Réalisation de la commande par mode glissant d’un hacheur série pour le contrôle de la vitesse d’un moteur à courant continu.

UNIVERSITÉ D’ABOMEY-CALAVI

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY- CALAVI

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DÉPARTEMENT DE GÉNIE ÉLECTRIQUE

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Option : Contrôle de processus industriels

Mémoire de fin de formation pour l’obtention du diplôme d’ingénieur de conception

Thème

Réalisation de la commande par mode glissant d’un hacheur série pour le contrôle de la vitesse d’un moteur à courant continu.

Réalisé par : SOUROU Apap Gnon-in

Directeur de mémoire : Encadreur : Dr. HOUNGAN Comlan Aristide Dr. AGBOKPANZO Richard Gilles

Maître de conférences/CAMES Maître Assistant/CAMES

Soutenu le 31/05/2019 devant le jury composé de : Dr. HOUNGAN K. Théophile, Enseignant à l’EPAC, Président.

Dr. AGBOKPANZO Richard G., Enseignant à l’ENSET, Encadreur.

Dr. MONTEIRO Léonard, Enseignant à l’EPAC, Examinateur.

Dr. HOUNKPE HOUENOU Gervais, Enseignant à l’ENSET, Examinateur.

Année académique 2017 – 2018 11^ième Promotion

Dédicaces

« Mille débuts ne valent pas une fin. » a dit Henri-Frédéric Amiel. Or nous voici justement à une fin. Ainsi, je dédie ce travail :

 A mes chères mère et sœur Damienne AFFO et Doriane SOUROU,

 A mon père Bertin SOUROU,

 A mon précieux ami Rodolphe AKA,

 A mes confrères Déo-gratias AYILO, Amédée GANYE, Romancia GODONOU, Jacques AKOUEIKOU et Oura RADJI et à toute ma famille.

Remerciements

Certaines personnes ont particulièrement aidé à la réalisation de ce travail.

Les remercier nous apparaît donc très justifié pour l’énergie investie. Nous adressons ainsi nos remerciements à l’endroit :

 du Professeur Alain G. ALITONOU, Directeur de l’EPAC et son administration,

 du Dr. Théophile HOUNGAN, Chef de Département de Génie Electrique de l’EPAC, pour sa rigueur et ses multiples conseils,

 de l’Ingénieur Gabin DIDAVI, Directeur Adjoint de l’Ecole de Génie Electrique Et Informatique de l’UCAO-UUC, pour nous avoir autorisé l’accès au laboratoire de Génie Electrique,

 de l’Ingénieur Audace B. K. DIDAVI, Enseignant à UCAO, pour ses précieux conseils et son soutien,

 du Dr. Adéyèmi A. DJOSSOU, Directeur Général Adjoint de la Nouvelle Presse Industrie Graphique, pour l’accompagnement,

 du Dr. Aristide Comlan HOUNGAN, notre Maître de mémoire, pour son soutien et ses recommandations,

 du Dr. Richard Gilles AGBOKPANZO, notre Maître-encadreur, pour le goût de la matière qu’il a su nous communiquer,

 du Dr. Maurel AZA-GNANDJI, Enseignant à l’EPAC, pour son soutien matériel,

 de nos camarades et amis de la 11^ième promotion d’Ingénieurs de conception et de nos aînés de la 10^ième promotion pour leur soutien et l’ambiance conviviale durant le parcours,

 ainsi qu’à tous ceux qui de près ou de loin nous ont aidé d’une manière ou d’une autre pour la réalisation de ce travail.

Table des matières

Dédicaces ... i

Remerciements ... ii

Table des matières ... iii

Liste des abréviations ... v

Liste des figures ... vi

Liste des tableaux ... ix

Résumé ... x

Abstract ... x

Introduction générale ... 1

CHAPITRE 1: Revue de littérature ... 3

1.1 Introduction ... 3

1.2 Commande à structure variable par mode glissant ... 3

1.3 Calcul d’une commande discrète par mode glissant ... 11

1.4 Convertisseur continu-continu abaisseur ... 13

1.5 Moteur à courant continu à excitation séparée ... 20

1.6 Microcontrôleur ... 23

1.7 Présentation de MATLAB ... 26

1.8 Présentation de SIMULINK ... 26

1.9 Présentation de PROTEUS ... 27

1.10 Notion de robustesse ... 27

1.11 Conclusion ... 28

CHAPITRE 2: Méthodologie adoptée ... 29

2.1 Introduction ... 29

2.2 Calcul de la commande continue ... 29

2.3 Simulation et choix des paramètres de la commande sous MATLAB ... 33

2.4 Tests de robustesse sous SIMULINK ... 37

2.5 Calcul de la commande discrète ... 38

2.6 Implémentation de la commande grâce au microcontrôleur AVR ATmega328p ... 42

2.7 Choix des composants du hacheur série ... 46

2.8 Simulation et dimensionnement de la commande discrète sous VSM PROTEUS ... 49

2.9 Conclusion ... 52

CHAPITRE 3: Résultats et discussion ... 53

3.1 Introduction ... 53

3.2 Présentation et discussion des résultats obtenus ... 53

3.3 Performances du système physique ... 58

3.4 Conclusion ... 60

Conclusion générale ... 61

Références bibliographiques ... 62 Annexes ... I Annexe A Détails des blocs CMG et BUCK sous SIMULINK ... I Annexe B Extraits des datasheets des commutateurs du hacheur ... II Annexe C Résultats obtenus par H. Guldemir ... III Annexe D Résultats obtenus par A. Ahmed ... IV

Liste des abréviations

A

AVR : Terme utilisé par le fabricant Atmel pour désigner le cœur du processeur et la famille des microcontrôleurs qui le mettent en œuvre

C

CAN : Convertisseur Analogique- Numérique

CMG : Commande par Mode Glissant

CNA : Convertisseur Numérique- Analogique

CPU : Central Processing Unit

M M

MC : Mode de Convergence

MLI : Modulation en Largeur d’Impulsion

MG : Mode de Glissement

MRP : Mode de Régime Permanent P

PID : Proportionnel Intégral Dérivée PWM : Pulse Width Modulation R

RAM : Random-access Memory ROM : Read Only Memory S

SMC : Sliding Mode Control

Liste des figures

Figure 1.1 Etapes de la convergence par mode glissant dans le plan de phase ... 5

Figure 1.2 Démonstration du mode de glissement ... 6

Figure 1.3 Convergence du système glissant vers l’état désiré ... 8

Figure 1.4 Commande équivalente et commande réelle ... 10

Figure 1.5 Fonction « signe » ... 11

Figure 1.6 (a) Convertisseur continu-continu série, (b) Tension hachée à l’émetteur de Q1. ... 14

Figure 1.6 (b) Tension hachée à l’émetteur de Q1 ... 15

Figure 1.7 Courant traversant l’inductance ... 16

Figure 1.8 Courants traversant l’inductance et le condensateur ... 18

Figure 1.9 Fonctionnement d’un moteur à courant continu ... 21

Figure 1.10 Moteur à courant continu à excitation séparée ... 22

Figure 1.11 Couple et puissance du moteur en fonction de la vitesse ... 22

Figure 1.12 Diagramme bloc d’un microcontrôleur ... 23

Figure 2.1 Schéma bloc sous SIMULINK ... 34

Figure 2.2 Configuration des paramètres de simulation ... 37

Figure 2.3 Circuit simulé sous Proteus ... 50

Figure 2.4 Simulation de la commande discrète sous PROTEUS ... 51

Figure 2.5 Schéma synoptique de l’ensemble ... 51

Figure 2.6 Photo de l’ensemble du système ... 52

Figure 3.1 (a) Trajectoires de phase du système pour la CMG et le PID ... 54

Figure 3.1 (b) Courbes de poursuite de la consigne par le système pour la CMG et le PID ... 62

