COMMANDE D’UN SYSTEME SOUS-ACTIONNE PAR APPRENTISSAGE MACHINE :

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE D’ABOMEY-CALAVI ECOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY-CALAVI

DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE

Option : Contrôle de Processus Industriel

M

F

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Thème

C OMMANDE D ’ UN SYSTEME SOUS - ACTIONNE PAR APPRENTISSAGE MACHINE :

C ^{AS D} ’ UN DRONE QUADRIROTOR

Présenté par :

AMOUSSOU Zinsou Kenneth

Encadreur :

Dr AZA-GNANDJI Maurel

Maître de mémoire :

Pr ADOMOU Alain,

Maître de conférences des universités du CAMES

Année académique : 2017 - 2018

Commande d’un syst` eme sous actionn´ e par apprentissage machine

Cas d’un drone quadrirotor

A ma famille

Mes sinc`eres remerciements :

— `a l’administration de l’´Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi, pour les efforts consen- tis pour ma formation ;

— au chef du d´epartement G´enie ´Electrique, Dr HOUNGAN Th´eophile, pour tout le travail qu’il effectue afin que toutes les activit´es p´edagogiques se d´eroulent en toute qui´etude ;

— au Pr ADOMOU Alain, pour son investissement personnel dans l’ex´ecution de ce travail et la motivation continuelle qu’il me procure ;

— au Dr AZA-GNANDJI Maurel, pour son soutien et l’attention qu’il a port´ee `a ce travail ;

— `a Judica¨el Z. et Florent K. pour leur aide dans l’acquisition de certains des mat´eriels utilis´es pour la r´ealisation du drone ;

— `a ma famille, pour la confiance qu’elle a plac´ee en moi ;

— `a Ghislain A., Boris A., Romancia G., Robert A., B´en´edicte D., Costelle G., L´er´e M. pour votre aide directe et indirecte dans la production de ce document et les moments que nous avons partag´es ;

— `a mes camarades et amis, pour cette ambiance conviviale qui a r´egn´e et cette compr´ehension mutuelle ;

— `a tous ceux qui de pr`es ou de loin ont contribu´e `a ce travail et ont permis la mise en œuvre de ce projet.

L’usage des drones a commenc´e avec leurs applications militaires. L’ouverture de cette technologie au civil a stimul´e sa croissance rapide et on assiste `a une crois- sance rapide des applications bas´ees sur des drones. Il existe plusieurs configura- tions de drones ; nous avons travaill´e dans le cadre de ce m´emoire sur les drones

`

a quatre h´elices que nous avons nomm´es “quadrirotor”. L’´elaboration du mod`ele math´ematique du drone a permis de comprendre les grandeurs permettant la com- mande de ces engins et leurs influences sur le pilotage du drone. A partir de la mod´elisation du syst`eme de propulsion du drone, nous avons effectu´e son ´evaluation de performance en prenant en compte ses param`etres (dimensions, caract´eristiques techniques, etc.). Cette ´evaluation de performance a ´et´e conduite en impl´ementant les mod`eles obtenus dans des scripts python. Le contrˆoleur du drone a ´et´e subdivis´e en plusieurs parties : contrˆoleur d’attitude, contrˆoleur de position, l’allocation de contrˆole et le contrˆoleur des moteurs. Le contrˆoleur d’attitude a ´et´e ´elabor´e en le consid´erant comme ´etant un processus de d´ecision Markovien. Bas´e sur le principe de l’apprentissage par renforcement, nous avons choisi un r´egulateur quadratique lin´eaire afin d’obtenir une loi de commande lin´eaire pour g´erer l’attitude du drone.

Le contrˆole d’altitude quant `a lui exploite un r´egulateur PID. L’impl´ementation du quadrirotor a ´et´e effectu´ee en utilisant le MPU6050 comme centrale inertielle, le BMP180 comme capteur de pression, l’ESP8266 comme r´ecepteur sans fil et le microcontrˆoleur STM32F103C8B comme microcontrˆoleur applicatif. Le logiciel de contrˆole a ´et´e ´ecrit en se basant sur le syst`eme d’exploitation temps r´eel FreeR- TOS. La m´ethode adopt´ee pour le contrˆole d’attitude du drone a permis d’avoir une bonne stabilit´e du drone. Le protocole de commande `a distance que nous avons impl´ement´e a ´egalement montr´e un temps de r´eponse tr`es acceptable, de l’ordre de 100µs.

Mots cl´es: Quadcopter, Contrˆole, Apprentissage par renforcement, LQR, RTOS

lated the field and motivated the launching of many applications. Among the drone’s configurations that exist, our thesis focuses on quadcopter in their X-configuration.

The mathematical modeling of the quadcopter helps us understand the way to drive it and handle it’s movements. The kinematics and dynamics analysis has been done based on Euler angles. Modeling the propulsion system of the quadcopter lets us make it’s performance evaluation. We have implemented the performances evalua- tions models in python to have the results. We’ve split the controller of the quad- copter in different parts : the attitude controller, the position controller, the control allocation and the motors controller. The attitude controller has been designed ba- sed on LQR (Linear Quadratic Regulation) reinforcement learning. For that, we’ve formulated the control problem as a Markov Decision Process (MDP) and used dy- namic programming method to solve Riccati equation. The altitude controller which is a sub-controller of the position controller has been designed based on PID (Pro- portional, Integral, Derivative) regulator. The quadcopter implementation has been done using the MPU6050 as an inertial measurement unit, the BMP180 as a baro- meter, the ESP8266 as a wireless receiver for remote pilot and the STM32F103C8B as the main application microcontroller. As the autopilot of the quadcopter is time critic, we’ve used FreeRTOS as real time operation system to handle task schedu- ling. The LQR reinforcement learning control has shown good result for stability control. The real time control protocol we’ve designed for remote controlling the quadcopter perform well in driving it.

