Epreuve de Thermodynamique II´ ∗
Probl`eme 1
Le cycle de Carnot est un cycle moteur ditherme id´eal constitu´e de deux transformations isothermes et deux transformations isentropes. C’est le cycle le plus efficace pour obtenir du travail `a partir de deux sources de chaleur de temp´eratures constantes. Consid´erons un cycle de Carnot qui utilise une quantit´e de mati`ere n d’un gaz parfait (figure ci-dessous).
(1) (2)
(3)
(4)
V p
1. Quand est ce qu’on dit qu’un cycle thermodynamique est ditherme ?
2. D´eterminer la nature de chacune des transformations constituant ce cycle. Justifier.
3. Exprimer, en fonction des grandeurs thermiques des diff´erents ´etats du cycle : (a) les quantit´es de chaleur ´echang´ees lors des deux transformations isothermes.
(b) la variation d’entropie pour chacune des deux transformations isothermes.
(c) la variation d’entropie ∆S sur tout le cycle.
4. En d´eduire la relation entre VV2
1 et VV4
3.
5. Trouver l’expression de l’efficacit´e thermiqueη de ce cycle en fonction deT1 etT3.
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1/2´ 2/2
Probl`eme 2
On consid`ere un machine thermique motrice qui utilise de l’air comme fluide de travail et qui fonctionne r´eversiblement selon un cycle de Stirling constitu´e de deux transformations isothermes et deux transformations isochores. L’´etat ayant la plus basse pression est l’´etat (1) dont la pression est p1 = 1 bar et la temp´erature est T1 = 300 K. En revanche, l’´etat ayant la plus haute pression est l’´etat (3) qui a une pressionp3 = 16 bar et une temp´erature T3 = 675 K. Le nombre de moles d’air utilis´e par cette machine est n= 0,25 mol. Ce gaz est consid´er´e comme ´etant un gaz parfait diatomique.
1. Repr´esenter ce cycle sur le diagramme de Clapeyron.
2. Calculer la capacit´e calorifique `a volume constantCVde ce gaz ainsi que les volumes V1 et V3.
3. Calculer les quantit´es de chaleur Q12, Q23, Q34 et Q41 ´echang´ees au cours des diff´erentes transformations constituant le cycle.
4. Calculer le travail utileWu de ce cycle.
5. Calculer l’efficacit´e thermique η de cette machine.
Probl`eme 3
L’´energie interneU et l’entropieSd’un syst`eme monophas´e sont des fonctions d’´etat dont les formes diff´erentielles s’´ecrivent :
dU =CVdT + (l−p)dV et dS = CV
T dT + l TdV
o`uCV est la capacit´e thermique isochore du syst`eme et l sa chaleur latente de dilatation.
Ces deux coefficients calorim´etriques d´ependent des variables d’´etat p, V, T et n.
1. Expliciter les relations impos´ees par le fait que dU et dS sont des diff´erentielles totales exactes.
2. En d´eduire les relations donnantl etÄ∂C∂VVä
T en fonction des grandeurs thermiques et ´eventuellement leurs driv´ees partielles.
On consid`ere un syst`eme ferm´e constitu´e de n moles d’un gaz parfait.
3. D´eterminer l’expression de l pour ce syst`eme.
4. Montrer que la capacit´e thermique isochore CV de ce gaz ne d´epend pas de V. 5. Trouver les expressions des fonctions d’´etat U etS de ce gaz en supposant que CV
ne d´epend pas de T.
Consid´erons maintenant un syst`eme ferm´e constitu´e denmoles d’un gaz de Van der Waals dont l’´equation d’´etat s’´ecritÄp+nV22a
ä(V −nb) = nRT o`uaetbsont des constantes dites de Van der Waals et R est la constante universelle des gaz parfaits.
6. D´eterminer, pour ce gaz, l’expression de l.
7. La capacit´e calorifique `a volume constantCVde ce gaz d´epend-elle deV ? Justifier.
8. Trouver, pour ce gaz, les expressions des fonctions d’´etat U etS en supposant que CV ne d´epend pas de T.
On donne : la constante universelle des gaz parfaits est R= 8,314 J mol−1K−1.