Figure 3.1 (c) Courbes d’erreur du système pour la CMG et le PID ... 62

Figure 3.2 (a) Trajectoires de phase du système pour la CMG et le PID quand la tension d’entrée chute de 50% ... 55

Figure 3.2 (b) Courbes de poursuite de la consigne par le système pour la CMG et le PID quand la tension d’entrée chute de 50% ... 63 Figure 3.2 (c) Courbes d’erreur du système pour la CMG et le PID quand la tension d’entrée chute de 50% ... 63 Figure 3.3 (a) Trajectoires de phase du système pour la CMG et le PID quand l’inductance chute de 50% ... 56 Figure 3.3 (b) Courbes de poursuite de la consigne par le système pour la CMG et le PID quand l’inductance chute de 50% ... 64 Figure 3.3 (c) Courbes d’erreur du système pour la CMG et le PID quand

l’inductance chute de 50% ... 64 Figure 3.4 (a) Trajectoires de phase du système pour la CMG et le PID quand la résistance de sortie chute à 20Ω ... 57 Figure 3.4 (b) Courbes de poursuite de la consigne par le système pour la CMG et le PID quand la résistance de sortie chute à 20Ω ... 65 Figure 3.4 (c) Courbes d’erreur du système pour la CMG et le PID quand la résistance de sortie chute à 20Ω ... 65 Figure 3.5 Courbes des tensions à l’émetteur du transistor et à la sortie du

hacheur ... 59 Figure A.1 Vue interne du bloc BUCK sous SIMULINK ... I Figure A.2 Vue interne du bloc CMG sous SIMULINK ... I Figure C.1 Allure de la tension de sortie lorsque la tension de référence varie de 10V à 20V à t=2,5ms ... III Figure C.2 Allure de la tension de sortie lorsque la tension d’entrée augmente de 50% (12V à 18V) à t=2,5ms ... III Figure C.3 Allure de la tension de sortie lorsque la résistance de sortie décroît de 5Ω à 2,5Ω à t=2,5ms ... IV Figure C.4 Allure de la tension de sortie lorsque la résistance de sortie croît de 5Ω à 10Ω à t=2,5ms ... IV

Figure D.1 Allure des vitesses suite à une variation soudaine du couple de la charge ... IV Figure D.2 Allure des vitesses suite à une variation du moment d’inertie ... V

Liste des tableaux

Tableau 2.1 Valeurs des paramètres du modèle du hacheur ... 35

Tableau 2.2 Paramètres utilisés pour les commandes CMG et PID ... 36

Tableau 2.3 Modes de fonctionnement du Timer 1 de l’AVR ATmega328P ... 43

Tableau 2.4 Facteurs de pré-division du Timer 1 ... 43

Tableau 2.5 Mode d’opérations du Timer 2 ... 45

Tableau 2.6 Facteurs de pré-division du Timer 2 ... 46

Tableau 2.7 Types de basculement ... 46

Tableau 2.8 Valeurs des paramètres considérés pour le choix du transistor ... 47

Tableau 2.9 Valeurs des paramètres considérés pour le choix de l’optocoupleur ... 47

Tableau 2.10 Valeurs des paramètres considérés pour le choix de la diode ... 47

Tableau 2.11 Valeurs des composants du filtre ... 48

Tableau 2.12 Valeurs des paramètres retenus pour la commande discrète ... 51

Tableau 3.1 Quelques tensions de sortie du hacheur pour des tensions de consigne données ... 59 Tableau B.1 Extrait du datasheet du transistor TIP 122 ... II Tableau B.2 Extrait du datasheet de l’optocoupleur PC817 ... II Tableau B.3 Extrait du datasheet de la diode 1N4001 ... III

Résumé

Ce travail vise à synthétiser une commande à structure variable par mode glissant pour asservir un hacheur série afin de faire varier la vitesse d’un moteur à courant continu. Le travail a donc consisté à calculer et à implémenter la commande sur un microcontrôleur AVR puis à réaliser le hacheur série. Des simulations ont été effectuées sous SIMULINK et PROTEUS ainsi que des tests sur le système physique pour vérifier la convergence et comparer la robustesse de la commande à celle du PID. Les résultats obtenus ont montré que la commande synthétisée converge effectivement et affiche une robustesse supérieure à celle du PID. Nous avons, par ailleurs, constaté que le système commandé par mode glissant est particulièrement sensible à la variation de certains paramètres du modèle du hacheur série. Des travaux supplémentaires pourraient être menés pour expliquer cette hétérogénéité de la robustesse.

Mots-clés : Commande par mode glissant, hacheur série, moteur à courant continu, robustesse, AVR.

Abstract

This paper aims to control a Buck converter by a Sliding Mode Controller (SMC) in order to control the speed of a DC motor. The work has then consisted in designing the controller and implementing it in an AVR microcontroller. Some simulations under SIMULINK, PROTEUS and on the physical system have be done to check its convergence. We’ve then done simulations under SIMULINK in order to compare SMC’s robustness to PID’s. Results have shown the designed SMC to converge and to be more robust than PID. We’ve remarked that the robustness of the SMC is widely variable from one noised parameter in the Buck converter model to another. Complementary work can be done to explain this variation of the robustness offered by the SMC.

Key-words : Sliding mode control, buck converter, robustness, AVR.

Introduction générale

Les hacheurs sont très abondants aujourd’hui et offrent des solutions efficaces pour une large gamme d’application. Ces convertisseurs peuvent être trouvés dans les alimentations et les chargeurs de batterie d’ordinateurs, d’appareils électriques, des tablettes électroniques, des smartphones, des voitures et un nombre incalculable d’autres appareils.

Par ailleurs, les lois de commande classique du type PID sont très efficaces dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants [1]. Pour des systèmes non linéaires ou des systèmes linéaires dont les paramètres peuvent être sujets à de grandes variations, ces lois de commande peuvent être insuffisantes car elles ne sont pas assez robustes surtout lorsque les exigences sur la précision et la rapidité du système sont strictes comme c’est souvent le cas en milieu industriel.

Des lois de commandes insensibles aux variations des paramètres, aux perturbations et aux non linéarités sont alors nécessaires. La commande à structure variable par mode glissant constitue une solution à ce problème.

Ce travail applique la commande à structure variable par mode glissant implémentée par un microcontrôleur AVR au hacheur série. Un moteur à courant continu à excitation séparée constituera la charge du hacheur. Il sera ainsi possible de varier la vitesse de rotation du moteur en variant la tension de consigne du hacheur. L’asservissement fait ici ne prend donc pas en compte le modèle du moteur ni sa vitesse de rotation.

L’intérêt de la commande à structure variable par mode glissant réside dans la robustesse qu’elle offre. Cette caractéristique s’avérant en effet particulièrement nécessaire en milieu industriel.

L’objectif visé est de synthétiser une commande à structure variable par mode glissant convergente, de montrer qu’elle présente une robustesse supérieure

à celle du PID puis de réaliser l’asservissement du hacheur série grâce à la commande par mode glissant.

Ainsi, dans un premier temps, la commande continue a été calculée puis dimensionnée sous l’environnement MATLAB. Des tests de robustesse ont été effectués sur le système commandé par mode glissant puis par PID sous SIMULINK. La commande a été, dans un second temps, discrétisée et implémentée en programme AVR puis testée sous l’environnement PROTEUS.

