes algébriques. Il est en effet facile de composer sur,, papier un schéma analogique représentant de tels systèmes ; l'expérience montre que ce schéma matérialisé sur machine ne conduit pas toujours à la solution.. Cela tient au fait que les gains des amplificateurs ne sont pas cons- tants, mais sont des fonctions de l'opérateur de Laplace p (voir 2ème partie).

On montre alors que les régimes transitoires qui conduiraient à 1 'état défini

e

par les équations, peuvent donner des oscillations divergentes si certaines pré- cautions ne sont pas prises.

Actuellement les calculateurs numériques sont utilisés ~e préfé- rence d.ès qu'il s'agit de résoudre des système algébriques de sorte que, saut exception, les calculateurs analogiques ne traitent ces systèmes que s'ils sont associés à des équations différentielles.

Il est bon de rappeler néanmoins que dans le passé les calcu- lateurs analogiques étaient fréquemment utilisés pour effectuer des opérations comme l'inversion d'une matrice, la multiplication d'un vecteur par une matrice, lé produit de vecteurs, le produit de matrices. • • etc. Il se peut d'ailleurs que

e

dans l'avenir les machines analogiques soient à nouveau sollicitées pour réali- ser quelques opérations linéaires, entre autres l'inversion d'une classe particu- lière de matrices.

3. I. 1. Méthode théorique de résolution des systèmes linéaires

(3. 1, )

Soit à résoudre le système de n équations à n inconnues n

L ~i

^{xj +bi = o}

j

=

¹

(i

=

l, 2, • . • . , n)

Chaque équation est définie par son rang 1 et se présente sous la forme d'une somme de (n + ¹⁾ termes. Elle est analogue à celle de la loi de KIRCHHOFF en un noeud recevant (n + 1) courants.

(3. 2. )

la grandeur

n+1

[

j

=

^{1 I.}

=

0 J

On la matérialise par un amplificateur sommateur délivrant X. suivant le schéma de principe de la figure 3. 1.

1

-_i--:;--;_ ---

1 , ____ , 1

[xJ : , .... , : -[x~J

.- - - - -1 .1.. ^{1 .... ...} 1

>---. - -- -, __

~-

_r-

^.,.~

... - ... - ---

'.

...

Fig, 3. 1,

Les résistances d'entrée sont supposées toutes égales pour simplifier le raisonnement.

Nous avons en outre admis que les coefficients

a~

étaient posi-

1

tifs et inférieurs à l'unité, que les coefficients bi étaient positifs et infé-

rieurs à la référence unitaire [ 1

J . . .

En ce qui concerne le signe des a~ , aucune difficulté n'en ré- sulte ^! on sait en effet qu'un système linéaire peut toujours être remplacé par un système linéaire équivalent dont tous les coefficients sont positifs,

Considérons par exemple l'équation de rang k du système (3.1), On multiplie tous les termes par - 1~ si la constante bk est négative. En faisant ensuite, un changement de la forme :

y. :: -x.

J J

pour les p variables dont les coefficients sont négatifs, on obtient : p

(3. 4. )

[

j :: 1

n (-

a~

^{) • yj +}

L

j=p+l

:: 0

où tous les coefficients sont maintenant positifs. Par combinaison linéaire de (3. 4. ) et des (n - 1) autres équations du système. on peut remplacer ce dernier par un système équivalent ayant tous ses coefficients positifs.

M, PARODI a généralisé cette méthode aux équations non linéaires ..

Si l'on ne désire pas rechercher le nouveau système, il suffit d'écrire :

1 ^{o /} Quand un coefficient

a~

est négatif.

1

(3. 5.)

(-Xj) s'obtient à l'aide d'un inverseur.

Il est représenté en pointillés sur le schéma 3. 1.

[-

~est

la référence unitaire négative qUi sera connectée à un pôtentiornètre dont le coefficient d'atténuation est lbil •

En ce qui concerne les valeurs des coefficients, des trans- tormatious préalables sont nécessaires si elles dépassent·l'unité, On opère

~n jeux temps :

l o 1 Sî ôans une ligne i un ou plusieurs coefficients aji sont supérieurs'ià''l, on divise chaque terme de la ligne par le plus grand des a{ •.

2° .::;i un ou plusieurs coefficients b; dépassent la valeur de la référence .. uni-

~aire

^{( [}

1] ).

on divise cud.cun des termes de chaque ligne

p~le

^plus

.~ànd

rJes o

1 . Dans cette dernière opération, on ne fait pas porter la division sur les nouveaux coefficients de la matrice obtenue au 1

of.

mais sur les variables : on définit ainsi des facteurs d'échelle, et

o~

^conserve pour les a{: les valeurs les plus grandes possibles.