Key words: Quadcopter, Control, Reinforcement learning, LQR, RTOS

Table des mati`eres vi

Table des figures x

Liste des tableaux xi

1 Introduction 1

1.1 Contexte . . . 2

1.2 Probl´ematique . . . 3

1.3 Motivation . . . 5

1.4 Objectifs . . . 6

2 Mod´elisation du drone quadrirotor 8 2.1 Introduction . . . 8

2.2 Mod`ele cin´ematique et dynamique du drone quadrirotor . . . 9

2.2.1 Les mouvements du quadrirotor . . . 9

2.2.1.1 Mouvement vertical . . . 10

2.2.1.2 Mouvement de roulis . . . 10

2.2.1.3 Mouvement de tangage . . . 10

2.2.1.4 Mouvement de lacet . . . 10

2.2.2 Hypoth`ese de mod´elisation . . . 11

2.2.3 Mod`ele du quadrirotor dans le r´ef´erentiel terrestre . . . 11

2.2.4 Mod`ele du quadrirotor dans le r´ef´erentiel hybrideH . . . 12

2.3 Mod`ele du syst`eme de propulsion . . . 13

2.3.1 G´en´eralit´e . . . 13

2.3.2 Mod´elisation d’une h´elice . . . 14

2.3.3 Mod´elisation de moteur `a courant continu sans balais . . . 16

2.3.4 Mod´elisation de la batterie . . . 17

2.3.5 Mod´elisation d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse . . . 18

2.3.6 Evaluation de performance du drone´ . . . 19

2.3.6.1 Vol stationnaire . . . 19

2.3.6.2 Commande maximale . . . 20

2.3.6.3 Mode de translation avant . . . 21

2.3.6.4 Vitesse et distance maximale . . . 23

2.3.6.5 Conclusion partielle . . . 24

2.4 Mod`ele de contrˆole et identification . . . 24

2.4.1 Force de pouss´ee et couple d’une h´elice . . . 24

2.4.2 La matrice de contrˆole . . . 25

2.4.3 Contrˆole du syst`eme de propulsion . . . 25

2.4.3.1 Mod`ele de contrˆole . . . 25

2.4.3.2 Influence de la variation de commande sur le couple . . . . 27

2.4.4 Identification des param`etres du mod`ele de contrˆole . . . 28

2.4.4.1 D´etermination de CR et $b . . . 28

2.4.4.2 D´etermination de J_RP . . . 30

2.4.4.3 Matrice d’inertie du quadrirotor . . . 31

2.5 Conclusion partielle . . . 33

3 Contrˆole par la m´ethode d’apprentissage par renforcement 35 3.1 Introduction . . . 35

3.2 Bases de l’apprentissage par renforcement . . . 35

3.2.1 Intuition . . . 36

3.2.2 Processus de d´ecision Markovien . . . 36

3.3 Structure du contrˆoleur de vol . . . 39

3.4 Contrˆoleur de position . . . 40

3.4.1 Le contrˆoleur horizontal . . . 40

3.4.1.1 Mod`ele lin´earis´e . . . 40

3.4.1.2 Contrˆole en boucle ouverte . . . 41

3.4.2 Le contrˆoleur d’altitude . . . 41

3.4.2.1 Lin´earisation du mod`ele . . . 41

3.4.2.2 Correcteur PID . . . 41

3.5 Contrˆoleur d’attitude . . . 42

3.5.1 Lin´earisation du mod`ele . . . 42

3.5.2 La r´egulation quadratique lin´eaire . . . 44

3.6 Conclusion partielle . . . 47

4 Impl´ementation du contrˆoleur du drone 48

4.1 Introduction . . . 48

4.2 Estimation d’´etat . . . 49

4.2.1 Mod´elisation des capteurs . . . 49

4.2.1.1 Mod`ele de l’acc´el´erom`etre . . . 49

4.2.1.2 Mod`ele du gyroscope . . . 50

4.2.1.3 Mod`ele du barom`etre . . . 50

4.2.2 Le filtre compl´ementaire . . . 51

4.2.3 Estimation des angles de roulis et de tangage . . . 51

4.2.3.1 Estimation de l’acc´el´erom`etre . . . 51

4.2.3.2 Estimation du gyroscope . . . 53

4.2.4 Estimation du capteur barom´etrique . . . 54

4.2.4.1 Pression de r´ef´erence . . . 54

4.2.4.2 Estimation d’altitude . . . 54

4.2.5 Fusion de donn´ees . . . 55

4.3 Architecture du contrˆoleur . . . 55

4.3.1 La centrale inertielle MPU6050 . . . 55

4.3.2 Le barom`etre BMP180 . . . 56

4.3.2.1 Fonctions et sch´ematique . . . 56

4.3.2.2 Mesure de la pression et de la temp´erature . . . 56

4.3.2.3 Calcul de la pression et de la temp´erature . . . 56

4.3.3 Le contrˆoleur . . . 58

4.3.4 Architecture logicielle . . . 61

4.4 Communication et commande . . . 61

4.4.1 Introduction . . . 61

4.4.2 Le protocole . . . 62

4.4.2.1 Principe . . . 62

4.4.2.2 Impl´ementation . . . 63

4.4.3 L’interface de commande . . . 63

4.5 Conclusion partielle . . . 64

5 R´esultats et Discussions 65 5.1 Introduction . . . 65

5.2 Courbe de pouss´ee et de couple d’une h´elice . . . 65

5.3 Evaluation de performance du syst`´ eme de propulsion . . . 66

5.3.1 Vol stationnaire . . . 67

5.3.2 Commande maximale . . . 68

5.3.3 Mode de translation avant . . . 68

5.3.4 Vitesse et distance maximale . . . 69

5.4 Identification des param`etres C_R et$_b . . . 70

5.5 Identification de la constante de temps Tm du mod`ele d’un moteur . . . 72

5.6 Identification des ´el´ements de la matrice d’inertie du quadrirotor . . . 73

5.7 Choix du coefficient a du filtre compl´ementaire . . . 73

5.8 Simulation du contrˆoleur d’attitude du quadrirotor . . . 75

5.9 Discussion . . . 77

5.10 Conclusion partielle . . . 77

6 Conclusion g´en´erale 79 6.1 Mod´elisation . . . 79

6.2 Contrˆoleurs . . . 79

6.3 Impl´ementation . . . 80

6.4 Perspectives . . . 80

6.4.1 M´ethode de mod´elisation . . . 80

6.4.2 Estimation d’´etat et contrˆole . . . 80

6.4.3 Auto-pilote & Am´elioration de la puissance de calcul . . . 81

Bibliographie 83 A Outils de calcul scientifique avec Python 85 A.1 Introduction . . . 85

A.2 Installation de Python . . . 85

A.3 Numpy . . . 86

A.4 Matplotlib . . . 86

B Liens utiles 88 B.1 Quadrirotor . . . 88

B.2 Centrales inertielles . . . 88

B.3 Barom`etre . . . 88

B.4 Contrˆoleur PID . . . 89

C Configuration du simulateur 90

D Impl´ementation du mod`ele d’une h´elice 92

F Impl´ementation du mod`ele d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse 99 G Impl´ementation du mod`ele de la batterie 101

H ´Evaluations de performance 103

H.1 Vol stationnaire . . . 103

H.2 Commande maximale . . . 104

H.3 Mode de translation avant . . . 107

H.4 Vitesse et distance maximale . . . 110

Table des figures

2.2 H´elice `a hauteur fixe . . . 14

2.3 Mod`ele ´equivalent du moteur . . . 16

2.4 Mod`ele d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse . . . 18

2.5 D´eplacement avant du drone . . . 22

2.6 Principe de la r´egression lin´eaire . . . 28

2.7 Synoptique du circuit exp´erimental de mesure de vitesse et de la tension aux bornes du moteur . . . 30

2.8 Mod`ele simplifi´e d’une h´elice et d’un moteur . . . 31

2.9 Mesure du moment d’inertie en utilisant un pendule bifilaire . . . 33

3.1 Interaction entre un agent et l’environnement dans un processus de d´ecision Markovien . . . 36

3.2 Synoptique du contrˆoleur du drone . . . 39

4.1 GY-521 . . . 55

4.2 Circuit type d’application du BMP180 . . . 57

4.3 Algorigramme d’acquisition de donn´ees du BMP180 . . . 58

4.5 STM32F103 . . . 59

4.7 Architecture logicielle . . . 61

4.8 Page de commande du drone . . . 63

5.1 Courbes de pouss´ee et de couple en fonction de la vitesse . . . 66

5.2 R´esultats de la r´egression lin´eaire . . . 71

5.3 Temps de r´eponse du syst`eme de propulsion . . . 72

5.4 Co´efficient a en fonction de f_c etT_e . . . 74

5.5 Coefficient a en fonction def_c, T_e = 0.005s . . . 75

5.6 Simulation du contrˆoleur d’attitude . . . 76

Liste des tableaux

2.2 Valeurs des param`etres relevant des caract´eristiques physiques d’une h´elice . . 16

2.3 Param`etres g´en´eraux de mod´elisation . . . 20

3.1 Approximation autour de la position horizontale du drone . . . 40

4.1 Mode d’´echantillonnage du BMP180 par configuration du param`ereoversampling setting (registre interne au BMP180) . . . 57

4.2 Coefficients d’´etalonnage . . . 59

4.3 Protocole de communication . . . 62

5.1 Evaluation de performance n´ °1 - Mode stationnaire . . . 67

5.2 Evaluation de performance n´ °2 - Commande maximale . . . 68

5.3 Evaluation de performance n´ °3 - Charge et angle maximaux . . . 69

5.4 Evaluation de performance n´ °4 - Vitesse et distance de vol maximales . . . 69

E Rep`ere inertiel li´e `a la terre B Rep`ere inertiel li´e au quadrirotor Θ<sub>p</sub> Param`etre de mod´elisation des h´elices D_p[cm] Diam`etre d’une h´elice