Enfin, nous avons réalisé le hacheur série et mis en place l’asservissement par la commande discrète implémentée.

CHAPITRE 1

Revue de littérature

1.1 INTRODUCTION

Dans cette étude, nous nous intéressons principalement à la commande par mode glissant en un premier temps puis au hacheur série dans un second temps.

Bien des travaux ont été déjà menés sur ces deux concepts. Pour le mode glissant nous nous sommes concentrés sur le principe, l’élaboration de la commande et sa discrétisation, l’élimination du phénomène de broutement n’étant pas prise en compte. Quant au hacheur série, nous présentons la théorie classique, celle abordant son fonctionnement et son dimensionnement. Nous abordons enfin, le moteur à courant continu à excitation séparée, le microcontrôleur et les logiciels utilisés pour la réalisation de ce travail.

1.2 COMMANDE À STRUCTURE VARIABLE PAR MODE GLISSANT 1.2.1 PRÉSENTATION DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT

La commande à structure variable par régime glissant apparue depuis le début des années 60, grâce aux résultats théoriques du mathématicien A.F.

FILIPPOV [1] est une commande non linéaire qui est basée sur l’utilisation d’un terme discontinu. A cause des problèmes de broutements et de réalisation, la structure variable a attendu la fin des années 70 pour connaître sa réapparition et son épopée. Ceci est dû à l’avancée de l’électronique et de l’informatique, étant donné que cette commande est basée sur la commutation de haute fréquence pour un meilleur régime glissant [1].

1.2.2 PRINCIPES DE LA COMMANDE À STRUCTURE VARIABLE PAR MODE GLISSANT

Un système à structure variable est un système dont la structure change selon son fonctionnement. Il est caractérisé par un choix de fonction et une logique de commutation. Ce choix permet de commuter d'une structure à une autre à tout instant. De plus, un tel système peut avoir de nouvelles propriétés qui n'existent pas dans chaque structure [2].

La technologie des modes glissants consiste à amener l’état du système à partir d’un état initial quelconque vers une surface de glissement dans l’espace de phase. Puis à l'aide d’une logique de commutation appropriée, elle oblige de rester sur cette surface jusqu’à l’origine de l’espace de phase, le point d’équilibre du système, d’où le phénomène de glissement. Ce mode de glissement est souvent qualifié d’idéal du fait qu’il requiert pour exister, une fréquence de commutation infiniment grande.

De fait, tout système de commande comprend des imperfections telles que des retards, l’hystérésis, qui imposent une fréquence de commutation finie. La trajectoire d’état oscille alors dans un voisinage de la surface de glissement, phénomène appelé « chattering » ou broutement.

La trajectoire dans le plan de phase est consistuée de trois parties distinctes comme indiqué à la figure 1.1 :

Figure 1.1 Etapes de la convergence par mode glissant dans le plan de phase

1.2.2.1 Le mode de convergence (MC)

C’est le mode durant lequel la variable à régler se déplace à partir de n'importe quel point initial dans le plan de phase et tend vers la surface de commutation. Il peut être plus ou moins long suivant les valeurs des paramètres de la commande.

1.2.2.2 Le mode de glissement (MG)

C’est le mode durant lequel la variable d'état a atteint la surface de glissement et tend vers l'origine du plan de phase. La dynamique de ce mode est caractérisée par la détermination de la surface de glissement [2]. Il existe lorsque les commutations ont lieu continûment entre deux limites umax et umin autour de la surface de glissement. Ce phénomène est démontré à l’aide de la figure 1.2. Le trait mixte représente la surface de commutation.

Figure 1.2 Démonstration du mode de glissement

Il y a donc un mouvement continu à l’intérieure de la zone de l’hystérèse autour de la surface de glissement jusqu’au régime permanent.

1.2.2.3. Le mode du régime permanent (MRP)

Ce mode est ajouté pour l'étude de la réponse de système autour de son point d’équilibre (origine du plan de phase). Il est caractérisé par la qualité et les performances de la commande [2].

1.2.3 CONCEPTION DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT

La conception de la commande peut être effectuée en trois étapes principales très indépendantes l'une de l'autre [3] :

- le choix de la surface,

- l’établissement des conditions d'existence et - la détermination de la loi de commande.

1.2.3.1 Choix de la surface de glissement

Pour un système linéaire, la surface de glissement est une fonction scalaire telle que la variable à régler glisse sur cette surface et tend vers l'origine du plan de phase.

On définit la fonction de commutation par [4] : 𝑠(𝑥) = (^𝑑

𝑑𝑥 + 𝐾)^𝑟−1𝑒(𝑥)    (1.1) Avec

e(x) : l'écart entre la variable à régler et la référence ; K: une constante positive ;

r : un degré relatif qui représente le nombre de fois qu'il faut dériver s(x) pour faire apparaître la commande et

(^𝑑

𝑑𝑥 + 𝐾)^𝑟−1 : un opérateur.

La fonction de commutation exprime la distance qui sépare l’état courant du système de la surface de glissement. La surface de glissement se décrit donc mathématiquement par s(x)=0.

L'objectif de la commande est de maintenir s(x)=0. Cette dernière est une équation différentielle linéaire dont l'unique solution est e(x)0. Ceci revient à un problème de poursuite de trajectoire qui est équivalent à une linéarisation exact de l'écart tout en respectant la condition de convergence.

1.2.3.2 Condition de convergence et d’existence

La condition d’existence et de convergence est le critère qui permet aux différentes dynamiques de converger vers la surface de glissement et d’y rester indépendamment de la perturbation. On représente la convergence du système par le mode de glissement d’après la figure 1.3 où xd désigne l’état désiré [5] :

Figure 1.3 Convergence du système glissant vers l’état désiré

Elle est proposée et étudiée par EMELYANOV et UTKIN. Elle porte sur la fonction de commutation s(x). Il s'agit ici de donner à la surface une dynamique convergente vers zéro. Elle s’obtient grâce à la fonction de LYAPUNOV. En effet, la condition d’existence et de convergence stipule que la fonction de LYAPUNOV doit être décroissante.

La fonction de LYAPUNOV est définie comme suit [6]:

𝑉(𝑥) =¹

2𝑠²(𝑥) (1.2) Sa dérivée est :

𝑉^′(𝑥) = ¹

2𝑠(𝑥)𝑠′(𝑥) (1.3) Pour que la fonction V(x) puisse décroître, il suffit d'assurer que sa dérivée soit négative.

Ceci n'est vérifié que si la condition (1.4) est vérifiée.

𝑠′(𝑥)𝑠(𝑥) < 0 (1.4) Cette condition peut être formulée comme suit :

{𝑠^′(𝑥) > 0 𝑠𝑖 𝑠(𝑥) < 0

𝑠^′(𝑥) < 0 𝑠𝑖 𝑠(𝑥) > 0 (1.5) Elle exprime que le carré de la distance entre un point donné du plan de phase et la surface de glissement exprimée par s²(x) diminue tout le temps, contraignant la trajectoire du système à se diriger vers la surface à partir des deux

côtés de cette dernière. Cette condition suppose un régime glissant idéal où la fréquence de commutation est infinie [6].

1.2.3.3 Calcul de la commande

L'obtention d'un régime de glissement suppose une commande discontinue.