Les traitements précédents mènent du schéma de princip~.

déti:rii·, plus haut à un schéma définissant le circuit exact à réaliser. C?:!':;:"':e tenu. des valeurs numériques à introduire. ·

. C'est à ce stade que commencent les difficultés. ~ll~~>A ~r;nt

liées'non pas à la nature mattlématique du problème mais à des instabilités~;

de Circuits. De nombreux autenrs se sont penchés sur le sujet. Retenon$

ce r.ésultat :

~1

1es valeurs propres de la matrice des coefficients

à{

.s,~nfà partie réelle positive etsi tous ,__les amplificateurs ont un dépl1asage infé- rieur à 90° pour un sain s~périeur à 1 'unité, le système analogigue elJt stable et il est possible d'obtenir la solution.

Quand le circuit analogique est stable, la solution donnée par le calculateur correspond à n nombres qui sont les valeurt:f mesurées à la sortie des n sommateurs du mo.ntage. En raison même de la précision limitée des éléments de calctù, les valeurs obtenues ne sont,qu•une solution approchée,·

1 'erreur étant liée entre autres à la précision des potentiomètres représentant

a{ et

^bi.

S'il est nécessaire d'avoir un résult~t plus précis, on pro- cède par itération.

Méthode d'itération

Le report dans les équations des valeurs approchées trouvées X. définit des valeurs b. différentes des b. et telles que :

JO 10 . 1

(3. 7.)

(3. 8. )

(3. 9. )

(3. 10)

(3.11)

[

n j

=

¹

aj _.

x

_. ^+b _i

=

0

1 JO 0

Les valeurs exactes X. sont racines du système :

J

L

n

a{

^{xj +bi = o}

j

=

¹

De ces deux systèmes, on déduit le suivant :

[

n j

=

¹

a. j (Xj - xj ) + (b. - b

1 )

=

o

1 0 1 0

En posant:

Ab. =bi - b

1 io

Il s'écrit : {3.12.).

[

n

j

=

¹

^a~

^l

Il est possible de le traiter sur le. calculateur analogique sans nouvelle recherche de stabilité, les a{ restant inchangés. Seules les constantes b. sont à modifier et à remplacer par

êJ:>:.

1 1

Après calcul, on obtient les n valeurs des AXj' valeurs elles aussi entachées d'erreur; mais permettant néanmoins de se rapprocher de la solution exacte.

Si

x.

1 est la nouvelle· solution approchée (mais améliorée)

J .

elle est définie par :

(3.13)

x.

₁

=x.

+ (S){.

J Jü J

On peut poursuivre 1 'itération jusqu'à obtenir une précision dé- siréè. En général, on arrêtera les calculs après deux répétitions.

Remarques -

Nous allons revenir à l'énoncé dotlné précédemment relatif à la stabilité du système analogique élaboré pour résoudre un système a.lgébrique linéaire. En indiquant une démonstration assez simple, nous mettrons en évi- dence l'existence d'une phase transitoire pendant laquelle le calculateur recher- che la solution. La compréhension de son comportement nous suggèrera une seconde méthode de résolution.

Dans la deuxième partie, nous avons dit que le gain d'un ampli- ficateur à courant continu ne pouvait être considéré -comme très grand et cons- tant à toutes les fréquences. Or c'est dans le domaine des hautes fréquences qu'apparaissent les oscillations indésirées ; le gain y est assez bien repré- senté par la relation :

{3. 14) A (p) == -

K

p K

>>

⁰

Sur la figure 3. 1. , la loi de KIRCHHOFF au noeud N, nous permet d'écrire :

(3. 15)

(3.16)

obtenons : (3. 17)

n

[

j = 1

(a~

^{X . - é. ) + (b . -}

e:. )

^{= 0}

1 J 1

x

_i ^{(p) = - K} _p ^{t (p)}

En éliminant t entre les relations (3.15) et (3.16) nous

I

n

j

=

¹

^a~

^{1 X. +b. J 1}

⁼

(n + 1)

K pX.

1

où les variables X. sont des fonctions de p.

J

Il s'agit d'un système différentiel faisant apparaître une pha- se transitoire dans le comportement du circuit. Cette phase est définie par :

(3. 18) _{j ;::}

f

₁ ^{(n +} K ¹⁾ px .•

l

·un

tel système a pour solution une somme d'exponentielles dont· les exposants (réels ou complexes) font apparaftre les valeurs propres de la matrice

JI a{ Il .

(cf. annexe I).

D'oü l'énoncé :

En supposant que l'amplificateur à courant continu se compor- te ~omme un intégrateur aux hautes fréquences, le système analogique défini précédemment est stable si et seulement si les valeurs propres de la matrice des coefficients sont à partie réelle positive.