H_p[cm] Hauteur d’une h´elice

B_p Nombre de lame d’une l’h´elice G_p[g] Masse d’une h´elice

Θ_m Param`etre de mod´elisation des moteurs

KV[rpm/V] Coefficeint KV du moteur. Exprime le nombre de rotation par minute qu’effectue le moteur sous une tension de 1V

I_{mM ax}[A] Courant maximal du moteur

I_m0[A] Courant nominal sans charge d’un moteur U_m0[V] Tension nominal sans charge d’un moteur R_m[ω] R´esistance d’armature d’un moteur G_m[g] Masse d’un moteur

Θ_e Param`etres de mod´elisation d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse I_{eM ax}[A] Courant d’entr´ee maximal du contrˆoleur ´electronique de vitesse R_e[ω] R´esistance de sortie d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse G_e[g] Masse d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse

Θ_b Param`etres de mod´elisation de la batterie du quadrirotor C_b[mA.h] Capacit´e de la batterie

R_b[ω] R´esistance interne de la batterie U_b[V] Tension aux bornes de la batterie

K_b Taux de d´echarge maximal de la batterie G_b[g] Masse de la batterie

T[N] Force de pous´ee produite par une h´elice M[N m] Couple produit par une h´elice

N[rpm] Vitesse de rotation d’une h´elice ρ[kg/m³] Densit´e de l’air

P_a[P a] Pression atmosph´erique T_t[°C] Temp´erature ambiante

(S,A,{P_sa}, γ,R) Tuple mod´elisant un processus de d´ecision markovien.

S : l’ensemble des ´etats du quadrirotor A : l’ensemble des actions

P_sa : la probabilit´e de transition vers un nouvel ´etat en ´etant dans l’´etat s puis effectuant l’action a

γ : facteur de r´eduction R : fonction de r´ecompense

π Fonction de police d´efinie telle que,π :S 7→ A π^∗ repr´esente la police optimale

V^π Fonction de valeur relative `a la police π

V^π∗ repr´esente la fonction de valeur associ´ee `a la police optimale a<sup>B</sup><sub>imu</sub>[m/s<sup>2</sup>] Vecteur mod´elisant l’acc´el´erom`etre dans le rep`ere B

a^B_imu= [ ax ay az ]^T

ω_imu^B Vecteur mod´elisant le gyroscope dans le rep`ere B βbaro Mesure du barom`etre

φacc[rad] Estimation de l’angle de roulis `a partir des donn´ees de l’acc´el´erom`etre θacc[rad] Estimation de l’angle de tangage `a partir des donn´ees de l’acc´el´erom`etre φgyro[rad] Estimation de l’angle de roulis `a partir des donn´ees du gyroscope θ<sub>gyro</sub>[rad] Estimation de l’angle de tangage `a partir des donn´ees du gyroscope ψ_gyro[rad] Estimation de l’angle de lacet `a partir des donn´ees du gyroscope

Introduction

Initialement d´evelopp´es pour des applications militaires[13, p. 3], les drones a´eriens ont subi une ´evolution class´ee en cinq grandes p´eriodes[25, p. 13-21] :

1. la p´eriode dormante (avant les ann´ees 1990) : les premiers essais de conception de drone ont ´et´e effectu´es principalement pour usage militaire ;

2. la p´eriode de croissance (entre 1990 et 2005): conception de drones miniatures grˆace au d´eveloppement des capteurs MEMS, des micro-ordinateurs et des processeurs de signaux. Usage des drones pour des applications civiles et accessibilit´e sur le march´e des drones jouets ;

3. la p´eriode de d´eveloppement (entre 2005 et 2010) : int´erˆet grandissant des chercheurs pour le d´eveloppement d’algorithmes de contrˆole de drones ;

4. la p´eriode d’activit´e (entre 2010 et 2013) : d´eveloppement d’auto-pilotes `a code source libre facilitant la r´ealisation de drone multi-rotor par les d´ebutant ; d´eveloppement des centrales inertielles `a dix degr´es de libert´e ainsi que des r´ecepteurs GPS per- mettant de booster le secteur des drones a´eriens ;

5. la p´eriode d’explosion (apr`es 2013): orientation de la recherche sur des applications de drone permettant d’atteindre l’autonomie et le travail collaboratif.

Au d´eveloppement acc´el´er´e par beaucoup de progr`es techniques[13, p. 19 - 21], les drones a´eriens sont maintenant accessibles au civil avec un nombre grandissant d’applications.

Mˆeme si leur usage au B´enin n’est soumis `a aucune r´eglementation sp´ecifique , le pilotage de drones a´eriens est encadr´e par les lois internationales et r`egles applicables au petit a´eronef d´efinies par l’ANAC.

1.1 Contexte

Les drones a´eriens occupent de plus en plus une place de choix dans bon nombre d’applications de nos jours. Au B´enin, mˆeme si pour la majorit´e, l’int´erˆet premier des drones est le loisir personnel, ces engins s’invitent progressivement dans la production de contenu vid´eo pour les clips, les c´er´emonies, etc. En Avril 2018, Thierry Barbaut a diffus´e une vue a´erienne de Ganvi´e et du lac Nokou´e `a l’aide d’un drone[2]. Ceci pr´esente un potentiel touristique qui est aussi une bonne utilit´e des drones pour le d´eveloppement socio-culturel d’un pays.

En consid´erant le secteur de l’agriculture, la technologie des drones constitue une solution innovante et optimale `a divers probl`emes :

— l’´epandage d’engrais ;

— l’arrosage optimale des cultures ;

— l’estimation de la production tout au long d’une saison de culture ;

— etc.

En topographie, les drones apportent de nouveaux moyens de cartographie des par- celles par prise de vue a´erienne et facilitent le morcellement des terrains. Les travaux de lotissement s’en trouvent ainsi acc´el´er´es.

Les drones sont ´egalement une alternative int´eressante pour la s´ecurit´e du territoire et la surveillance de sites sensibles. Les applications militaires de cette technologie ne sont plus `a d´emontrer et permettent entre autres d’am´eliorer les services ou op´erations de l’arm´ee.

Les industriels et chercheurs trouveront les applications de t´el´emesure qu’offrent les drones int´eressantes. La supervision de ligne ´electrique est un exemple typique d’appli- cation mettant en exergue le potentiel des drones dans le diagnostique des pannes et l’analyse des lignes ´electriques.

La recherche dans ce secteur des v´ehicules a´eriens non habit´es est pluridisciplinaire.

Depuis la m´ecanique, l’´etude sur les mat´eriaux, l’a´erodynamique, l’´electronique, l’informa- tique temps r´eel, le traitement de signal et l’automatique, d’autres domaines s’y invitent au fur et `a mesure que les secteurs d’applications s’´etendent.

En s’int´eressant au contrˆole de bas niveau des drones, la recherche s’oriente beaucoup dans le sens (pour ne citer que ceux-l`a) :

— du contrˆole de stabilit´e de vol (le drone doit pouvoir r´esister `a des perturbations ext´erieures) ;

— de la contrˆolabilit´e du drone en cas de d´efaillance d’un ou plusieurs syst`emes de propulsion en plein vol ;

— le pilotage automatique pour les missions de longue distance et/ou dans des envi- ronnements inconnus ;

— de la s´ecurit´e de vol, la planification de route et la prise de d´ecision ;

— du travail collaboratif des drones.

La conf´erence TED donn´ee par Vijay Kumar de l’universit´e de Pennsylvanie en F´evrier 2012 montre bien le potentiel du travail collaboratif des drones [15].

En Juin 2013, Raffaello D’Andrea et son ´equipe `a ETH Zurich ont donn´e une conf´erence sur l’athl´etisme des machines. Leurs d´emonstrations ´etaient simplement spectaculaires ; des drones capables d’accomplir des manœuvres tr`es complexes et de prendre des d´ecisions en un temps minimum [5]. En 2016, Raffaello D’Andrea a ´egalement pr´esent´e diverses configurations de drone ainsi que la pr´esentation d’une chor´egraphie par des drones mi- niatures [6].