La surface de glissement devrait être attractive des deux côtés. De fait, si cette commande discontinue est indispensable, il n'empêche nullement qu'une partie continue lui soit ajoutée. En présence d'une perturbation, la partie discontinue a essentiellement pour but de vérifier les conditions d'attractivité. De ce qui précède, la structure d'un correcteur par mode de glissement est constituée de deux parties, une équivalente (ueq) et l'autre stabilisante (un).

𝑢 = 𝑢_𝑒𝑞 + 𝑢_𝑛 (1.6) ueq : la commande proposée par FILIPPOV. Elle sert à maintenir la variable à contrôler sur la surface de glissement s(x)0. La commande équivalente est déduite de l’annulation de la dérivée de la surface de glissement.Elle peut être interprétée comme étant un retour d'état particulier jouant le rôle d'un signal de commande appliqué sur le système à commander [7]. Elle peut être aussi interprétée comme étant une valeur moyenne que prend la commande lors de la commutation rapide entre les valeurs umax et umin [8].

un : est la commande discontinue. Elle est déterminée pour vérifier la condition de convergence.

1.2.3.3.1 La commande équivalente

Soit un système linéaire décrit par l'équation différentielle suivante :

𝑥^′(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (1.7) La dérivée de la fonction de commutation s’obtient :

𝑠^′(𝑥) =^𝜕𝑠

𝜕𝑡 = ^𝜕𝑠

𝜕𝑥.^𝜕𝑥

𝜕𝑡 (1.8) En remplaçant (1.6), (1.7) dans (1.8), on trouve:

𝑠^′(𝑥) = ^𝜕𝑠

𝜕𝑡 = ^𝜕𝑠

𝜕𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵𝑢_𝑒𝑞) +^𝜕𝑆

𝜕𝑥(𝐵𝑢_𝑛) (1.9)

Durant le mode de glissement et le régime permanent, la fonction de commutation est nulle et par conséquent sa dérivée et la partie discontinue sont aussi nulles, d’où on déduit l'expression de la commande équivalente :

𝑢_𝑒𝑞 = −(^𝜕𝑠

𝜕𝑥𝐵)^{−1 𝜕𝑠}

𝜕𝑥𝐴 (1.10) Pour que la commande équivalente puisse prendre une valeur finie, il faut que ^𝜕𝑠

𝜕𝑥𝐵 ≠ 0. La commande équivalente est interprétée physiquement comme étant une fonction continue représentant la moyenne des commutations successives de u entre umax et umin d’où la condition [3]:

𝑢_𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑢_𝑒𝑞 ≤ 𝑢_𝑚𝑎𝑥 (1.11) La figure 1.4 schématise cette condition :

Figure 1.4 Commande équivalente et commande réelle

1.2.3.3.2 La commande discontinue

Plusieurs choix pour la commande discontinue un peuvent être faits. Le plus simple consiste à exprimer la commande discontinue un [u1,u2,....,um] avec la fonction « signe » par rapport à s [s1, s2,...,sm ] :

𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠(𝑥, 𝑡)) = {

1 𝑠𝑖 𝑠 > 0 0 𝑠𝑖 𝑠 = 0

−1 𝑠𝑖 𝑠 < 0

(1.12) Elle s’exprime donc :

𝑢_𝑛 = 𝑃. 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) (1.13)

Où P est un gain positif ou négatif.

La fonction discontinue signe est représentée sur la figure suivante :

Figure 1.5 Fonction « signe »

La valeur choisie pour le paramètre P est cruciale puisqu’elle fait apparaître ou non le principal défaut de la commande par mode glissant. En effet, si P est très petit, le temps de réponse sera long et si P est très grand, le temps de réponse sera court mais des oscillations indésirables risquent d'apparaître (couramment appelées « chattering » ou broutement) sur la droite de glissement.

Des techniques mises au point pour atténuer l’amplitude du phénomène sont présentes dans la littérature. Elles proposent généralement des fonctions continues comme alternative à la fonction « signe ». Mais nous ne nous attarderons pas ici, sur ces techniques. Nous prendrons soin de choisir des valeurs non trop grandes pour le paramètre P afin de ne pas faire apparaître le broutement et ceci au détriment d’un temps de réponse plus long certes. En effet, lors de la discrétisation de la commande, les alternatives à la fonction « signe » proposées alourdissent drastiquement les calculs à effectuer d’où le choix.

La commande devant être implémentée sur microcontrôleur, nous verrons comment obtenir une commande discrète.

1.3 CALCUL D’UNE COMMANDE DISCRÈTE PAR MODE GLISSANT La commande équivalente de la commande ne subit pas de modification.

Par contre, la condition d’attractivité de la surface de glissement qui a permis de

déterminer la commande discontinue précédemment n’est plus utilisable pour le calcul de la commande discrète.

1.3.1 CONDITION DE CONVERGENCE DISCRÈTE D’EMELYANOV ET D’UTKIN

La forme équivalente de la condition d’EMELYANOV et d’UTKIN s’écrit :

(𝑠(𝑘 + 1) − 𝑠(𝑘))𝑠(𝑘) < 0 (1.14) Il a été cependant montré que cette condition n’est pas suffisante pour l’existence d’un mode glissant discret. Une nouvelle condition suffisante a été donnée dans [9] :

|𝑠(𝑘 + 1)| < |𝑠(𝑘)| (1.15) Elle peut se réécrire comme suit :

⋁

{|𝑠(𝑘)| > 0 ⋀ 0 < 𝑠(𝑘 + 1) < 𝑠(𝑘) } {|𝑠(𝑘)| > 0 ⋀ −𝑠(𝑘) < 𝑠(𝑘 + 1) < 0 } {|𝑠(𝑘)| < 0 ⋀ 0 < 𝑠(𝑘 + 1) < −𝑠(𝑘) } {|𝑠(𝑘)| < 0 ⋀ 𝑠(𝑘) < 𝑠(𝑘 + 1) < 0 }

(1.16)

Et en les regroupant, nous obtenons les deux inégalités suivantes : {[𝑠(𝑘 + 1) + 𝑠(𝑘)]𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠(𝑘)) > 0

[𝑠(𝑘 + 1) − 𝑠(𝑘)]𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠(𝑘)) < 0 (1.17) 1.3.2 CONDITION DE CONVERGENCE DE FURUTA

Dans [10], Furuta en utilisant la fonction discrète candidate de Lyapunov 𝑉(𝑠(𝑘)) = 𝑠²(𝑘), trouve une nouvelle condition d’existence du mode glissant :

∆𝑉(𝑠(𝑘)) = 𝑠²(𝑘 + 1) − 𝑠²(𝑘) = 2𝑠(𝑘)∆𝑠(𝑘) + ∆𝑠²(𝑘) < 0 (1.18) Cette dernière condition est équivalente aux deux inégalités précédentes.

Il est à constater que dans les deux conditions évoquées, il n’est jamais question de la période d’échantillonnage. Il existe certes dans la littérature des

méthodes pour calculer une commande fonction de la période d’échantillonnage.

Mais nous avons préféré celles-là parce qu’elles se sont avérées plus facilement exploitables.

1.4 CONVERTISSEUR CONTINU-CONTINU ABAISSEUR

Le convertisseur continu-continu série est l’un des plus populaires convertisseurs, aussi connu sous le nom de hacheur série. Il est utilisé pour fournir en sortie une tension plus petite que celle qu’il reçoit en entrée.

Avec le besoin croissant engendré par l’évolution de la technologie, l’efficacité des hacheurs devient de plus en plus critique. D’où l’importance de comprendre la théorie du convertisseur continu-continu série et comment dimensionner adéquatement les composants de son circuit.

