  baba cos...4

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Mécanique du solide : Table élévatrice (corrigé)

Exercice de fermeture géométrique, concernant un mécanisme à chaine fermée bien connu.

On cherche la loi entrée/sortie, c'est-à-dire la relation entre la longueur du vérin et la hauteur du plateau.

1. On écrit la fermeture géométrique

OF EO

EF  

.

On utilise les bases liées aux solides.

  ^{. 3 . 4}

6

. U  a  b U  b U



On écrit les formules de changement de base :

Y X

U  

. sin .

cos

6    

Y X

U  

. sin .

cos

3    

Y X

U  

. sin .

cos

4     

Remarque : Faire une figure de changement de base pour

U 4

^.

On projette dans la base liée au châssis (1) :

 

  ^{ }













sin sin

sin

cos cos

cos

b b

a

b b

a













.

 













sin . sin

cos . . 2 cos

a

b a







On a 2 équations, 3 inconnues  1 seule mobilité.



: Longueur du vérin (entrée, que l’on peut faire varier avec le débit d’huile).



: Angle de la table (sortie, directement liée à la hauteur du plateau (2))

On cherche à « éliminer » le paramètre



(orientation du vérin), afin d’avoir une relation entre l’entrée, la sortie et les constantes du mécanisme.

On élève au carré et on additionne :

  ^



²

 a

²

 4 . b . a  b . cos

²

 b a 

b a



  . . cos 4

2 2

2





_.

  ^{ } _



 







 

a b b Arc a

. . cos 4

2



2



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2/2

Les questions 2 et 3 sont des rappels de cinématique sur les torseurs et les calculs de vitesses.

2. Le mouvement de 2/1 est une translation de direction

Y

, donc le vecteur vitesse de rotation :



_2/1

 0

_.

Y a

AC 

. sin . .

2 



a Y

dt AC C d

V 

 

. cos . . . 2 )

1 / 2 (

1





 







 



 



_.

Torseur cinématique

 











 

Y a

V

C

 cos .  2

0

1 /

2

 

^.

3.

CB a X 

. cos . .

2 

 a X

dt CB B d

V 

 

. sin . 2 )

2 / 3 (

2







 







 



 



4. La table peut monter et descendre, il y a une position basse et une position haute.

On a trouvé à la question 1:

^

²

^{ a}

²

^{ 4 b}  ^{a  b}  ^cos

²

^

. Course du vérin :

Cu  

_max

 

_min

 

² _max ²

 

² _min

2

4 b a b cos  a 4 b a b cos 

a

Cu      

_.

5. Le galet (5) va se déplacer le long du plateau (2), la course correspond au déplacement entre les 2 positions extrêmes :

min

max

CB

CB

Lu  

.

Avec

CB  2 . a . cos 

^{Lu  2 . a .}  ^{cos }

_min

^{ cos }

_max



6. Rappel :



est la longueur du vérin.

 ^

est la vitesse du vérin directement liée au débit d’huile.

dt cte d 

 

 ^

_

   ^t   ^  ^t

Temps de montée :

 ^ tm  Cu

_.

7. Soit

q

le débit d’huile (en m³/s), on a

q   ^  S

_

S

 q

 ^

_.

L’automaticien peut agir sur le débit d’huile pour régler la vitesse.

En général, on préfère limiter le débit à l’échappement car la pression relative est faible.