1.2 Probl´ ematique

Aussi connus sous l’anglicisme “Unmanned Aerial Vehicules (UAV)” , les drones sont des a´eronefs sans pilotes `a bord et t´el´ecommand´es[19, p. 5]. En tant que v´ehicule a´erien, le drone est soumis `a beaucoup de contraintes m´ecaniques et de perturbations ext´erieures.

En cons´equence, le contrˆoleur de vol du drone doit ˆetre en mesure d’assurer une bonne stabilit´e de ce dernier ; et aussi en mesure de prendre en charge une commande de vol pour une mission sp´ecifique.

Plusieurs strat´egies de commande ont ´et´e utilis´ees pour effectuer le contrˆole d’attitude et d’altitude de drone. Ces strat´egies vont de la strat´egie de commande classique comme le PID `a des strat´egies de commande plus avanc´ees telles que les strat´egies de commande optimale, robuste et intelligente[4].

La commande PID a ´et´e l’une des premi`eres m´ethodes appliqu´ees pour la commande des drones quadrirotors. Les simulations de cette commande sur un mod`ele de drone quadrirotor `a partir du logiciel MATLAB (en utilisant l’extension SIMULINK) ont donn´e des r´esultats mettant en ´evidence la stabilit´e du drone[19]. En plus d’une simulation

du contrˆoleur PID, T. Bresciani[3] a effectu´e une simulation 3D d’un drone quadrirotor pour visualiser sa trajectoire et effectuer une impl´ementation r´eelle avec des r´esultats satisfaisants. La strat´egie de commande PID s’av`ere suffisante pour le pilotage de drone quadrirotor dans un environnement peu perturb´e[12, p. 12].

Les algorithmes de contrˆole robuste et optimal permettent en g´en´eral de d´eterminer la commande ad´equate pour suivre une trajectoire donn´ee tout en minimisant une fonction de performance (coˆut)[4]. Ainsi, (Castillo et al. 2005)[12, p. 12] ont impl´ement´e une loi de commande LQR[4] pour le contrˆoleur d’un drone quadrirotor avec de bonnes perfor- mances. Mais, en pr´esence de forte perturbation, les performances de ce contrˆoleur se d´egradent `a cause de sa lin´earit´e. Cependant, en utilisant la commande pr´edictive[23] en association avec la loi de commande robusteH∞, (Chen et al. 2003)[12, p. 13] ont obtenu des r´esultats satisfaisants pour le contrˆole de stabilit´e.

La complexit´e du mod`ele dynamique d’un drone quadrirotor fait :

— qu’il n’existe pas un mod`ele complet de ce dernier dans tous ses modes de vol ;

— qu’il est difficile d’´evaluer avec pr´ecision les forces a´erodynamiques g´en´er´ees par la rotation des pales[26, p. 2].

Par ailleurs, `a l’oppos´e des v´ehicules terrestres, les drones sont soumis `a peu de forces de frottement ; il est donc n´ecessaire que ces derniers g`erent eux-mˆemes leur freinage afin d’arrˆeter tout mouvement et se stabiliser[11, p. 1].

La commande intelligente impliquant la logique floue, les r´eseaux de neurones, etc.

est de plus en plus utilis´ee pour subvenir `a cette difficult´e de mod´elisation compl`ete des drones. Ainsi, Yasir Amir et al. ont abord´e la mod´elisation d’un drone quadrirotor et son contrˆole par r´eseau de neurone [20]. Dans le contexte de leurs r´esultats, le r´eseau de neurone a ´et´e entraˆın´e `a partir de l’inverse du mod`ele du quadrirotor. A travers les r´esultats de simulation, le r´eseau de neurone a pu g´en´erer le signal de commande n´ecessaire pour le contrˆole du drone.

Les algorithmes d’apprentissage par renforcement offrent la possibilit´e `a un syst`eme d’apprendre par lui-mˆeme en prenant des d´ecisions qui seront sanctionn´ees ou encourag´ees [27]. O. Shayegan [21] a effectu´e une investigation sur l’utilisation de l’apprentissage par renforcement dans le contrˆole de drones quadrirotor. Dans cette ´etude, le probl`eme de contrˆole a ´et´e reformul´e sous la forme d’un probl`eme de d´ecision Markovien (MDP : Markov Decision Process).

Jemin Hwangbo et al.[8] ont effectu´e le contrˆole d’un quadrirotor en simulation puis

sur drone r´eel `a base d’un r´eseau de neurone entraˆın´e `a l’aide de l’apprentissage par renforcement. Les r´esultats d´emontrent la capacit´e du drone `a effectuer des s´equences de mouvements complexes et une tr`es bonne stabilit´e (mˆeme en pr´esence de perturbations ext´erieures).

L’utilisation des drones pour une certaine application n´ecessite que leur contrˆole soit bien compris. Un drone est incapable d’ˆetre stable sans la pr´esence d’un contrˆoleur d’attitude[25]. Il est donc important d’´etablir une strat´egie de contrˆole du drone dans le but d’assurer sa stabilit´e.

1.3 Motivation

Un drone quadrirotor requiert une m´ecanique simple dans sa conception et pas de partie mobile (`a l’exception des moteurs de ce dernier). Ceci a orient´e le choix sur le type de drone sur lequel portera notre travail.

Le probl`eme de contrˆole d’un drone quadrirotor en est un `a la fois difficile et int´eressant ; celui ci n´ecessite de mod´eliser le drone et de mettre en œuvre un contrˆoleur. Ensuite vient l’´etape de la r´ealisation du drone proprement dit. Associant m´ecanique, a´eronautique,

´electronique et robotique, l’´etude du drone quadrirotor devient un sujet fascinant et per- met d’´etendre nos connaissances dans ces disciplines.

En ayant `a l’id´ee l’utilisation des drones pour des applications sp´ecifiques dans les domaines de la t´el´emesure, l’agriculture, la cartographie, etc. au B´enin, il existe sur le march´e une multitude de drones prˆets `a voler qui aurait pu ˆetre choisi. Cependant, l’id´ee est de savoir le “Comment ?” et “Pourquoi ?” de la technologie des drones afin de parvenir

`

a des solutions sp´ecifiques qui peuvent donc ˆetre ajust´ees pour correspondre `a des besoins bien pr´ecis. En effet, nous nourrissons des ambitions de d´eveloppement d’utilitaire pour le secteur agricole pour l’am´elioration de la production ; le domaine de la s´ecurit´e ; la cartographie des terrains ; etc.

Selon Adrew Ng, “AI is the new electricity” litt´eralement, l’intelligence artificielle est la nouvelle ´electricit´e. L’intelligence artificielle s’invite progressivement comme ´etant une solution alternative `a beaucoup de probl`emes ; d’ici quelques ann´ees, ce sera une comp´etence cl´e pour r´esoudre nos plus grands d´efis. L’IA a aussi sa place dans le domaine du contrˆole du point de vue d’un automaticien et ceci se justifie par les algorithmes qui y existent depuis bien longtemps. Alors, il est int´eressant d’aborder le probl`eme de contrˆole d’un drone avec une solution int´egrant l’apprentissage machine. Plus sp´ecifiquement, le

pr´esent document se focalise sur le contrˆole d’un syst`eme sous-actionn´e (cas : du drone quadrirotor) `a l’aide de l’apprentissage par renforcement.

1.4 Objectifs

Un drone, comme ´etant un syst`eme pluridisciplinaire (m´ecanique, ´electronique, in- formatique) permet la mise en œuvre des comp´etences acquises durant une formation de contrˆole de processus industriel. Son aspect mixte sollicite toutes les phases d’impl´ementation d’un syst`eme physique (mod´elisation, simulation, r´ealisation). Les objectifs vis´es dans le cadre de ce m´emoire sont ´enum´es comme suit :

— mod´eliser le comportement dynamique et a´erodynamique d’un drone quadrirotor ;

— ´elaborer d’une strat´egie optimale de commande bas´ee sur l’apprentissage machine ;

— ´elaborer l’algorithme de commande ;

— r´ealiser le drone quadrirotor.