1.4.1 FONCTIONNEMENT DU HACHEUR SÉRIE

Le convertisseur série produit une tension de sortie inférieure à sa tension d’entrée et peut délivrer de grands courants tout en minimisant les pertes de puissance.

Comme le montre la figure 1.6 (a), le convertisseur série se compose de deux interrupteurs puis d’une inductance et d’un condensateur de sortie qui forment un filtre LC. Q1 doit être un interrupteur commandé (ici un transistor) tandis que D1 peut être un interrupteur commandé ou une diode alors de roue libre. Dans tous les cas, les deux interrupteurs ne sont jamais fermés simultanément.

Figure 1.6 (a) Convertisseur continu-continu série, (b) Tension hachée à l’émetteur de Q1.

Quand le transistor Q1 est fermé, la diode de roue libre D1 est polarisée en inverse. Le courant circule alors de l’alimentation à la charge à travers Q1 et le filtre LC.

Quand Q1 est ouvert, la diode de roue libre D1 est rendue passante par le courant iL de l’inductance de sortie. La forme de la tension hachée est montrée à la figure 1.6 (b).

Le temps de conduction du transistor Q1 détermine le rapport cyclique u du convertisseur.

𝑢 = ^𝑇𝑜𝑛

𝑇_𝑜𝑛+𝑇_𝑜𝑓𝑓 = ^𝑇𝑜𝑛

𝑇_𝑠 ≅ ^𝑉𝑜

𝐸 (1.19) Après filtrage de la tension hachée par le filtre passe-bas, sous hypothèse que la fréquence de coupure du filtre soit suffisamment en dessous de la fréquence de commutation des interrupteurs du convertisseur, la tension de sortie apparaît presque constante [11].

1.4.2 LE FILTRE DE SORTIE LC

Le filtre de sortie emmagasine et délivre de l’énergie à la charge pour fournir une tension presque constante en sortie. Le choix de l’inductance influence directement le taux d’ondulation du courant ainsi que le courant maximal que peut délivrer le hacheur. Les inductances varient selon la valeur et le matériau utilisé et ont généralement une tolérance de 20%. Elles comprennent une résistance interne qui peut impacter les performances de l’étage de sortie. Plus la valeur de

cette résistance est petite, meilleures sont les performances de l’étage de sortie.

Cette résistance est par ailleurs d’autant plus petite que la valeur de l’inductance est faible mais il y a un compromis à faire entre la valeur de l’inductance et l’ondulation du courant. Une trop faible valeur d’inductance génère une grande ondulation du courant traversant l’inductance. Une inductance minimale doit donc être considérée pour pouvoir respecter les exigences du cahier de charge [12].

En outre, le condensateur de sortie affecte directement le taux d’ondulation de la tension de sortie, le temps de réponse de la boucle de retour et le dépassement qui survient lors d’une variation du courant tiré par la charge. Une grande valeur de condensateur réduit l’ondulation de la tension de sortie. Il y a toutefois un compromis à faire entre la valeur du condensateur et le temps de réponse.

Augmenter la valeur du condensateur réduit l’ondulation de la tension de sortie et le dépassement mentionné certes mais entraîne une augmentation du temps que prend le convertisseur pour répondre à une variation de charge [11].

D’où une valeur minimale de condensateur doit être considérée pour une ondulation de la tension de sortie et un dépassement respectant le cahier de charge tout en maintenant un temps de réponse suffisamment court lors des variations de charge. Les condensateurs aussi comprennent une résistance parasite en série.

Cette dernière influence l’ondulation de la tension de sortie et les performances globales du convertisseur. Pour cette raison, les condensateurs à faible résistance interne sont de plus en plus préférés. Les condensateurs céramiques montés en surface deviennent plus abondants dans les applications demandant de grandes performances. En outre, l’usage de plusieurs condensateurs en parallèle permet d’atteindre la capacité désirée tout en diminuant la résistance interne équivalente.

1.4.3 DIMENSIONNEMENT DES COMPOSANTS 1.4.3.1 Dimensionnement de l’inductance

Quand le transistor Q1 est saturé, la tension aux bornes de l’inductance est la différence entre la tension d’entrée et celle de la sortie. Nous supposons ici nulle la tension collecteur-émetteur à la saturation du transistor.

𝑉_𝐿(𝑡) = 𝐸 − 𝑉_𝑜 (1.20) Le courant le traversant croît linéairement à partir de 𝑖_𝐿(0),

𝑖_𝐿(𝑡) = 𝑖_𝐿(0) +^{𝐸−𝑉𝑜}

𝐿 𝑡 (1.21) Quand le transistor Q1 est bloqué, la tension aux bornes de l’inductance est l’opposée de la tension de sortie.

𝑉_𝐿(𝑡) = −𝑉_𝑜 (1.22) Et le courant le traversant décroît linéairement selon une pente de −𝑉_𝑜/𝐿 à partir de 𝑖_𝐿(𝑇_𝑜𝑛).

𝑖_𝐿(𝑡 − 𝑇_𝑜𝑛) = 𝑖_𝐿(𝑇_𝑜𝑛) − ^𝑉𝑜

𝐿 (𝑡 − 𝑇_𝑜𝑛) (1.23) La figure 1.7 montre la courbe du courant traversant l’inductance. Etant donné que la courbe de la tension aux bornes de l’inductance est rectangulaire, celle du courant le traversant est triangulaire [12].

Figure 1.7 Courant traversant l’inductance L’ondulation du courant 𝑖_𝐿 est définie comme :

𝛥𝑖_𝐿 = 𝑖_𝐿(𝑇_𝑜𝑛) − 𝑖_𝐿(0) (1.24) Le courant traversant la résistance de sortie peut être exprimée par :

𝐼_𝑜 = ^{𝑖𝐿(𝑇𝑜𝑛)+𝑖𝐿(0)}

2 (1.25) Le facteur d’ondulation se calcule alors

𝑌 = ^𝛥𝑖𝐿

𝐼_𝑜 (1.26) Si le taux d’ondulation est inférieur à 2, le convertisseur fonctionne en mode de conduction continue. Dans le cas contraire, il fonctionne en mode de conduction discontinue [12].

Dans le présent travail, nous nous assurerons de maintenir le convertisseur en fonctionnement en conduction continue. Ceci pour conserver une relation quasi-linéaire entre le rapport cyclique et la tension de sortie.

Les équations (1.21) et (1.24) combinées donnent : 𝛥𝑖_𝐿 =^{𝐸−𝑉𝑜}

𝐿 𝑇_𝑜𝑛 =^{𝐸−𝑉𝑜}

𝐿 𝑢. 𝑇_𝑠 =^{𝐸−𝑉𝑜}

𝐿.𝑓_𝑠 𝑢 (1.27) Avec u, le rapport cyclique.

La valeur de l’inductance s’obtient alors : 𝐿 = ^{𝑉𝑖𝑛−𝑉𝑜}

𝛥𝑖_𝐿.𝑓_𝑠 𝑢 (1.28) Pour une valeur d’inductance donnée, une plus grande tension d’entrée entraînera une plus grande ondulation du courant. Et pour une tension d’entrée constante, l’ondulation est d’autant plus grande que la valeur de l’inductance est petite [13].

1.4.3.2 Dimensionnement du condensateur

Quand Q1 est saturé, les courants traversant l’inductance et le condensateur croissent ainsi que la tension de sortie. Par contre quand Q1 est bloqué, ces courants et la tension de sortie décroissent. Pour avoir une tension de sortie constante, la variation maximale du courant qui traverse le condensateur quand Q1 est saturé doit être égale à celle pendant que Q1 est bloqué.

Par conséquent, le courant moyen traversant le condensateur est nul [11] (Figure 1.8).

Figure 1.8 Courants traversant l’inductance et le condensateur

Le courant traversant le condensateur (voir figure 1.6.a) est exprimé par : 𝑖_𝐶 = 𝐶^𝛥𝑉𝑐

𝛥𝑡 (1.29) et peut être réécrit :

𝛥𝑡. 𝑖_𝐶 = 𝐶. 𝛥𝑉_𝑐 = 𝛥𝑄_𝑐 (1.30)

L’aire sous la courbe (aire hachurée sur la figure 1.7) représente la charge du condensateur, 𝛥𝑄𝑐 et définie par :

𝛥𝑄_𝑐 = ¹

2. 𝛥𝐼_𝑐. 𝛥𝑡 (1.31) avec

𝛥𝑡 = ¹

2𝑇_𝑜𝑛+¹

2𝑇_𝑜𝑓𝑓 = ¹

2𝑇_𝑠 = ¹

2.𝑓_𝑠 (1.32) Et 𝛥𝑖_𝑐 = ^𝛥𝑖𝐿

2 (1.33) L’équation (1.31) peut être alors réécrite :

𝛥𝑄_𝑐 = ¹

2.^𝛥𝑖𝐿

2 . ¹

2𝑓_𝑠 = ^𝛥𝑖𝐿

8𝑓_𝑠 (1.34) Et l’équation (1.30) devient :

𝛥𝑖_𝐿

8𝑓_𝑠 = 𝐶_𝑚𝑖𝑛. 𝛥𝑉_𝑜 (1.35) La valeur minimale du condensateur pour des ondulations du courant et de la tension se calcule alors :

𝐶_𝑚𝑖𝑛 = ^𝛥𝑖𝐿

8𝑓_𝑠.𝛥𝑉_𝑜 (1.36)

L’équation (1.36) considère uniquement l’effet des ondulations du courant dans l’inductance et de la tension aux bornes du condensateur. Dans les faits, les variations possibles de la charge devraient être prises en compte. Le convertisseur doit être capable de répondre aux variations du courant tiré par la charge tout en maintenant une tension de sortie constante. Lorsque le courant tiré par la charge décroît, la tension de sortie va croître temporairement jusqu’à ce que le convertisseur ajuste le rapport cyclique pour retourner la valeur finale de la tension de sortie. Cette augmentation temporaire de la tension de sortie est appelée dépassement. Le plus grand dépassement à lieu quand le convertisseur passe d’un fonctionnement en pleine charge à un fonctionnement à vide. Le condensateur de sortie devrait être capable d’absorber cette augmentation.

L’énergie totale de l’étage de sortie est définie par : 𝐸_𝑡𝑜𝑡 = 𝐸_𝑐+ 𝐸_𝐿 = ¹

2𝐶. 𝑉_𝑐²+¹

2𝐿. 𝑖_𝐿² (1.37) L’énergie totale avant la variation de charge est égale à celle après variation de la charge. Ainsi :

1

2𝐶. 𝑉_𝑜² +¹

2𝐿. 𝐼_𝑜² = ¹

2𝐶. (𝑉_𝑜𝑣 + 𝑉_𝑜)² (1.38) Avec

Vov : le dépassement de la tension de sortie.

Et la valeur du condensateur se calcule :

𝐶_𝑚𝑖𝑛 = ^{𝐿.𝐼𝑜²}

(𝑉_𝑜𝑣+𝑉_𝑜)²−𝑉_𝑜² (1.39) L’équation (1.39) peut se réécrire :

𝐶_𝑚𝑖𝑛 = ^{𝐿.𝐼𝑜²}

𝑉_𝑜𝑣²+2𝑉_𝑜𝑣.𝑉_𝑜 (1.40) Les deux équations (1.36) et (1.40) doivent être prises en considération dans le choix de la valeur du condensateur de sortie. Il s’avère nécessaire de faire un compromis entre l’ondulation de la tension de sortie désirée et le dépassement survenant lors d’un changement de charge selon les besoins de l’application.

1.5 MOTEUR À COURANT CONTINU À EXCITATION SÉPARÉE

Les moteurs à courant continu sont utilisés dans des domaines variés comme l’industrie, la robotique etc… Cette abondance est due à leur simplicité, leur facilité d’utilisation et leur coût favorable. Les moteurs à courant continu ont une longue histoire d’utilisation pour la variation de vitesse. Dans ces applications, la vitesse du moteur doit être contrôlée de manière précise pour délivrer des performances désirées. Il sera brièvement expliqué le principe de fonctionnement du moteur à courant continu, les raisons de la préférence du moteur à courant continu à excitation séparée ainsi que les techniques de variation de vitesse sur ce dernier.

1.5.1 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DU MOTEUR À COURANT CONTINU

Le moteur à courant continu convertit de l’énergie électrique en énergie mécanique. Il comprend un stator (inducteur), un rotor (induit) fait d’enroulements isolés entre eux, un collecteur et des balais.

Le stator est la partie stationnaire. Il est constitué d’aimants permanents ou d’enroulements. Quand il est constitué d’aimants permanents, il n’y a pas de pertes par effet Joule mais le champ magnétique est constant. Le rotor est constitué d’enroulements connectés au collecteur qui frotte sur des balais fixes pendant la rotation. Les balais, faits de carbones, assurent le transfert de la tension de la source d’alimentation aux enroulements rotoriques à l’intérieur du moteur par friction sur le collecteur.

Un champ magnétique est créé au stator par des aimants permanents ou par excitation des enroulements statoriques grâce à la source de tension continue. Les enroulements rotoriques sont placés dans ce champ. Ces enroulements lorsqu’ils sont parcourus par un courant grâce au collecteur en contact avec les balais sont alors, selon la loi de Laplace, soumis à des couples de forces qui les font tourner.

La règle de la main droite de Fleming permet de déterminer les directions et les sens des forces et par conséquent le sens de rotation du rotor. Les balais permettent aux enroulements rotoriques de continuer leur rotation quand ils atteignent la position parallèle à la direction du champ statorique. En effet, les balais permettent au courant de changer de sens à chaque fois que cette position est atteinte. Les directions des forces le sont donc aussi et la rotation peut ainsi continuer [14].

Figure 1.9 Fonctionnement d’un moteur à courant continu

1.5.2 MOTEUR À COURANT CONTINU À EXCITATION SÉPARÉE Ce type d’excitation procure au moteur à courant continu des caractéristiques favorables à la variation de vitesse. D’où la préférence portée sur lui.

1.5.2.1 Avantages et inconvénients du moteur à courant continu à excitation séparée

La figure 1.10 montre le schéma électrique du stator (à droite) et du rotor (à gauche) d’un moteur à courant continu à excitation séparée.

Figure 1.10 Moteur à courant continu à excitation Vf séparée

Le principal avantage du ce type d’excitation est que la vitesse de rotation du moteur est très sensible aux variations de la tension d’alimentation du rotor.

Par ailleurs, la vitesse de rotation varie très peu avec les fluctuations de la charge.

Il possède l’inconvénient de ne pouvoir supporter une forte charge lors du démarrage en raison de son faible couple. En outre, le stator et le rotor doivent être alimentés indépendemment [15].

1.5.2.2 Technique de contrôle de vitesse d’un moteur à courant continu à excitation séparée

Plusieurs conséquences découlent des nouvelles expressions des équations du moteur en régime permanent. La figure 1.11 montre par exemple l’évolution du couple et de la puissance du moteur en fonction de la vitesse du moteur [16].