Le pr´esent m´emoire se focalise sur les drones `a quatre h´elices souvent d´esign´es par le terme “quadrirotor” ou “drone“ pour faire simple.

L’objectif de ce travail est de r´ealiser la mod´elisation, le contrˆole et l’impl´ementation d’un drone quadrirotor. A cet effet, le document est d´ecompos´e en trois parties qui sont d´etaill´ees comme suit :

Le chapitre 1 est une introduction `a ce travaile. Il pr´esente le contexte dans lequel le travail `a ´et´e effectu´e ; met en ´evidence la probl´ematique abord´e et fixe les objectifs `a atteindre dans le cadre de ce travail apr`es une br`eve pr´esentation des motivations qui ont orient´e le choix de ce sujet.

Le chapitre 2 aborde en g´en´erale toute l’aspect mod´elisation des drones quadrirotors.

Aini ce chapitre pr´esente :

— l’´etude cin´ematique et dynamique du drone en vue de l’obtention d’un mod`ele math´ematique.

— la mod´elisation des composants du syst`eme de propulsion du drone. Il s’agit : des h´elices, des moteurs, des contrˆoleurs ´electroniques de vitesse et la batterie. Ces divers mod`eles ont permis d’effectuer une ´etude de performance du drone.

— l’´etablissement du mod`ele de contrˆole effectif du drone ;

— l’identification des diff´erents param`etres du drone (dimension, moment d’inertie, masse, etc.)

Le chapitre 3 a introduit l’apprentissage par renforcement en d´ecrivant les processus de d´ecision Markovien. Ensuite suit la description de la structure du contrˆoleur de vol du drone. Apr`es la lin´earisation du mod`ele math´ematique du drone d´efinie au chapitre 1, le contrˆoleur de vol du drone a ´et´e con¸cu bloc par bloc .

Le chapitre 4 ´etablie le mod`ele des divers capteurs utilis´es pour l’estimation d’´etat du drone ainsi que les m´ethodes de filtrages de donn´ees utilis´ees. Une description sommaire des capteurs utilis´es a ´et´e ´egalement effectu´ee ainsi que la pr´esentation de l’architecture mat´erielle et logicielle du contrˆoleur du drone. Pour finir, ce chapitre aborde le principe de la commande `a distance du drone ainsi qu’une description de la plateforme pour sa commande.

Le chapitre 5 pr´esente une synth`ese des r´esultats obtenus agr´ement´es de quelques commentaires explicatifs.

Le chapitre 6 pr´esente une synth`ese des conclusions partielles de chaque chapitre du pr´esent document.

Mod´ elisation du drone quadrirotor

2.1 Introduction

L’´elaboration d’un contrˆoleur de vol pour le drone quadrirotor requiert l’obtention d’un mod`ele de ce dernier. Le quadrirotor est constitu´e de quatre rotors tournants dont deux tournent dans le sens horaire et les deux autres dans le sens anti-horaire ; en sachant que deux moteurs cons´ecutifs tournent dans des sens contraires. Cette disposition des moteurs permet de faire d´eplacer le drone et d’´eviter un mouvement gyroscopique involontaire autour de l’axeZB (figure 2.1 page suivante).

Une mod´elisation cin´ematique et dynamique du drone quadrirotor permet de connaˆıtre les grandeurs d’influences de ce dernier et aider au contrˆole de l’engin. Le pr´esent cha- pitre commence par pr´esent´e le mod`ele alytique du drone en se basant sur le formalisme d’Euler-Newton. En vue de r´ealiser le drone, une mod´elisation de chacun de ses consti- tuants a ´et´e ´egalement abord´ee. Ainsi, une ´evaluation de performance du drone a pu ˆetre r´ealis´ee. A noter que cette ´evaluation de performance a permis de connaˆıtre les limites de fonctionnement du drone afin de bien configurer le contrˆoleur de celui-ci.

Figure 2.1 – Structure d’un quadrirotor

Ce chapitre se poursuit par une d´ecription du mod`ele de contrˆole du drone, qui consti- tue la logique `a suivre par le contrˆoleur pour mettre `a jour la vitesse de rotation de chacun des moteurs du drone. Et enfin, une identification des divers param`etres pr´esents dans les mod`eles ´elabor´es a ´et´e effectu´ee.

2.2 Mod` ele cin´ ematique et dynamique du drone quadrirotor

2.2.1 Les mouvements du quadrirotor

Un drone quadrirotor dans l’espace est assimilable `a un solide ind´eformable avec six (06) degr´es de libert´e. Il faut noter cependant que seulement quatre (04) entr´ees de commande (les moteurs) sont disponibles pour le drone ; ceci en fait un syst`eme sous- actionn´e[1].

Les mouvements de base d’un quadrirotor sont r´ealis´es en variant la vitesse de chaque rotor, de ce fait la pouss´ee est produite. Celui-ci se d´eplace dans la direction du moteur ayant la plus faible vitesse. Lorsque les quatre moteurs tournent `a la mˆeme vitesse (vitesse suffisante pour vaincre l’action de la pesanteur), le drone effectue donc un vol stationnaire.

Aucun couple ni force ne vient le d´eplacer de sa position.

Les quatre mouvements de base que peuvent effectuer un quadrirotor sont :

— mouvementvertical ;

— mouvement de roulis (mouvement de rotation autour de l’axe longitudinal X_B) ;

— mouvement de tangage (mouvement de rotation autour de l’axe transversal Y_B) ;

— mouvement de lacet (mouvement de rotation autour de l’axe verticalZ_B).

2.2.1.1 Mouvement vertical

Afin de r´ealiser un mouvement de translation suivant l’axeZ_B, tous les moteurs doivent tourner `a la mˆeme vitesse. Ainsi, la portance cr´e´ee par les quatre h´elices associ´ees aux moteurs permettent un d´eplacement du quadrirotor suivant cet axe. Les mouvements ascendant et descendant du drone sont obtenus en faisant varier la vitesse de rotation des moteurs. Lorsque la portance est sup´erieure au poids du drone alors le mouvement est ascendant. Dans le cas contraire, le mouvement est descendant.

2.2.1.2 Mouvement de roulis

Le mouvement de roulis est obtenu en augmentant (ou en diminuant) la vitesse de rotation des moteurs 3 et 2 et en diminuant (ou en augmentant) la vitesse des moteurs 1 et 4 (figure 2.1). Il conduit `a un couple qui fait tourner le quadrirotor par rapport `a l’axe X_B. L’ensemble des pouss´ees verticales est le mˆeme que celui du vol stationnaire, donc cette commande conduit seulement `a une acc´el´eration angulaire de roulis.

2.2.1.3 Mouvement de tangage

Ce mouvement est obtenu en augmentant (ou en diminuant) la vitesse de rotation des moteurs 1 et 3 puis en diminuant (ou en augmentant) la vitesse de rotation des moteurs 2 et 4 (figure 2.1). Il conduit `a un couple par rapport `a l’axe Y_B qui fait tourner le quadrirotor.

2.2.1.4 Mouvement de lacet

Le mouvement de lacet est obtenu en augmentant (ou en diminuant) la vitesse de rotation des moteurs 1 et 2 puis en diminuant (ou en augmentant) la vitesse de rotation des moteurs 3 et 4 (figure 2.1). Ce mouvement est issu du d´es´equilibre de couple au niveau des pales du quadrirotor. Le sens de ce mouvement gyroscopique est celui du binˆome-moteur pr´esentant la vitesse la plus ´elev´ee. Cette commande conduit seulement `a une acc´el´eration de l’angle de lacet.

2.2.2 Hypoth` ese de mod´ elisation

Afin d’analyser la dynamique du quadrirotor, plusieurs hypoth`eses de mod´elisation sont consid´er´ees :

— le quadrirotor est un solide ind´eformable ;

— les pales (h´elices) des moteurs sont rigides ;

— le quadrirotor est sym´etrique le long de l’axe X_B etY_B (figure 2.1) ;

— la masse et le moment d’inertie du quadrirotor sont constants ;

— Le centre de masse du quadrirotor co¨ıncide avec l’origine (O_B) du rep`ere B (figure 2.1) ;

— les axes du rep`ere B co¨ıncident avec les principaux axes d’inertie ;

— le quadrirotor est uniquement soumis `a l’action des forces de pouss´ee des h´elices et la gravit´e.

2.2.3 Mod` ele du quadrirotor dans le r´ ef´ erentiel terrestre

En se basant sur le formalisme d’Euler-Newton des ´equations d’un solide ind´eformable

`

a six (06) degr´es de libert´e, il est possible de mod´eliser un drone quadrirotor.

Soit `a consid´erer les deux rep`eres suivants :

— un rep`ere inertiel li´e `a la terre (E)

— un rep`ere inertiel li´e au quadrirotor (B)

Il est plus convenable d’´etablir le mod`ele du drone dans le rep`ere B car :

— la matrice d’inertie est ind´ependante du temps ;

— la sym´etrie du quadrirotor peut ˆetre exploit´ee pour simplifier les ´equations ;

— les mesures prises par les capteurs embarqu´es sur le drone peuvent ˆetre facilement converties dans le rep`ere qui lui est li´e (B) ;

— la commande sera donn´ee directement depuis le drone lui-mˆeme.

En consid´erant la configuration en X du drone ainsi que les travaux de T. Bresciani[3], le mod`ele cin´ematique et dynamique du drone est donn´e par les ´equations 2.1 et 2.2[3, p.

12-21].































˙

u= (v r−w q) +g s_θ

˙

v = (w p−u r)−g c_θs_φ

˙

w= (u q−v p)−g c_θs_φ+^U_m¹

˙

p= ^{IY Y}_I^−IZZ

XX q r− ^J_I^RP

XX qΩ + _I^U2

XX

˙

q= ^IZZ_I^−IXX

Y Y p r−^J_I^RP

Y Y pΩ + _I^U3

Y Y

˙

r= ^IXX_I^{−IY Y}

ZZ p q+ _I^U4

ZZ

(2.1)

J_RP le moment d’inertie d’un h´elice et du moteur associ´e, autour de leur axe de rotation ; I_XX, I_{Y Y}, I_ZZ sont les ´el´ements de la matrice d’inertie du drone ; u, v, w et p, q, r sont respectivement les ´el´ements du vecteur vitesse lin´eaire dans le rep`ere li´e au r´ef´erentiel E et du vecteur vitesse de rotation dans le rep`ere B li´e au drone.























U₁ =b (Ω²₁+ Ω²₂+ Ω²₃+ Ω²₄) U₂ =b l

√ 2

2 (Ω²₁−Ω²₂−Ω²₃+ Ω²₄) U₃ =b l

√ 2

2 (Ω²₁+ Ω²₂ −Ω²₃−Ω²₄) U₄ =d (Ω²₁−Ω²₂+ Ω²₃−Ω²₄) Ω = −Ω1+ Ω2−Ω3+ Ω4

(2.2)

Avec Ω₁[rad/s], Ω₂[rad/s] , Ω₃[rad/s] et Ω₄[rad/s] la vitesse de rotation respective des moteurs 1, 2, 3 et 4 (figure 2.1) ;l[m] la distance entre le centre des masses du quadrirotor et le centre d’une pale. U₁[N], U₂[N m], U₃[N m], U₄[N m] repr´esentent les vecteurs de mouvement.

Les coefficientsb etd (´equation 2.2) repr´esentent respectivement des constantes dans l’expression des forces a´erodynamiques de pouss´ee et de traˆın´ee.

Il est important de noter que la pr´esente mod´elisation du drone quadrirotor a ´et´e effectu´ee dans le rep`ere B qui est attach´e au drone et dont le centre O_B co¨ıncide avec le centre des masses de ce dernier.

2.2.4 Mod` ele du quadrirotor dans le r´ ef´ erentiel hybride H

Il est plus utile de d´efinir la dynamique du quadrirotor dans un r´ef´erentiel hybride compos´e des ´equations lin´eaires d´efinies dans le rep`ere terrestre E et les ´equations an- gulaires d´efinies dans le rep`ere attach´e au drone B. L’adoption de ce nouveau r´ef´erentiel

est justifi´e par le fait qu’il est plus facile d’associer l’expression de la dynamique et le contrˆole du drone dans ce dernier (en particulier la position verticale du drone dans le rep`ere terrestre E) [3]. L’´equation 2.3 repr´esente le mod`ele g´en´eralis´e du drone dans le rep`ere hybride.































X¨ = (s_ψs_φ+c_ψs_θc_φ)^U_m¹ Y¨ = (−c_ψs_φ+s_ψs_θc_φ)^U_m¹ Z¨=−g+ (c_θc_φ)^U_m¹

˙

p= ^{IY Y}_I^−IZZ

XX q r− ^J_I^RP

XX qΩ + _I^U2

XX

˙

q= ^IZZ_I^−IXX

Y Y p r−^J_I^RP

Y Y pΩ + _I^U3

Y Y

˙

r= ^IXX_I^{−IY Y}

ZZ p q+ _I^U4

ZZ

(2.3)

2.3 Mod` ele du syst` eme de propulsion

2.3.1 G´ en´ eralit´ e

La mod´elisation du syst`eme de propulsion d’un drone quadrirotor peut ˆetre d´ecompos´ee principalement en quatre (04) parties : (i) la mod´elisation des h´elices, (ii) la mod´elisation des moteurs, (iii) la mod´elisation des contrˆoleurs de vitesse et (iv) la mod´elisation de la batterie.

Cette section traite de la mod´elisation de chacune des parties du syst`eme de propulsion du drone afin de permettre une ´evaluation de performance de ce dernier. Le tableau 2.1 pr´esente les param`etres g´en´eraux du syst`eme de propulsion.

Tableau 2.1 – Param`etres du syst`eme de propulsion Composant Param`etres

H´elice Θ_p =











Diam`etre: D_p Hauteur: H_p N ombre de lame: B_p M asse: G_p

Moteur Θ_m =























Coef f icient KV : K_V0 Courant continu maximal : I_{mM ax} Courant nominal sans charge: I_m0 T ension nominal sans charge U_m0

Resistance´ R_m

M asse: G_m

Contrˆoleur de vitesse Θ_e =







Courant maximal : IeM ax

R´esistance: Re

M asse: Ge

Batterie Θ_b =



















Capacit´e: C_b

R´esistance : R_b

T ension U_b

T aux de d´echarge maximal K_b

M asse: G_b

2.3.2 Mod´ elisation d’une h´ elice

Le drone utilise des pˆales `a hauteur fixe (figure 2.2).

Figure 2.2 – H´elice `a hauteur fixe

Les performances des h´elices d´ependent principalement de la force de pouss´ee (T) et

du couple (M) qu’elles sont capables de d´evelopper. Ceux-ci s’expriment par les ´equations 2.4 et 2.5 [25, p. 73-95] :

T =ρC_T N

60 2

D_p⁴ (2.4)

M =ρC_M N

60 2

D⁵_p (2.5)

AvecN[rpm] la vitesse de rotation de l’h´elice,D_p[m] le diam`etre de l’h´elice,ρ[Kg/m³] la densit´e de l’air (d´etermin´ee suivant l’expression de l’´equation 2.6). C_T et C_M sont des coefficients adimensionnels respectivement de pouss´ee et de couple.