Figure 1.11 Couple et puissance du moteur en fonction de la vitesse

Il apparaît deux zones :

- La zone de couple constant : Ia et If sont maintenus constants pour fournir le couple demandé par la charge. La puissance augmente avec la vitesse.

- la zone de puissance constante : Va est maintenue à sa valeur nominale et If

est réduit pour augmenter la vitesse. Toutefois la puissance développée par le moteur reste constante.

La vitesse du moteur peut ainsi être changée de deux manières :

- Par variation de la tension d’induit dans la zone de couple constant.

- Par variation du flux statorique dans la zone de puissance constante 1.6 MICROCONTRÔLEUR

Un microcontrôleur est un circuit intégré renfermant un microprocesseur, des mémoires, de périphériques d’entrée/sortie et d’autres ressources [17]. Les microcontrôleurs sont utilisés en général dans des dispositifs contrôlés automatiquement comme les calculateurs de véhicules automobiles, les appareils médicaux implantables, les appareils électroménagers, les appareils contrôlés à distance, les jouets et autres systèmes embarqués.

1.6.1 FONCTIONNEMENT

La figure 1.12 montre le diagramme bloc des microcontrôleurs usuels.

Figure 1.12 Diagramme bloc d’un microcontrôleur

Le CPU (Central Processing Unit) est responsable de l’exécution du programme stocké dans la mémoire ROM et contrôle les autres composants. La mémoire RAM quant à elle est une mémoire volatile et sert à stocker les paramètres et valeurs courants quand un programme est en cours d’exécution. Les ports d’entrée/sortie (E/S), les convertisseurs analogique-numérique (CAN) et numérique-analogique (CNA) sont utilisés pour l’acquisition de signaux extérieurs. Le port série permet d’échanger des données de façon sérielle et à haute fréquence avec des composants extérieurs. Les timers sont utilisés pour la gestion du temps et permettent comme bien d’autres périphériques internes la génération d’interruption. La plupart des microcontrôleurs comprennent un circuit pour la génération de l’horloge système. Toutes les opérations sont alors synchronisées sur cette horloge. Elle contrôle la vitesse à laquelle le microcontrôleur fonctionne.

1.6.2 CRITÈRES DE CHOIX DU MICROCONTRÔLEUR

Pour le choix du microcontrôleur à utiliser, plusieurs critères sont à prendre en compte. D’abord, les fonctionnalités requises pour le projet doivent être présentes sur le microcontrôleur et toutes les spécifications du projet doivent être satisfaites. Il s’agit :

- des périphériques requis pour le projet (timers, CNA, CAN, liaisons I2C, SPI, USART…),

- de la possibilité de gérer des périphériques externes si nécessaire, - du nombre de broches E/S requis,

- de la rapidité de calcul,

- de la capacité des mémoires programme et donnée, - de la consommation électrique et

- de la taille du microcontrôleur.

Par ailleurs, les conditions propres à l’utilisateur doivent aussi être considérées. Il s’agit entre autres :

- du coût du microcontrôleur,

- de la familiarité de l’utilisateur avec le microcontrôleur et - de la disponibilité du microcontrôleur sur le marché.

En outre, le choix du fabricant de microcontrôleur peut constituer un point important. En effet, il faut ici considérer :

- la qualité de la documentation du fabricant, - le coût des outils de développement,

- le support professionnel en cas de problème ainsi que - la disponibilité des notes d’applications.

1.6.3 AVANTAGE DES MICROCONTRÔLEURS

Les avantages des microcontrôleurs sont nombreux et bien réels. Il suffit pour s’en persuader, d’examiner la spectaculaire évolution de l’offre des fabricants de circuits intégrés.

Tout d’abord, un microcontrôleur intègre dans un seul et même boîtier ce qui avant nécessitait une dizaine d’éléments séparés. Cette intégration a aussi comme conséquence immédiate de simplifier le tracé du circuit imprimé puisqu’il n’est plus nécessaire de véhiculer des bus d’adresse et de données d’un composant à un autre.

Par ailleurs, le microcontrôleur permet la diminution de l’encombrement du matériel et du circuit imprimé, l’augmentation de la fiabilité du système, la diminution du nombre de composants, de connexions, de la consommation et du coût. En outre, ils disposent généralement d’environnements de programmation et de simulation évolués.

Ils offrent une grande rapidité d’exécution des instructions et le temps d’exécution peut être modifié en changeant la fréquence d’oscillation. Par ailleurs,

les microcontrôleurs ont une architecture RISC c’est-à-dire un jeu d’instruction très réduit qui s’exécutent en moins de cycles d’horloge. Ils disposent de mémoires FLASH pour stocker le programme. Ce qui permet une facilité de réécriture du programme. En outre, ils disposent d’une panoplie de périphériques intégrés comme les timers, les ports E/S et les convertisseurs pour réduire le nombre de composants extérieur requis.

1.7 PRÉSENTATION DE MATLAB

MATLAB est une abréviation de MATrix LABoratory (laboratoire de matrice). La plate-forme MATLAB est optimisée pour résoudre les problèmes scientifiques et techniques. Les graphiques intégrés permettent de visualiser facilement les données afin d’en dégager des informations. L’environnement bureau encourage l’expérimentation, l’exploration et la découverte. Les outils et les fonctionnalités MATLAB sont tous testés rigoureusement. Ils sont conçus pour fonctionner conjointement. Le code MATLAB peut être intégré à d’autres langages, ce qui permet de déployer des algorithmes et des applications au sein d’autres systèmes.

1.8 PRÉSENTATION DE SIMULINK

SIMULINK est un environnement de diagramme fonctionnel destiné à la simulation multi-domaine et à l’approche de conception par modélisation. Il prend en charge la conception et la simulation au niveau système, la génération automatique de code, ainsi que le test et la vérification en continu des systèmes embarqués [18]. SIMULINK propose un éditeur graphique, un ensemble personnalisable de bibliothèques de blocs et des solveurs pour la modélisation et la simulation de systèmes dynamiques. Il est intégré à MATLAB, ce qui permet d’incorporer les algorithmes MATLAB dans les modèles et d’exporter le résultat des simulations vers MATLAB pour compléter les analyses.

1.9 PRÉSENTATION DE PROTEUS

PROTEUS est un logiciel regroupant ISIS, ARES, PROSPICE et VSM.

Tous ces modules sont destinés à l'électronique. Grâce à Proteus, il est possible de réaliser des schémas structurels et de les simuler [19]. Développé par Labcenter Electronics, ces logiciels présents dans Proteus, permettent la conception assistée par ordinateur dans le domaine de l'électronique.

1.9.1 PRÉSENTATION D'ISIS

ISIS (Intelligent Schematic Input System) est principalement connu pour éditer des schémas électriques. Il permet aussi de simuler les schémas réalisés auparavant. Grâce à lui, il est aisé de contrôler la majorité de l'aspect graphique du circuit [19].

1.9.2 PRÉSENTATION D'ARES

Le logiciel ARES est un outil d'édition et de routage qui complète parfaitement ISIS. Un schéma électrique réalisé sur ISIS peut alors être importé facilement sur ARES pour réaliser l’édition du circuit imprimé [19]. Bien que l'édition d'un circuit imprimé soit plus efficace lorsqu'elle est réalisée manuellement par routage, ce logiciel permet de placer automatiquement les composants et de réaliser le routage automatiquement.