ρ= 273.15P_a

101325 (273.15 +T_t)ρ₀ (2.6)

Avecρ0 = 1.293Kg/m³la densit´e de l’air `a 0°C(273.15°K) ;Pa[P a: P ascal] la pression atmosph´erique ; T_t[°C] la temp´erature ambiante.

Afin de finir la mod´elisation de l’h´elice, il est n´ecessaire de d´eterminer les coefficients C_T et C_M. Ces derniers s’expriment en fonction des param`etres Θ_p de l’h´elice (d´efinie dans le tableau 2.1) , ´equation 2.7.

C_T =f_CT (Θ_p)

C_M =f_CM(Θ_p) (2.7)

Les coefficientsC_T etC_M sont d´efinis par les ´equations 2.8 et 2.9[25, p. 76 - 77] :

CT =fC_T(Θp) = 0.25π³λζ_p²BpK0

arctan_H

p

πDp

−α₀

πA+K₀ (2.8)

C_M =f_CM (Θ_p) = 1

8Aπ²C_dζ_p²λB_p² (2.9) Avec

C_d=C_{f d}+πAK₀² e





arctan _H

p

πDp

−α₀ πA+K₀





2

(2.10) Les param`etres ζ<sub>p</sub>, λ, ,e, C<sub>f d</sub> etα<sub>0</sub> rel`event des caract´eristiques physiques de l’h´elice [25, p. p. 73-95]. Pour la majorit´e des h´elices disponibles sur le march´e, on peut choisir ces coefficients comme d´efinis par le tableau 2.2[25, p. 73-95].

Tableau 2.2 – Valeurs des param`etres relevant des caract´eristiques physiques d’une h´elice Param`etres Valeurs

A 5

0.85

λ 0.75

ζ_p 0.5

e 0.83

C_{f d} 0.015

α₀ 0

K₀ 6.11

2.3.3 Mod´ elisation de moteur ` a courant continu sans balais

Le drone, comme la majorit´e des multi-copters, utilise des moteurs `a courant continu sans balais. Un moteur `a courant continu sans balais peut ˆetre mod´elis´e comme une machine `a courant continu `a aimant permanent [25, p. 73-95].

Le circuit ´equivalent du moteur est pr´esent´e `a la figure 2.3. Avec U_m[V] la tension aux bornes du moteur, I_m[A] le courant traversant le moteur, E_a[V] la force contre-

´electromotrice du moteur, R_m[Ω] la r´esistance d’armature du moteur et L_m[H] l’induc- tance d’armature du moteur. ˆI₀[A] repr´esente le courant qui traverse le moteur lorsque celui-ci tourne `a vide.Ia=Im−Iˆ0 contribue `a la production du couple ´electromagn´etique.

Afin de simplifier le mod`ele du moteur, l’inductance L_m et les effets de ce dernier durant le r´egime transitoire de la machine ne sont pas pris en compte.

Figure 2.3 – Mod`ele ´equivalent du moteur

L’objectif recherch´e dans cette section est d’obtenir un mod`ele du moteur permettant d’estimer la tension U<sub>m</sub> et le courant I<sub>m</sub> `a partir de la vitesse N du moteur (´equivalent

`

a la vitesse de l’h´elice associ´ee aux frottements pr`es), le coupleM du moteur (´equivalent au couple engendr´e par l’h´elice associ´ee) et des param`etres Θ_m du moteur. Ainsi, on peut

´ecrire les sorties du mod`ele comme d´efinies par l’´equation 2.11.

U_m =f_Um(Θ_m, M, N)

I_m =f_Im(Θ_m, M, N) (2.11) En se r´ef´erant `a [25, p. 78], on peut exprimerUm etIm par les ´equations 2.12 et 2.13.

U_m =f_Um(Θ_m, M, N) =

M K_V0U_m0

9.55 (U_m0−I_m0R_m)+I_m0

R_m+U_m0−I_m0R_m

K_V0U_m0 N (2.12) I_m =f_Im(Θ_m, M, N) = M K_V0U_m0

9.55 (U_m0 −I_m0R_m)+I_m0 (2.13)

2.3.4 Mod´ elisation de la batterie

Le mod`ele de la batterie doit permettre d’estimer le temps de volT<sub>b</sub>[min] du drone `a partir du courant de la batterie (I_b) et des param`etres g´en´eraux (Θ<sub>b</sub>) de celle-ci. Afin de g´en´eraliser le mod`ele, soitn_rle nombre de couple “moteur-contrˆoleur de vitesse”. On peut alors exprimer de fa¸con g´en´erale le courant total d´ebit´e par la batterie selon l’´equation 2.14.

I_b =n_rI_e+I_divers (2.14)

Avec I_divers[A] le courant n´ecessaire pour alimenter les autres ´equipements du drone (contrˆoleur, capteur, ...) ; I_e le courant d’entr´ee d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse (´equation 2.23).

Le processus de d´echarge de la batterie est suppos´e lin´eaire ; n´egligeant ainsi la dimi- nution de la tension de la batterie durant sa d´echarge. Alors, le mod`ele de la batterie peut ˆetre exprim´e par l’´equation 2.15.

T_b =f_Tb(Θ_b, I_b) = C_b−C_min I_b

60

1000 (2.15)

AvecC_min[mAh] la capacit´e minimum de la batterie pr´evoyant une marge de s´ecurit´e pour ´eviter la destruction de la batterie ; Cb[mAh] la capacit´e de la batterie `a pleine charge.

G´en´eralement, C_min est choisie entre 0.15C_b et 0.2C_b[25, p. 73-95].

Le courantI_b ne peut exc´eder le courant maximal que la batterie est en mesure de four- nir. Ce maximum s’exprime en fonction du taux maximal de d´echarge K_b de la batterie.

Ainsi on a :

Ib ≤ C_bK_b

1000 (2.16)

2.3.5 Mod´ elisation d’un contrˆ oleur ´ electronique de vitesse

Le contrˆoleur ´electronique de vitesse effectue la commutation du moteur `a courant continu sans balais auquel il est associ´e. C’est un ´equipement qui convertit le courant continu de la batterie en un courant alternatif triphas´e qui est synchronis´e avec la rotation du rotor de chaque h´elice.

Le contrˆoleur ´electronique de vitesse permet d’effectuer la commande du moteur auquel il est associ´e (dans les limites du possible) en fonction de la charge de ce dernier et de la tension aux bornes de la batterie. La figure 2.4 pr´esente la structure g´en´erale du mod`ele du contrˆoleur ´electronique de vitesse.

A partir des r´esultats de mod´elisation du moteur (U_m, I_m), des param`etres Θ<sub>e</sub> du contrˆoleur ´electronique de vitesse et des param`etres Θb de la batterie, le mod`ele du contrˆoleur de vitesse doit permettre d’estimer : la commande σ `a envoyer au contrˆoleur

´electronique de vitesse, la tension d’entr´ee U_e[V] ainsi que le courant d’entr´ee I_e[A] du contrˆoleur de vitesse. L’´equation 2.17 met en ´evidence les sorties du mod`ele.

σ est une grandeur adimensionnelle dont la valeur varie entre 0 et 1.

σ =f_σ(Θ_e, U_m, I_m, U_b) I_e=f_Ie(σ, I_m) U_e=f_Ue(Θ_b, I_e)

(2.17)

Figure 2.4 – Mod`ele d’un contrˆoleur ´electronique de vitesse

D’apr`es la figure 2.4, on a :

U_eo =U_m+R_eI_m (2.18)

AvecR_e la r´esistance interne du contrˆoleur ´electronique de vitesse.

La commande du contrˆoleur de vitesse peut s’exprimer par l’´equation 2.19 [25, p.

73-95]

σ = U_eo

U_e ≈ U_eo

U_b (2.19)

En respectant la conservation de puissance, on peu ´ecrire :

I_e =σI_m, I_e≤I_{eM ax} (2.20)

U_e=U_b−I_bR_b (2.21)

AvecI_b[A] le courant d´ebit´e par la batterie.

Le mod`ele du contrˆoleur ´electronique de vitesse peut ˆetre r´esum´e comme exprim´e par les ´equations 2.22, 2.23 et 2.24.

σ=f_σ(Θ_e, U_m, I_m, U_b) = U_m+R_eI_m

U_b (2.22)

I_e=f_Ie(σ, I_m) =σI_m (2.23)

U_e =f_Ue(Θ_b, I_e) = U_b−R_bI_b (2.24)

2.3.6 Evaluation de performance du drone ´

Afin d’´evaluer les performances du drone, consid´erons les param`etres tels que d´efinis dans le tableau 2.3.

2.3.6.1 Vol stationnaire

Enonc´´ e L’objectif de cette ´evaluation est d’estimer en mode de vol stationnaire :

— la dur´ee T_h du mode stationnaire ;

— la commande σ du contrˆoleur ´electronique de vitesse ;

Tableau 2.3 – Param`etres g´en´eraux de mod´elisation Environnement {T_t = 32°C; P_a = 100551P a}

Param`etres g´en´eraux {G= 444g; n_r = 4}

Composants

Θ_p ={D_p = 12.7cm; H_p = 11.43cm; B_p = 2; G_p = 4.25g}

Θ_m ={K_V0 = 2400rmp/V; I_{mM ax} = 6.5A; R_m = 0.05Ω}

{I_m0 = 0.6A; U_m0 = 11.1V; G_m = 18g}

Θ_e={I_{eM ax} = 16A; R_e = 0.008Ω; G_e= 6g}

Θ_b ={C_b = 1800mAh; R_b = 0.1Ω; U_b = 12.61V; K_b = 30C;} {G_b = 144g}

Autres param`etres

A = 5; = 0.85; λ= 0.75 ζ = 0.5; e = 0.83 C_{f d} = 0.015, α₀ = 0, K₀ = 6.11 C_min = 0.2C_b

I_divers = 1A

— le courant I_e et la tensionU_e d’entr´ee du contrˆoleur de vitesse ;

— le courant I_b d´ebit´e par la batterie ;

— la vitesse N d’un moteur Solution

En mode stationnaire, la somme des forces de pouss´ee produite par les h´elices doit ˆetre au moins ´egale au poids du drone. Alors, chaque moteur doit d´eployer une force de pouss´ee ´equivalente `a :

T = 9.81G

1000n_r (2.25)

AvecG[g] la masse du drone en gramme (d´efinie dans le tableau 5.1).

Il est alors possible d’exprimer la vitesse et le couple a´erodynamique cr´ee par une h´elice `a partir des ´equations 2.4 et 2.5.

N = 60

s T

ρD_p⁴C_T (2.26)

M =ρD⁵_pC_M N

60 2

(2.27) Les r´esultats de cette ´evaluation de performance sont r´esum´es dans le tableau 5.1.

2.3.6.2 Commande maximale Enonc´´ e

Lorsque la commande du contrˆoleur de vitesse est au maximum (σ = 1), d´eterminons :

— le courant I_e et la tensionU_e d’entr´ee du contrˆoleur de vitesse ;

— le courant I_b d´ebit´e par la batterie ;

— la vitesse d’un moteur ;

— le rendement du syst`eme Solution

Lorsque la commande du contrˆoleur de vitesse est maximale (σ = 1), la tension aux bornes du moteur est `a son maximum. Afin de mener cette ´evaluation de performance, il faut d´eterminer en premier lieu I_m, U_m, N et M en r´esolvant le groupe d’´equation non lin´eaire de l’´equation 2.28. Une m´ethode de r´esolution num´erique it´erative (m´ethode de Newton) a ´et´e adopt´ee dans le cas pr´esent.

f_σ(Θ_e, U_m, I_m, U_b) = 1 M −ρD_p⁵C_M ^N₆₀2

= 0 U_m−f_Um(Θ_m, M, N) = 0

Im−fIm(Θm, M, N) = 0

(2.28)

A partir de la solution de l’´equation 2.28, il faut d´eterminerI_e,U_eetI_b comme indiqu´es par l’´equation 2.29.

I_e =f_Ie(1, I_m) I_b =n_rI_e+I_divers

U_e =f_Ue(Θ_b, I_b)

(2.29)

Le rendement du syst`eme est donn´e par l’´equation 2.30 η=

2π

60n_rM N UbIb

(2.30) La synth`ese des r´esultats de cette ´evaluation de performance est pr´esent´ee dans le tableau 5.2.

2.3.6.3 Mode de translation avant Enonc´´ e

Lorsque le drone effectue un d´eplacement vers l’avant, d´eterminons :

— la charge maximaleGmax qu’il peut transporter ;

— l’inclinaison maximaleθmax du drone.

Solution

Figure 2.5 – D´eplacement avant du drone

Afin de garantir une marge suffisante de contrˆole, cette ´evaluation de performance a

´et´e effectu´ee avec une commande du contrˆoleur ´electronique de vitesse σ= 0.8.

A partir des ´equations 2.22, 2.5 et 2.11, on ´etablit le syst`eme d’´equation d´efini par 2.31. La force de pouss´ee correspondante `a ce mode de vol a ´et´e d´etermin´ee `a partir de l’´equation 2.4.

fσ(Θe, Um, Im, Ub) = 0.8 M −ρD_p⁵CM N

60

2

= 0 U_m−f_Um(Θ_m, M, N) = 0

I_m−f_Im(Θ_m, M, N) = 0

(2.31)

Ainsi, la charge maximale que peut embarquer le drone est donn´ee par l’´equation 2.32.

G_max =n_rT_max

9.81 −G (2.32)

Avec T_max[N] la force de pouss´ee engendr´ee par une h´elice `a la vitesse maximale du moteur associ´e.

L’inclinaison maximale du drone est exprim´ee par l’´equation 2.33 (figure 2.5).

θ_max =arcos

9.81G n_rT_max

(2.33)

2.3.6.4 Vitesse et distance maximale Enonc´´ e

En consid´erant le mode de translation avant du drone, estimons la vitesse maximale de d´eplacement du drone ainsi que la distance maximale qu’il peut parcourir.

Solution

Afin de d´eterminer la vitesse maximale et la distance maximale que peut atteindre le drone, exprimons la vitesse du drone ainsi que la distance qu’il peut parcourir.

D’apr`es la figure 2.5, l’´equation des forces `a l’´equilibre du drone durant un vol hori- zontal vers l’avant s’exprime par :

F_drag =G tan(θ) T = _n ^G

rcos(θ)

(2.34) AvecF_drag[N] la force de traˆın´ee agissante sur le drone durant son d´eplacement.

La force de traˆın´ee s’exprime ´egalement par l’´equation 2.35 [25, p. 85].

Fdrag = 1

2CDρV²S (2.35)

Avec V[m/s] la vitesse du drone, S[m²] l’aire de la section maximale du drone qui s’oppose au d´eplacement d’air etC_D le coefficient de traˆın´ee du drone li´e `a l’inclinaisonθ de ce dernier. En consid´erant que θ varie de 0 `a 90°, le coefficient C_D peut s’exprimer par l’´equation 2.36 [25, p. 85].

C_D =C_D1

1−sin³(θ)

+C_D2

1−cos³(θ)

(2.36) AvecC_D1 etC_D2 les coefficients de traˆın´ee lorsque θ vaut respectivement 0°et 90° A partir des ´equations 2.34, 2.35 et 2.36, la vitesse de d´eplacement du drone en fonction de son inclinaisonθ est exprim´ee par l’´equation 2.37.

V (θ) = s

2G tan(θ)

ρS(C_D1[1−sin³(θ)] +C_D2[1−cos³(θ)]) (2.37) En se r´ef´erant aux ´equations 2.4 et 2.34, la vitesse de rotation du moteur s’exprime par l’´equation 2.38.

N = 60

s G

ρC_TD⁴_pn_rcos(θ) (2.38)