1.10 NOTION DE ROBUSTESSE

La robustesse d’un système se définit comme la stabilité de sa performance face aux perturbations du milieu et aux incertitudes du modèle [20].

En effet, le modèle mathématique qui modélise un système réel est une représentation qui vise à approximer au mieux, avec des hypothèses

simplificatrices, le système qu’on veut commander. Il existe donc un écart entre le comportement observé du système réel et son modèle interne.

Une commande robuste vise à déterminer une loi de commande qui soit capable de garantir des critères de performance et de stabilité pour un système dont le modèle varie autour du modèle théorique ou nominal. Par la même approche, on peut rendre le système robuste face aux perturbations extérieures (par exemple, une rafale de vent sur un avion de ligne) qui en somme peuvent être considérées comme une modification du modèle interne.

On distingue trois types de systèmes [20] :

- Les systèmes non-performants, qui ne remplissent pas les fonctionnalités attendues par l’utilisateur ;

- Les systèmes performants fragiles, qui sont performants mais uniquement pour une plage réduite des paramètres internes ou externes ;

- Les systèmes performants robustes, qui restent performants malgré des conditions externes présentant de larges variations d’amplitudes (exemple : variation de température, d’adhérence au sol…).

1.11 CONCLUSION

Ce chapitre a été consacré à faire l’état de l’art sur la commande par mode glissant, sur la discrétisation de la commande en vue de l’implémenter sur microcontrôleur, sur le hacheur série et le moteur à courant continu à excitation séparée. Nous y avons aussi présenté les microcontrôleurs AVR puis les logiciels utilisés dans le cadre de ce travail.

CHAPITRE 2

Méthodologie adoptée

2.1 INTRODUCTION

Dans le présent chapitre, nous avons expliqué comment les commandes continue et discrète ont été synthétisées et implémentées respectivement dans SIMULINK et PROTEUS. Par la suite, nous avons décrit comment elles ont été simulées et calibrées, puis expliqué comment la commande discrète a été implémentée par un programme dans le microcontrôleur AVR ATmega328P.

Enfin, la description des tests de robustesse effectués sous SIMULINK a été présentée.

2.2 CALCUL DE LA COMMANDE CONTINUE

2.2.1 MODÉLISATION DU HACHEUR PAR MODÈLE D’ÉTAT

Le comportement du hacheur série est décrit entièrement par deux équations. Une première équation qui s’obtient en appliquant la loi des mailles à la maille comprenant la diode de roue libre, l’inductance et le condensateur de sortie (voir figure 1.6.a) :

𝐸. 𝑢 = 𝐿^𝑑𝑖𝐿

𝑑𝑡 + 𝑉_𝑜 (2.1) Avec

E : la tension d’entrée du hacheur, u : le rapport cyclique,

iL : le courant traversant l’inductance du hacheur à vide (sans autre charge que sa résistance de sortie),

Vo :la tension de sortie du hacheur.

L’équation (2.1) peut se réécrire pour mettre en exergue la dérivée de la première variable d’état iL:

𝑑𝑖_𝐿

𝑑𝑡 = i_L^′ = −¹

LV_o +^E

Lu (2.2) La deuxième est obtenue en appliquant la loi des nœuds au nœud de sortie :

i_L = C^dVo

dt + ^Vo

R (2.3) L’équation (2.3) se réécrit aussi pour mettre en exergue la dérivée de la seconde variable d’état Vo :

^𝑑𝑉𝑜

𝑑𝑡 = 𝑉_𝑜′ = ¹

𝐶𝑖_𝐿 − ¹

𝑅𝐶𝑉_𝑜 (2.4) Des deux équations réécrites, le modèle d’état s’obtient :

{𝑖_𝐿′ = −¹

𝐿𝑉_𝑜 +^𝐸

𝐿𝑢 𝑉_𝑜′ = ¹

𝐶𝑖_𝐿 − ¹

𝑅𝐶𝑉_𝑜 (2.5)

2.2.2 CHOIX DE LA SURFACE DE GLISSEMENT

La commande par mode glissant utilisée ici est celle du premier ordre. La fonction de commutation s’écrit par la relation [3] :

𝑠 = 𝑒^′ + 𝐾. 𝑒 (2.6) où

𝑒 = 𝑉_𝑟𝑒𝑓 − 𝑉_𝑜 (2.7) avec

Vref : la tension de consigne.

Par conséquent :

𝑒^′ = −𝑉_𝑜′ (2.8) Il s’ensuit que :

𝑠 = −𝑉_𝑜′ + 𝐾(𝑉_𝑟𝑒𝑓− 𝑉_𝑜) = −¹

𝐶𝑖_𝐿 + ¹

𝑅𝐶𝑉_𝑜 + 𝐾. 𝑉_𝑟𝑒𝑓 − 𝐾. 𝑉_𝑜 (2.9)

et en factorisant par les variables d’état, l’expression de la surface de glissement se réduit à :

𝑠 = ⁻¹

𝐶 𝑖_𝐿 + ( ¹

𝑅𝐶 – 𝐾) 𝑉_𝑜 + 𝐾. 𝑉_𝑟𝑒𝑓 (2.10) 2.2.3 CALCUL DE LA COMMANDE ÉQUIVALENTE

La commande équivalente se trouve en annulant la dérivée première de la fonction de commutation. En effet, la commande équivalente doit permettre de maintenir l’état du système sur la surface de glissement précédemment choisie, une fois cette surface atteinte.

Il nous faut donc calculer la dérivée première de la fonction de commutation dans un premier temps :

𝑠^′ = ⁻¹

𝐶 𝑖_𝐿′ + (¹

𝑅𝐶 – 𝐾)𝑉_𝑜′ (2.11) En remplaçant les dérivées par leurs expressions et en réarrangeant de sorte à mettre en facteur les variables d’état, on obtient l’expression de s’ :

𝑠^′ =⁻¹

𝐶 (−¹

𝐿𝑉_𝑜+^𝐸

𝐿𝑢) + ( ¹

𝑅𝐶 – 𝐾)(¹

𝐶𝑖_𝐿 − ¹

𝑅𝐶𝑉_𝑜) (2.12) 𝑠′ = (^{1−𝐾𝑅𝐶}

𝑅𝐶² )𝑖_𝐿 + (−^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶−𝑅2𝐶}

𝑅²𝐶²𝐿 ) 𝑉_𝑜+ (− ^𝐸

𝐿𝐶) 𝑢 (2.13) Nous pouvons à présent, déterminer la commande équivalente ueq :

𝑢_𝑒𝑞 =^𝐿𝐶

𝐸 [(^{1−𝐾𝑅𝐶}

𝑅𝐶² ) 𝑖_𝐿 +^𝐿𝐶

𝐸 (−^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶−𝑅2𝐶}

𝑅²𝐶²𝐿 ) 𝑉_𝑜] (2.14) En simplifiant, l’équation (2.15) s’obtient :

𝑢_𝑒𝑞 = (^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶}

𝑅𝐶𝐸 ) 𝑖_𝐿 − (^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶−𝑅2𝐶}

𝑅²𝐶𝐸 ) 𝑉_𝑜 (2.15) et en posant,

𝐴 = ^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶}

𝑅𝐶𝐸 (2.16) 𝐵 =^{𝐿−𝐾𝑅𝐿𝐶−𝑅2𝐶}

𝑅²𝐶𝐸 (2.17) Nous obtenons l’expression de la commande équivalente ueq :

𝑢_𝑒𝑞 = 𝐴. 𝑖_𝐿 − 𝐵. 𝑉_𝑜 (2.18)